Resolving power-Human eye, Microscopes and Telescopes Questions in Gujarati

(D) માઈક્રોસ્કોપની વિભેદન શક્તિ $(RP)$ નું સૂત્ર $RP = \frac{2n \sin \beta}{\lambda}$ છે, જ્યાં $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે, $\beta$ એ અર્ધ-ઊર્ધ્વ કોણ છે, અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે.
વૈકલ્પિક રીતે, એપર્ચર $(a)$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ ના સંદર્ભમાં, $RP \propto \frac{a}{\lambda f}$.
$1$. ઓઈલ ઈમર્શન ઓબ્જેક્ટિવનો ઉપયોગ કરવાથી વક્રીભવનાંક $(n)$ વધે છે, જે વિભેદન શક્તિમાં વધારો કરે છે.
$2$. તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ઘટાડવાથી વિભેદન શક્તિ વધે છે.
$3$. કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ ઘટાડવાથી વિભેદન શક્તિ વધે છે.
$4$. એપર્ચર $(a)$ ઘટાડવાથી વિભેદન શક્તિ ઘટે છે.
તેથી, એપર્ચર ઘટાડીને વિભેદન શક્તિ વધારી શકાતી નથી.

(C) એપરચર માટે વિભેદન સીમાનું સૂત્ર $\frac{y}{D} = \frac{\lambda}{d}$ છે.
અહીં આપેલ છે:
લેન્સનો વ્યાસ $d = 2\,mm = 2 \times 10^{-3}\,m$.
અંતર $D = 50\,m$.
તરંગલંબાઇ $\lambda = 5000\,\mathring{A} = 5 \times 10^{-7}\,m$.
કિંમતો મૂકતા:
$y = \frac{\lambda D}{d} = \frac{5 \times 10^{-7} \times 50}{2 \times 10^{-3}}$.
$y = \frac{250 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-3}} = 125 \times 10^{-4}\,m$.
$y = 1.25 \times 10^{-2}\,m = 1.25\,cm$.

(D) ઓપ્ટિકલ સાધનની રિઝોલ્વિંગ પાવર $(RP)$ એ વપરાતા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $RP \propto \frac{1}{\lambda}$.
અહીં, ${\lambda _1 = 4000 \ \text{\AA}}$ અને ${\lambda _2 = 5000 \ \text{\AA}}$ આપેલ છે.
તેમની રિઝોલ્વિંગ પાવરનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{RP_1}{RP_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{RP_1}{RP_2} = \frac{5000}{4000} = \frac{5}{4}$
આમ, ગુણોત્તર $5 : 4$ છે.

(A) કોઈપણ ઓપ્ટિકલ સાધનની રિઝોલ્વિંગ પાવર એ રિઝોલ્યુશનની મર્યાદાના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે આ મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$\text{Resolving Power} = \frac{1}{\text{Limit of Resolution}}$
તેથી,રિઝોલ્યુશનની મર્યાદા એ રિઝોલ્વિંગ પાવરનો વ્યસ્ત છે:
$\text{Limit of Resolution} = \frac{1}{\text{Resolving Power}}$
આમ,સાચો સંબંધ $\text{Limit of resolution} = \frac{1}{\text{resolving power}}$ છે.

(A) ટેલિસ્કોપની કોણીય વિભેદન શક્તિ $\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી,$R$ અંતરે રહેલી બે વસ્તુઓ વચ્ચેનું કોણીય અંતર,જેની વચ્ચેનું રેખીય અંતર $l$ હોય,તે $\Delta \theta = \frac{l}{R}$ છે.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{l}{R} = \frac{1.22 \lambda}{D}$,તેથી $l = \frac{1.22 \lambda R}{D}$.
આપેલ છે:
$\lambda = 600 \times 10^{-9}\, m$
$D = 30\, cm = 0.3\, m$
$R = 10 \text{ પ્રકાશ વર્ષ} = 10 \times 9.46 \times 10^{15}\, m = 9.46 \times 10^{16}\, m$.
કિંમતો મૂકતા:
$l = \frac{1.22 \times 600 \times 10^{-9} \times 9.46 \times 10^{16}}{0.3}$
$l = 2.308 \times 10^{10}\, m = 2.308 \times 10^{7}\, km$.
આમ,નજીકનો ક્રમ $10^8\, km$ છે.

(C) માઇક્રોસ્કોપની વિભેદન શક્તિ $(R.P.)$ એ બે નજીક રહેલી વસ્તુઓ વચ્ચે તફાવત પારખવાની ક્ષમતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R.P. = \frac{2n \sin \beta}{\lambda}$
જ્યાં:
$n$ એ વસ્તુ અને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વચ્ચેના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
$\beta$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ દ્વારા વસ્તુ પર બનતો અર્ધ-ઊર્ધ્વ ખૂણો છે.
$\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $R.P. \propto n \sin \beta$.
તેથી,જેમ $n \sin \beta$ નું મૂલ્ય વધે છે,તેમ વિભેદન શક્તિ વધે છે.

(A) ટેલિસ્કોપની વિભેદન સીમા (limit of resolution) $\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \theta = \frac{1.22 \times 5.5 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-2}} = 2.236 \times 10^{-5} \, \text{rad}$.
$D = 80 \, m$ અંતરે ટેલિસ્કોપ જે લઘુત્તમ અંતર $x$ ને વિભેદિત કરી શકે છે તે $x = \Delta \theta \times D$ છે.
$x = 2.236 \times 10^{-5} \times 80 = 1.788 \times 10^{-3} \, m$.
વાયર જાળીનું અંતર $2 \times 10^{-3} \, m$ છે.
અહીં જાળીનું અંતર $(2 \times 10^{-3} \, m)$ એ વિભેદન સીમા $(1.788 \times 10^{-3} \, m)$ કરતા વધારે હોવાથી,જાળીને વિભેદિત કરી શકાય છે.
જો એપર્ચર અડધું કરવામાં આવે,તો નવી વિભેદન સીમા $\Delta \theta' = 2 \times \Delta \theta = 4.472 \times 10^{-5} \, \text{rad}$ થશે.
નવું લઘુત્તમ અંતર $x' = 4.472 \times 10^{-5} \times 80 = 3.577 \times 10^{-3} \, m$ થશે.
અહીં $3.577 \times 10^{-3} \, m > 2 \times 10^{-3} \, m$ હોવાથી,જો એપર્ચર અડધું કરવામાં આવે તો જાળીને વિભેદિત કરી શકાતી નથી.
તેથી,તે વર્તમાન એપર્ચર સાથે શક્ય છે,પરંતુ અડધા વ્યાસ સાથે શક્ય નથી.

(C) ટેલિસ્કોપની વિભેદન સીમા $(\theta)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$
આપેલ છે:
ઓબ્જેક્ટિવનો વ્યાસ $(D)$ $= 200\, cm = 2\, m = 200 \times 10^{-2}\, m$
પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ $= 500\, nm = 500 \times 10^{-9}\, m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\theta = \frac{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}{200 \times 10^{-2}}$
$\theta = \frac{1.22 \times 500}{200} \times 10^{-7}$
$\theta = 1.22 \times 2.5 \times 10^{-7}$
$\theta = 3.05 \times 10^{-7}\, \text{રેડિયન}$
$\theta = 305 \times 10^{-9}\, \text{રેડિયન}$

(C) ટેલિસ્કોપની વિભેદન સીમા $(\Delta\theta)$ નું સૂત્ર: $\Delta\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$ છે.
આપેલ છે:
$\lambda = 600\, nm = 600 \times 10^{-9}\, m$
$d = 250\, cm = 2.5\, m$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta\theta = \frac{1.22 \times 600 \times 10^{-9}}{2.5}$
$\Delta\theta = \frac{732 \times 10^{-9}}{2.5}$
$\Delta\theta = 292.8 \times 10^{-9}\, rad = 2.928 \times 10^{-7}\, rad$
આ મૂલ્ય $3.0 \times 10^{-7}\, rad$ ની સૌથી નજીક છે.

(C) માઈક્રોસ્કોપની વિભેદન શક્તિ (resolving power) બે બિંદુઓ વચ્ચેના લઘુત્તમ અંતર $d$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે જેમને અલગ જોઈ શકાય છે.
લઘુત્તમ અંતર $d$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{0.61 \lambda}{\text{NA}}$
આપેલ છે:
$\lambda = 5000\,\mathring{A} = 5000 \times 10^{-10}\,\text{m} = 5 \times 10^{-7}\,\text{m}$
$\text{NA} = 1.25$
કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{0.61 \times 5 \times 10^{-7}}{1.25}$
$d = \frac{3.05 \times 10^{-7}}{1.25}$
$d = 2.44 \times 10^{-7}\,\text{m}$
માઈક્રોમીટર $(\mu m)$ માં રૂપાંતર કરતા:
$d = 2.44 \times 10^{-7} \times 10^6\,\mu m = 0.244\,\mu m \approx 0.24\,\mu m$
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિ (resolving power) એટલે બે નજીકની વસ્તુઓને અલગ પાડવાની ક્ષમતા. કોણીય વિભેદન મર્યાદા $\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ (એપર્ચર) છે.
જેમ એપર્ચર $D$ વધે છે,તેમ કોણીય વિભેદન $\theta$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે ટેલિસ્કોપ વધુ ઝીણી વિગતોને સ્પષ્ટ રીતે જોઈ શકે છે. તેથી,ઉચ્ચ રિઝોલ્યુશન મેળવવા માટે મોટા એપર્ચરનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

(A) માનવ આંખની વિભેદન મર્યાદા આશરે $\theta = 1' = \left(\frac{1}{60}\right)^{\circ}$ છે.
બે વસ્તુઓને અલગ જોવા માટે,તેમના દ્વારા આંખ પર બનતો ખૂણો ઓછામાં ઓછો $\theta$ હોવો જોઈએ.
સૂત્ર $\theta = \frac{d}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $d$ એ થાંભલાઓ વચ્ચેનું અંતર છે અને $r$ એ અવલોકનકારનું થાંભલાથી અંતર છે.
પ્રથમ,$\theta$ ને રેડિયનમાં ફેરવો: $\theta = \frac{1}{60} \times \frac{\pi}{180} \, \text{rad}$.
આપેલ છે $d = 6.28 \, m = 6.28 \times 10^{-3} \, km$.
$r$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $r = \frac{d}{\theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{6.28 \times 10^{-3}}{\frac{1}{60} \times \frac{\pi}{180}}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,આપણને મળે છે $r = \frac{6.28 \times 10^{-3} \times 60 \times 180}{3.14} = 2 \times 10^{-3} \times 60 \times 180 = 21600 \, m = 21.6 \, km$.

(A) વિભેદન સીમા $d\theta$ નું સૂત્ર $d\theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે અને $D$ એ છિદ્રનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 555 \, nm = 555 \times 10^{-9} \, m$ અને $D = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $d\theta = \frac{1.22 \times 555 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-3}} \, rad$.
$d\theta = 3.3855 \times 10^{-4} \, rad$.
રેડિયનને મિનિટમાં ફેરવવા માટે,$\frac{180}{\pi}$ વડે અને ત્યારબાદ $60$ વડે ગુણો:
$d\theta (min) = 3.3855 \times 10^{-4} \times \frac{180}{3.14159} \times 60 \approx 1.16 \, min$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $1.2 \, min$ મળે છે.

(C) ટેલિસ્કોપની કોણીય વિભેદન શક્તિ $\theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 5000\,\mathring{A} = 5 \times 10^{-7}\,m$,$D = 10\,cm = 0.1\,m$,અને અંતર $L = 1\,km = 10^3\,m$.
વિભેદિત કરી શકાય તેવા બે પદાર્થો વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $x = L \theta = \frac{1.22 \lambda L}{D}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{1.22 \times (5 \times 10^{-7}\,m) \times (10^3\,m)}{0.1\,m}$.
$x = \frac{1.22 \times 5 \times 10^{-4}}{10^{-1}} = 1.22 \times 5 \times 10^{-3}\,m = 6.1 \times 10^{-3}\,m = 6.1\,mm$.
તેથી,તે $5\,mm$ ના ક્રમનું છે.

(A) જ્યારે નિરીક્ષક માટે તેમનું કોણીય વિભાજન રેલેના માપદંડ (Rayleigh's criterion) દ્વારા જરૂરી હોય તેના કરતા વધારે હોય ત્યારે આપણે બે નજીક આવેલા ખૂબ નાના ટપકાંઓને અલગ જોઈ શકીએ છીએ.
$\theta_{R} = 1.22 \frac{\lambda}{d}$
અહીં,$d$ એ આંખની કીકીનો વ્યાસ છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે. જો બે ટપકાં વચ્ચેનું અંતર $D$ હોય અને $L$ એ ચિત્રથી નિરીક્ષકનું અંતર હોય,તો કોણીય વિભાજન $\theta = \frac{D}{L}$ થાય.
રેલેના માપદંડ મુજબ,ટપકાં ત્યારે જ અલગ દેખાય છે જો $\theta \geq 1.22 \frac{\lambda}{d}$ હોય.
આમ,$\frac{D}{L} \geq 1.22 \frac{\lambda}{d}$,જેનો અર્થ છે કે $L \leq \frac{D d}{1.22 \lambda}$.
જેમ જેમ નિરીક્ષક ચિત્રથી દૂર જાય છે ($L$ વધે છે),તેમ કોણીય વિભાજન $\theta$ ઘટે છે. જ્યારે $\theta$ આંખની વિભેદન મર્યાદા કરતા ઓછું થાય છે,ત્યારે વ્યક્તિગત ટપકાંઓ અલગ દેખાતા નથી અને આંખ તેમને અલગ પાડવામાં અસમર્થ હોવાથી તેમના રંગો ભળી જાય છે. વિવિધ રંગોની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ અલગ હોવાથી,તેઓ કયા અંતરે ભળી જશે તે બદલાય છે,જેના કારણે નિરીક્ષક દૂર જાય તેમ ચોક્કસ બિંદુએ દેખાતો રંગ બદલાય છે. તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ આ ઘટનાને સમજાવે છે.

(B) ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિ એ બે દૂરના પદાર્થો વચ્ચેના સૌથી નાના કોણીય અંતરના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેને ટેલિસ્કોપ દ્વારા અલગ પાડી શકાય છે.
ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિનું સૂત્ર છે: $\text{Resolving Power} = \frac{D}{1.22 \lambda}$,જ્યાં $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે અને $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિભેદન શક્તિ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના વ્યાસ $D$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
કારણમાં જણાવેલ છે કે મોટા વ્યાસવાળો ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વધુ પ્રકાશ એકત્રિત કરે છે. આ વિધાન ભૌતિક રીતે સાચું છે,કારણ કે મોટું છિદ્ર (aperture) ટેલિસ્કોપમાં વધુ પ્રકાશને પ્રવેશવા દે છે,જે તેની પ્રકાશ એકત્ર કરવાની ક્ષમતા (પ્રતિબિંબની તેજસ્વીતા) વધારે છે. જોકે,આ વિભેદન શક્તિમાં વધારો થવાનું કારણ નથી. વિભેદન શક્તિ એ વિવર્તનની મર્યાદા (diffraction limit) પર આધાર રાખે છે,પ્રકાશ એકત્ર કરવાની ક્ષમતા પર નહીં.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે,પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) ટેલિસ્કોપની કોણીય વિભેદન શક્તિનું સૂત્ર $\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $D$ એ એપર્ચરનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 5500 \; \mathring{A} = 5500 \times 10^{-10} \; m$, $D = 5 \; m$, અને અંતર $d = 4 \times 10^{5} \; km = 4 \times 10^{8} \; m$.
ચંદ્ર પરના બે પદાર્થો વચ્ચેનું રેખીય અંતર $x$ જે માત્ર અલગ (resolved) જોઈ શકાય છે તે $x = d \cdot \Delta \theta$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = d \times \frac{1.22 \lambda}{D} = \frac{4 \times 10^{8} \times 1.22 \times 5500 \times 10^{-10}}{5}$.
$x = \frac{4 \times 1.22 \times 5.5 \times 10^{-2}}{5} \times 10^{8} = 0.8 \times 1.22 \times 5.5 \times 10^{-2} \times 10^{8} = 53.68 \; m$.
આ કિંમતને નજીકના વિકલ્પમાં ફેરવતા, આપણને $60 \; m$ મળે છે.

(B) ટેલિસ્કોપની વિભેદન સીમાનું સૂત્ર $\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે:
$\lambda = 6000\,\mathring{A} = 6000 \times 10^{-10}\,\text{m} = 6 \times 10^{-7}\,\text{m}$.
$D = 100\,\text{inch} = 100 \times 2.54 \times 10^{-2}\,\text{m} = 2.54\,\text{m}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta \theta = \frac{1.22 \times 6 \times 10^{-7}}{2.54} \approx 2.88 \times 10^{-7}\,\text{radians}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $\Delta \theta \approx 2.9 \times 10^{-7}\,\text{radians}$ મળે છે.

(N/A) વિભેદન શક્તિ: બે નજીક રાખેલી વસ્તુઓના સ્પષ્ટ અલગ પ્રતિબિંબ ઉત્પન્ન કરવાની ઓપ્ટિકલ સાધનની ક્ષમતાને તેની વિભેદન શક્તિ કહેવામાં આવે છે.
ઓપ્ટિકલ સાધનોમાં વિવર્તનની ઘટનાને કારણે,ખૂબ નજીક રહેલી વસ્તુઓ અને તેમના પ્રતિબિંબોને અલગ પાડવા મુશ્કેલ છે.
ટેલિસ્કોપનું કોણીય વિભેદન તેના ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આઈપીસ દ્વારા મેગ્નિફિકેશન વધારવાથી વિભેદન સુધરતું નથી; આઈપીસ ફક્ત ઓબ્જેક્ટિવ દ્વારા રચાયેલા પ્રતિબિંબને મોટું કરે છે.
જ્યારે પ્રકાશનું સમાંતર કિરણપુંજ બહિર્ગોળ લેન્સ પર આપાત થાય છે,ત્યારે લેન્સ કિરણપુંજને કેન્દ્રિત કરે છે. પરંતુ વિવર્તનને કારણે,તે એક બિંદુને બદલે મર્યાદિત વર્તુળાકાર વિસ્તારમાં કેન્દ્રિત થાય છે. આ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
કેન્દ્રીય તેજસ્વી વિસ્તારની આસપાસ ઘેરા અને તેજસ્વી વલયો મળે છે,જેને એરીના વલયો (Airy's rings) કહેવામાં આવે છે.
જો $f$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ હોય અને $2a$ એ વર્તુળાકાર છિદ્રનો વ્યાસ હોય,તો કેન્દ્રીય મહત્તમની રેખીય પહોળાઈ $\frac{1.22 \lambda f}{2a}$ છે.
તેથી,કેન્દ્રીય મહત્તમની ત્રિજ્યા:
$r_{0} \approx \frac{1.22 \lambda f}{2a} = \frac{0.61 \lambda f}{a}$
સંબંધ $r_{0} = f \Delta \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f \Delta \theta \approx \frac{0.61 \lambda f}{a}$
$\therefore \Delta \theta \approx \frac{0.61 \lambda}{a}$
અહીં,$\Delta \theta$ એ બે પ્રતિબિંબોને અલગ જોવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ખૂણો છે,જે ટેલિસ્કોપનું કોણીય વિભેદન દર્શાવે છે.
આમ,જ્યારે ઓબ્જેક્ટિવનો વ્યાસ $(2a)$ મોટો હોય,ત્યારે $\Delta \theta$ નાનું બને છે. એટલે કે ટેલિસ્કોપ માટે,મોટું છિદ્ર $a$ ઉચ્ચ વિભેદન શક્તિ આપે છે.

(N/A) માઈક્રોસ્કોપના ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ દ્વારા બિંદુવત વસ્તુનું પ્રતિબિંબ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
ધારો કે લેન્સનો વ્યાસ $D$ છે અને તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે. વસ્તુ અંતર $f$ કરતા વધારે રાખવામાં આવે છે. ધારો કે પ્રતિબિંબ અંતર $v$ છે.
વિવર્તનની અસરને કારણે મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમની રેખીય પહોળાઈ $v \theta$ છે.
$\therefore v \theta = \left( \frac{1.22 \lambda}{D} \right) v \quad \dots (1)$
જો બે બિંદુવત વસ્તુઓના પ્રતિબિંબો વચ્ચેનું અંતર $v \theta$ કરતા ઓછું હોય,તો તે એક મિશ્રિત વસ્તુ તરીકે દેખાશે.
જો બે બિંદુવત વસ્તુઓના પ્રતિબિંબોને અલગ જોવા માટેનું લઘુત્તમ અંતર $d_m$ હોય,તો
$\therefore d_m = \left( \frac{1.22 \lambda}{D} \right) \frac{v}{m}$,જ્યાં $m = \frac{v}{f}$ એ મોટવણી છે.
$m = \frac{v}{f}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $d_m = \left( \frac{1.22 \lambda}{D} \right) f \quad \dots (2)$
આકૃતિ પરથી,$\frac{D/2}{f} = \tan \beta$.
$\therefore \frac{D}{f} = 2 \tan \beta \quad \dots (3)$
સમીકરણ $(3)$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$d_m = \frac{1.22 \lambda}{2 \tan \beta}$
જો $\beta$ ખૂબ નાનો હોય અને રેડિયનમાં હોય,તો $\tan \beta \approx \sin \beta$.
$\therefore d_m = \frac{1.22 \lambda}{2 \sin \beta}$

(C) ઓપ્ટિકલ સાધનની રિઝોલ્વિંગ પાવર એ ન્યૂનતમ રિઝોલ્યુશન ખૂણાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ટેલિસ્કોપ માટે,રિઝોલ્વિંગ પાવર $RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે. આમ,વ્યાસ $(D)$ વધારવાથી રિઝોલ્વિંગ પાવર વધે છે.
માઇક્રોસ્કોપ માટે,રિઝોલ્વિંગ પાવર $RP = \frac{2n \sin \beta}{1.22 \lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n \sin \beta$ એ ન્યુમેરિકલ એપર્ચર છે. આમ,ન્યુમેરિકલ એપર્ચર વધારવાથી રિઝોલ્વિંગ પાવર વધે છે.
તેથી,ટેલિસ્કોપ માટે ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનું એપર્ચર અને માઇક્રોસ્કોપ માટે ન્યુમેરિકલ એપર્ચર વધારવાથી તેમની રિઝોલ્વિંગ પાવર વધે છે.

(N/A) ધારો કે $S_{1}$ અને $S_{2}$ કાગળ પરના બે ક્રમિક ટપકાં છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, ધારો કે બે ક્રમિક ટપકાં $S_{1}$ અને $S_{2}$ (આંખથી $Z$ અંતરે કાગળ પર) ના પ્રતિબિંબ આંખ દ્વારા સ્પષ્ટ અને અલગ જોઈ શકાય છે। અહીં $S_{1}$ અને $S_{2}$ વચ્ચેનું અંતર $d_{m}$ ને આંખની 'રેખીય વિભેદન સીમા' કહેવામાં આવે છે અને ખૂણો $\alpha_{\min} = \phi$ ને આંખની 'કોણીય વિભેદન સીમા' કહેવામાં આવે છે.
રેડિયનમાં ખૂણાના માપની વ્યાખ્યા મુજબ:
$\text{ખૂણો} = \frac{\text{ચાપ}}{\text{ત્રિજ્યા}}$
તેથી, $\alpha_{\min} = \frac{d_{m}}{Z}$
આપેલ છે કે પ્રિન્ટર $2.54 \, cm$ દીઠ $300 \, \text{ડોટ્સ}$ પ્રિન્ટ કરે છે, તેથી બે ક્રમિક ટપકાં વચ્ચેનું અંતર:
$d_{m} = \frac{2.54 \, cm}{300} \approx 8.467 \times 10^{-3} \, cm$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$Z = \frac{d_{m}}{\phi} = \frac{2.54 \, cm / 300}{5.8 \times 10^{-4} \, rad}$
$Z = \frac{2.54}{300 \times 5.8 \times 10^{-4}} \, cm$
$Z = \frac{2.54}{0.174} \, cm \approx 14.6 \, cm$
જો કાગળને $14.6 \, cm$ થી વધુ અંતરે રાખવામાં આવે, તો $S_{1}$ અને $S_{2}$ ના પ્રતિબિંબ અલગ જોઈ શકાતા નથી। તેથી, જરૂરી લઘુત્તમ અંતર $Z = 14.6 \, cm$ છે।

(B) ટેલિસ્કોપની વિભેદન સીમા $(\Delta \theta)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$, જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 600\, nm = 600 \times 10^{-9}\, m = 6 \times 10^{-7}\, m$ અને $D = 2\, m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \theta = \frac{1.22 \times 6 \times 10^{-7}}{2}$
$\Delta \theta = 1.22 \times 3 \times 10^{-7}$
$\Delta \theta = 3.66 \times 10^{-7}\, rad$.
આમ, જવાબ $3.66$ છે.

(B) માઇક્રોસ્કોપની વિભેદન શક્તિ $(RP)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$RP = \frac{2 \mu \sin \theta}{1.22 \lambda}$
ધારો કે માધ્યમ હવા છે,તેથી $\mu = 1$.
આપેલ ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta = \frac{a}{f_{0}} = \frac{1 \, cm}{5 \, cm} = 0.2$.
$\theta$ નાનું હોવાથી,$\sin \theta \approx \tan \theta = 0.2$.
આપેલ છે કે $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$RP = \frac{2 \times 1 \times 0.2}{1.22 \times 6 \times 10^{-7}}$
$RP = \frac{0.4}{7.32 \times 10^{-7}}$
$RP \approx 5.46 \times 10^{5} \, m^{-1}$.
આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર વપરાયેલ વિકિરણની તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે, $\text{Resolving Power} \propto \frac{1}{\lambda}$.
ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપમાં પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ સામાન્ય રીતે $0.001 \ nm$ થી $0.01 \ nm$ ની રેન્જમાં હોય છે, જ્યારે દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $400 \ nm$ થી $700 \ nm$ ની રેન્જમાં હોય છે.
ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇ દ્રશ્ય પ્રકાશ કરતા ઘણી ઓછી હોવાથી, ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર ઓપ્ટિકલ માઇક્રોસ્કોપ કરતા ઘણી વધારે હોય છે.
તેથી, વિધાન $A$ અને કારણ $R$ બંને સાચા છે, અને કારણ $R$ એ વિધાન $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) ટેલિસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર $(R.P.)$ નું સૂત્ર $R.P. = \frac{D}{1.22 \lambda}$ છે,જ્યાં $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવનું એપર્ચર છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ છે: $D = 24.4 \, cm = 24.4 \times 10^{-2} \, m$ અને $\lambda = 2440 \, \mathring{A} = 2440 \times 10^{-10} \, m$.
કિંમતો મૂકતા:
$R.P. = \frac{24.4 \times 10^{-2}}{1.22 \times 2440 \times 10^{-10}}$
$R.P. = \frac{24.4 \times 10^{-2}}{2976.8 \times 10^{-10}}$
$R.P. = \frac{24.4}{2976.8} \times 10^{8}$
$R.P. \approx 0.0082 \times 10^{8} = 8.2 \times 10^{5}$.

(B) માઇક્રોસ્કોપની વિભેદન શક્તિ $(R.P.)$ નું સૂત્ર: $R.P. = \frac{2 \mu \sin \theta}{1.22 \lambda}$ છે,જ્યાં $\mu$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે,$\theta$ એ અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો છે અને $\lambda$ એ શૂન્યાવકાશ/હવામાં પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
શરૂઆતમાં,હવામાં $(\mu_1 = 1)$: $(R.P.)_{\text{air}} = \frac{2 \times 1 \times \sin \theta}{1.22 \lambda} = \frac{2 \sin \theta}{1.22 \lambda}$.
જ્યારે તેલમાં ડુબાડવામાં આવે $(\mu_2 = 2)$: માધ્યમમાં તરંગલંબાઇ $\lambda_{\text{oil}} = \frac{\lambda}{\mu_2} = \frac{\lambda}{2}$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $(R.P.)_{\text{oil}} = \frac{2 \sin \theta}{1.22 \lambda_{\text{oil}}} = \frac{2 \sin \theta}{1.22 (\lambda / 2)} = \frac{2 \times 2 \sin \theta}{1.22 \lambda} = 2 \times (R.P.)_{\text{air}}$.
તેથી,તેલમાં વિભેદન શક્તિ હવાની સરખામણીમાં બમણી થાય છે.

(B) કમ્પાઉન્ડ માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર $(RP)$ નું સૂત્ર $RP = \frac{2n \sin \beta}{1.22 \lambda}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે રિઝોલ્વિંગ પાવર એ વપરાતા પ્રકાશની તરંગલંબાઇના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $RP \propto \frac{1}{\lambda}$.
જાંબલી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\text{violet}})$ એ લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\text{red}})$ કરતા ઓછી હોવાથી,જાંબલી પ્રકાશનો ઉપયોગ કરવાથી રિઝોલ્વિંગ પાવર વધારે મળે છે.
તેથી,જ્યારે વસ્તુને પ્રકાશિત કરવા માટે જાંબલી પ્રકાશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે ત્યારે રિઝોલ્વિંગ પાવર મહત્તમ હોય છે.

(B) માઇક્રોસ્કોપની વિભેદન સીમા $(d)$ નું સૂત્ર $d = \frac{1.22 \lambda}{2 \mu \sin \theta}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે વિભેદન સીમા એ તરંગલંબાઈના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $d \propto \lambda$.
આપેલ છે:
$d_1 = 0.05 \, mm$
$\lambda_1 = 6000 \, \mathring{A}$
$\lambda_2 = 3000 \, \mathring{A}$
ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{0.05}{d_2} = \frac{6000}{3000}$
$\frac{0.05}{d_2} = 2$
$d_2 = \frac{0.05}{2} = 0.025 \, mm$.
તેથી,વિભેદન સીમા $0.025 \, mm$ થશે.

(C) ટેલિસ્કોપની વિભેદન સીમા એટલે બે દૂરના પદાર્થો વચ્ચેનું લઘુત્તમ કોણીય અંતર,જેને ટેલિસ્કોપ દ્વારા અલગ પાડી શકાય છે.
$r$ (અથવા $D$) વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળાકાર છિદ્ર માટે,વિભેદન સીમા (જેને કોણીય વિભેદન અથવા રેલેના માપદંડ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{r}$
જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $r$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) માઈક્રોસ્કોપની વિભેદન સીમા $(x)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x = \frac{0.61 \lambda}{NA}$, જ્યાં $NA$ એ ન્યુમેરિકલ એપર્ચર છે.
આપેલ છે:
$\lambda = 600 \, nm = 600 \times 10^{-9} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$
$NA = 0.12$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{0.61 \times 6 \times 10^{-7}}{0.12}$
$x = \frac{3.66 \times 10^{-7}}{0.12}$
$x = 30.5 \times 10^{-7} \, m = 3.05 \times 10^{-6} \, m$
$1 \, \mu m = 10^{-6} \, m$ હોવાથી, $x \approx 3.05 \, \mu m$ મળે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $3.0 \, \mu m$ છે.

(C) ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિ એટલે બે પદાર્થો વચ્ચેનું લઘુત્તમ કોણીય અંતર જે ટેલિસ્કોપ દ્વારા અલગ જોઈ શકાય છે તેના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિનું સૂત્ર $RP = \frac{a}{1.22 \lambda}$ છે,જ્યાં $a$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના એપર્ચરનો વ્યાસ છે અને $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $RP \propto a$. તેથી,વિભેદન શક્તિ વધારવા માટે,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનું એપર્ચર $(a)$ મોટું હોવું જોઈએ.
વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે મોટું એપર્ચર વિવર્તનની મર્યાદા ઘટાડે છે,જે વધુ સારી વિભેદન ક્ષમતા આપે છે.
કારણ $(R)$ માં સૂત્ર $\frac{2 a }{1.22 \lambda}$ આપેલું છે,જે ખોટું છે કારણ કે સાચું સૂત્ર $\frac{a}{1.22 \lambda}$ છે.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે,પરંતુ કારણ $(R)$ ખોટું છે.

(D) ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિ એ બે પદાર્થો વચ્ચેના લઘુત્તમ કોણીય અંતરના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે ટેલિસ્કોપ દ્વારા અલગ પાડી શકાય છે. તે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$,જ્યાં $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે અને $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે. આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિભેદન શક્તિ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના વ્યાસ $(D)$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે. તેથી,ઓબ્જેક્ટિવનો વ્યાસ વધારવાથી ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિ વધે છે.

(B) ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિ $(R.P.)$ નું સૂત્ર $R.P. = \frac{D}{1.22\lambda}$ છે,જ્યાં $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ (એપર્ચર) છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે.
આપેલ અવલોકન માટે તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ નિશ્ચિત હોવાથી,વિભેદન શક્તિ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના એપર્ચર $(D)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(R.P. \propto D)$.
તેથી,વધુ સારી વિભેદન શક્તિ (બે નજીકની વસ્તુઓને અલગ પાડવાની ક્ષમતા) મેળવવા માટે,ટેલિસ્કોપમાં મોટા એપર્ચરવાળા ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

(D) માઇક્રોસ્કોપની વિભેદન સીમા $(d)$ એ વપરાતા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $d \propto \lambda$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,આપણે ગુણોત્તર આ રીતે લખી શકીએ: $\frac{d_1}{d_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.
આપેલ છે: $d_1 = 0.1 \ mm$,$\lambda_1 = 6000 \ Å$,અને $\lambda_2 = 4800 \ Å$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.1}{d_2} = \frac{6000}{4800}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{6000}{4800} = \frac{60}{48} = \frac{5}{4} = 1.25$.
આમ,$d_2 = \frac{0.1}{1.25} = 0.08 \ mm$.

(B) સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર $(P)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{2 \mu \sin \theta}{1.22 \lambda}$.
અહીં,$\mu$ એ વસ્તુ અને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વચ્ચેના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે,$\theta$ એ વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના શંકુનો અડધો ખૂણો છે,અને $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
રિઝોલ્વિંગ પાવર સુધારવા માટે,અંશમાં વધારો કરવો અથવા છેદમાં ઘટાડો કરવો જરૂરી છે.
તેથી,વસ્તુ અને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વચ્ચેના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $(\mu)$ વધારવાથી રિઝોલ્વિંગ પાવરમાં વધારો થાય છે.

(C) માઇક્રોસ્કોપના ઓબ્જેક્ટિવનું ન્યુમેરિકલ એપર્ચર $(NA)$ એ $NA = \mu \sin \alpha$ સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ વસ્તુ અને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વચ્ચેના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે,અને $\alpha$ એ વસ્તુમાંથી ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સમાં પ્રવેશતા પ્રકાશના શંકુનો અર્ધ-ઊર્ધ્વ કોણ (semi-vertical angle) છે. તેથી,સાચી રજૂઆત $\mu \sin \alpha$ છે.

(D) ઓપ્ટિકલ સાધનની વિભેદન શક્તિ $(RP)$ એ વપરાતા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $RP \propto \frac{1}{\lambda}$.
આપેલ છે: $\lambda_A = 4500 \, \text{Å}$ અને $\lambda_B = 6000 \, \text{Å}$.
$A$ અને $B$ ની વિભેદન શક્તિનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{RP_A}{RP_B} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A} = \frac{6000 \, \text{Å}}{4500 \, \text{Å}} = \frac{60}{45} = \frac{4}{3}$.
તેથી, ગુણોત્તર $4:3$ છે.

(A) એસ્ટ્રોનોમિકલ ટેલિસ્કોપનો રિઝોલ્વિંગ પાવર $(RP)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $RP = \frac{a}{1.22 \lambda}$,જ્યાં $a$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનું એપર્ચર (વ્યાસ) છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
$1$. પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ એ સ્ત્રોત પર આધાર રાખે છે અને તે ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના એપર્ચરથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,તેના પર કોઈ અસર થતી નથી.
$2$. ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઇ $(f)$ એ તેની વક્રતા અને વક્રીભવનાંક દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જે માત્ર એપર્ચર (વ્યાસ) વધારવાથી બદલાતી નથી. તેથી,તેના પર કોઈ અસર થતી નથી.
$3$. સૂત્ર $RP \propto a$ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે રિઝોલ્વિંગ પાવર એ એપર્ચર $a$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,એપર્ચર વધારવાથી રિઝોલ્વિંગ પાવર વધે છે.
આમ,સાચો ક્રમ છે: અસર થતી નથી,અસર થતી નથી,વધે છે.

(D) ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિનું સૂત્ર $RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$ છે,જ્યાં $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે અને $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિભેદન શક્તિ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના વ્યાસના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(RP \propto D)$.
તેથી,જો ટેલિસ્કોપના ઓબ્જેક્ટિવનો વ્યાસ મોટો હોય,તો તેની વિભેદન શક્તિ વધારે હશે.

(C) માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્યુશનની મર્યાદા $(d)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $d = \frac{1.22 \lambda}{2 NA}$,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $NA$ એ ન્યુમેરિકલ એપર્ચર છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે રિઝોલ્યુશનની મર્યાદા $(d)$ એ ન્યુમેરિકલ એપર્ચર $(NA)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $d \propto \frac{1}{NA}$.
તેથી,જો માઇક્રોસ્કોપનું ન્યુમેરિકલ એપર્ચર $(NA)$ વધારવામાં આવે,તો રિઝોલ્યુશનની મર્યાદા $(d)$ ઘટે છે,જે માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર (વિભેદન શક્તિ) માં સુધારો કરે છે.

(A) ટેલિસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર $(RP)$ એ બે પદાર્થો વચ્ચેના લઘુત્તમ કોણીય અંતરના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેને ટેલિસ્કોપ દ્વારા અલગ પાડી શકાય છે.
તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$
જ્યાં $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે અને $\lambda$ એ વપરાતા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $RP \propto \frac{1}{\lambda}$.
તેથી,જ્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ઘટે છે,ત્યારે ટેલિસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર વધે છે.

(B) ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિનું સૂત્ર $RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$ છે,જ્યાં $D$ એ ટેલિસ્કોપનું એપર્ચર છે અને $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિભેદન શક્તિ એ એપર્ચરના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(RP \propto D)$.
તેથી,જો ટેલિસ્કોપનું એપર્ચર ઘટાડવામાં આવે,તો તેની વિભેદન શક્તિ પણ ઘટશે.

(B) વર્તુળાકાર છિદ્ર માટે રેલેના માપદંડ મુજબ,કોણીય વિભેદન $\theta = 1.22 \lambda / D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે અને $D$ એ છિદ્રનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે: તરંગલંબાઇ $\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$,ત્રિજ્યા $r = 0.25 \ cm = 2.5 \times 10^{-3} \ m$,તેથી વ્યાસ $D = 2r = 5.0 \times 10^{-3} \ m$.
કોણીય વિભેદન $\theta = (1.22 \times 500 \times 10^{-9}) / (5.0 \times 10^{-3}) = 1.22 \times 10^{-4} \ rad$ છે.
$L = 25 \ cm = 0.25 \ m$ ના અંતરે લઘુત્તમ અંતર $d = L \times \theta$ છે.
$d = 0.25 \times 1.22 \times 10^{-4} = 0.305 \times 10^{-4} \ m = 30.5 \times 10^{-6} \ m = 30.5 \mu m$.
આમ,લઘુત્તમ અંતર લગભગ $30 \mu m$ છે.

(D) ટેલિસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$
જ્યાં $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવનો વ્યાસ છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ છે:
$D = 200 \text{ cm} = 2 \text{ m}$
$\lambda = 5000 \text{ \AA} = 5000 \times 10^{-10} \text{ m} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$
કિંમતો મૂકતા:
$RP = \frac{2}{1.22 \times 5 \times 10^{-7}}$
$RP = \frac{2}{6.1 \times 10^{-7}}$
$RP = \frac{2}{6.1} \times 10^{7}$
$RP \approx 0.32786 \times 10^{7}$
$RP \approx 3.28 \times 10^{6}$
તેથી, ટેલિસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર $3.28 \times 10^{6}$ છે.

(A) આપેલ છે, થાંભલાઓ વચ્ચેનું અંતર $(d) = 3.14 \, m$.
વિભેદન શક્તિ $(\theta) = 1 \, min = (1/60)^{\circ} = (1/60) \times (\pi/180) \, \text{રેડિયન}$.
ધારો કે મહત્તમ અંતર જ્યાંથી બે થાંભલાઓને સ્પષ્ટ રીતે ઓળખી શકાય તે $x$ છે.
નાના ખૂણા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\theta = d/x$ (જ્યાં $\theta$ રેડિયનમાં છે).
$\theta = 1 \, min = (1/60) \times (\pi/180) \, rad$.
કિંમતો મૂકતા: $(1/60) \times (\pi/180) = 3.14 / x$.
કારણ કે $\pi \approx 3.14$, તેથી $(1/60) \times (3.14/180) = 3.14 / x$.
$1 / (60 \times 180) = 1 / x$.
$x = 60 \times 180 = 10800 \, m$.
$x = 10.8 \, km$.

(C) બે હેડલાઇટ માંડ અલગ દેખાય (resolved) તે માટેની શરત રેલેના માપદંડ (Rayleigh criterion) દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}$, જ્યાં $\theta$ એ કોણીય વિભેદન છે, $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $D$ એ આંખની કીકીનો વ્યાસ છે.
વળી, $\theta = \frac{d}{x}$, જ્યાં $d$ એ હેડલાઇટ વચ્ચેનું અંતર છે અને $x$ એ અવલોકનકારથી જીપનું અંતર છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{d}{x} = 1.22 \frac{\lambda}{D} \Rightarrow x = \frac{d \times D}{1.22 \times \lambda}$.
આપેલ છે: $d = 1.2 \,m$, $D = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$, $\lambda = 5896 \,\text{Å} = 5896 \times 10^{-10} \,m$.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{1.2 \times 2 \times 10^{-3}}{1.22 \times 5896 \times 10^{-10}} \approx 3336 \,m$.
કિલોમીટરમાં ફેરવતા: $x \approx 3.34 \,km$.

(C) રેલેના માપદંડ (Rayleigh's criterion) મુજબ, કોણીય વિભેદન મર્યાદા $\theta = \frac{1.22 \lambda}{d_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $d_e$ એ આંખની કીકીનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 500 \,nm = 500 \times 10^{-9} \,m$, $d_e = 2.5 \times 10^{-3} \,m$, અને અંતર $D = 10 \,km = 10^4 \,m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\theta = \frac{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}{2.5 \times 10^{-3}} = 2.44 \times 10^{-4} \,rad$.
વિભેદન અંતર $a$ એ કોણીય વિભેદન સાથે $\theta = \frac{a}{D}$ સંબંધ ધરાવે છે.
તેથી, $a = D \times \theta = 10^4 \,m \times 2.44 \times 10^{-4} \,rad = 2.44 \,m$.