Mix Examples - Polynomials Questions in Hindi

(A) $p(2)$ का मान ज्ञात करने के लिए,दिए गए बहुपद $p(x) = x^{2} - 7x + 12$ में $x = 2$ प्रतिस्थापित कीजिए।
$p(2) = (2)^{2} - 7(2) + 12$
$p(2) = 4 - 14 + 12$
$p(2) = 16 - 14$
$p(2) = 2$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ के लिए $p(a) = 0$ है,तो $(x - a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
यहाँ दिया गया है कि $p(7) = 0$,इसलिए प्रमेय में $a = 7$ रखने पर।
अतः,$(x - 7)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(A) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ के लिए $p(a) = 0$ है,तो $(x - a)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
यहाँ दिया गया है कि $p(3) = 0$,इसलिए प्रमेय के अनुसार $a = 3$ रखने पर,
$(x - 3)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(D) जब $p(x) = 3x^3 - 6x^2 + 5x - 10$ को $(x - 2)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम शेषफल प्रमेय का उपयोग करते हैं।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,$a = 2$ है।
बहुपद $p(x)$ में $x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = 3(2)^3 - 6(2)^2 + 5(2) - 10$
$p(2) = 3(8) - 6(4) + 10 - 10$
$p(2) = 24 - 24 + 10 - 10$
$p(2) = 0$
अतः,शेषफल $0$ है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $(x-1)$ बहुपद $p(x) = 3x^2 + 7x - 10$ का एक गुणनखंड है,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(a) = 0$ है,तो $(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
यहाँ,$a = 1$ है।
बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = 3(1)^2 + 7(1) - 10$
$p(1) = 3(1) + 7 - 10$
$p(1) = 3 + 7 - 10$
$p(1) = 10 - 10 = 0$.
चूंकि $p(1) = 0$ है,इसलिए $(x-1)$,$3x^2 + 7x - 10$ का एक गुणनखंड है।

(B) $p(-2)$ ज्ञात करने के लिए,दिए गए बहुपद $p(x) = 5x^2 - 11x + 3$ में $x = -2$ प्रतिस्थापित करें।
$p(-2) = 5(-2)^2 - 11(-2) + 3$
$p(-2) = 5(4) + 22 + 3$
$p(-2) = 20 + 22 + 3$
$p(-2) = 45$
अतः,$p(-2)$ का मान $45$ है।

(B) दी गई व्यंजक $49x^2 - 121$ है।
इसे $a^2 - b^2$ के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$49x^2 - 121 = (7x)^2 - (11)^2$.
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 7x$ और $b = 11$ है,हमें प्राप्त होता है:
$(7x)^2 - (11)^2 = (7x + 11)(7x - 11)$.
अतः,गुणनखंड $(7x + 11)(7x - 11)$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $(5x - 3)^2 = 25x^2 + kx + 9$ है।
हम बीजीय सर्वसमिका $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 5x$ और $b = 3$ है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $(5x - 3)^2 = (5x)^2 - 2(5x)(3) + (3)^2$ प्राप्त होता है।
$(5x - 3)^2 = 25x^2 - 30x + 9$ है।
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $25x^2 + kx + 9$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$25x^2 - 30x + 9 = 25x^2 + kx + 9$ है।
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$k = -30$ प्राप्त होता है।

(A) $k$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण के बाईं ओर का विस्तार करते हैं:
$(2x + 3)(3x - 1) = 2x(3x) + 2x(-1) + 3(3x) + 3(-1)$
$= 6x^2 - 2x + 9x - 3$
$= 6x^2 + 7x - 3$
इसे दिए गए समीकरण $6x^2 + kx - 3$ के साथ तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $x$ का गुणांक दाईं ओर $k$ है और विस्तारित बाईं ओर $7$ है।
अतः,$k = 7$।

(B) $16x^2 - 24x + 9$ को $4x - 3$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम शेषफल प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं या बहुपद का भाग दे सकते हैं।
विधि $1$: गुणनखंडन
यहाँ $16x^2 - 24x + 9$ एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है।
$16x^2 - 24x + 9 = (4x)^2 - 2(4x)(3) + (3)^2 = (4x - 3)^2$.
चूंकि $(4x - 3)^2$ को $(4x - 3)$ से पूरी तरह विभाजित किया जा सकता है,इसलिए शेषफल $0$ है।
विधि $2$: शेषफल प्रमेय
भाजक को शून्य के बराबर रखने पर: $4x - 3 = 0 \implies x = 3/4$.
अब,बहुपद $P(x) = 16x^2 - 24x + 9$ में $x = 3/4$ रखने पर:
$P(3/4) = 16(3/4)^2 - 24(3/4) + 9$
$P(3/4) = 16(9/16) - 18 + 9$
$P(3/4) = 9 - 18 + 9 = 0$.
अतः,शेषफल $0$ है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $(x+1)$ बहुपद $p(x) = 4x^3 + 7x^2 - 2x - 5$ का एक गुणनखंड है,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है यदि $p(a) = 0$ हो।
यहाँ,हम $x+1 = 0$ रखते हैं,जिससे हमें $x = -1$ प्राप्त होता है।
अब,हम $p(-1)$ की गणना करते हैं:
$p(-1) = 4(-1)^3 + 7(-1)^2 - 2(-1) - 5$
$p(-1) = 4(-1) + 7(1) + 2 - 5$
$p(-1) = -4 + 7 + 2 - 5$
$p(-1) = 0$
चूंकि $p(-1) = 0$ है,इसलिए $(x+1)$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।

(A) व्यंजक $x^{3}-125$ का गुणनखंड करने के लिए,हम दो घनों के अंतर के बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$.
यहाँ,$x^{3}-125$ को $x^{3}-5^{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $a^{3}-b^{3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = x$ और $b = 5$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: $x^{3}-5^{3} = (x-5)(x^{2} + x(5) + 5^{2})$.
व्यंजक को सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(x-5)(x^{2}+5x+25)$.