यदि एक वृत्त की दो जीवाएँ $AB$ और $CD$ परस्पर समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं (आकृति देखें),तो सिद्ध कीजिए कि $\text{चाप } CXA + \text{चाप } DZB = \text{चाप } AYD + \text{चाप } BWC = \text{अर्धवृत्त}$.

(A) सिद्ध करना है: $\text{चाप } CXA + \text{चाप } DZB = \text{चाप } AYD + \text{चाप } BWC = \text{अर्धवृत्त}$.
रचना: $AC, AD, BD$ और $BC$ को मिलाइए।
उपपत्ति: मान लीजिए कि जीवाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $O$ पर समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः,$\angle AOC = \angle COB = \angle BOD = \angle DOA = 90^{\circ}$.
वृत्त के केंद्र पर किसी चाप द्वारा अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है। चाप के माप को उनके संगत केंद्रीय कोणों द्वारा दर्शाते हैं।
$\triangle AOC$ में,$\angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
चूंकि वृत्त की परिधि पर चाप द्वारा अंतरित कोण केंद्र के कोण का आधा होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\text{चाप } CXA = 2 \angle CBA$ और $\text{चाप } DZB = 2 \angle BCD$.
$\triangle OBC$ में,$\angle OBC + \angle OCB = 90^{\circ}$.
अतः,$\frac{1}{2} (\text{चाप } CXA) + \frac{1}{2} (\text{चाप } DZB) = \angle CBA + \angle BCD = 90^{\circ}$.
इसलिए,$\text{चाप } CXA + \text{चाप } DZB = 180^{\circ}$,जो एक अर्धवृत्त है।
इसी प्रकार,दूसरे युग्म के लिए,$\text{चाप } AYD + \text{चाप } BWC = 180^{\circ}$,जो भी एक अर्धवृत्त है।
अतः,$\text{चाप } CXA + \text{चाप } DZB = \text{चाप } AYD + \text{चाप } BWC = \text{अर्धवृत्त}$.