केंद्र $O$ वाले एक वृत्त में,$PQ$ और $XY$ जीवाएँ हैं। यदि $\angle POQ = 120^{\circ}$,$\angle OXY = 30^{\circ}$ और $XY = 8 \, cm$ है,तो $PQ = ........... \, cm$.

निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य बताइए:
यदि $A, B, C, D$ चार ऐसे बिंदु हैं कि $\angle BAC = 30^{\circ}$ और $\angle BDC = 60^{\circ}$ है, तो $D$, $A, B$ और $C$ से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र है।

$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें $\angle BAC = 45^{\circ}$ और $\angle ADB = 55^{\circ}$ है,तो $\angle ABC = \dots$ ($^{\circ}$ में)

एक उभयनिष्ठ कर्ण $AB$ पर,दो समकोण त्रिभुज $ACB$ और $ADB$ विपरीत दिशाओं में स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि $\angle BAC = \angle BDC$ है।

आकृति में,$AOC$ वृत्त का एक व्यास है और $\operatorname{arc} AXB = \frac{1}{2} \operatorname{arc} BYC$ है। $\angle BOC$ ज्ञात कीजिए।

$AB$ और $CD$ एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं जिसका केंद्र $P$ है। जीवा $AB$ की केंद्र $P$ से दूरी $15 \, cm$ है और जीवा $CD$ की केंद्र $P$ से दूरी $8 \, cm$ है। यदि $AB = 16 \, cm$ है,तो जीवा $CD$ की लंबाई ज्ञात कीजिए। ($, cm$ में)