સ્ત્રોત $(S)$ અને અવલોકનકાર $(O)$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવેલ એક પાતળા લેન્સનો વિચાર કરો (આકૃતિ જુઓ). ધારો કે લેન્સની જાડાઈ $w(b) = w_0 - \alpha b^2$ મુજબ બદલાય છે, જ્યાં $b$ એ ધ્રુવથી શિરોલંબ અંતર છે। $w_0$ અને $\alpha$ અચળાંકો છે। ફર્માના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, એટલે કે સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર વચ્ચેના કિરણ માટે મુસાફરીનો સમય અત્યંત (extremum) હોય, તો એવી શરત શોધો કે જેથી સ્ત્રોતમાંથી નીકળતા તમામ પેરાક્સિયલ કિરણો અક્ષ પરના બિંદુ $O$ પર કેન્દ્રિત થાય। કેન્દ્રલંબાઈ શોધો।
$(ii)$ ગુરુત્વાકર્ષણીય લેન્સની બદલાતી પહોળાઈ $W = K_1 \log \left( \frac{K_2}{b} \right)$ (જ્યાં $b_{\min} < b < b_{\max}$) સ્વરૂપની છે તેમ માની શકાય। સાબિત કરો કે અવલોકનકાર બિંદુવત પદાર્થની છબીને લેન્સના કેન્દ્રની આસપાસ $\beta = \sqrt{\frac{(n - 1)K_1 u}{v(u + v)}}$ કોણીય ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ તરીકે જોશે।

(N/A) $(i)$ ધારો કે $n$ એ લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે। અક્ષથી $b$ અંતરે આવેલા બિંદુમાંથી $S$ થી $O$ સુધી પ્રકાશને પહોંચવા માટે લાગતો સમય $T = \frac{SP_1}{c} + \frac{(n-1)w(b)}{c} + \frac{P_1O}{c}$ છે।
પેરાક્સિયલ અંદાજનો ઉપયોગ કરતા: $SP_1 \approx u + \frac{b^2}{2u}$ અને $P_1O \approx v + \frac{b^2}{2v}$.
$T = \frac{1}{c} \left[ u + \frac{b^2}{2u} + (n-1)(w_0 - \alpha b^2) + v + \frac{b^2}{2v} \right]$.
$T$ અત્યંત હોવા માટે, $\frac{dT}{db} = 0 \implies \frac{b}{u} + \frac{b}{v} - 2(n-1)\alpha b = 0$.
આ તમામ $b$ માટે સાચું હોવું જોઈએ, તેથી $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = 2(n-1)\alpha$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ સાથે સરખાવતા, કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{1}{2(n-1)\alpha}$ મળે છે।
$(ii)$ ગુરુત્વાકર્ષણીય લેન્સ માટે, ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ $L = \sqrt{u^2+b^2} + \sqrt{v^2+b^2} + (n-1)W(b)$ છે।
પેરાક્સિયલ અંદાજનો ઉપયોગ કરતા: $L \approx u + v + \frac{b^2}{2u} + \frac{b^2}{2v} + (n-1)K_1 \log \left( \frac{K_2}{b} \right)$.
અત્યંત શરત $\frac{dL}{db} = 0 \implies \frac{b}{u} + \frac{b}{v} + (n-1)K_1 \left( -\frac{1}{b} \right) = 0$.
$b^2 \left( \frac{u+v}{uv} \right) = (n-1)K_1 \implies b = \sqrt{\frac{(n-1)K_1 uv}{u+v}}$.
કોણીય ત્રિજ્યા $\beta \approx \frac{b}{v} = \sqrt{\frac{(n-1)K_1 u}{v(u+v)}}$ છે।