Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Gujarati

(D) ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $S = 4 \pi r^2$ છે.
ધારો કે ત્રણ ગોળાઓની ત્રિજ્યા $r_1 = 33 \, cm$,$r_2 = 44 \, cm$ અને $r_3 = 48 \, cm$ છે.
ધારો કે ચોથા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ચોથા ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ત્રણ ગોળાઓની સપાટીના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું છે:
$4 \pi R^2 = 4 \pi r_1^2 + 4 \pi r_2^2 + 4 \pi r_3^2$
બંને બાજુ $4 \pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$R^2 = r_1^2 + r_2^2 + r_3^2$
$R^2 = (33)^2 + (44)^2 + (48)^2$
$R^2 = 1089 + 1936 + 2304$
$R^2 = 5329$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$R = \sqrt{5329} = 73 \, cm$.
આમ,ચોથા ગોળાની ત્રિજ્યા $73 \, cm$ છે.

(A) દરેક લોખંડના પોલા બોક્સ માટે: લંબાઈ $(l) = 30 \, cm$,પહોળાઈ $(b) = 15 \, cm$ અને ઊંચાઈ $(h) = 10 \, cm$.
દરેક લંબઘનનું ઘનફળ $= l \times b \times h$.
$= 30 \times 15 \times 10 \, cm^3 = 4500 \, cm^3$.
તેથી,$60$ આવા લોખંડના બોક્સ ધરાવતા કાર્ટનનું ઘનફળ $= 60 \times 4500 \, cm^3$.
$= 2,70,000 \, cm^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, m^3 = 1,000,000 \, cm^3$,તેથી ઘનફળને ઘન મીટરમાં ફેરવતા:
$= \frac{2,70,000}{1,000,000} \, m^3 = 0.27 \, m^3$.

(A) આપેલ છે કે,સમઘનની ધાર $a = 6 \, cm$ છે.
$1$. સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ:
સૂત્ર: $TSA = 6a^2$
$TSA = 6 \times (6)^2 = 6 \times 36 = 216 \, cm^2$.
$2$. સમઘનનું ઘનફળ:
સૂત્ર: $V = a^3$
$V = (6)^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216 \, cm^3$.

(C) આપેલ ઓરડા માટે,પરિમાણો છે: લંબાઈ $(l) = 12 \, m$,પહોળાઈ $(b) = 4 \, m$ અને ઊંચાઈ $(h) = 3 \, m$.
ઓરડામાં મૂકી શકાય તેવા સૌથી લાંબા સળિયાની લંબાઈ એ લંબઘનના વિકર્ણની લંબાઈ જેટલી હોય છે.
વિકર્ણની લંબાઈનું સૂત્ર $d = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2} \, m$
$d = \sqrt{144 + 16 + 9} \, m$
$d = \sqrt{169} \, m$
$d = 13 \, m$.
આમ,સૌથી લાંબા સળિયાની લંબાઈ $13 \, m$ છે.

(N/A) ધારો કે લંબઘનની લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ અનુક્રમે $l \, cm$,$b \, cm$ અને $h \, cm$ છે.
એક શિરોબિંદુએ મળતી ત્રણ પાસપાસેની સપાટીઓના ક્ષેત્રફળ $lb$,$bh$ અને $hl$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$lb = 700 \, cm^2$ --- $(i)$
$bh = 300 \, cm^2$ --- $(ii)$
$hl = 525 \, cm^2$ --- $(iii)$
$(i)$,$(ii)$ અને $(iii)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$(lb) \times (bh) \times (hl) = 700 \times 300 \times 525$
$l^2 b^2 h^2 = 110,250,000$
$(lbh)^2 = (10,500)^2$
$lbh = 10,500 \, cm^3$ (આ લંબઘનનું ઘનફળ છે).
પરિમાણો શોધવા માટે:
$(i)$ અને $(iii)$ પરથી,$lb = 700$ અને $hl = 525$. $(i)$ ને $(iii)$ વડે ભાગતા $b/h = 700/525 = 4/3$ મળે,તેથી $b = 4h/3$.
$b$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$(4h/3) \times h = 300$
$h^2 = 300 \times 3 / 4 = 225$
$h = 15 \, cm$.
હવે,$b = 4(15)/3 = 20 \, cm$.
અને $l = 700/20 = 35 \, cm$.
આમ,લંબઘનના પરિમાણો $35 \, cm$,$20 \, cm$ અને $15 \, cm$ છે અને તેનું ઘનફળ $10,500 \, cm^3$ છે.

(A) આપેલ છે કે, ટાંકીની ક્ષમતા = $60,000$ લિટર.
$1$ મીટર$^3 = 1,000$ લિટર હોવાથી, ટાંકીનું ઘનફળ મીટર$^3$ માં $60,000 / 1,000 = 60$ મીટર$^3$ થાય.
લંબઘનનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $60 = 5 \times 4 \times h$.
$60 = 20 \times h$.
$h = 60 / 20 = 3$ મીટર.
તેથી, ટાંકીની ઊંચાઈ $3$ મીટર છે.

(B) $1$. ટાંકીનું કુલ ઘનફળ શોધો: $V = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = 20\, \text{મીટર} \times 13\, \text{મીટર} \times 10\, \text{મીટર} = 2600\, \text{મીટર}^3$.
$2$. ઘનફળને લીટરમાં ફેરવો: $1\, \text{મીટર}^3 = 1000\, \text{લીટર}$ હોવાથી, કુલ ક્ષમતા $2600 \times 1000 = 2,600,000\, \text{લીટર}$ થાય.
$3$. ગામની દૈનિક પાણીની જરૂરિયાત શોધો: $5000 \times 130\, \text{લીટર/દિવસ} = 650,000\, \text{લીટર/દિવસ}$.
$4$. પાણી કેટલા દિવસ ચાલશે તે શોધો: $\frac{2,600,000}{650,000} = 4\, \text{દિવસ}$.

(N/A) ધારો કે સમઘનની બાજુનું માપ $a$ છે. સમઘનનું ઘનફળ $V = a^{3}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $a^{3} = 3375\, cm^{3}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$a = \sqrt[3]{3375} = 15\, cm$.
સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $TSA = 6a^{2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$TSA = 6 \times (15)^{2} = 6 \times 225 = 1350\, cm^{2}$.
આમ,સમઘનની બાજુનું માપ $15\, cm$ અને કુલ પૃષ્ઠફળ $1350\, cm^{2}$ છે.

(N/A) ધારો કે લંબાઈ $l = 30\, cm$,પહોળાઈ $b = 25\, cm$ અને ઊંચાઈ $h\, cm$ છે.
લંબઘનનું પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $(LSA)$ $= 2h(l + b) = 2h(30 + 25) = 110h\, cm^2$.
લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ $= 2(lb + bh + lh) = 2(30 \times 25 + 25h + 30h) = 2(750 + 55h) = 1500 + 110h\, cm^2$.
પ્રશ્ન મુજબ,$TSA = 2 \times LSA$.
$1500 + 110h = 2(110h)$.
$1500 + 110h = 220h$.
$110h = 1500$.
$h = \frac{1500}{110} = \frac{150}{11}\, cm$.
ઘનફળ $V = l \times b \times h = 30 \times 25 \times \frac{150}{11} = 750 \times \frac{150}{11} = \frac{112500}{11}\, cm^3$.

(N/A) $a, b, c$ પરિમાણો ધરાવતા લંબઘનનું ઘનફળ $V = abc$ છે.
લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $S = 2(ab + bc + ca)$ છે.
હવે,પદની જમણી બાજુ $(RHS)$ ધ્યાનમાં લો:
$RHS = \frac{2}{S} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$
$S$ ની કિંમત મૂકતા:
$RHS = \frac{2}{2(ab + bc + ca)} \left( \frac{bc + ac + ab}{abc} \right)$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$RHS = \frac{1}{ab + bc + ca} \cdot \frac{ab + bc + ca}{abc}$
સામાન્ય પદ $(ab + bc + ca)$ ને છેદતા:
$RHS = \frac{1}{abc}$
કારણ કે $V = abc$,તેથી:
$RHS = \frac{1}{V}$
આમ,$\frac{1}{V} = \frac{2}{S} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે લંબઘનના પરિમાણો $l, b$ અને $h$ છે. ત્રણ પાસપાસેની સપાટીઓના ક્ષેત્રફળ $lb = 4000$,$bh = 2000$ અને $hl = 3200$ આપેલા છે.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા: $(lb)(bh)(hl) = 4000 \times 2000 \times 3200$.
$(lbh)^2 = 25,600,000,000$.
$lbh = \sqrt{25,600,000,000} = 160,000 \, cm^3$.
હવે,પરિમાણો શોધવા માટે:
$l = (lbh) / (bh) = 160,000 / 2000 = 80 \, cm$.
$b = (lbh) / (hl) = 160,000 / 3200 = 50 \, cm$.
$h = (lbh) / (lb) = 160,000 / 4000 = 40 \, cm$.
આમ,લંબઘનના પરિમાણો $80 \, cm, 50 \, cm, 40 \, cm$ છે અને તેનું ઘનફળ $160,000 \, cm^3$ છે.

(C) ધારો કે લંબઘનની બાજુઓ $4x$,$3x$ અને $1x$ છે.
લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર: $TSA = 2(lb + bh + lh)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $3800 = 2((4x)(3x) + (3x)(x) + (4x)(x))$.
$3800 = 2(12x^{2} + 3x^{2} + 4x^{2})$.
$3800 = 2(19x^{2})$.
$3800 = 38x^{2}$.
$x^{2} = 100$,જેનો અર્થ છે કે $x = 10 \, cm$.
તેથી બાજુઓ $4(10) = 40 \, cm$,$3(10) = 30 \, cm$ અને $1(10) = 10 \, cm$ છે.
લંબઘનનું ઘનફળ $V = l \times b \times h = 40 \times 30 \times 10 = 12,000 \, cm^{3}$ થાય.

(A) $1$. લંબઘનનું ઘનફળ = $\text{લંબાઈ }\times \text{પહોળાઈ }\times \text{ઊંચાઈ }= 5 \,cm \times 4 \,cm \times 3 \,cm = 60 \,cm^3$.
$2$. એક સમઘનનું ઘનફળ = $(\text{બાજુ})^3 = (1 \,cm)^3 = 1 \,cm^3$.
$3$. સમઘનોની સંખ્યા = $\frac{\text{લંબઘનનું ઘનફળ}}{\text{એક સમઘનનું ઘનફળ}} = \frac{60 \,cm^3}{1 \,cm^3} = 60$.
$4$. લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ = $2(lb + bh + lh) = 2(5 \times 4 + 4 \times 3 + 3 \times 5) = 2(20 + 12 + 15) = 2(47) = 94 \,cm^2$.
$5$. એક સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ = $6(\text{બાજુ})^2 = 6(1)^2 = 6 \,cm^2$.
$6$. $60$ સમઘનોનું કુલ પૃષ્ઠફળ = $60 \times 6 \,cm^2 = 360 \,cm^2$.
$7$. ગુણોત્તર = $\frac{94}{360} = \frac{47}{180}$ અથવા $47:180$.

(A) આપેલ છે:
લંબાઈ $(l)$ = $10\, cm$
પહોળાઈ $(b)$ = $6\, cm$
ઊંચાઈ $(h)$ = $4\, cm$
ઘનતા $( ho)$ = $7.8\, g/cm^3$
પગલું $1$: લંબઘનનું ઘનફળ $(V)$ શોધો.
$V = l \times b \times h$
$V = 10\, cm \times 6\, cm \times 4\, cm = 240\, cm^3$
પગલું $2$: લંબઘનનું દળ $(m)$ શોધો.
દળ = ઘનતા $\times$ ઘનફળ
$m = 7.8\, g/cm^3 \times 240\, cm^3$
$m = 1872\, g$
આમ,લંબઘનનું દળ $1872\, g$ છે.

(B) ધારો કે ચોથા સમઘનની ધાર $x\, cm$ છે.
સમઘનનું ઘનફળ $V = a^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ સમઘનનું ઘનફળ $1^3 = 1\, cm^3$,$9^3 = 729\, cm^3$ અને $10^3 = 1000\, cm^3$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$9\, cm$ અને $10\, cm$ ધારવાળા સમઘનનું કુલ ઘનફળ એ $1\, cm$ અને $x\, cm$ ધારવાળા સમઘનના ઘનફળના સરવાળા જેટલું છે.
તેથી,$9^3 + 10^3 = 1^3 + x^3$.
$729 + 1000 = 1 + x^3$.
$1729 = 1 + x^3$.
$x^3 = 1728$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$x = \sqrt[3]{1728} = 12\, cm$.
આમ,ચોથા સમઘનની ધાર $12\, cm$ છે.

(C) નક્કર નળાકાર માટે આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $(r) = 7 \, cm$
ઘનફળ $(V) = 4620 \, cm^{3}$
નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^{2} h$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$4620 = \frac{22}{7} \times (7)^{2} \times h$
$4620 = \frac{22}{7} \times 49 \times h$
$4620 = 22 \times 7 \times h$
$4620 = 154 \times h$
ઊંચાઈ $(h)$ શોધતા:
$h = \frac{4620}{154}$
$h = 30 \, cm$
આમ,નળાકારની ઊંચાઈ $30 \, cm$ છે.

(D) નળાકાર માટે આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r) = 14 \, cm$ અને વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA) = 4400 \, cm^2$.
નળાકારની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $CSA = 2 \pi r h$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $4400 = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times h$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $4400 = 2 \times 22 \times 2 \times h = 88 \times h$.
તેથી,$h = \frac{4400}{88} = 50 \, cm$.
નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 50$.
$V = 22 \times 2 \times 14 \times 50 = 44 \times 700 = 30800 \, cm^3$.

(N/A) નળાકાર માટે આપેલ છે:
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $= 3960 \, cm^{2}$
ઘનફળ $(V)$ $= 41580 \, cm^{3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે:
$CSA = 2 \pi r h = 3960 \, cm^{2}$ --- $(1)$
$V = \pi r^{2} h = 41580 \, cm^{3}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{V}{CSA} = \frac{\pi r^{2} h}{2 \pi r h} = \frac{41580}{3960}$
$\frac{r}{2} = 10.5$
$r = 21 \, cm$
હવે,$r = 21 \, cm$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times h = 3960$
$2 \times 22 \times 3 \times h = 3960$
$132 \times h = 3960$
$h = \frac{3960}{132} = 30 \, cm$
આમ,નળાકારની ત્રિજ્યા $21 \, cm$ અને ઊંચાઈ $30 \, cm$ છે.

(B) એક નળાકાર સિક્કા માટે:
ત્રિજ્યા $(r) = 1.4 \, cm = \frac{14}{10} \, cm$
ઊંચાઈ $(h) = 0.1 \, cm = \frac{1}{10} \, cm$
એક સિક્કાનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (\frac{14}{10})^2 \times \frac{1}{10} \, cm^3$
$= \frac{22}{7} \times \frac{196}{100} \times \frac{1}{10} = \frac{22 \times 28}{1000} = \frac{616}{1000} \, cm^3 = 0.616 \, cm^3$
આવા $60$ સિક્કાઓને એકબીજા પર ગોઠવીને મોટો નળાકાર બનાવવામાં આવે છે,તેથી કુલ ઘનફળ:
કુલ ઘનફળ $= 60 \times 0.616 \, cm^3 = 36.96 \, cm^3$.

(C) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $(r) = 10 \, cm$
ઊંચાઈ $(h) = 20 \, cm$
$\pi = 3.14$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = 3.14 \times (10)^2 \times 20$
$V = 3.14 \times 100 \times 20$
$V = 314 \times 20$
$V = 6280 \, cm^3$
તેથી,નળાકારનું ઘનફળ $6280 \, cm^3$ છે.

(A) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $r = 3.5\,cm = \frac{7}{2}\,cm$ અને $V = 2310\,cm^3$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2310 = \frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^2 \times h$
$2310 = \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times h$
$2310 = \frac{11 \times 7}{2} \times h$
$2310 = 38.5 \times h$
$h = \frac{2310}{38.5} = 60\,cm$.
તેથી,નળાકારની ઊંચાઈ $60\,cm$ છે.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 70 \,cm = 0.7 \,m$ અને ઊંચાઈ $h = 1.5 \,m$.
નળાકારનું ઘનફળ $V$ શોધવાનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{22}{7} \times (0.7)^2 \times 1.5$.
$V = \frac{22}{7} \times 0.49 \times 1.5 = 22 \times 0.07 \times 1.5 = 1.54 \times 1.5 = 2.31 \,m^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \,m^3 = 1000 \,\text{લિટર}$,તેથી ટાંકીની ક્ષમતા $2.31 \times 1000 = 2310 \,\text{લિટર}$ થશે.

(C) આપેલ છે:
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ = $8800 \, cm^2$
ત્રિજ્યા $(r)$ = $28 \, cm$
નળાકારની વક્ર સપાટીનું સૂત્ર = $2 \pi r h$
$2 \times \frac{22}{7} \times 28 \times h = 8800$
$2 \times 22 \times 4 \times h = 8800$
$176 \times h = 8800$
$h = \frac{8800}{176} = 50 \, cm$
હવે,નળાકારનું ઘનફળ = $\pi r^2 h$
ઘનફળ = $\frac{22}{7} \times 28 \times 28 \times 50$
ઘનફળ = $22 \times 4 \times 28 \times 50$
ઘનફળ = $88 \times 1400 = 1,23,200 \, cm^3$.

(D) ડૂબાડવામાં આવેલા લંબઘનનું ઘનફળ $V = 22\, cm \times 16\, cm \times 7\, cm = 2464\, cm^3$ છે.
જ્યારે લંબઘનને ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે વિસ્થાપિત થયેલા પાણીનું ઘનફળ લંબઘનના ઘનફળ જેટલું હોય છે.
ધારો કે પાણીની સપાટીમાં થતો વધારો $h\, cm$ છે.
નળાકાર પાત્રમાં વિસ્થાપિત થયેલા પાણીનું ઘનફળ $\pi r^2 h$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 14\, cm$ છે.
તેથી,$\pi r^2 h = 2464$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$\frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times h = 2464$.
$22 \times 2 \times 14 \times h = 2464$.
$616 \times h = 2464$.
$h = \frac{2464}{616} = 4\, cm$.
આમ,પાણીની સપાટીમાં થતો વધારો $4\, cm$ છે.

(A) આપેલ છે કે કાગળનો ટુકડો ચોરસ છે જેની બાજુની લંબાઈ $s = 44 \, cm$ છે.
જ્યારે તેને તેની લંબાઈની દિશામાં વાળીને નળાકાર બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે કાગળની લંબાઈ નળાકારના પાયાનો પરિઘ બને છે.
તેથી,પરિઘ $C = 2 \pi r = 44 \, cm$.
$\pi = 22/7$ લેતા,$2 \times (22/7) \times r = 44$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $(44/7) \times r = 44$,જે આપણને $r = 7 \, cm$ આપે છે.
નળાકારની ઊંચાઈ $h$ એ ચોરસની બાજુ જેટલી જ રહેશે,તેથી $h = 44 \, cm$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = (22/7) \times (7)^2 \times 44$.
$V = (22/7) \times 49 \times 44 = 22 \times 7 \times 44$.
$V = 154 \times 44 = 6776 \, cm^3$.

(B) આપેલ છે: પાયાનો પરિઘ $(C)$ = $440\, cm$,ઊંચાઈ $(h)$ = $80\, cm$.
પગલું $1$: $C = 2\pi r$ નો ઉપયોગ કરીને ત્રિજ્યા $(r)$ શોધો.
$440 = 2 \times (22/7) \times r$
$r = (440 \times 7) / 44 = 70\, cm$.
પગલું $2$: માપને મીટરમાં $(m)$ ફેરવો: $r = 0.7\, m$,$h = 0.8\, m$.
પગલું $3$: $V = \pi r^2 h$ નો ઉપયોગ કરીને ઘનફળ $(V)$ શોધો.
$V = (22/7) \times (0.7)^2 \times 0.8$
$V = (22/7) \times 0.49 \times 0.8$
$V = 22 \times 0.07 \times 0.8 = 1.232\, m^3$.

(C) આપેલ છે: નળીની જાડાઈ = $5 \, mm = 0.5 \, cm$. આંતરિક ત્રિજ્યા $(r)$ = $10 \, cm / 2 = 5 \, cm$. લંબાઈ $(h)$ = $70 \, cm$. બાહ્ય ત્રિજ્યા $(R)$ = $r + \text{જાડાઈ} = 5 \, cm + 0.5 \, cm = 5.5 \, cm$. ધાતુનું ઘનફળ = $\pi(R^2 - r^2)h = \frac{22}{7} \times ((5.5)^2 - (5)^2) \times 70 = 22 \times (30.25 - 25) \times 10 = 22 \times 5.25 \times 10 = 1155 \, cm^3$. દળ = $\text{ઘનફળ} \times \text{ઘનતા} = 1155 \, cm^3 \times 8 \, g/cm^3 = 9240 \, g$.

(D) $1$. કૂવામાંથી બહાર કાઢેલી માટીનું ઘનફળ નળાકારના ઘનફળ જેટલું હોય છે: $V = \pi r^2 h$.
$2$. આપેલ વ્યાસ $d = 14\, m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 7\, m$. ઊંડાઈ $h = 50\, m$.
$3$. $V = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 50 = 22 \times 7 \times 50 = 7700\, m^3$.
$4$. આ માટીને $110\, m \times 100\, m = 11000\, m^2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબચોરસ ખેતરમાં પાથરવામાં આવે છે.
$5$. ધારો કે ઊંચાઈમાં થતો વધારો $H$ છે. તેથી,$V = A \times H$.
$6$. $7700 = 11000 \times H$.
$7$. $H = \frac{7700}{11000} = 0.7\, m$.
$8$. સેમીમાં ફેરવતા: $0.7 \times 100 = 70\, cm$.

(A) આપેલ શંકુ માટે:
ત્રિજ્યા $(r) = 10 \, cm$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = 26 \, cm$.
સંબંધ $l^2 = r^2 + h^2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ઊંચાઈ $(h)$ શોધીએ:
$h^2 = l^2 - r^2$
$h^2 = (26)^2 - (10)^2$
$h^2 = 676 - 100 = 576$
$h = \sqrt{576} = 24 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
$V = \frac{1}{3} \times 3.14 \times (10)^2 \times 24$
$V = 3.14 \times 100 \times 8$
$V = 314 \times 8 = 2512 \, cm^3$.

(B) શંકુ માટે આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r) = 7 \, cm$ અને વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 550 \, cm^2$.
શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\pi r l$ છે.
તેથી,$550 = \frac{22}{7} \times 7 \times l$.
$550 = 22 \times l \implies l = \frac{550}{22} = 25 \, cm$.
સંબંધ $l^2 = r^2 + h^2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ઊંચાઈ $(h)$ શોધીએ છીએ:
$h^2 = l^2 - r^2 = (25)^2 - (7)^2 = 625 - 49 = 576$.
$h = \sqrt{576} = 24 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24$.
$V = 22 \times 7 \times 8 = 1232 \, cm^3$.

(C) આપેલ શંકુ માટે,વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 423.9 \, cm^2$ છે.
ત્રિજ્યા : તિર્યક ઊંચાઈ $= 3:5$.
ધારો કે ત્રિજ્યા $r = 3x \, cm$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $l = 5x \, cm$ છે.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi rl$ છે.
તેથી,$423.9 = 3.14 \times 3x \times 5x$.
$423.9 = 3.14 \times 15x^2$.
$x^2 = \frac{423.9}{47.1} = 9$.
તેથી,$x = 3$.
આમ,ત્રિજ્યા $r = 3(3) = 9 \, cm$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $l = 5(3) = 15 \, cm$ મળે.
સંબંધ $l^2 = h^2 + r^2$ નો ઉપયોગ કરીને,ઊંચાઈ $h$ શોધીએ:
$h^2 = l^2 - r^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$.
$h = \sqrt{144} = 12 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
$V = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 9^2 \times 12$.
$V = 3.14 \times 81 \times 4 = 1017.36 \, cm^3$.

(D) આપેલ છે: પાયાની ત્રિજ્યા $(r)$ = $14 \, cm$,તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $50 \, cm$.
સૌ પ્રથમ,આપણે શંકુની ઊંચાઈ $(h)$ સંબંધ $r^2 + h^2 = l^2$ નો ઉપયોગ કરીને શોધીશું.
$14^2 + h^2 = 50^2$
$196 + h^2 = 2500$
$h^2 = 2500 - 196 = 2304$
$h = \sqrt{2304} = 48 \, cm$.
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 48$
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times 48$
$V = 22 \times 2 \times 14 \times 16$
$V = 9856 \, cm^3$.
તેથી,શંકુનું ઘનફળ $9856 \, cm^3$ છે.

(A) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે,જ્યાં $\pi r^2$ એ પાયાનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે,પાયાનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ = $1386 \, cm^2$ અને ઊંચાઈ $(h)$ = $9 \, cm$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times A \times h$
$V = \frac{1}{3} \times 1386 \times 9$
$V = 1386 \times 3$
$V = 4158 \, cm^3$.
તેથી,શંકુનું ઘનફળ $4158 \, cm^3$ છે.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r) = 7 \, cm$, તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = 25 \, cm$.
સૌ પ્રથમ, $l^2 = r^2 + h^2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને શિરોલંબ ઊંચાઈ $(h)$ શોધો.
$h^2 = l^2 - r^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$.
$h = \sqrt{576} = 24 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ $(V) = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24 = 22 \times 7 \times 8 = 1232 \, cm^3$.
કારણ કે $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{લિટર}$, તેથી ક્ષમતા $\frac{1232}{1000} = 1.232 \, \text{લિટર}$ થાય.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r)$ = $21 \,cm$,તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $29 \,cm$.
સૌ પ્રથમ,$l^2 = r^2 + h^2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને શંકુની ઊંચાઈ $(h)$ શોધો.
$h^2 = l^2 - r^2 = 29^2 - 21^2 = 841 - 441 = 400$.
$h = \sqrt{400} = 20 \,cm$.
શંકુનું ઘનફળ $(V)$ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 20 = 22 \times 3 \times 7 \times 20 = 9240 \,cm^3$.
કારણ કે $1000 \,cm^3 = 1 \,\text{લિટર}$,તેથી ક્ષમતા $9240 / 1000 = 9.240 \,\text{લિટર}$ થશે.

(D) ધારો કે ત્રિજ્યા $r = 5x$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $l = 13x$ છે.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $\pi rl = 1836.9 \, cm^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $3.14 \times 5x \times 13x = 1836.9$.
$3.14 \times 65x^2 = 1836.9$.
$204.1x^2 = 1836.9$.
$x^2 = \frac{1836.9}{204.1} = 9$.
$x = 3$.
તેથી,$r = 5 \times 3 = 15 \, cm$ અને $l = 13 \times 3 = 39 \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{39^2 - 15^2} = \sqrt{1521 - 225} = \sqrt{1296} = 36 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 15^2 \times 36$.
$V = 3.14 \times 225 \times 12 = 3.14 \times 2700 = 8478 \, cm^3$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r)$ = $35 \,cm$,તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $91 \,cm$.
સૌ પ્રથમ,$l^2 = r^2 + h^2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને શિરોલંબ ઊંચાઈ $(h)$ શોધો.
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{91^2 - 35^2} = \sqrt{(91 - 35)(91 + 35)} = \sqrt{56 \times 126} = \sqrt{7056} = 84 \,cm$.
શંકુનું ઘનફળ $(V)$ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 35 \times 35 \times 84 = 22 \times 35 \times 5 \times 84 / 3 = 22 \times 35 \times 5 \times 28 = 107800 \,cm^3$.
$1000 \,cm^3 = 1 \,litre$ હોવાથી,ક્ષમતા $107800 / 1000 = 107.8 \,litres$ થાય.

(N/A) જ્યારે $\Delta ABC$ ને બાજુ $AB$ ની આસપાસ પરિભ્રમણ કરાવવામાં આવે,ત્યારે શંકુની ઊંચાઈ $h = AB = 6.3 \, cm$ અને ત્રિજ્યા $r = BC = 8.4 \, cm$ થાય છે. ઘનફળ $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (8.4)^2 \times 6.3 = 465.696 \, cm^3$. જ્યારે $\Delta ABC$ ને બાજુ $BC$ ની આસપાસ પરિભ્રમણ કરાવવામાં આવે,ત્યારે શંકુની ઊંચાઈ $h = BC = 8.4 \, cm$ અને ત્રિજ્યા $r = AB = 6.3 \, cm$ થાય છે. ઘનફળ $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (6.3)^2 \times 8.4 = 349.272 \, cm^3$.

(C) આપેલ ગોલક માટે,ત્રિજ્યા $(r) = 2.1 \, cm = \frac{21}{10} \, cm$ છે.
ગોલકના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{21}{10}\right)^3 \, cm^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10} \, cm^3$
$V = 4 \times 22 \times \frac{1}{1} \times \frac{1}{1} \times \frac{0.1}{1} \times 2.1 \times 2.1 \, cm^3$ (અંશમાં રહેલા $21$ ને છેદના $3 \times 7 = 21$ સાથે ઉડાડતા)
$V = 88 \times 0.1 \times 4.41 \, cm^3$
$V = 8.8 \times 4.41 \, cm^3 = 38.808 \, cm^3$.

(D) આપેલ અર્ધગોલક માટે:
ત્રિજ્યા $(r) = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, cm$.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi r^3$.
કિંમતો મૂકતા:
ઘનફળ $= \frac{2}{3} \times 3.14 \times (6)^3 \, cm^3$.
ઘનફળ $= \frac{2}{3} \times 3.14 \times 216 \, cm^3$.
ઘનફળ $= 2 \times 3.14 \times 72 \, cm^3$.
ઘનફળ $= 452.16 \, cm^3$.

(A) આપેલ ગોળા માટે,ત્રિજ્યા $(r) = 6\, cm$ છે.
આપેલ નળાકાર તાર માટે,વ્યાસ $1\, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $(R) = \frac{1}{2}\, cm$ થાય.
ધારો કે તારની લંબાઈ $H\, cm$ છે.
જ્યારે ગોળાને ઓગાળીને તાર બનાવવામાં આવે ત્યારે તેનું ઘનફળ સમાન રહે છે:
નળાકારનું ઘનફળ = ગોળાનું ઘનફળ
$\pi R^2 H = \frac{4}{3} \pi r^3$
કિંમતો મૂકતા:
$R^2 H = \frac{4}{3} r^3$
$(\frac{1}{2})^2 \times H = \frac{4}{3} \times (6)^3$
$\frac{1}{4} \times H = \frac{4}{3} \times 216$
$\frac{1}{4} \times H = 4 \times 72$
$\frac{1}{4} \times H = 288$
$H = 288 \times 4 = 1152\, cm$.
લંબાઈને મીટરમાં ફેરવતા:
$H = \frac{1152}{100} = 11.52\, m$.
આમ,તારની લંબાઈ $11.52\, m$ છે.

(D) $1$. લાકડાના ગોળાની ત્રિજ્યા $(R) = \frac{21}{2} = 10.5\, cm$.
$2$. એક ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 4\pi R^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 = 1386\, cm^2$.
$3$. ગોળા પર નળાકાર ટેકા દ્વારા રોકાયેલ ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 1.5 \times 1.5 \approx 7.07\, cm^2$.
$4$. એક ગોળા માટે સિલ્વર રંગવાનું ક્ષેત્રફળ $= 1386 - 7.07 = 1378.93\, cm^2$.
$5$. $8$ ગોળાઓ માટે કુલ ક્ષેત્રફળ $= 8 \times 1378.93 = 11031.44\, cm^2$.
$6$. સિલ્વર રંગનો ખર્ચ $= 11031.44 \times 0.25 = ₹ 2757.86$.
$7$. એક નળાકાર ટેકાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2\pi rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.5 \times 7 = 66\, cm^2$.
$8$. $8$ ટેકાઓ માટે કાળો રંગવાનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 8 \times 66 = 528\, cm^2$.
$9$. કાળા રંગનો ખર્ચ $= 528 \times 0.05 = ₹ 26.40$.
$10$. કુલ ખર્ચ $= 2757.86 + 26.40 = ₹ 2784.26$.

(B) આપેલ વ્યાસ $d = 28 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 14 \, cm$.
ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 4 \pi r^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 88 \times 28 = 2464 \, cm^2$.
ગોલકનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14 = \frac{4}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times 14 = \frac{34496}{3} = 11498 \frac{2}{3} \, cm^3$.

(N/A) આપેલ છે: વ્યાસ $d = 42\, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{42}{2} = 21\, cm$.
$1$. અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $= 2\pi r^2$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 2 \times 22 \times 3 \times 21 = 2772\, cm^2$.
$2$. અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ $= 3\pi r^2$
$= 3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 3 \times 22 \times 3 \times 21 = 4158\, cm^2$.
$3$. અર્ધગોલકનું ઘનફળ $= \frac{2}{3}\pi r^3$
$= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 21 = 2 \times 22 \times 21 \times 21 = 19404\, cm^3$.

(A) ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^2$ છે.
આપેલ છે કે $A = 5544 \, cm^2$,તેથી $4 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 5544$.
$r^2 = \frac{5544 \times 7}{4 \times 22} = \frac{5544 \times 7}{88} = 63 \times 7 = 441$.
આમ,$r = \sqrt{441} = 21 \, cm$.
ગોળાનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (21)^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 21$.
$V = 4 \times 22 \times 21 \times 21 = 88 \times 441 = 38808 \, cm^3$.

(B) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $4\pi r_1^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2\pi r_2^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સપાટીના ક્ષેત્રફળ સમાન છે:
$4\pi r_1^2 = 2\pi r_2^2$
બંને બાજુને $2\pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$2r_1^2 = r_2^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{2}r_1 = r_2$
તેથી,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર છે:
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,ગુણોત્તર $1: \sqrt{2}$ છે.

(C) $R = 20\, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા ગોળાનું ઘનફળ $V_s = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (20)^3 = \frac{4}{3} \pi (8000)\, cm^3$ છે.
$r = 5\, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક નાના અર્ધગોળાનું ઘનફળ $V_h = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi (5)^3 = \frac{2}{3} \pi (125)\, cm^3$ છે.
અર્ધગોળાઓની સંખ્યા $n$ એ ગોળાના ઘનફળ અને એક અર્ધગોળાના ઘનફળના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$n = \frac{V_s}{V_h} = \frac{\frac{4}{3} \pi (8000)}{\frac{2}{3} \pi (125)} = \frac{4 \times 8000}{2 \times 125} = \frac{32000}{250} = 128$.
આમ,મળતા અર્ધગોળાઓની કુલ સંખ્યા $128$ છે.

(D) ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ધારો કે ત્રણ ગોળાઓની ત્રિજ્યા $r_1 = 3 \,cm, r_2 = 4 \,cm$ અને $r_3 = 5 \,cm$ છે.
ત્રણેય ગોળાઓનું કુલ ઘનફળ $V_{total} = \frac{4}{3} \pi (r_1^3 + r_2^3 + r_3^3)$ થશે.
$V_{total} = \frac{4}{3} \pi (3^3 + 4^3 + 5^3) = \frac{4}{3} \pi (27 + 64 + 125) = \frac{4}{3} \pi (216)$.
ધારો કે નવા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે. તેનું ઘનફળ $V_{new} = \frac{4}{3} \pi R^3$ થશે.
ઘનફળનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,$V_{new} = V_{total}$.
$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (216)$.
$R^3 = 216$.
$R = \sqrt[3]{216} = 6 \,cm$.

(A) અર્ધગોળાકાર વાટકાનું ઘનફળ $V_h = \frac{2}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r = 18\, cm$ છે.
$V_h = \frac{2}{3} \times \pi \times (18)^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 5832 = 3888\pi\, cm^3$.
એક નળાકાર બોટલનું ઘનફળ $V_c = \pi R^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R = 2\, cm$ અને $h = 4\, cm$ છે.
$V_c = \pi \times (2)^2 \times 4 = \pi \times 4 \times 4 = 16\pi\, cm^3$.
જરૂરી બોટલોની સંખ્યા $n = \frac{V_h}{V_c} = \frac{3888\pi}{16\pi} = 243$ છે.
તેથી,$243$ બોટલોની જરૂર પડશે.

(B) ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ધારો કે મૂળ ગોળાની ત્રિજ્યા $R = 9 \,cm$ છે.
ત્રણ નાના ગોળાઓની ત્રિજ્યા $r_1 = 1 \,cm$,$r_2 = 6 \,cm$ અને $r_3$ (અજ્ઞાત ત્રિજ્યા) છે.
ઓગાળવાની અને ફરીથી બનાવવા દરમિયાન ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી,મૂળ ગોળાનું ઘનફળ એ ત્રણ નાના ગોળાઓના ઘનફળના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 + \frac{4}{3} \pi r_2^3 + \frac{4}{3} \pi r_3^3$
બંને બાજુ $\frac{4}{3} \pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$R^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$9^3 = 1^3 + 6^3 + r_3^3$
$729 = 1 + 216 + r_3^3$
$729 = 217 + r_3^3$
$r_3^3 = 729 - 217$
$r_3^3 = 512$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$r_3 = \sqrt[3]{512} = 8 \,cm$.
આમ,ત્રીજા ગોળાની ત્રિજ્યા $8 \,cm$ છે.