Measurement of Area Questions in Hindi

(C) वर्ग का क्षेत्रफल $= 121 \, cm^2$.
वर्ग की भुजा $= \sqrt{121} = 11 \, cm$.
वर्ग का परिमाप $= 4 \times \text{भुजा} = 4 \times 11 = 44 \, cm$.
चूंकि तार समान है,इसलिए वर्ग का परिमाप वृत्त की परिधि के बराबर होगा।
वृत्त की परिधि $= 2 \pi r = 44 \, cm$.
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 44$.
$r = \frac{44 \times 7}{2 \times 22} = 7 \, cm$.
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154 \, cm^2$.

(B) दिया गया है कि त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात $1:4$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $= 154 \, cm^2$.
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times 154 = 38.5 \, cm^2$.
चूंकि त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात केंद्रीय कोण $\theta$ और $360^{\circ}$ के अनुपात के बराबर होता है,इसलिए $\frac{\theta}{360^{\circ}} = \frac{1}{4}$,जिससे $\theta = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,वृत्त की त्रिज्या $r$ ज्ञात करते हैं: $\pi r^2 = 154 \Rightarrow \frac{22}{7} \times r^2 = 154 \Rightarrow r^2 = 49 \Rightarrow r = 7 \, cm$.
त्रिज्यखंड का परिमाप सूत्र $P = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \pi r + 2r$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $P = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 7 + 2 \times 7$.
$P = \frac{1}{4} \times 44 + 14 = 11 + 14 = 25 \, cm$.

(A) वर्गों के क्षेत्रफलों का योग उनकी भुजाओं की लंबाई के वर्गों के योग द्वारा प्राप्त होता है:
योग $= 20^2 + 21^2 + \ldots + 29^2$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए:
योग $= \sum_{k=1}^{29} k^2 - \sum_{k=1}^{19} k^2$
$= \frac{29(29+1)(2 \times 29 + 1)}{6} - \frac{19(19+1)(2 \times 19 + 1)}{6}$
$= \frac{29 \times 30 \times 59}{6} - \frac{19 \times 20 \times 39}{6}$
$= (29 \times 5 \times 59) - (19 \times 10 \times 13)$
$= 8555 - 2470 = 6085 \, cm^2$.

(B) चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
माना कोण $2x, 4x, 7x,$ और $5x$ हैं।
$2x + 4x + 7x + 5x = 18x = 360^{\circ}$.
$x = 360^{\circ} / 18 = 20^{\circ}$.
चतुर्भुज का सबसे छोटा कोण $2x = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$ है।
चूंकि त्रिभुज का सबसे छोटा कोण चतुर्भुज के सबसे छोटे कोण के बराबर है,इसलिए त्रिभुज का सबसे छोटा कोण $40^{\circ}$ है।
त्रिभुज का एक अन्य कोण सबसे छोटे कोण का दोगुना है,जो $2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$ है।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
तीसरा कोण $180^{\circ} - (40^{\circ} + 80^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ होगा।
अतः,त्रिभुज के कोण $40^{\circ}, 60^{\circ},$ और $80^{\circ}$ हैं।
इसलिए,त्रिभुज का दूसरा सबसे बड़ा कोण $60^{\circ}$ है।

(D) वर्ग की भुजा $= \sqrt{1024\, cm^2} = 32\, cm$ है।
आयत की लंबाई $= 2 \times 32\, cm = 64\, cm$ है।
आयत की चौड़ाई $= 32\, cm - 12\, cm = 20\, cm$ है।
लंबाई और चौड़ाई का आवश्यक अनुपात $= 64 : 20$ है।
दोनों पदों को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $16 : 5$ प्राप्त होता है।

(A) आयत का परिमाप $= 2 \times (8 + 7) = 2 \times 15 = 30 \, cm$.
वर्ग का परिमाप $= 2 \times 30 = 60 \, cm$.
वर्ग की भुजा $= 60 / 4 = 15 \, cm$.
अर्धवृत्त का व्यास वर्ग की भुजा के बराबर है,इसलिए $d = 15 \, cm$,जिसका अर्थ है कि त्रिज्या $r = 7.5 \, cm$.
अर्धवृत्त की परिधि का सूत्र $C = \pi r + d$ है।
$C = (22 / 7) \times 7.5 + 15$.
$C = 23.5714 + 15 = 38.5714 \, cm$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $38.57 \, cm$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त की परिधि $C = 2\pi r$ द्वारा दी जाती है।
छोटे वृत्त के लिए,$2 \times \frac{22}{7} \times r_1 = 132 \implies r_1 = \frac{132 \times 7}{44} = 21 \text{ m}$।
बड़े वृत्त के लिए,$2 \times \frac{22}{7} \times r_2 = 176 \implies r_2 = \frac{176 \times 7}{44} = 28 \text{ m}$।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफलों में अंतर $\pi(r_2^2 - r_1^2) = \frac{22}{7} \times (28^2 - 21^2)$ है।
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{22}{7} \times (28 - 21)(28 + 21) = \frac{22}{7} \times 7 \times 49$ प्राप्त होता है।
अंतर $= 22 \times 49 = 1078 \text{ m}^2$।