Resolving power-Human eye, Microscopes and Telescopes Questions in Gujarati

(D) બે ટપકાં વચ્ચેનું અંતર $x = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$ છે।
કીકીનો વ્યાસ $d = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$ છે।
પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda = 500 \,nm = 5 \times 10^{-7} \,m$ છે।
રેલેના માપદંડ મુજબ, બે બિંદુઓને અલગ પાડવા માટે કોણીય વિભેદન $\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
વળી, કોણીય વિભેદનને $\theta = \frac{x}{D}$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે, જ્યાં $D$ એ મહત્તમ અંતર છે।
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{x}{D} = \frac{1.22 \lambda}{d}$.
$D$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $D = \frac{x d}{1.22 \lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $D = \frac{(2 \times 10^{-3} \,m) \times (3 \times 10^{-3} \,m)}{1.22 \times (5 \times 10^{-7} \,m)}$.
$D = \frac{6 \times 10^{-6}}{6.1 \times 10^{-7}} = \frac{60}{6.1} \approx 9.836 \,m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, $D \approx 10 \,m$ મળે છે.

(A) માઇક્રોસ્કોપની વિભેદન શક્તિ $R = \frac{1}{d} = \frac{2n \sin \beta}{1.22 \lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ બે પદાર્થો વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે.
આમ,લઘુત્તમ અંતર $d$ એ માધ્યમના વક્રીભવનાંક $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(d \propto \frac{1}{n})$.
હવા માટે $(n_1 = 1)$ આપેલ છે,$d_1 = 6 \mu m$.
$n_2 = 1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમ માટે,નવું લઘુત્તમ અંતર $d_2$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$d_2 = \frac{d_1 \times n_1}{n_2} = \frac{6 \mu m \times 1}{1.5} = 4 \mu m$.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $4 \mu m$ છે.

(C) ટેલિસ્કોપ માટે વિભેદન સીમા $(\theta_R)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\theta_R = \frac{1.22 \lambda}{a}$
આપેલ છે:
$\lambda = 6000 \text{ \AA} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$
$a = 100 \text{ inch} = 100 \times 2.54 \text{ cm} = 254 \text{ cm} = 2.54 \text{ m}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\theta_R = \frac{1.22 \times 6 \times 10^{-7}}{2.54}$
$\theta_R \approx \frac{7.32 \times 10^{-7}}{2.54} \approx 2.88 \times 10^{-7} \text{ rad}$
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા:
$\theta_R \approx 2.9 \times 10^{-7} \text{ rad}$

(B) માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્યુશન મર્યાદાનું સૂત્ર $d = \frac{\lambda}{2 NA}$ છે.
આપેલ છે:
ન્યુમેરિકલ એપર્ચર,$NA = 0.8$
તરંગલંબાઇ,$\lambda = 0.6 \mu m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{0.6}{2 \times 0.8}$
$d = \frac{0.6}{1.6}$
$d = \frac{6}{16} \mu m$
$d = \frac{3}{8} \mu m$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) માઇક્રોસ્કોપ દ્વારા બે નજીકના પદાર્થોને સ્પષ્ટ રીતે અલગ જોવા માટે લઘુત્તમ અંતર $(d_{\min})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d_{\min} = \frac{1.22 f \lambda}{D}$
આપેલ છે:
$f = 5 \text{ cm} = 5 \times 10^{-2} \text{ m}$
$\lambda = 5500 \text{ Å} = 5500 \times 10^{-10} \text{ m}$
$D = 8 \text{ mm} = 8 \times 10^{-3} \text{ m}$
કિંમતો મૂકતા:
$d_{\min} = \frac{1.22 \times 5 \times 10^{-2} \times 5500 \times 10^{-10}}{8 \times 10^{-3}}$
$d_{\min} = \frac{1.22 \times 5 \times 5500 \times 10^{-12}}{8 \times 10^{-3}}$
$d_{\min} = \frac{33550 \times 10^{-12}}{8 \times 10^{-3}}$
$d_{\min} = 4193.75 \times 10^{-9} \text{ m} \approx 4.19 \times 10^{-6} \text{ m}$
$d_{\min} \approx 4.2 \mu\text{m}$

(A) આપેલ છે: કીકીનો વ્યાસ, $d = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$. વસ્તુઓનું અંતર, $D = 20 \,m$. પ્રકાશની તરંગલંબાઇ, $\lambda = 600 \,nm = 6 \times 10^{-7} \,m$.
વર્તુળાકાર છિદ્ર (જેમ કે આંખની કીકી) માટે વિભેદન સીમા રેલેના માપદંડ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$
$D$ અંતરે રહેલી બે વસ્તુઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $y = \theta \times D$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y = \frac{1.22 \times 6 \times 10^{-7} \times 20}{2 \times 10^{-3}}$
$y = 1.22 \times 6 \times 10^{-4} \times 10 = 7.32 \times 10^{-3} \,m$
$y = 7.32 \,mm$.
આમ, માનવ આંખ દ્વારા પારખી શકાતું લઘુત્તમ અંતર $7.32 \,mm$ છે.

(B) આપેલ છે:
ઓબ્જેક્ટિવનો વ્યાસ,$d = 3.6 \ m$
પ્રકાશની તરંગલંબાઇ,$\lambda = 540 \ nm = 540 \times 10^{-9} \ m$
ટેલિસ્કોપની વિભેદન સીમા $(d\theta)$ શોધવાનું સૂત્ર:
$d\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$
કિંમતો મૂકતા:
$d\theta = \frac{1.22 \times 540 \times 10^{-9} \ m}{3.6 \ m}$
$d\theta = \frac{658.8 \times 10^{-9}}{3.6} \ rad$
$d\theta = 183 \times 10^{-9} \ rad$
$d\theta = 1.83 \times 10^{-7} \ rad$

(A) ટેલિસ્કોપ માટે વિભેદન મર્યાદા અથવા કોણીય વિભેદનનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\alpha_{\min} = \frac{1.22 \lambda}{D}$
આપેલ કિંમતો:
$\alpha_{\min} = 3.0 \times 10^{-7} \text{ rad}$
$\lambda = 525 \text{ nm} = 525 \times 10^{-9} \text{ m}$
ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના વ્યાસ $(D)$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$D = \frac{1.22 \lambda}{\alpha_{\min}}$
કિંમતો મૂકતા:
$D = \frac{1.22 \times 525 \times 10^{-9}}{3.0 \times 10^{-7}}$
$D = \frac{640.5 \times 10^{-9}}{3.0 \times 10^{-7}}$
$D = 213.5 \times 10^{-2} \text{ m} = 2.135 \text{ m}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $D = 2.1 \text{ m}$ છે.

(A) ટેલિસ્કોપની રિઝોલ્યુશનની મર્યાદાનું સૂત્ર: $\alpha = \frac{1.22 \lambda}{a}$ છે, જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય રિઝોલ્યુશન છે, $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $a$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે.
આપેલ કિંમતો: $\alpha = 2.5 \times 10^{-7} \text{ rad}$ અને $\lambda = 500 \text{ nm} = 500 \times 10^{-9} \text{ m}$.
$a$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $a = \frac{1.22 \lambda}{\alpha}$.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}{2.5 \times 10^{-7}}$.
$a = \frac{610 \times 10^{-9}}{2.5 \times 10^{-7}} = 244 \times 10^{-2} \text{ m} = 2.44 \text{ m}$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $2.44 \text{ m} = 244 \text{ cm}$.
આમ, ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ $244 \text{ cm}$ છે.

(A) ટેલિસ્કોપની રિઝોલ્યુશનની મર્યાદા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$
જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે:
$\lambda = 6400 \text{ Å} = 6400 \times 10^{-10} \,m = 6.4 \times 10^{-7} \,m$
$d = 200 \,cm = 2 \,m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\theta = \frac{1.22 \times 6.4 \times 10^{-7}}{2}$
$\theta = 1.22 \times 3.2 \times 10^{-7}$
$\theta = 3.904 \times 10^{-7} \,rad$
નજીકના સાર્થક અંક સુધી ગણતરી કરતા, $\theta \approx 3.9 \times 10^{-7} \,rad$ મળે છે.

(A) ટેલિસ્કોપની વિભેદન મર્યાદા $(d\theta)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d\theta = \frac{1.22 \lambda}{a}$
જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $a$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે:
$\lambda = 4538 \ \text{Å} = 4538 \times 10^{-10} \ \text{m}$
$a = 1 \ \text{m}$
કિંમતો મૂકતા:
$d\theta = \frac{1.22 \times 4538 \times 10^{-10}}{1}$
$d\theta = 5536.36 \times 10^{-10} \ \text{rad}$
$d\theta \approx 5.54 \times 10^{-7} \ \text{rad}$

(C) કોણીય વિભેદન $\theta$ એ બે ટપકાં વચ્ચેના અંતર $x$ અને આંખથી અંતર $d$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે, એટલે કે $\theta = \frac{x}{d}$.
આપેલ છે કે પ્રિન્ટર $300 \text{ dots per inch}$ પ્રિન્ટ કરે છે, તેથી બે નજીકના ટપકાં વચ્ચેનું અંતર $x = \frac{1 \text{ inch}}{300} = \frac{2.54 \text{ cm}}{300}$ થાય.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $5.8 \times 10^{-4} = \frac{2.54 \text{ cm} / 300}{d}$.
$d$ માટે ગોઠવતા: $d = \frac{2.54}{300 \times 5.8 \times 10^{-4}} \text{ cm}$.
$d = \frac{2.54}{0.174} \text{ cm} \approx 14.597 \text{ cm}$.
આમ, લઘુત્તમ અંતર આશરે $14.59 \text{ cm}$ છે.

(B) ટેલિસ્કોપની કોણીય રિઝોલ્યુશન ક્ષમતાનું સૂત્ર $\theta = 1.22 \frac{\lambda}{R}$ છે.
આપેલ છે:
$\theta = 5 \times 10^{-7} \text{ rad}$
$\lambda = 500 \text{ nm} = 500 \times 10^{-9} \text{ m}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$5 \times 10^{-7} = 1.22 \times \frac{500 \times 10^{-9}}{R}$
$R$ ને કર્તા બનાવતા:
$R = \frac{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}{5 \times 10^{-7}}$
$R = 1.22 \times 100 \times 10^{-2}$
$R = 1.22 \text{ m}$
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા:
$R = 1.22 \times 100 \text{ cm} = 122 \text{ cm}$.

(D) ટેલિસ્કોપનું કોણીય રિઝોલ્યુશન $\theta$ એ સૂત્ર $\theta = 1.22 \frac{\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $a$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે: $\theta = 3.0 \times 10^{-7}$ રેડિયન,$\lambda = 500 \text{ nm} = 500 \times 10^{-9} \text{ m}$.
$a$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $a = \frac{1.22 \lambda}{\theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}{3.0 \times 10^{-7}} = \frac{610 \times 10^{-9}}{3.0 \times 10^{-7}} = 203.33 \times 10^{-2} \text{ m} = 2.0333 \text{ m}$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $2.0333 \text{ m} = 203.33 \text{ cm}$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $203 \text{ cm}$ છે. નોંધ: આપેલા વિકલ્પો જોતા,પ્રશ્નની અપેક્ષિત શ્રેણીમાં વિસંગતતા જણાય છે; જોકે,ભૌતિકવિજ્ઞાનના સૂત્ર મુજબ ગણતરી કરેલ મૂલ્ય $203 \text{ cm}$ છે.