Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Gujarati

(C) લંબઘનના માપ લંબાઈ $(l)$ = $50 \, cm$,પહોળાઈ $(b)$ = $40 \, cm$ અને ઊંચાઈ $(h)$ = $30 \, cm$ છે.
લંબઘનનું પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $2h(l + b)$ છે.
આપેલ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ = $2 \times 30 \times (50 + 40)$
= $60 \times 90$
= $5400 \, cm^2$.

(D) $8 \, cm$ ની ધાર $(a)$ ધરાવતા બે સમઘનને એકબીજા સાથે જોડવાથી લંબઘન બને છે.
આ લંબઘનના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
લંબાઈ $(l)$ = $8 \, cm + 8 \, cm = 16 \, cm$
પહોળાઈ $(b)$ = $8 \, cm$
ઊંચાઈ $(h)$ = $8 \, cm$
લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર: $TSA = 2(lb + bh + lh)$.
કિંમતો મૂકતા:
$TSA = 2(16 \times 8 + 8 \times 8 + 16 \times 8)$
$TSA = 2(128 + 64 + 128)$
$TSA = 2(320)$
$TSA = 640 \, cm^{2}$.

(A) સમઘનનું પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $4a^{2}$ છે,જ્યાં $a$ એ સમઘનની ધારની લંબાઈ છે.
અહીં,$a = 15 \, cm$ આપેલ છે.
પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $= 4 \times (15)^{2} \, cm^{2}$.
પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $= 4 \times 225 \, cm^{2}$.
પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $= 900 \, cm^{2}$.

(B) લંબઘન ટાંકીના માપ નીચે મુજબ છે: લંબાઈ $(l)$ = $10 \, m$,પહોળાઈ $(b)$ = $8 \, m$ અને ઊંચાઈ $(h)$ = $3 \, m$.
બંધ લંબઘન ટાંકીનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર: $2(lb + bh + lh)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2(10 \times 8 + 8 \times 3 + 10 \times 3) = 2(80 + 24 + 30) = 2(134) = 268 \, m^2$.
લોખંડના પતરાની કિંમત શોધવા માટે કુલ પૃષ્ઠફળને પ્રતિ $m^2$ ના ભાવ સાથે ગુણતા:
કિંમત = $268 \, m^2 \times ₹ 50/m^2 = ₹ 13,400$.

(C) $1$. ચાર દીવાલોનું ક્ષેત્રફળ શોધો: $Area = 2(l + b) \times h = 2(7 + 5) \times 4 = 2(12) \times 4 = 96\, m^2$.
$2$. છતનું ક્ષેત્રફળ શોધો: $Area = l \times b = 7 \times 5 = 35\, m^2$.
$3$. રંગકામ માટેનું કુલ ક્ષેત્રફળ (દરવાજા અને બારીઓ બાદ કરતાં): $Total\, Area = (\text{દીવાલોનું}\, \text{ક્ષેત્રફળ }+ \text{છતનું}\, \text{ક્ષેત્રફળ}) - (2\, \text{દરવાજાનું}\, \text{ક્ષેત્રફળ }+ 4\, \text{બારીઓનું}\, \text{ક્ષેત્રફળ})$.
$4$. $2\, \text{દરવાજાનું}\, \text{ક્ષેત્રફળ }= 2 \times (3 \times 2) = 12\, m^2$.
$5$. $4\, \text{બારીઓનું}\, \text{ક્ષેત્રફળ }= 4 \times (2 \times 1) = 8\, m^2$.
$6$. $Total\, Area = (96 + 35) - (12 + 8) = 131 - 20 = 111\, m^2$.
$7$. $Cost = Total\, Area \times Rate = 111 \times 200 = ₹22,200$.

(N/A) ધારો કે લંબઘન પેટીના પરિમાણો $6x$,$4x$ અને $3x$ મીટર છે.
લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $SA = 2(lb + bh + lh) = 2((6x)(4x) + (4x)(3x) + (6x)(3x)) = 2(24x^2 + 12x^2 + 18x^2) = 2(54x^2) = 108x^2 \, m^2$ છે.
સફેદ કાગળથી ઢાંકવાનો ખર્ચ $₹ 2.00/m^2$ ના દરે $2 \times 108x^2 = 216x^2$ થાય.
રંગીન કાગળથી ઢાંકવાનો ખર્ચ $₹ 2.50/m^2$ ના દરે $2.50 \times 108x^2 = 270x^2$ થાય.
ખર્ચમાં તફાવત $270x^2 - 216x^2 = 54x^2$ છે.
આપેલ છે કે તફાવત $₹ 1350$ છે,તેથી $54x^2 = 1350$.
$x^2 = 1350 / 54 = 25$.
$x = 5$.
આમ,પરિમાણો $6(5) = 30 \, m$,$4(5) = 20 \, m$ અને $3(5) = 15 \, m$ છે.

નળાકાર માટે આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $(r) = 28 \, cm$
ઊંચાઈ $(h) = 90 \, cm$
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r h$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 28 \times 90 \, cm^2$
$= 2 \times 22 \times 4 \times 90 \, cm^2$
$= 15,840 \, cm^2$
નળાકારની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r(h + r)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 28 \times (90 + 28) \, cm^2$
$= 176 \times 118 \, cm^2$
$= 20,768 \, cm^2$

(B) આપેલ નળાકાર માટે,ઊંચાઈ $(h) = 30 \, cm$ અને વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 1320 \, cm^2$ છે.
નળાકારની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi d h$ છે,જ્યાં $d$ એ વ્યાસ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1320 = \frac{22}{7} \times d \times 30$.
$d$ માટે ઉકેલતા: $d = \frac{1320 \times 7}{22 \times 30}$.
$d = \frac{1320 \times 7}{660} = 2 \times 7 = 14 \, cm$.
આમ,નળાકારનો વ્યાસ $14 \, cm$ છે.

$(440 \ cm^2)$ ધાતુના પોલા નળાકાર માટે: ઊંચાઈ $(h) = 70\, cm$.
અંદરની ત્રિજ્યા $(r) = 10\, cm$.
બહારની ત્રિજ્યા $(R) = \text{અંદરની ત્રિજ્યા} + \text{ધાતુની જાડાઈ} = 10 + 1 = 11\, cm$.
બહારની અને અંદરની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો તફાવત નીચે મુજબ છે:
$\text{તફાવત} = 2\pi Rh - 2\pi rh = 2\pi h(R - r)$.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{તફાવત} = 2 \times \frac{22}{7} \times 70 \times (11 - 10) = 2 \times 22 \times 10 \times 1 = 440\, cm^2$.

(D) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $CSA = 2 \pi rh$ છે.
આપેલ છે:
ઊંચાઈ $(h)$ = $35 \, cm$
ત્રિજ્યા $(r)$ = $15 \, cm$
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 15 \times 35$
$CSA = 2 \times 22 \times 15 \times 5$
$CSA = 44 \times 75$
$CSA = 3300 \, cm^2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) નળાકારનો વ્યાસ $d = 28 \text{ cm}$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = d/2 = 14 \text{ cm}$ થાય.
નળાકારની ઊંચાઈ $h = 50 \text{ cm}$ છે.
નળાકારની કુલ સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = 2\pi r(r + h)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $A = 2 \times (22/7) \times 14 \times (14 + 50)$.
$A = 2 \times 22 \times 2 \times 64$.
$A = 88 \times 64 = 5632 \text{ cm}^2$.

(B) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $CSA = 2\pi rh$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $CSA = 3960\, cm^{2}$ અને $r = 21\, cm$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$3960 = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times h$
$3960 = 2 \times 22 \times 3 \times h$
$3960 = 132 \times h$
$h = \frac{3960}{132}$
$h = 30\, cm$.
આમ,નળાકારની ઊંચાઈ $30\, cm$ છે.

(C) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર: $CSA = 2 \pi r h$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $CSA = 550 \, cm^2$ અને $h = 50 \, cm$.
કિંમતો મૂકતા: $550 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 50$.
$550 = \frac{2200}{7} \times r$.
$r = \frac{550 \times 7}{2200} = \frac{7}{4} = 1.75 \, cm$.
વ્યાસ $(d)$ એ $2 \times r = 2 \times 1.75 = 3.5 \, cm$ થાય.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r)$ = $10\,cm$,ઊંચાઈ $(h)$ = $30\,cm$,દર = ₹ $3/cm^2$,$\pi = 3.14$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $2\pi rh$ છે.
$CSA$ = $2 \times 3.14 \times 10 \times 30 = 1884\,cm^2$.
કુલ ખર્ચ = $CSA$ $\times$ દર = $1884 \times 3 = 5652$.
આમ,બહારની વક્ર સપાટીને રંગવાનો ખર્ચ ₹ $5652$ થાય છે.

(A) બંધ નળાકારની કુલ સપાટીના ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ નું સૂત્ર $TSA = 2\pi r(r + h)$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $TSA = 748\, cm^2$ અને $r = 7\, cm$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$748 = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + h)$
$748 = 44 \times (7 + h)$
બંને બાજુ $44$ વડે ભાગતા:
$7 + h = \frac{748}{44}$
$7 + h = 17$
$h = 17 - 7$
$h = 10\, cm$.

(B) કૂવો નળાકાર આકારનો છે.
આપેલ છે: ઊંડાઈ $(h)$ = $20 \, m$,ત્રિજ્યા $(r)$ = $7 \, m$.
નળાકારની અંદરની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2 \pi r h$.
ક્ષેત્રફળ = $2 \times (22/7) \times 7 \times 20 = 2 \times 22 \times 20 = 880 \, m^2$.
સિમેન્ટ લગાવવાનો ખર્ચ ₹ $15$ પ્રતિ $m^2$ છે.
કુલ ખર્ચ = $880 \times 15 = ₹ 13,200$.

(C) ધારો કે બે નળાકારની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે,અને તેમની ઊંચાઈઓ $h_1$ અને $h_2$ છે.
આપેલ છે કે $r_1 : r_2 = 3 : 7$ અને $h_1 : h_2 = 28 : 15$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $CSA = 2pi rh$ છે.
તેથી,તેમની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{CSA_1}{CSA_2} = \frac{2pi r_1 h_1}{2pi r_2 h_2} = \frac{r_1}{r_2} \times \frac{h_1}{h_2}$
આપેલ ગુણોત્તરની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{CSA_1}{CSA_2} = \frac{3}{7} \times \frac{28}{15}$
$\frac{CSA_1}{CSA_2} = \frac{3}{15} \times \frac{28}{7} = \frac{1}{5} \times 4 = \frac{4}{5}$
આમ,તેમની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $4 : 5$ છે.

(D) ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $2\pi rh$ છે.
નળાકારની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ $2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $CSA : TSA = 2 : 5$ મુજબ:
$\frac{2\pi rh}{2\pi r(h + r)} = \frac{2}{5}$
$\frac{h}{h + r} = \frac{2}{5}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $5h = 2(h + r)$ મળે.
$5h = 2h + 2r$
$3h = 2r$
તેથી,ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $\frac{r}{h} = \frac{3}{2}$ એટલે કે $3: 2$ થાય.

(A) $1$. ત્રિજ્યાને $cm$ માંથી $m$ માં ફેરવો: $r = 14 \, cm = 0.14 \, m$.
$2$. નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $2 \pi rh$ છે.
$3$. $CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.14 \times 5 = 4.4 \, m^2$.
$4$. $20$ સ્તંભો માટે કુલ વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $20 \times 4.4 = 88 \, m^2$.
$5$. કુલ ખર્ચ = $\text{કુલ ક્ષેત્રફળ} \times \text{દર} = 88 \times 120 = ₹ 10,560$.

(N/A) શંકુ માટે:
ત્રિજ્યા $(r) = 15 \, cm$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = 25 \, cm$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ:
$= \pi r l$
$= 3.14 \times 15 \times 25 \, cm^2$
$= 1177.5 \, cm^2$
શંકુની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ:
$= \pi r(l + r)$
$= 3.14 \times 15 \times (25 + 15) \, cm^2$
$= 3.14 \times 15 \times 40 \, cm^2$
$= 1884 \, cm^2$

(N/A) આપેલ છે: તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = 25 \,cm$,વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA) = 550 \,cm^{2}$.
$1$. ત્રિજ્યા $(r)$ શોધવી:
$CSA = \pi r l$
$550 = \frac{22}{7} \times r \times 25$
$r = \frac{550 \times 7}{22 \times 25} = 7 \,cm$.
$2$. ઊંચાઈ $(h)$ શોધવી:
સંબંધ $l^{2} = h^{2} + r^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$25^{2} = h^{2} + 7^{2}$
$625 = h^{2} + 49$
$h^{2} = 625 - 49 = 576$
$h = \sqrt{576} = 24 \,cm$.
$3$. કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ શોધવું:
$TSA = \pi r(l + r)$
$TSA = \frac{22}{7} \times 7 \times (25 + 7)$
$TSA = 22 \times 32 = 704 \,cm^{2}$.

(A) આપેલ શંકુ માટે:
ત્રિજ્યા $(r) = 7\, m$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = 12\, m$.
તંબુ બનાવવા માટે વપરાતી તાડપત્રીનું ક્ષેત્રફળ = શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 7 \times 12 = 264\, m^2$.
તાડપત્રીનું ક્ષેત્રફળ $= l \times b$ થાય,જ્યાં $b = 2\, m$:
$264 = l \times 2 \implies l = \frac{264}{2} = 132\, m$.
આમ,$132\, m$ તાડપત્રીની જરૂર પડશે.
$1\, m$ તાડપત્રીનો ભાવ = ₹ $48$.
કુલ ખર્ચ $= 132 \times 48 = ₹ 6336$.

(A) આપેલ છે:
શંકુનો વ્યાસ,$d = 6\, cm$.
શંકુની ત્રિજ્યા,$r = d / 2 = 6 / 2 = 3\, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ,$l = 11\, cm$.
શંકુની કુલ સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $TSA = \pi r(r + l)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$TSA = \pi \times 3 \times (3 + 11)$
$TSA = \pi \times 3 \times 14$
$TSA = 42\pi\, cm^2$.
$\pi \approx 22/7$ લેતા:
$TSA = 42 \times (22 / 7) = 6 \times 22 = 132\, cm^2$.

(N/A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r) = 3.5 \, cm$,ઊંચાઈ $(h) = 12 \, cm$.
સૌ પ્રથમ,તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ શોધો,જેનું સૂત્ર $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ છે.
$l = \sqrt{(3.5)^2 + (12)^2} = \sqrt{12.25 + 144} = \sqrt{156.25} = 12.5 \, cm$.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA) = \pi rl = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 12.5 = 22 \times 0.5 \times 12.5 = 137.5 \, cm^2$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA) = \pi r(r + l) = \frac{22}{7} \times 3.5 \times (3.5 + 12.5) = 22 \times 0.5 \times 16 = 11 \times 16 = 176 \, cm^2$.

(N/A) $1$. જ્યારે $AB$ ની આસપાસ પરિભ્રમણ કરવામાં આવે: ઊંચાઈ $h = AB = 28 \, cm$ અને ત્રિજ્યા $r = BC = 21 \, cm$ છે. તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35 \, cm$. વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $CSA = \pi r l = \frac{22}{7} \times 21 \times 35 = 22 \times 3 \times 35 = 2310 \, cm^2$.
$2$. જ્યારે $BC$ ની આસપાસ પરિભ્રમણ કરવામાં આવે: ઊંચાઈ $h = BC = 21 \, cm$ અને ત્રિજ્યા $r = AB = 28 \, cm$ છે. તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{28^2 + 21^2} = 35 \, cm$. વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $CSA = \pi r l = \frac{22}{7} \times 28 \times 35 = 22 \times 4 \times 35 = 3080 \, cm^2$.

(B) આપેલ છે: શંકુનો વ્યાસ $d = 42 \, m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 21 \, m$. ઊંચાઈ $h = 20 \, m$.
સૌ પ્રથમ,શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ સૂત્ર $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ નો ઉપયોગ કરીને શોધો.
$l = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29 \, m$.
જરૂરી કેનવાસનું ક્ષેત્રફળ એ શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,જે $CSA = \pi r l$ દ્વારા મળે છે.
$CSA = \frac{22}{7} \times 21 \times 29 = 22 \times 3 \times 29 = 1914 \, m^2$.
કેનવાસની કિંમત $1914 \, m^2 \times ₹ 75/m^2 = ₹ 143550$ થાય.

(N/A) ધારો કે ત્રિજ્યા $r = 2x$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $l = 7x$ છે.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $CSA = \pi rl$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $CSA = 704 \, cm^2$ અને $\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$704 = \frac{22}{7} \times (2x) \times (7x)$
$704 = 22 \times 2 \times x^2$
$704 = 44x^2$
$x^2 = \frac{704}{44} = 16$
$x = 4$.
આમ,ત્રિજ્યા $r = 2 \times 4 = 8 \, cm$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $l = 7 \times 4 = 28 \, cm$ મળે.
ઊંચાઈ $h$ શોધવા માટે $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{28^2 - 8^2} = \sqrt{(28-8)(28+8)} = \sqrt{20 \times 36} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5} \, cm$ થાય.

(B) શંકુની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $TSA = \pi r(r + l)$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ તિર્યક ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $r = 10\, cm$,$TSA = 880\, cm^2$,અને $\pi = 22/7$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$880 = (22/7) \times 10 \times (10 + l)$
$880 \times 7 = 220 \times (10 + l)$
$6160 = 220 \times (10 + l)$
$10 + l = 6160 / 220$
$10 + l = 28$
$l = 28 - 10$
$l = 18\, cm$.
આમ,શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $18\, cm$ છે.

(C) શંકુની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ શોધવાનું સૂત્ર: $TSA = \pi r(r + l) = \pi rl + \pi r^{2}$ છે.
આપેલ છે કે,$TSA = 3696 \, cm^{2}$ અને વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $\pi rl = 2310 \, cm^{2}$ છે.
$CSA$ ની કિંમત $TSA$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$3696 = 2310 + \pi r^{2}$.
$\pi r^{2} = 3696 - 2310 = 1386$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$\frac{22}{7} r^{2} = 1386$.
$r^{2} = \frac{1386 \times 7}{22} = 63 \times 7 = 441$.
$r = \sqrt{441} = 21 \, cm$.
હવે,તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ શોધવા માટે $CSA$ ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:
$2310 = \pi rl = \frac{22}{7} \times 21 \times l$.
$2310 = 22 \times 3 \times l = 66l$.
$l = \frac{2310}{66} = 35 \, cm$.
ત્રિજ્યા $(r)$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ નો ગુણોત્તર $r:l = 21:35$ છે.
બંનેને $7$ વડે ભાગતા,આપણને $3:5$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,ગોલકની ત્રિજ્યા $(r) = 14 \, cm$.
ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ (પૃષ્ઠફળ) શોધવાનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^2$ છે.
$r = 14 \, cm$ અને $\pi = \frac{22}{7}$ ની કિંમત મૂકતા:
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \, cm^2$
$A = 4 \times 22 \times 2 \times 14 \, cm^2$
$A = 88 \times 28 \, cm^2$
$A = 2464 \, cm^2$.
આમ,ગોલકનું પૃષ્ઠફળ $2464 \, cm^2$ છે.

(A) આપેલ છે કે,નક્કર અર્ધગોલકનો વ્યાસ $7 \, cm$ છે.
ત્રિજ્યા $(r) = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{7}{2} \, cm = 3.5 \, cm$.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r^2$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \, cm^2 = 77 \, cm^2$.
અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 3 \pi r^2$.
$= 3 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \, cm^2 = 115.5 \, cm^2$.

(B) આપેલ છે કે,ગોલકની ત્રિજ્યા $(r) = 3.5\, cm = \frac{7}{2}\, cm$.
ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = 4\pi r^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{7}{2}\right)^{2}$
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} = 22 \times 7 = 154\, cm^{2}$.
સોનાનો ઢોળ ચઢાવવાનો ખર્ચ ₹ $150$ પ્રતિ $cm^{2}$ છે.
કુલ ખર્ચ = $\text{સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{દર}$
કુલ ખર્ચ = $154 \times 150 = 23,100$.
તેથી,તેની સપાટી પર સોનાનો ઢોળ ચઢાવવાનો ખર્ચ ₹ $23,100$ થાય.

(C) ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
આપેલ છે કે તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 3 : 2$ છે,તેથી $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}$.
ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $4 \pi r_1^2$ છે.
અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $3 \pi r_2^2$ છે.
હવે,ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને અર્ધગોલકની કુલ સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{4 \pi r_1^2}{3 \pi r_2^2} = \frac{4}{3} \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$
$= \frac{4}{3} \times \left(\frac{3}{2}\right)^2$
$= \frac{4}{3} \times \frac{9}{4}$
$= \frac{3}{1}$
તેથી,માંગેલ ગુણોત્તર $3:1$ છે.

(C) ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^2$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 30 \, cm$ અને $\pi = 3.14$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$A = 4 \times 3.14 \times (30)^2$
$A = 4 \times 3.14 \times 900$
$A = 12.56 \times 900$
$A = 11304 \, cm^2$.

(A) ગોલકની સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = 4\pi r^2$ છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $r = 50\, cm$ અને $\pi = 3.14$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$A = 4 \times 3.14 \times (50)^2$
$A = 4 \times 3.14 \times 2500$
$A = 12.56 \times 2500$
$A = 31400\, cm^2$.

(B) ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^2$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 1.25 \, m$ અને $\pi = 3.14$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$A = 4 \times 3.14 \times (1.25)^2$
$A = 4 \times 3.14 \times 1.5625$
$A = 12.56 \times 1.5625$
$A = 19.625 \, m^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે,ગોલકનો વ્યાસ $d = 21\, cm$.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{21}{2} = 10.5\, cm$.
ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = 4\pi r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = 4 \times \frac{22}{7} \times (10.5)^2$.
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5$.
$A = 4 \times 22 \times 1.5 \times 10.5$.
$A = 88 \times 15.75 = 1386\, cm^2$.

(D) ગોળાનો વ્યાસ $d = 49\, cm$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = d / 2 = 49 / 2 = 24.5\, cm$ થાય.
ગોળાની સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = 4 \times (22 / 7) \times (49 / 2) \times (49 / 2)$.
$A = 4 \times (22 / 7) \times (2401 / 4)$.
$A = (22 / 7) \times 2401$.
$A = 22 \times 343 = 7546\, cm^2$.

(A) આપેલ છે,ગોળાનો વ્યાસ $d = 3.5\,m$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{3.5}{2} = 1.75\,m$.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = 4\pi r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = 4 \times \frac{22}{7} \times (1.75)^2$.
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75$.
$A = 4 \times 22 \times 0.25 \times 1.75$.
$A = 88 \times 0.4375 = 38.5\,m^2$.

(A) આપેલ ત્રિજ્યા $r = 14\, cm$.
$1$. અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $2\pi r^{2}$ છે.
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 2 \times 22 \times 2 \times 14 = 1232\, cm^{2}$.
$2$. અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $3\pi r^{2}$ છે.
$TSA = 3 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 3 \times 22 \times 2 \times 14 = 1848\, cm^{2}$.
આમ,અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $1232\, cm^{2}$ અને કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $1848\, cm^{2}$ છે.

(N/A) આપેલ છે,ત્રિજ્યા $r = 17.5 \, cm = \frac{35}{2} \, cm$.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2\pi r^2$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{35}{2} = 11 \times 5 \times 35 = 1925 \, cm^2$.
અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $3\pi r^2$.
$= 3 \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{35}{2} = 3 \times 11 \times 5 \times \frac{35}{2} = 165 \times 17.5 = 2887.5 \, cm^2$.

(A) આપેલ ત્રિજ્યા $r = 2.1 \, m$ છે.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2 \pi r^2$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 = 2 \times 22 \times 0.3 \times 2.1 = 27.72 \, m^2$.
અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $3 \pi r^2$.
$= 3 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 = 3 \times 22 \times 0.3 \times 2.1 = 41.58 \, m^2$.

(A) આપેલ છે: વ્યાસ $(d)$ = $14 \, cm$.
ત્રિજ્યા $(r)$ = $d / 2 = 14 / 2 = 7 \, cm$.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ = $2 \pi r^2$.
$CSA$ = $2 \times (22 / 7) \times 7 \times 7 = 2 \times 22 \times 7 = 308 \, cm^2$.
અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ = $3 \pi r^2$.
$TSA$ = $3 \times (22 / 7) \times 7 \times 7 = 3 \times 22 \times 7 = 462 \, cm^2$.
આમ,અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $308 \, cm^2$ અને કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $462 \, cm^2$ છે.

(N/A) આપેલ વ્યાસ $d = 126 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{126}{2} = 63 \, cm$.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 63 \times 63 = 2 \times 22 \times 9 \times 63 = 24,948 \, cm^2$.
અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 3 \pi r^2 = 3 \times \frac{22}{7} \times 63 \times 63 = 3 \times 22 \times 9 \times 63 = 37,422 \, cm^2$.

(A) આપેલ વ્યાસ $d = 2.8\,m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = d/2 = 1.4\,m$.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $2\pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$CSA = 2 \times (22/7) \times (1.4)^2 = 2 \times (22/7) \times 1.96 = 2 \times 22 \times 0.28 = 12.32\,m^2$.
અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ $3\pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$TSA = 3 \times (22/7) \times (1.4)^2 = 3 \times (22/7) \times 1.96 = 3 \times 22 \times 0.28 = 18.48\,m^2$.
આમ,અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $12.32\,m^2$ અને કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $18.48\,m^2$ છે.

(D) ગુંબજ અર્ધગોળાકાર છે.
ત્રિજ્યા $(r)$ = $4.2 \, m$.
અર્ધગોળાકાર ગુંબજની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ = $2 \pi r^2$.
$CSA$ = $2 \times \frac{22}{7} \times 4.2 \times 4.2$.
$CSA$ = $2 \times 22 \times 0.6 \times 4.2 = 110.88 \, m^2$.
રંગવાનો ખર્ચ = ક્ષેત્રફળ $\times$ દર.
ખર્ચ = $110.88 \times 18 = ₹ 1995.84$.

(A) ગોળાની સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^2$ છે.
અહીં $A = 7850 \, cm^2$ અને $\pi = 3.14$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$7850 = 4 \times 3.14 \times r^2$
$7850 = 12.56 \times r^2$
$r^2 = \frac{7850}{12.56}$
$r^2 = 625$
$r = \sqrt{625} = 25 \, cm$.
આમ,ગોળાની ત્રિજ્યા $25 \, cm$ છે.

(A) અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $TSA = 3\pi r^2$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $TSA = 4158 \, cm^2$.
તેથી,$3 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 4158$.
$r^2 = \frac{4158 \times 7}{3 \times 22}$.
$r^2 = \frac{4158 \times 7}{66} = 63 \times 7 = 441$.
$r = \sqrt{441} = 21 \, cm$.
વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 21 = 42 \, cm$ થાય.

(B) આપેલ છે: અંદરની ત્રિજ્યા $(r)$ = $4 \, cm$,જાડાઈ $(t)$ = $0.2 \, cm$.
બહારની ત્રિજ્યા $(R)$ = $r + t = 4 + 0.2 = 4.2 \, cm$.
અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $2 \pi R^2$ છે.
બહારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2 \times \frac{22}{7} \times (4.2)^2$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 4.2 \times 4.2$.
$= 2 \times 22 \times 0.6 \times 4.2$.
$= 44 \times 2.52 = 110.88 \, cm^2$.

(C) ધારો કે ગોળાની પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે.
પ્રારંભિક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 4 \pi r^2$ છે.
ત્રિજ્યામાં $20 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી નવી ત્રિજ્યા $r_2 = r - 0.20r = 0.8r$ થાય.
નવું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = 4 \pi (0.8r)^2 = 4 \pi (0.64r^2) = 0.64(4 \pi r^2) = 0.64 A_1$ થાય.
સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં ઘટાડો $A_1 - A_2 = A_1 - 0.64 A_1 = 0.36 A_1$ છે.
ટકાવારીમાં ઘટાડો $\frac{0.36 A_1}{A_1} \times 100 \% = 36 \%$ થાય.