Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Gujarati

(C) ધાતુના ગોળાનું ઘનફળ $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 12\, cm$ છે.
$V_s = \frac{4}{3} \pi (12)^3 = \frac{4}{3} \pi (1728) = 2304 \pi\, cm^3$.
એક શંકુનું ઘનફળ $V_c = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 3\, cm$ અને $h = 4\, cm$ છે.
$V_c = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (4) = \frac{1}{3} \pi (9)(4) = 12 \pi\, cm^3$.
મળતા શંકુની સંખ્યા એ ગોળાના ઘનફળ અને એક શંકુના ઘનફળનો ગુણોત્તર છે:
$N = \frac{V_s}{V_c} = \frac{2304 \pi}{12 \pi} = 192$.
આમ,$192$ શંકુ મેળવી શકાય છે.

(A) $1$. ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$2$. પાંચેય ગોળાઓનું કુલ ઘનફળ = $\frac{4}{3}\pi (1^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 8^3) = \frac{4}{3}\pi (1 + 27 + 64 + 125 + 512) = \frac{4}{3}\pi (729)$.
$3$. ધારો કે નવા મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે. તેથી $\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (729)$,જેનો અર્થ છે કે $R^3 = 729$,તેથી $R = 9\, cm$.
$4$. એક નળાકારનું ઘનફળ = $\pi r^2 h = \pi (3^2)(4) = 36\pi\, cm^3$.
$5$. નળાકારોની સંખ્યા = $\frac{\text{કુલ ઘનફળ}}{\text{એક નળાકારનું ઘનફળ}} = \frac{\frac{4}{3}\pi (729)}{36\pi} = \frac{972\pi}{36\pi} = 27$ નળાકાર.

(A) ગોળાના પૃષ્ઠફળનું સૂત્ર $S = 4\pi r^{2}$ છે.
અહીં $S = 1256 \, cm^{2}$ અને $\pi = 3.14$ આપેલ છે.
$1256 = 4 \times 3.14 \times r^{2}$
$1256 = 12.56 \times r^{2}$
$r^{2} = \frac{1256}{12.56} = 100$
તેથી,$r = 10 \, cm$.
ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
$V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (10)^{3}$
$V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 1000$
$V = \frac{12560}{3} = 4186 \frac{2}{3} \, cm^{3}$.

(B) ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $4\pi r_1^2$ છે અને અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2\pi r_2^2$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર મુજબ: $\frac{4\pi r_1^2}{2\pi r_2^2} = \frac{9}{2}$.
આનું સાદુંરૂપ આપતા,$\frac{2r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{4}$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}$ મળે છે.
ગોલકનું ઘનફળ $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$ છે અને અર્ધગોલકનું ઘનફળ $V_2 = \frac{2}{3}\pi r_2^3$ છે.
તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{2}{3}\pi r_2^3} = 2 \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ થાય.
ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{V_1}{V_2} = 2 \times \left(\frac{3}{2}\right)^3 = 2 \times \frac{27}{8} = \frac{27}{4}$ મળે છે.
આમ,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $27:4$ છે.

(C) સમઘન ટાંકીનું કુલ ઘનફળ $V_{total} = 15.625 \, m^3$ છે।
ટાંકી સમઘન હોવાથી, તેની બાજુની લંબાઈ $s = \sqrt[3]{15.625} = 2.5 \, m$ થાય।
હાલમાં પાણીની ઊંડાઈ $h = 1.3 \, m$ છે।
ટાંકીમાં હાલમાં રહેલા પાણીનું ઘનફળ $V_{current} = \text{બાજુ} \times \text{બાજુ} \times \text{ઊંડાઈ} = 2.5 \times 2.5 \times 1.3 = 6.25 \times 1.3 = 8.125 \, m^3$ થાય।
વપરાઈ ગયેલા પાણીનું ઘનફળ $V_{used} = V_{total} - V_{current} = 15.625 - 8.125 = 7.5 \, m^3$ મળે।

(D) ગોળાઓ એક જ ધાતુના બનેલા હોવાથી તેમની ઘનતા $\rho$ સમાન છે. ગોળાનું વજન $W = \text{ઘનફળ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ દ્વારા મળે છે.
આમ,વજનનો ગુણોત્તર તેમની ત્રિજ્યાના ઘનનો ગુણોત્તર જેટલો થાય છે: $\frac{W_1}{W_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$.
અહીં $W_1 = 5920\, g$ અને $W_2 = 740\, g$ આપેલ છે,તેથી $\frac{5920}{740} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $8 = \frac{r_1^3}{r_2^3}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{8} = 2$.
નાના ગોળાનો વ્યાસ $5\, cm$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{5}{2} = 2.5\, cm$ થાય.
તેથી,મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા $r_1 = 2 \times r_2 = 2 \times 2.5 = 5\, cm$ થાય.

(A) નળાકાર ગ્લાસનો વ્યાસ $d = 7\, cm$ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = 3.5\, cm$ થાય.
ગ્લાસમાં દૂધની ઊંચાઈ $h = 12\, cm$ છે.
એક ગ્લાસમાં દૂધનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 12 = 22 \times 0.5 \times 3.5 \times 12 = 462\, cm^3$.
$1000\, cm^3 = 1\, \text{લિટર}$ હોવાથી, એક ગ્લાસમાં દૂધનું ઘનફળ $0.462\, \text{લિટર}$ થાય.
$1600$ વિદ્યાર્થીઓ માટે જરૂરી કુલ દૂધ $1600 \times 0.462 = 739.2\, \text{લિટર}$ છે.

(A) જ્યારે $6 \, cm, 8 \, cm$ અને $10 \, cm$ બાજુઓ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણને $8 \, cm$ બાજુની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે $8 \, cm$ બાજુ એ શંકુની ઊંચાઈ $(h)$ બને છે અને $6 \, cm$ બાજુ એ પાયાની ત્રિજ્યા $(r)$ બને છે. કર્ણ $10 \, cm$ એ શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ બને છે.
આપેલ છે: $r = 6 \, cm, h = 8 \, cm, l = 10 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times (6)^2 \times 8 = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 36 \times 8 = 3.14 \times 12 \times 8 = 301.44 \, cm^3$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $CSA = \pi r l = 3.14 \times 6 \times 10 = 188.4 \, cm^2$.

(C) $1$. અર્ધગોળાકાર ટાંકીનો આંતરિક વ્યાસ $14\, m$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 7\, m$ થાય.
$2$. અર્ધગોળાકાર ટાંકીનું ઘનફળ $V = \frac{2}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$3$. $V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7 = \frac{2}{3} \times 22 \times 49 = \frac{2156}{3} = 718 \frac{2}{3}\, m^3$.
$4$. આપણે જાણીએ છીએ કે $1\, m^3 = 1\, kilolitre$. તેથી,ટાંકીમાં $50\, m^3$ પાણી પહેલેથી જ છે.
$5$. પમ્પ કરવાના પાણીનું ઘનફળ = (કુલ ક્ષમતા) - (પહેલેથી રહેલું પાણી).
$6$. પમ્પ કરવાના પાણીનું ઘનફળ = $718 \frac{2}{3} - 50 = 668 \frac{2}{3}\, m^3$.

(D) ધારો કે ગોલક અને નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ છે. ધારો કે નળાકારની ઊંચાઈ $h$ છે.
આપેલ છે કે ઘનફળ સમાન છે:
ગોલકનું ઘનફળ = $\frac{4}{3} \pi r^3$
નળાકારનું ઘનફળ = $\pi r^2 h$
બંનેને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi r^2 h$
$h = \frac{4}{3} r$
નળાકારનો વ્યાસ $d = 2r$ છે.
આપણે તે ટકાવારી શોધવાની છે જેના દ્વારા વ્યાસ ઊંચાઈ કરતા વધારે છે:
તફાવત = $d - h = 2r - \frac{4}{3} r = \frac{2}{3} r$
ટકાવારી = $\frac{d - h}{h} \times 100 = \frac{(2/3)r}{(4/3)r} \times 100 = \frac{2}{4} \times 100 = 50\%$.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
કાટકોણ શંકુમાં,ત્રિજ્યા $(r)$,ઊંચાઈ $(h)$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે,જેમાં તિર્યક ઊંચાઈ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,સંબંધ $l^2 = r^2 + h^2$ છે.
આપેલ છે: $r = 3 \, cm$,$h = 5 \, cm$ અને $l = 4 \, cm$.
$r^2 + h^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$ ની ગણતરી કરતા.
$l^2 = 4^2 = 16$ ની ગણતરી કરતા.
અહીં $16 \neq 34$ હોવાથી,આપેલ માપ એક કાટકોણ શંકુ બનાવી શકે નહીં,કારણ કે ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં તિર્યક ઊંચાઈ સૌથી મોટી બાજુ હોવી જોઈએ.

(A) ધારો કે બે ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4\pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર $\frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{81}{49}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{81}{49}} = \frac{9}{7}$ મળે છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ થાય.
ત્રિજ્યાઓના ગુણોત્તરની કિંમત મૂકતા,આપણને $\left(\frac{9}{7}\right)^3 = \frac{9^3}{7^3} = \frac{729}{343}$ મળે છે.
આમ,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(B) સમઘનનું પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $(LSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $LSA = 4a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ ધારની લંબાઈ છે.
અહીં,ધાર $a = 5 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$LSA = 4 \times (5)^2$
$LSA = 4 \times 25$
$LSA = 100 \, cm^2$.
વિધાનમાં પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $150 \, cm^2$ આપેલ છે,જે ખોટું છે.
તેથી,આ વિધાન ખોટું છે.

(TRUE) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર છે: $V = \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઊંચાઈ}$.
આપેલ છે:
પાયાનું ક્ષેત્રફળ = $154 \, cm^{2}$
ઊંચાઈ = $20 \, cm$
ઘનફળની ગણતરી કરતા:
$V = 154 \, cm^{2} \times 20 \, cm = 3080 \, cm^{3}$.
ગણતરી કરેલ ઘનફળ આપેલ મૂલ્ય સાથે મેળ ખાતું હોવાથી, આ વિધાન ખરું છે.

(B) $l \times b \times h$ માપ ધરાવતા લંબઘન બોક્સમાં મૂકી શકાય તેવા સૌથી લાંબા સળિયાની લંબાઈ વિકર્ણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $d = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$.
અહીં આપેલ માપ $l = 12\, cm$,$b = 4\, cm$ અને $h = 3\, cm$ છે.
વિકર્ણની ગણતરી કરતા: $d = \sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13\, cm$.
બોક્સની અંદર સમાઈ શકે તેવા સળિયાની મહત્તમ લંબાઈ $13\, cm$ છે.
સળિયાની લંબાઈ $15\, cm$ છે અને $15\, cm > 13\, cm$ હોવાથી,સળિયો બોક્સમાં સમાઈ શકશે નહીં.
તેથી,આ વિધાન ખોટું છે.

(B) નળાકારની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = 2\pi rh$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $r = 10\, cm$,$A = 440\, cm^{2}$ અને $\pi = 22/7$ લેતા.
કિંમતો મૂકતા: $440 = 2 \times (22/7) \times 10 \times h$.
$440 = (440/7) \times h$.
$h = (440 \times 7) / 440$.
$h = 7\, cm$.
તેથી,નળાકારની ઊંચાઈ $7\, cm$ છે.

(C) લંબાઈની ધાર ધરાવતા સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$TSA = 6a^2$
અહીં આપેલ છે કે $TSA = 864 \, cm^2$,તેથી આપણે સમીકરણ બનાવી શકીએ:
$6a^2 = 864$
બંને બાજુ $6$ વડે ભાગતા:
$a^2 = \frac{864}{6}$
$a^2 = 144$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$a = \sqrt{144}$
$a = 12 \, cm$
આમ,સમઘનની ધાર $12 \, cm$ છે.

(D) લંબઘનનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર: $V = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}$.
આપેલ છે:
લંબાઈ $(l)$ = $30 \, cm$
પહોળાઈ $(b)$ = $20 \, cm$
ઊંચાઈ $(h)$ = $15 \, cm$
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$V = 30 \, cm \times 20 \, cm \times 15 \, cm$
$V = 600 \, cm^2 \times 15 \, cm$
$V = 9000 \, cm^3$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $CSA = 2\pi r^{2}$ છે.
આપેલ છે કે,$2\pi r^{2} = 306 \, cm^{2}$.
અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $TSA = 3\pi r^{2}$ છે.
આપણે $TSA$ ને $CSA$ ના સંદર્ભમાં આ રીતે લખી શકીએ: $TSA = \frac{3}{2} \times (2\pi r^{2})$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $TSA = \frac{3}{2} \times 306$.
$TSA = 3 \times 153 = 459 \, cm^{2}$.
તેથી,કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $459 \, cm^{2}$ થાય.

(B) ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $r = 4x$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $l = 7x$ છે.
શંકુનું વક્ર પૃષ્ઠફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $\pi rl$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$CSA = \pi(4x)(7x) = 28\pi x^2$.
શંકુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $\pi r(r + l)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$TSA = \pi(4x)(4x + 7x) = \pi(4x)(11x) = 44\pi x^2$.
કુલ પૃષ્ઠફળ અને વક્ર પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર $\frac{TSA}{CSA} = \frac{44\pi x^2}{28\pi x^2} = \frac{44}{28} = \frac{11}{7}$ થાય.
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $11:7$ છે.

(C) ગોલકનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
આપેલ છે કે $V = 4500 \pi \text{ cm}^3$,તેથી:
$\frac{4}{3} \pi r^3 = 4500 \pi$
$r^3 = 4500 \times \frac{3}{4}$
$r^3 = 1125 \times 3 = 3375$
$r = \sqrt[3]{3375} = 15 \text{ cm}$.
વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 15 = 30 \text{ cm}$ થાય.

(D) ધારો કે બે નળાકારની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે અને તેમની ઊંચાઈ $h_1$ અને $h_2$ છે. આપેલ છે કે $h_1 = h_2 = h$ અને $r_1:r_2 = 4:5$.
નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h}{\pi r_2^2 h} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તરની કિંમત મૂકતા: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$.
તેથી,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $16:25$ થાય.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, m = 100 \, cm$.
તેથી,$1 \, m^3 = (100 \, cm) \times (100 \, cm) \times (100 \, cm) = 1,000,000 \, cm^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{લિટર}$,તેથી $1 \, cm^3 = \frac{1}{1000} \, \text{લિટર}$ લખી શકાય.
આમ,$1,000,000 \, cm^3 = \frac{1,000,000}{1000} \, \text{લિટર} = 1000 \, \text{લિટર}$.
તેથી,$1 \, m^3 = 1000 \, \text{લિટર}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ litre}$ એ $10 \text{ cm}$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમઘનનું ઘનફળ છે.
સમઘનનું ઘનફળ $(\text{બાજુ})^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી:
$1 \text{ litre} = (10 \text{ cm})^3 = 10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} = 1000 \text{ cm}^3$.
આમ,$1 \text{ litre} = 1000 \text{ cm}^3$ થાય.

(C) ધારો કે બે નળાકારની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે,અને તેમની ઊંચાઈઓ $h_1$ અને $h_2$ છે.
આપેલ છે કે $r_1:r_2 = 3:2$ અને $h_1:h_2 = 8:11$.
નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
બંને નળાકારના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \times \left(\frac{8}{11}\right) = \frac{9}{4} \times \frac{8}{11}$.
પરિણામની ગણતરી કરતા: $\frac{9 \times 8}{4 \times 11} = \frac{72}{44} = \frac{18}{11}$.
આમ,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $18:11$ છે.

(D) શંકુની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $TSA = \pi r(r + l)$,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ તિર્યક ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $r = 5 \, cm$ અને $l = 9 \, cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$TSA = \pi \times 5 \times (5 + 9)$
$TSA = \pi \times 5 \times 14$
$TSA = 70 \pi \, cm^2$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા:
$TSA = 70 \times \frac{22}{7} = 10 \times 22 = 220 \, cm^2$.
આમ,શંકુની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $220 \, cm^2$ છે.

(A) આપેલ છે કે,નક્કર અર્ધગોલકનો વ્યાસ $d = 21 \, cm$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{21}{2} \, cm = 10.5 \, cm$ થાય.
અર્ધગોલકના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{2}{3} \pi r^3$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (10.5)^3$ મળે.
$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 \times 10.5$.
$V = \frac{44}{21} \times 1157.625$.
$V = 2425.5 \, cm^3$.

(B) ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ $x \ cm$ છે.
સમઘનનું પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $S = 6x^2 \ cm^2$ છે.
સમઘનનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = x^3 \ cm^3$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળના આંકડાકીય મૂલ્યો સમાન છે:
$6x^2 = x^3$
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા (કારણ કે $x \neq 0$):
$6 = x$
તેથી,સમઘનની બાજુની લંબાઈ $6 \ cm$ છે.

(C) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $V = 616 \, cm^3$ અને $h = 12 \, cm$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા:
$616 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times r^2 \times 12$
$616 = 4 \times \frac{22}{7} \times r^2$
$616 = \frac{88}{7} \times r^2$
$r^2 = \frac{616 \times 7}{88}$
$r^2 = 7 \times 7 = 49$
$r = 7 \, cm$.
વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 7 = 14 \, cm$ થાય.

(D) ધારો કે બે ગોળાઓના વ્યાસ $d_1$ અને $d_2$ છે. આપેલ છે કે $d_1 : d_2 = 3 : 5$.
ત્રિજ્યા $r = d/2$ હોવાથી,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2$ પણ $3 : 5$ થશે.
ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
બે ગોળાઓના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $\left( \frac{3}{5} \right)^3 = \frac{27}{125}$ મળે છે.
તેથી,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $27 : 125$ છે.

(A) સમઘનને $6$ સમાન ચોરસ બાજુઓ હોય છે.
જો સમઘનની દરેક ધારની લંબાઈ $a$ હોય,તો એક બાજુનું ક્ષેત્રફળ $a \times a = a^{2}$ થાય.
આવી $6$ બાજુઓ હોવાથી,સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $6 \times a^{2} = 6 a^{2}$ થાય.

(B) લંબઘનને $6$ લંબચોરસ સપાટીઓ હોય છે.
ધારો કે લંબાઈ $l$,પહોળાઈ $b$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
સામેની સપાટીઓનું ક્ષેત્રફળ $(l \times b)$,$(b \times h)$ અને $(h \times l)$ થાય છે.
દરેક સપાટી બબ્બે હોવાથી,કુલ પૃષ્ઠફળ $2(lb + bh + hl)$ થાય છે.

(C) શંકુની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ તેના વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ અને તેની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$1$. વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2$ છે.
$2$. શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi r l$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ તિર્યક ઊંચાઈ છે.
$3$. કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $\text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} + \text{વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} = \pi r^2 + \pi r l$.
$4$. $\pi r$ સામાન્ય લેતા,આપણને $\pi r(r + l)$ અથવા $\pi r(l + r)$ મળે છે.

(D) સમઘનને કુલ $6$ બાજુઓ હોય છે. પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ એટલે ઉપરની અને નીચેની બાજુઓને બાદ કરતાં બાકીની ચાર બાજુઓનું ક્ષેત્રફળ. જો સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ હોય,તો એક બાજુનું ક્ષેત્રફળ $a^{2}$ થાય. તેથી,પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $4 \times a^{2} = 4 a^{2}$ થાય.

(A) નળાકારની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ બે વર્તુળાકાર પાયાના ક્ષેત્રફળ અને વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
બે વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\pi r^2) = 2 \pi r^2$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi rh$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r^2 + 2 \pi rh$.
$2 \pi r$ સામાન્ય લેતા,આપણને $2 \pi r(r + h)$ અથવા $2 \pi r(h + r)$ મળે છે.

(B) અર્ધગોલક એ ગોલકનો અડધો ભાગ છે. ગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $4 \pi r^{2}$ છે.
તેથી,અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ ગોલકની સપાટીના ક્ષેત્રફળ કરતાં અડધું હોય છે.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 4 \pi r^{2} = 2 \pi r^{2}$.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^{2}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) લંબઘનનું પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ એટલે તેની ચાર ઊભી બાજુઓનું કુલ ક્ષેત્રફળ (ઉપરની અને નીચેની સપાટીને બાદ કરતાં).
જો લંબઘનની લંબાઈ $l$,પહોળાઈ $b$ અને ઊંચાઈ $h$ હોય,તો ચાર ઊભી બાજુઓનું ક્ષેત્રફળ એ પાયાની પરિમિતિ અને ઊંચાઈના ગુણાકાર જેટલું થાય છે.
પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $= (2l + 2b) \times h = 2h(l + b)$.

(A) શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\pi r l$ છે,જ્યાં $r$ એ પાયાની ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ છે.

(B) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ તેના પાયાના પરિઘ $(2 \pi r)$ ને તેની ઊંચાઈ $(h)$ સાથે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે.
તેથી,નળાકારની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $2 \pi r h$ છે.

(C) અર્ધગોલક એ ગોલકનો અડધો ભાગ છે. અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2 \pi r^{2}$ છે.
અર્ધગોલકનો પાયો એક વર્તુળ છે જેનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^{2}$ છે.
તેથી,અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ અને પાયાના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે:
$\text{કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} = 2 \pi r^{2} + \pi r^{2} = 3 \pi r^{2}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, m = 100 \, cm$.
તેથી,$1 \, m^{2} = 1 \, m \times 1 \, m$.
$1 \, m$ ની કિંમત સેન્ટિમીટરમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$1 \, m^{2} = (100 \, cm) \times (100 \, cm) = 10000 \, cm^{2}$.
આમ,$1 \, m^{2} = 10000 \, cm^{2}$.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,$1$ હેક્ટર એટલે $100$ મીટરની બાજુ ધરાવતા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ.
તેથી,$1$ હેક્ટર $= 100 \text{ } m \times 100 \text{ } m = 10000 \text{ } m^{2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $1\, m = 100\, cm$.
તેથી,$1\, m^{3} = (1\, m) \times (1\, m) \times (1\, m)$.
$1\, m$ ની કિંમત સેન્ટિમીટરમાં મૂકતા: $1\, m^{3} = (100\, cm) \times (100\, cm) \times (100\, cm)$.
$1\, m^{3} = 100 \times 100 \times 100\, cm^{3}$.
$1\, m^{3} = 1000000\, cm^{3}$.

(C) કોઈપણ લંબવૃત્તીય શંકુમાં,તેની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$,પાયાની ત્રિજ્યા $(r)$ અને શિરોલંબ ઊંચાઈ $(h)$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
તેથી,$l^{2} = r^{2} + h^{2}$.

(D) સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $6a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ ધારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે,$a = 7\, cm$.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6 \times (7)^2$
$= 6 \times 49$
$= 294\, cm^2$.

(A) સમઘનનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = a^3$ છે,જ્યાં $a$ એ સમઘનની ધારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે,સમઘનની ધાર $a = 12 \, cm$ છે.
તેથી,ઘનફળ $V = (12 \, cm)^3 = 12 \times 12 \times 12 \, cm^3$.
$V = 144 \times 12 \, cm^3 = 1728 \, cm^3$.
આમ,સમઘનનું ઘનફળ $1728 \, cm^3$ છે.

(B) લંબઘન પેટીના પરિમાણો લંબાઈ $(l)$ = $25 \, cm$,પહોળાઈ $(b)$ = $15 \, cm$ અને ઊંચાઈ $(h)$ = $8 \, cm$ છે.
લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $2(lb + bh + lh)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
કુલ પૃષ્ઠફળ = $2(25 \times 15 + 15 \times 8 + 25 \times 8)$
કુલ પૃષ્ઠફળ = $2(375 + 120 + 200)$
કુલ પૃષ્ઠફળ = $2(695)$
કુલ પૃષ્ઠફળ = $1390 \, cm^2$.

(C) આપેલ છે: ગોળાનો વ્યાસ $(d)$ = $14 \, cm$.
ગોળાની ત્રિજ્યા $(r)$ = $d / 2 = 14 / 2 = 7 \, cm$.
ગોળાના પૃષ્ઠફળનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $A = 4 \times (22 / 7) \times (7)^2$.
$A = 4 \times (22 / 7) \times 49$.
$A = 4 \times 22 \times 7$.
$A = 88 \times 7 = 616 \, cm^2$.

(D) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $(r)$ = $7 \, cm$
ઊંચાઈ $(h)$ = $30 \, cm$
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 \times 30$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 30$
$V = 22 \times 7 \times 10$
$V = 1540 \, cm^3$.