Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Gujarati

(A) સ્ક્રીન પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પથ તફાવત $\Delta x_1 = 0$ માટે,કળા તફાવત $\phi_1 = 0$ થાય. તેથી,$I_1 = 4I_0 \cos^2(0) = 4I_0$.
પથ તફાવત $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{4}$ માટે,કળા તફાવત $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
તીવ્રતા $I_2 = 4I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi/2}{2} \right) = 4I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right) = 4I_0 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = 4I_0 \times \frac{1}{2} = 2I_0$.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4I_0}{2I_0} = \frac{2}{1}$ એટલે કે $2:1$ થાય.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n$-મી અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$x_n = \frac{D}{d} (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે સૂત્ર:
$\lambda = \frac{2 x_n d}{D(2n - 1)} \quad \dots (i)$
આપેલ છે કે પાંચમી અપ્રકાશિત શલાકા $(n=5)$ એક સ્લિટની સામે રચાય છે,તેથી આ શલાકાનું મધ્યસ્થ અક્ષથી અંતર એ બે સ્લિટ વચ્ચેના અંતરનું અડધું થાય:
$x_5 = \frac{d}{2} \implies 2x_5 = d$
સમીકરણ $(i)$ માં $n=5$ અને $2x_5 = d$ મૂકતા:
$\lambda = \frac{(2x_5) d}{D(2 \times 5 - 1)}$
$\lambda = \frac{d \cdot d}{D(10 - 1)}$
$\lambda = \frac{d^2}{9D}$

(C) સ્લિટ્સનું સ્થાન $y = \pm d/2$ પર છે. બીજી ન્યૂનતમ $y = d/2$ પર જોવા મળે છે.
યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ન્યૂનતમ માટે,પથ તફાવત $\Delta x = (n - 1/2)\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં બીજી ન્યૂનતમ માટે $n = 2$ છે.
તેથી,$\Delta x = (2 - 1/2)\lambda = (3/2)\lambda$.
વળી,પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta \approx d \tan \theta = d(y/D)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y = d/2$ મૂકતા,આપણને $\Delta x = d(d/2D) = d^2 / 2D$ મળે છે.
પથ તફાવત માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $(3/2)\lambda = d^2 / 2D$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = (d^2 / 2D) \times (2/3) = d^2 / 3D$ મળે છે.

(A) $n$-મી પ્રકાશિત શલાકા (મહત્તમ) નું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$y_n = \frac{n D \lambda}{d}$
તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\lambda = \frac{y_n d}{n D}$
આપેલ કિંમતો:
$n = 3$
$y_n = 1.2 \ mm = 1.2 \times 10^{-3} \ m$
$D = 1 \ m$
$d = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{(1.2 \times 10^{-3} \ m) \times (1 \times 10^{-3} \ m)}{3 \times 1 \ m}$
$\lambda = \frac{1.2 \times 10^{-6}}{3} \ m$
$\lambda = 0.4 \times 10^{-6} \ m = 4 \times 10^{-7} \ m$
એંગસ્ટ્રોમ $(\mathring{A})$ માં રૂપાંતર કરતા, જ્યાં $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$:
$\lambda = 4000 \times 10^{-10} \ m = 4000 \ \mathring{A}$

(B) સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત શલાકા) માટે,પથ તફાવત $\Delta x = n\lambda$ છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$
વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકા) માટે,પથ તફાવત $\Delta x = (n + \frac{1}{2})\lambda$ છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$
$4^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકા $n = 4$ $(\Delta x = 4\lambda)$ ને અનુરૂપ છે અને $5^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકા $n = 5$ $(\Delta x = 5\lambda)$ ને અનુરૂપ છે.
$4^{\text{th}}$ અને $5^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકાની વચ્ચે રચાતી અપ્રકાશિત શલાકા માટે $n = 4$ લેતા: $\Delta x = (4 + \frac{1}{2})\lambda = 4.5\lambda$.
આપેલ છે કે $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m} = 6 \times 10^{-5} \text{ cm}$.
પથ તફાવત $\Delta x = 4.5 \times (6 \times 10^{-5} \text{ cm}) = 27 \times 10^{-5} \text{ cm} = 2.7 \times 10^{-4} \text{ cm}$.

(A) પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto w)$.
આપેલ છે કે સ્લિટની પહોળાઈનો ગુણોત્તર $w_1 / w_2 = 1 / 9$ છે,તેથી બે સ્ત્રોતોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_1 / I_2 = 1 / 9$ થશે.
તીવ્રતા $I \propto a^2$ (જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે) હોવાથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $a_1 / a_2 = \sqrt{I_1 / I_2} = \sqrt{1 / 9} = 1 / 3$ થશે.
ધારો કે $a_1 = a$ અને $a_2 = 3a$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા અને મહત્તમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\text{min}}}{I_{\text{max}}} = \left( \frac{a_1 - a_2}{a_1 + a_2} \right)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\text{min}}}{I_{\text{max}}} = \left( \frac{a - 3a}{a + 3a} \right)^2 = \left( \frac{-2a}{4a} \right)^2 = \left( -\frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.

(A) હવામાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d} = 2 \,mm$ છે।
જ્યારે સાધનને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઈ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે।
પરિણામે,નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ થાય છે।
અહીં $\beta = 2 \,mm$ અને $\mu = 1.33$ આપેલ છે,તેથી $\beta' = \frac{2}{1.33} \approx 1.5 \,mm$.
ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \beta = \beta - \beta' = 2 \,mm - 1.5 \,mm = 0.5 \,mm$ છે।

(A) ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d} = 0.4 \,mm$ આપેલ છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમથી $n_1$-મી પ્રકાશિત ફ્રિન્જનું સ્થાન $x_{n_1} = n_1 \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાંચમી પ્રકાશિત ફ્રિન્જ માટે $(n_1 = 5)$:
$x_5 = 5 \beta = 5 \times 0.4 \,mm = 2.0 \,mm$.
મધ્યસ્થ અધિકતમથી $n_2$-મી અપ્રકાશિત ફ્રિન્જનું સ્થાન $x_{n_2} = (n_2 - 0.5) \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજી અપ્રકાશિત ફ્રિન્જ માટે $(n_2 = 3)$:
$x_3 = (3 - 0.5) \beta = 2.5 \beta = 2.5 \times 0.4 \,mm = 1.0 \,mm$.
એક જ બાજુએ પાંચમી પ્રકાશિત અને ત્રીજી અપ્રકાશિત ફ્રિન્જ વચ્ચેનું અંતર:
$\Delta x = x_5 - x_3 = 2.0 \,mm - 1.0 \,mm = 1.0 \,mm$.

(D) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $y = n \frac{\lambda D}{d}$ છે।
અહીં સ્થાન $y$ બંને કિસ્સામાં સમાન હોવાથી, $n_{1} \lambda_{1} = n_{2} \lambda_{2}$ થાય।
આપેલ છે: $n_{1} = 3$, $\lambda_{1} = 700 \, nm$, અને $n_{2} = 5$.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 700 = 5 \times \lambda_{2}$.
$\lambda_{2} = \frac{3 \times 700}{5} = 3 \times 140 = 420 \, nm$.

(B) વ્યતિકરણના પ્રયોગમાં,બે ક્રમિક પ્રકાશિત શલાકાઓ (મહત્તમ) અથવા બે ક્રમિક અપ્રકાશિત શલાકાઓ (ન્યૂનતમ) વચ્ચેના અંતરને શલાકાની પહોળાઈ કહેવામાં આવે છે,જેને $\beta$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગના સિદ્ધાંત મુજબ,શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\beta = \frac{D \lambda}{d}$
જ્યાં $D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,$\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.

(C) આપેલ છે:
સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 0.28 \ mm = 0.28 \times 10^{-3} \ m$
પડદાનું અંતર $D = 1.4 \ m$
$n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $x_n = 1.2 \ cm = 1.2 \times 10^{-2} \ m$
શલાકાનો ક્રમ $n = 4$
$n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાના સ્થાન માટેનું સૂત્ર:
$x_n = \frac{n \lambda D}{d}$
તરંગલંબાઇ $\lambda$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\lambda = \frac{x_n d}{n D}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{(1.2 \times 10^{-2} \ m) \times (0.28 \times 10^{-3} \ m)}{4 \times 1.4 \ m}$
$\lambda = \frac{0.336 \times 10^{-5}}{5.6} \ m$
$\lambda = 0.06 \times 10^{-5} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$
નેનોમીટરમાં ફેરવતા $(1 \ nm = 10^{-9} \ m)$:
$\lambda = 600 \times 10^{-9} \ m = 600 \ \text{nm}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ફ્રિન્જની પહોળાઈ (ફ્રિન્જ અંતર) $\beta$ માટેનું સૂત્ર: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપેલ છે:
તરંગલંબાઇ $\lambda = 7000 \ \mathring{A} = 7000 \times 10^{-10} \ m = 7 \times 10^{-7} \ m$.
સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 10 \ mm = 10 \times 10^{-3} \ m = 10^{-2} \ m$.
પડદાનું અંતર $D = 1.5 \ m$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{7 \times 10^{-7} \times 1.5}{10^{-2}}$
$\beta = 7 \times 1.5 \times 10^{-5} \ m$
$\beta = 10.5 \times 10^{-5} \ m$
$\beta = 105 \times 10^{-6} \ m$
$\beta = 105 \ \mu m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે:
$\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m = 5 \times 10^{-7} \, m$
$D = 100 \, cm = 1 \, m$
$d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$
પાંચમી $(n=5)$ અને ત્રીજી $(n=3)$ પ્રકાશિત શલાકા વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = y_5 - y_3$ છે।
$\Delta y = \frac{5 \lambda D}{d} - \frac{3 \lambda D}{d} = \frac{2 \lambda D}{d}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta y = \frac{2 \times (5 \times 10^{-7} \, m) \times (1 \, m)}{10^{-3} \, m}$.
$\Delta y = 10 \times 10^{-4} \, m = 10^{-3} \, m$.
$\Delta y = 1 \, mm$.

(C) શલાકાની પહોળાઈ (બે ક્રમિક શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર) શોધવાનું સૂત્ર: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$
$D = 2 \ m$
$d = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{5 \times 10^{-7} \times 2}{3 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{10 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{10}{3} \times 10^{-4} \ m$
$\beta = 3.33 \times 10^{-4} \ m$
$\beta = 0.333 \times 10^{-3} \ m = 0.33 \ mm$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n$-મી પ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ છે.
જ્યારે શલાકાઓ સંપાત થાય છે,ત્યારે તેમના સ્થાન સમાન હોય છે: $y_4 = y_5$.
તેથી,$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
અહીં $n_1 = 4$,$\lambda_1 = 5000 \ \mathring{A}$,અને $n_2 = 5$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $4 \times 5000 = 5 \times \lambda_2$.
$\lambda_2 = \frac{4 \times 5000}{5} = 4000 \ \mathring{A}$.

(B) આદર્શ યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ $(YDSE)$ માં,બધી પ્રકાશિત શલાકાઓની તીવ્રતા સમાન ગણવામાં આવે છે. જોકે,વાસ્તવિક વ્યતિકરણ ભાતમાં,સ્લિટની મર્યાદિત પહોળાઈને કારણે થતી વિવર્તનની અસરને લીધે,મધ્યસ્થ અધિકતમથી દૂર જતાં પ્રકાશિત શલાકાઓની તીવ્રતા ઘટતી જાય છે. તેથી,'બધી પ્રકાશિત શલાકાઓ સમાન રીતે પ્રકાશિત હોય છે' તે વિધાન વ્યતિકરણના અન્ય મૂળભૂત ગુણધર્મોની તુલનામાં વ્યવહારિક ભૌતિક સંદર્ભમાં ખોટું છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પ્રકાશિત શલાકાઓ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,$\theta$ એ ખૂણો છે,$n$ એ શલાકાનો ક્રમ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ છે કે $d = \lambda$,તેથી સમીકરણ $\lambda \sin \theta = n \lambda$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $\sin \theta = n$ થાય છે.
કારણ કે $\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,તેથી $n \leq 1$ મળે.
$n$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $-1, 0, 1$ છે.
આમ,કુલ $3$ પ્રકાશિત શલાકાઓ મળે છે.

(A) કોઈપણ બે ક્રમિક પ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેના અંતરને શલાકાની પહોળાઈ કહેવામાં આવે છે,જેને $\beta$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
તરંગલંબાઇ $\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$.
સ્લિટ્સ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $D = 1.5 \ m$.
સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 0.2 \ mm = 0.2 \times 10^{-3} \ m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{600 \times 10^{-9} \times 1.5}{0.2 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{900 \times 10^{-9}}{0.2 \times 10^{-3}}$
$\beta = 4500 \times 10^{-6} \ m$
$\beta = 4.5 \times 10^{-3} \ m = 4.5 \ mm$.
આમ,કોઈપણ બે ક્રમિક પ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર $4.5 \ mm$ છે.

(D) શલાકાની પહોળાઈ $\beta = 0.002 \text{ cm}$ આપેલ છે.
યંગના ડબલ-સ્લિટ વ્યતિકરણ ભાત માટે,મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાથી $n^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $x_n = (n - 0.5) \beta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ અપ્રકાશિત શલાકાનો ક્રમ છે $(n = 1, 2, 3, \dots)$.
$5^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટે,$n = 5$ લેતા.
કિંમતો મૂકતા: $x_5 = (5 - 0.5) \times 0.002 \text{ cm}$.
$x_5 = 4.5 \times 0.002 \text{ cm} = 0.009 \text{ cm}$.
વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં ફેરવતા: $0.009 \text{ cm} = 0.9 \times 10^{-2} \text{ cm}$.
આ પરિણામને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ ગણતરી કરેલ મૂલ્ય સાથે મેળ ખાતો નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે: તરંગલંબાઇ $\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$,અંતર $D = 0.5 \ m$,સ્લિટ અંતર $d = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$.
$n^{th}$ મહત્તમનું સ્થાન $x_n = \frac{n \lambda D}{d}$ છે. $n=3$ માટે,$x_3 = \frac{3 \lambda D}{d}$.
બીજી બાજુએ $m^{th}$ ન્યૂનતમનું સ્થાન $x'_m = \frac{(2m-1) \lambda D}{2d}$ છે. $m=2$ માટે,$x'_2 = \frac{(2 \times 2 - 1) \lambda D}{2d} = \frac{3 \lambda D}{2d}$.
તેમની વચ્ચેનું કુલ અંતર $x = x_3 + x'_2 = \frac{3 \lambda D}{d} + \frac{3 \lambda D}{2d} = \frac{9 \lambda D}{2d}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{9 \times 500 \times 10^{-9} \times 0.5}{2 \times 0.5 \times 10^{-3}} = \frac{4500 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-3}} = 2250 \times 10^{-6} \ m = 2.25 \ mm$.

(B) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે શલાકાની પહોળાઈ વપરાતા પ્રકાશની તરંગલંબાઈના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\beta \propto \lambda$.
પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{yellow})$ એ વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{blue})$ કરતા વધારે હોય છે.
જ્યારે પીળા પ્રકાશને વાદળી પ્રકાશ દ્વારા બદલવામાં આવે છે ત્યારે તરંગલંબાઈ ઘટે છે,તેથી શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ પણ ઘટશે.
આથી,વ્યતિકરણની શલાકાઓ સાંકડી બને છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં, ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
પ્રાયોગિક સેટ-અપ ($D$ અને $d$) સમાન હોવાથી, $\beta \propto \lambda$ થાય।
ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ, તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે।
સમાન ઝડપ $v$ માટે, તરંગલંબાઈ કણના દળ $m$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $\lambda \propto \frac{1}{m}$।
પ્રોટોનનું દળ $(m_p)$ એ ઈલેક્ટ્રોનના દળ $(m_e)$ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી, $m_p > m_e$ થાય।
તેથી, પ્રોટોન બીમની તરંગલંબાઈ $(\lambda_2)$ એ ઈલેક્ટ્રોન બીમની તરંગલંબાઈ $(\lambda_1)$ કરતા ઓછી હશે, એટલે કે $\lambda_2 < \lambda_1$।
જેથી $\beta \propto \lambda$ હોવાથી, $\beta_2 < \beta_1$ અથવા $\beta_1 > \beta_2$ મળે।

(C) આપેલ છે કે,$I_0 = 2 \times 10^{-2} \ W \ m^{-2}$ અને $x = \frac{\beta}{3}$.
$YDSE$ માં,$x$ અંતરે પથ તફાવત $\Delta x = \frac{xd}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ હોવાથી,$\frac{d}{D} = \frac{\lambda}{\beta}$ થાય.
પથ તફાવતના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\Delta x = x \times \frac{\lambda}{\beta} = \frac{\beta}{3} \times \frac{\lambda}{\beta} = \frac{\lambda}{3}$.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
પરિણામી તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = 4I_0 \cos^2\left(\frac{2\pi/3}{2}\right) = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$I = 4I_0 \times (\frac{1}{2})^2 = 4I_0 \times \frac{1}{4} = I_0$.
તેથી,$I = 2 \times 10^{-2} \ W \ m^{-2}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ છે, જ્યાં $D$ એ પડદા અને ઉદગમ વચ્ચેનું અંતર છે, $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે અને $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આ સંબંધ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\beta \propto \lambda$.
આપણે જાણીએ છીએ કે લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\text{red}} \approx 700 \, nm)$ એ જાંબલી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\text{violet}} \approx 400 \, nm)$ કરતા આશરે બમણી હોય છે (ભૌતિકશાસ્ત્રના દાખલાઓમાં આ ગુણોત્તર આશરે $2$ લેવામાં આવે છે).
તેથી, ફ્રિન્જની પહોળાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\beta_{\text{red}}}{\beta_{\text{violet}}} = \frac{\lambda_{\text{red}}}{\lambda_{\text{violet}}} \approx \frac{700}{400} \approx 1.75$ થાય છે, જે આશરે $2$ જેટલું છે.
આમ, $\beta_{\text{red}} \approx 2 \beta_{\text{violet}}$.

(B) બે સ્લિટમાંથી બિંદુ $P$ પર પહોંચતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = \frac{xd}{D}$ છે.
તેને અનુરૂપ કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \left(\frac{xd}{D}\right)$ થશે.
સમાન તીવ્રતા $I_0$ ધરાવતા બે સુસંબદ્ધ સ્ત્રોતો માટે બિંદુ $P$ પર પરિણામી તીવ્રતા $I_P = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\phi$ ની કિંમત મૂકતા:
$I_P = 4I_0 \cos^2\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi xd}{\lambda D}\right)$
$I_P = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi dx}{\lambda D}\right)$.

(D) આપેલ છે: સ્લિટ્સ અને સ્ક્રીન વચ્ચેનું અંતર $D = 1.2 \, m$, સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 2.4 \, mm = 2.4 \times 10^{-3} \, m$, માઈકા શીટની જાડાઈ $t = 1 \, \mu m = 1 \times 10^{-6} \, m$, અને વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$.
જ્યારે વ્યતિકરણ પામતા કિરણોમાંથી એકના માર્ગમાં પારદર્શક શીટ મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાના સ્થાનમાં થતું સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$y = (\mu - 1) t \frac{D}{d}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$y = (1.5 - 1) \times (1 \times 10^{-6} \, m) \times \frac{1.2 \, m}{2.4 \times 10^{-3} \, m}$
$y = 0.5 \times 10^{-6} \times \frac{1.2}{2.4 \times 10^{-3}}$
$y = 0.5 \times 10^{-6} \times 0.5 \times 10^{3}$
$y = 0.25 \times 10^{-3} \, m = 0.25 \, mm$
આમ, મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાના સ્થાનમાં થતું સ્થાનાંતર $0.25 \, mm$ છે.

(D) કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $ I $ એ $ I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right) $ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $ \phi $ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે પથ તફાવત $ \Delta x = \lambda $ હોય ત્યારે તીવ્રતા $ K $ છે. $ \Delta x = \lambda $ એ $ \phi = 2\pi $ કળા તફાવતને અનુરૂપ છે, તેથી $ K = I_{max} \cos^2 \left( \frac{2\pi}{2} \right) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} $.
હવે, પથ તફાવત $ \Delta x = \frac{\lambda}{3} $ માટે, કળા તફાવત $ \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3} $ થશે.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $ I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right) = K \cos^2 \left( \frac{2\pi/3}{2} \right) $ થશે.
$ I = K \cos^2 \left( \frac{\pi}{3} \right) = K \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{K}{4} $.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda_{1}$ ની $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા અને $\lambda_{2}$ ની $(n+1)^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા એકબીજા પર સંપાત થાય છે,તેથી:
$\frac{n \lambda_{1} D}{d} = \frac{(n+1) \lambda_{2} D}{d}$
સામાન્ય પદો $\frac{D}{d}$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$n \lambda_{1} = (n+1) \lambda_{2}$
આપેલ કિંમતો $\lambda_{1} = 780 \ nm$ અને $\lambda_{2} = 520 \ nm$ મૂકતા:
$n(780) = (n+1)(520)$
$780n = 520n + 520$
$780n - 520n = 520$
$260n = 520$
$n = \frac{520}{260} = 2$
આમ,$n$ નું મૂલ્ય $2$ છે.

(A) $n$-મી પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$y = \frac{n \lambda D}{d}$
જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ્સથી પડદાનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
ચોથી પ્રકાશિત શલાકા $(n=4)$ માટે,બે તરંગલંબાઇઓના સ્થાન:
$y_1 = \frac{4 \lambda_1 D}{d}$ અને $y_2 = \frac{4 \lambda_2 D}{d}$
આ બે શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર:
$\Delta y = y_1 - y_2 = \frac{4 D}{d} (\lambda_1 - \lambda_2)$
આપેલ કિંમતો:
$n = 4$
$D = 1.2 \,m$
$d = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$
$\lambda_1 = 6500 \text{ Å} = 6500 \times 10^{-10} \,m$
$\lambda_2 = 5200 \text{ Å} = 5200 \times 10^{-10} \,m$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta y = \frac{4 \times 1.2}{2 \times 10^{-3}} \times (6500 - 5200) \times 10^{-10} \,m$
$\Delta y = \frac{4.8}{2 \times 10^{-3}} \times 1300 \times 10^{-10} \,m$
$\Delta y = 2.4 \times 10^3 \times 1300 \times 10^{-10} \,m$
$\Delta y = 3120 \times 10^{-7} \,m = 0.312 \times 10^{-3} \,m$
$\Delta y = 0.312 \,mm$
આમ,ચોથી પ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર $0.312 \,mm$ છે.

(D) સ્થાયી વ્યતિકરણ માટેની શરતો નીચે મુજબ છે: ઉદગમો સુસંબદ્ધ (coherent) હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેમની આવૃત્તિ (તરંગલંબાઇ) સમાન હોવી જોઈએ અને તેમની વચ્ચે કળા તફાવત અચળ હોવો જોઈએ.
આ પ્રયોગમાં,એક સ્લિટને લાલ ફિલ્ટર (જે ફક્ત લાલ પ્રકાશ પસાર થવા દે છે) અને બીજી સ્લિટને વાદળી ફિલ્ટર (જે ફક્ત વાદળી પ્રકાશ પસાર થવા દે છે) વડે ઢાંકવામાં આવે છે.
લાલ પ્રકાશ અને વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇઓ નોંધપાત્ર રીતે અલગ હોવાથી,આ બે ઉદગમો સુસંબદ્ધ નથી.
ઉદગમો સુસંબદ્ધ ન હોવાથી,તેઓ પડદા પર સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાત રચી શકતા નથી.
તેથી,કોઈ વ્યતિકરણ જોવા મળશે નહીં.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
જ્યારે પડદાનું અંતર $D$ માં $\Delta D$ જેટલો ફેરફાર થાય, ત્યારે ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \beta = \frac{\lambda \Delta D}{d}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે:
$\Delta D = 5 \times 10^{-2} \,m$
$\Delta \beta = 3 \times 10^{-5} \,m$
$d = 1 \times 10^{-3} \,m$
તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\lambda = \frac{\Delta \beta \cdot d}{\Delta D}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{(3 \times 10^{-5} \,m) \times (1 \times 10^{-3} \,m)}{5 \times 10^{-2} \,m}$
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-2}} \,m$
$\lambda = 0.6 \times 10^{-6} \,m = 6 \times 10^{-7} \,m$
નેનોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા $(1 \,nm = 10^{-9} \,m)$:
$\lambda = 600 \times 10^{-9} \,m = 600 \,nm$.

(B) સ્થાયી વ્યતિકરણ માટે,ઉદગમો સુસંબદ્ધ હોવા જોઈએ,જે સ્થિર વ્યતિકરણ ભાત માટે જરૂરી શરત છે.
વધુમાં,ઉચ્ચ કોન્ટ્રાસ્ટ શલાકાઓ માટે (જ્યાં ન્યૂનતમ તીવ્રતા શૂન્ય હોય),બંને ઉદગમોની તીવ્રતા સમાન હોવી જોઈએ.
તેથી,આદર્શ અને સ્થાયી વ્યતિકરણ શલાકાઓ માટે બંને શરતો આવશ્યક છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto w)$.
જો સ્લિટની પહોળાઈ અસમાન હોય,તો બે સ્લિટમાંથી આવતા પ્રકાશના તરંગોની તીવ્રતા $I_{1}$ અને $I_{2}$ અસમાન હશે $(I_{1} \neq I_{2})$.
વ્યતિકરણ ભાતની તીવ્રતા $I = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = (\sqrt{I_{1}} - \sqrt{I_{2}})^2$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $I_{1} \neq I_{2}$,તેથી $I_{\min}$ નું મૂલ્ય શૂન્ય કરતાં મોટું હોય છે $(I_{\min} > 0)$.
તેથી,અપ્રકાશિત શલાકાઓ સંપૂર્ણપણે અપ્રકાશિત હોતી નથી.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,વ્યતિકરણ માટેની પ્રાથમિક જરૂરિયાત સુસંગત સ્ત્રોતોની હાજરી છે.
વિધાન $(1)$ સાચું છે: પ્રકાશનો સામાન્ય વિસ્તૃત સ્ત્રોત અસંગત હોય છે,તેથી અવકાશી સુસંગતતા સુનિશ્ચિત કરવા માટે બિંદુ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરવા માટે એક સ્લિટ $S$ જરૂરી છે.
વિધાન $(2)$ ખોટું છે: ભલે બીમ સારી રીતે કોલિમેટેડ હોય,તે બે સ્લિટો માટે ગૌણ સુસંગત સ્ત્રોતો તરીકે કાર્ય કરવા માટે જરૂરી અવકાશી સુસંગતતાની ખાતરી આપતું નથી.
વિધાન $(3)$ સાચું છે: જો સ્ત્રોત પહેલેથી જ અવકાશી રીતે સુસંગત હોય,તો બે સ્લિટો પર પહોંચતા પ્રકાશના તરંગો અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે છે,જેનાથી પ્રારંભિક સ્લિટ $S$ ની જરૂર રહેતી નથી.
તેથી,વિધાનો $(1)$ અને $(3)$ સાચા છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પાતળી કાચની પ્લેટને એક સ્લિટના પ્રકાશના માર્ગમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશીય પથ લંબાઈ $(\mu - 1)t$ જેટલી વધે છે.
આના કારણે સમગ્ર વ્યતિકરણ ભાત $y_0 = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$ જેટલા અંતરે સ્થાનાંતરિત થાય છે.
જો કે,શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ માત્ર તરંગલંબાઇ $\lambda$,અંતર $D$ અને સ્લિટ વચ્ચેના અંતર $d$ પર આધાર રાખે છે. આ પરિમાણો બદલાતા ન હોવાથી,શલાકાની પહોળાઈ અચળ રહે છે.
તેથી,શલાકાની પહોળાઈ $0.3 \,mm$ જ રહેશે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,વ્યતિકરણ ભાત બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોમાંથી આવતા પ્રકાશના તરંગોના સંપાતપણાથી રચાય છે. જો બે સ્લિટની વચ્ચે ત્રીજી સ્લિટ ઉમેરવામાં આવે,તો તે પ્રકાશના વધારાના ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે. આ વધારાનો પ્રકાશ સ્ક્રીન પરના પૃષ્ઠભૂમિ પ્રકાશમાં ફાળો આપે છે,જે વ્યતિકરણ ભાતમાં ભાગ લેતો નથી. પરિણામે,અપ્રકાશિત શલાકાઓની તીવ્રતા વધે છે,જ્યારે પ્રકાશિત શલાકાઓની તીવ્રતામાં ખાસ ફેરફાર થતો નથી. આનાથી પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેની દૃશ્યતા અથવા કોન્ટ્રાસ્ટમાં ઘટાડો થાય છે.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે, $D$ એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે પડદાને $\Delta D = 5 \times 10^{-2} \, m$ જેટલો ખસેડવામાં આવે છે, ત્યારે ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \beta = 3 \times 10^{-5} \, m$ છે.
સૂત્ર પરથી, ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \beta = \frac{\lambda}{d} \Delta D$ છે.
$\lambda$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $\lambda = \frac{\Delta \beta \cdot d}{\Delta D}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{(3 \times 10^{-5} \, m) \times (10^{-3} \, m)}{5 \times 10^{-2} \, m}$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-2}} \, m = 0.6 \times 10^{-6} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$.
એંગસ્ટ્રોમમાં રૂપાંતર કરતા $(1 \, \text{Å} = 10^{-10} \, m)$:
$\lambda = 6000 \times 10^{-10} \, m = 6000 \, \text{Å}$.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની અડધી કોણીય પહોળાઈ $\theta$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\sin \theta = \frac{\lambda}{d}$.
આપેલ તરંગલંબાઇ $\lambda = 589 \ nm = 589 \times 10^{-9} \ m$.
આપેલ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 0.589 \ mm = 0.589 \times 10^{-3} \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\sin \theta = \frac{589 \times 10^{-9}}{0.589 \times 10^{-3}}$
$\sin \theta = \frac{589 \times 10^{-9}}{589 \times 10^{-6}} = 10^{-3} = 0.001$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}(0.001)$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકાના સ્થાન માટેની શરત $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ છે.
લાલ પ્રકાશ $(\lambda_r = 7.5 \times 10^{-5} \text{ cm})$ ની $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા માટે,સ્થાન $y_r = \frac{n \lambda_r D}{d}$ છે.
વાદળી પ્રકાશ $(\lambda_b = 5 \times 10^{-5} \text{ cm})$ ની $(n+1)^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા માટે,સ્થાન $y_b = \frac{(n+1) \lambda_b D}{d}$ છે.
શલાકાઓ સંપાત થતી હોવાથી,$y_r = y_b$,જેનો અર્થ છે કે $n \lambda_r = (n+1) \lambda_b$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $n(7.5 \times 10^{-5}) = (n+1)(5 \times 10^{-5})$.
બંને બાજુ $10^{-5}$ વડે ભાગતા,આપણને $7.5n = 5(n+1)$ મળે છે.
$7.5n = 5n + 5$.
$2.5n = 5$.
$n = \frac{5}{2.5} = 2$.
આમ,$n$ નું મૂલ્ય $2$ છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે કે $\lambda' = \lambda + 0.20\lambda = 1.20\lambda$ અને $d' = d - 0.25d = 0.75d$.
નવી ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta'$ એ $\beta' = \frac{\lambda' D}{d'} = \frac{1.20\lambda D}{0.75d}$ દ્વારા મળે છે.
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$ મૂકતા,આપણને $\beta' = \frac{1.20}{0.75} \beta = 1.6 \beta$ મળે છે.
પ્રારંભિક ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta = 0.3 \ mm$ આપેલ હોવાથી,અંતિમ ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta' = 1.6 \times 0.3 \ mm = 0.48 \ mm$ થશે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
અહીં,તરંગલંબાઇ $\lambda = 5000 \ Å = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$.
પડદા અને સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $D = 1 \ m$.
સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 0.2 \ cm = 0.2 \times 10^{-2} \ m = 2 \times 10^{-3} \ m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{5 \times 10^{-7} \times 1}{2 \times 10^{-3}}$
$\beta = 2.5 \times 10^{-4} \ m$
આને મિલીમીટરમાં ફેરવતા:
$\beta = 2.5 \times 10^{-4} \times 10^3 \ mm = 0.25 \ mm$.
તેથી,બે ક્રમિક અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર $0.25 \ mm$ છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ્સ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે ફ્રિન્જની પહોળાઈ એ સ્લિટના અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\beta \propto \frac{1}{d}$.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્લિટ અંતર $d_1 = d$ છે અને પ્રારંભિક ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta_1 = \beta$ છે.
આપેલ છે કે અંતિમ સ્લિટ અંતર $d_2 = 3d$ છે.
તેથી,અંતિમ ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta_2 = \frac{\lambda D}{3d} = \frac{\beta}{3}$ થાય.
પ્રારંભિક ફ્રિન્જ પહોળાઈ અને અંતિમ ફ્રિન્જ પહોળાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{\beta}{\beta/3} = 3:1$ મળે છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ્સથી પડદાનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
શરૂઆતમાં,$d_1 = 2 \ mm$,$D_1 = 100 \ cm = 1000 \ mm$,અને $\beta_1 = 0.36 \ mm$.
તેથી,$0.36 = \frac{\lambda \times 1000}{2} \implies \lambda = \frac{0.36 \times 2}{1000} = 0.00072 \ mm$.
હવે,સ્લિટ્સ વચ્ચેનું નવું અંતર $d_2 = 2 \ mm - 0.5 \ mm = 1.5 \ mm$ છે.
પડદાનું નવું અંતર $D_2 = 100 \ cm + 50 \ cm = 150 \ cm = 1500 \ mm$ છે.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta_2$ એ $\beta_2 = \frac{\lambda D_2}{d_2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\beta_2 = \frac{0.00072 \times 1500}{1.5} = \frac{0.00072 \times 1000}{1} = 0.72 \ mm$.

(B) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપેલ પ્રારંભિક શલાકાની પહોળાઈ $\beta_1 = \frac{\lambda D}{d} = 3 \text{ mm}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, નવું અંતર $D' = D + 0.5D = 1.5D$ અને સ્લિટ વચ્ચેનું નવું અંતર $d' = d - 0.1d = 0.9d$ છે.
નવી શલાકાની પહોળાઈ $\beta_2 = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (1.5D)}{0.9d}$ દ્વારા મળે છે.
આનું સાદુંરૂપ આપતા, $\beta_2 = \frac{1.5}{0.9} \times \frac{\lambda D}{d} = \frac{15}{9} \times \beta_1 = \frac{5}{3} \times 3 \text{ mm}$.
તેથી, $\beta_2 = 5 \text{ mm}$.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ $(YDSE)$ માં,પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ આપેલ છે.
ધારો કે બંને સ્લિટની તીવ્રતા સમાન છે,$I_1 = I_2 = I_s$.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ થાય.
પરિણામી તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \phi)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = I_s + I_s + 2 \sqrt{I_s I_s} \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 I_s + 2 I_s (\frac{1}{2}) = 2 I_s + I_s = 3 I_s$.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_0$ ત્યારે મળે જ્યારે $\cos(\Delta \phi) = 1$ હોય,તેથી $I_0 = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_s} + \sqrt{I_s})^2 = (2 \sqrt{I_s})^2 = 4 I_s$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I}{I_0} = \frac{3 I_s}{4 I_s} = \frac{3}{4}$ થાય.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ $(YDSE)$ માં,શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર,$d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$.
પડદાનું અંતર,$D = 2 \ m$.
પ્રકાશની તરંગલંબાઇ,$\lambda = 400 \ nm = 400 \times 10^{-9} \ m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{(400 \times 10^{-9} \ m) \times (2 \ m)}{2 \times 10^{-3} \ m}$.
$\beta = \frac{800 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-3}} \ m$.
$\beta = 400 \times 10^{-6} \ m = 0.4 \times 10^{-3} \ m$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે તરંગલંબાઇમાં $50 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવી તરંગલંબાઇ $\lambda' = \lambda + 0.50 \lambda = 1.50 \lambda$ છે.
સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર બમણું કરવામાં આવે છે,તેથી $d' = 2d$ છે.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ એ $\beta' = \frac{D \lambda'}{d'} = \frac{D (1.50 \lambda)}{2d} = 0.75 \beta$ છે.
ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\beta' - \beta}{\beta} \times 100 \%$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.75 \beta - \beta}{\beta} \times 100 \% = -0.25 \times 100 \% = -25 \%$ મળે છે.
આમ,ટકાવારી ફેરફારનું મૂલ્ય $25 \%$ છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 560 \,nm$ અને $\beta_1 = 7.2 \,mm$.
બીજા પ્રકાશ માટે,$\beta_2 = 8.1 \,mm$.
અહીં $D$ અને $d$ અચળ હોવાથી,$\beta \propto \lambda$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.
$\lambda_2$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\lambda_2 = \lambda_1 \times \frac{\beta_2}{\beta_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda_2 = 560 \,nm \times \frac{8.1 \,mm}{7.2 \,mm} = 560 \times \frac{81}{72} = 560 \times \frac{9}{8} = 70 \times 9 = 630 \,nm$.
આમ,બીજા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $630 \,nm$ છે।