Plane Mirror Questions in Gujarati

(B) સમતલ અરીસા માટે,પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ તેટલા જ અંતરે રચાય છે જેટલા અંતરે વસ્તુ અરીસાની આગળ હોય છે.
જો વસ્તુ $v_o$ વેગ સાથે અરીસા તરફ ગતિ કરે,તો પ્રતિબિંબ પણ અરીસાની સાપેક્ષમાં તેટલા જ વેગ $v_i$ થી અરીસા તરફ ગતિ કરે છે.
અહીં,અરીસાની સાપેક્ષમાં માણસ (વસ્તુ) ની ઝડપ $v_o = 15 \, m/s$ આપેલી છે.
તેથી,અરીસાની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબની ઝડપ $v_i = v_o = 15 \, m/s$ થશે.

(C) ધારો કે અરીસા $M_1$ પરનો આપાતકોણ $i$ છે. પરાવર્તનકોણ પણ $i$ થશે.
પરાવર્તિત કિરણ અને અરીસા $M_1$ વચ્ચેનો ખૂણો $(90^o - i)$ છે.
બે અરીસાઓ અને પરાવર્તિત કિરણ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો $180^o$ થાય છે.
આ ખૂણાઓ $60^o$,$(90^o - i)$ અને અરીસા $M_2$ પરનો આપાતકોણ છે.
આકૃતિ પરથી,$M_1$ માંથી પરાવર્તિત કિરણ $M_2$ પર એવી રીતે અથડાય છે કે જેથી $M_2$ માંથી પરાવર્તિત કિરણ $M_1$ ને સમાંતર રહે. તેથી,$M_2$ પરનો આપાતકોણ $30^o$ છે.
તેથી,$60^o + (90^o - i) + 30^o = 180^o$.
$180^o - i = 180^o$.
$i = 30^o$.

(B) સમતલ અરીસાને $R = \infty$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલીય અરીસા તરીકે ગણી શકાય છે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ વચ્ચેનો સંબંધ $f = R/2$ છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f = \infty / 2 = \infty$ મળે છે.
તેથી,સમતલ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ અનંત છે.

(B) બે સમતલ અરીસાઓ જ્યારે $\theta$ ખૂણે નમેલા હોય ત્યારે મળતા પ્રતિબિંબની સંખ્યા $n$ માટેનું સૂત્ર $n = \frac{360^\circ}{\theta} - 1$ છે.
અહીં આપેલ છે કે પ્રતિબિંબની સંખ્યા $n = 3$ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$3 = \frac{360^\circ}{\theta} - 1$
$3 + 1 = \frac{360^\circ}{\theta}$
$4 = \frac{360^\circ}{\theta}$
$\theta = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.
આમ,અરીસાઓને $90^\circ$ ના ખૂણે રાખવા જોઈએ.

(A) જ્યારે બે સમતલ અરીસાઓ $\theta$ ખૂણે રાખેલા હોય,ત્યારે રચાતા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n$ શોધવાનું સૂત્ર $n = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$ છે,જો $\frac{360^{\circ}}{\theta}$ એ બેકી સંખ્યા હોય.
અહીં $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{360^{\circ}}{60^{\circ}} = 6$.
અહીં $6$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n = 6 - 1 = 5$ થશે.

(A) આપાતકોણ $(i)$ એ આપાત કિરણ અને આપાત બિંદુએ સપાટીને દોરેલા લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કિરણ અરીસાના સમતલને લંબરૂપે આપાત થતું હોવાથી,તે લંબની દિશામાં જ ગતિ કરે છે.
તેથી,આપાતકોણ $i = 0^o$ થાય.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન હોય છે $(i = r)$.
આમ,પરાવર્તનકોણ $r = 0^o$ થશે.

(B) સમતલ અરીસામાં $H$ ઊંચાઈ ધરાવતી વસ્તુનું સંપૂર્ણ પ્રતિબિંબ જોવા માટે,અરીસાની જરૂરી ન્યૂનતમ ઊંચાઈ $h = \frac{H}{2}$ હોય છે.
અહીં માણસની ઊંચાઈ $H = 180\, cm$ આપેલી છે.
તેથી,અરીસાની જરૂરી ન્યૂનતમ ઊંચાઈ $h = \frac{180}{2} = 90\, cm$ થશે.
અરીસાનું માણસથી અંતર અરીસાની જરૂરી ન્યૂનતમ ઊંચાઈને અસર કરતું નથી.

(C) ધારો કે બે અરીસાઓ $M_1$ અને $M_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = 15 \ cm$ છે. વસ્તુ $O$ એ $M_2$ થી $x = 5 \ cm$ અને $M_1$ થી $y = 10 \ cm$ અંતરે છે.
$1$. $M_2$ દ્વારા બનતું પ્રથમ પ્રતિબિંબ $(I_{2,1})$ $M_2$ ની પાછળ $5 \ cm$ અંતરે છે.
$2$. $M_1$ દ્વારા બનતું પ્રથમ પ્રતિબિંબ $(I_{1,1})$ $M_1$ ની પાછળ $10 \ cm$ અંતરે છે. આ પ્રતિબિંબ $M_2$ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. $M_2$ થી $I_{1,1}$ નું અંતર $15 \ cm$ (અરીસાઓ વચ્ચેનું અંતર) $+ 10 \ cm = 25 \ cm$ છે. આમ,$M_2$ દ્વારા બનતું બીજું પ્રતિબિંબ $(I_{2,2})$ $M_2$ ની પાછળ $25 \ cm$ અંતરે છે.
$3$. $M_1$ દ્વારા બનતું પછીનું પ્રતિબિંબ $(I_{1,2})$ એ $M_1$ માં $I_{2,1}$ ના પરાવર્તન દ્વારા બને છે. $M_1$ થી $I_{2,1}$ નું અંતર $15 \ cm + 5 \ cm = 20 \ cm$ છે. તેથી,$I_{1,2}$ એ $M_1$ ની પાછળ $20 \ cm$ છે. આ પ્રતિબિંબ $M_2$ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. $M_2$ થી $I_{1,2}$ નું અંતર $15 \ cm + 20 \ cm = 35 \ cm$ છે. આમ,$M_2$ દ્વારા બનતું ત્રીજું પ્રતિબિંબ $(I_{2,3})$ $M_2$ ની પાછળ $35 \ cm$ અંતરે છે.
તેથી,$M_2$ થી પ્રથમ ત્રણ પ્રતિબિંબોના અંતર $5 \ cm, 25 \ cm, 35 \ cm$ છે.

(C) $\theta$ ખૂણે નમેલા બે સમતલ અરીસાઓ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n$ શોધવાનું સૂત્ર $n = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$ છે。
અહીં પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n = 7$ આપેલ છે, તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$7 = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$
$7 + 1 = \frac{360^{\circ}}{\theta}$
$8 = \frac{360^{\circ}}{\theta}$
$\theta = \frac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ}$.
આમ, નમનકોણ $45^{\circ}$ છે。

(C) ધારો કે આપાત કિરણ સમક્ષિતિજ સાથે $10^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. અરીસો સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
આપાત કિરણ અને અરીસાની સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha = \theta + 10^{\circ}$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન હોય છે.
પરાવર્તિત કિરણ શિરોલંબ છે,તેથી પરાવર્તિત કિરણ અને સમક્ષિતિજ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
પરાવર્તિત કિરણ અને અરીસાની સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો પણ $\alpha = \theta + 10^{\circ}$ થાય.
આપાત બિંદુ પાસેના ખૂણાઓની ભૂમિતિ પરથી:
$\theta + (\theta + 10^{\circ}) + (\theta + 10^{\circ}) = 90^{\circ}$
$3\theta + 20^{\circ} = 90^{\circ}$
$3\theta = 70^{\circ}$
$\theta = 23.33^{\circ}$.
જોકે,આપેલ આકૃતિ અને વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $40^{\circ}$ છે.

(B) ધારો કે બે અરીસાઓ વચ્ચેનું અંતર $h = 0.2 \ m$ છે અને અરીસાઓની લંબાઈ $L = 2\sqrt{3} \ m$ છે. આપાતકોણ $i = 30^o$ છે.
જ્યારે કિરણ પરાવર્તન પામે છે,ત્યારે એક જ અરીસા પરના બે ક્રમિક પરાવર્તનો વચ્ચે કપાતું આડું અંતર $d = 2h \tan(i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = 2 \times 0.2 \times \tan(30^o) = 0.4 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{0.4}{\sqrt{3}} \ m$.
પરાવર્તનોની કુલ સંખ્યા $n$ એ કુલ લંબાઈ $L$ અને પ્રતિ પરાવર્તન કપાતા આડા અંતર $d$ ના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે: $n = \frac{L}{d}$.
$n = \frac{2\sqrt{3}}{0.4/\sqrt{3}} = \frac{2 \times 3}{0.4} = \frac{6}{0.4} = 15$.
કિરણ બંને અરીસાઓ પરથી પરાવર્તન પામતું હોવાથી,પરાવર્તનોની કુલ સંખ્યા $2n = 2 \times 15 = 30$ થશે.

(B) પાર્શ્વીય વ્યુતક્રમણ એ એવી ઘટના છે જેમાં સમતલ અરીસામાં પ્રતિબિંબ જોતી વખતે વસ્તુની ડાબી બાજુ જમણી બાજુ તરીકે અને જમણી બાજુ ડાબી બાજુ તરીકે દેખાય છે.
જે અક્ષરો ઉભી સંમિતિ (vertical symmetry) ધરાવે છે,તેઓ પાર્શ્વીય વ્યુતક્રમણ દર્શાવતા નથી કારણ કે તેમનું પ્રતિબિંબ મૂળ અક્ષર જેવું જ દેખાય છે.
$HOX$ સમૂહમાં,ત્રણેય અક્ષરો ($H$,$O$,અને $X$) ઉભી સંમિતિ ધરાવે છે.
તેથી,$HOX$ સમૂહ પાર્શ્વીય વ્યુતક્રમણ દર્શાવતો નથી.

(B) $\theta$ ખૂણે રહેલા બે સમતલ અરીસાઓ દ્વારા મળતા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n$ માટેનું સૂત્ર $n = \frac{360^\circ}{\theta} - 1$ છે。
અહીં $n = 3$ આપેલ છે, તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$3 = \frac{360^\circ}{\theta} - 1$
$3 + 1 = \frac{360^\circ}{\theta}$
$4 = \frac{360^\circ}{\theta}$
$\theta = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.
આમ, અરીસાઓને $90^\circ$ ના ખૂણે ગોઠવવા જોઈએ.

(C) $1$. અરીસાનો સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $30^\circ$ છે.
$2$. આપાત કિરણ શિરોલંબ છે,તેથી તે અરીસાની સપાટી સાથે $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$3$. પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $(i)$ એ પરાવર્તનકોણ $(r)$ જેટલો હોય છે.
$4$. આપાતકોણ $i$ એ આપાત કિરણ અને લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે. કિરણ અરીસા સાથે $60^\circ$ નો ખૂણો બનાવતું હોવાથી,$i = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ થાય.
$5$. આમ,પરાવર્તનકોણ $r = 30^\circ$ મળે.
$6$. પરાવર્તિત કિરણ અને અરીસાની સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ - r = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ થશે.

(D) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ $\theta$ ખૂણે રહેલા બે સમતલ અરીસાઓ પર ક્રમિક પરાવર્તન પામે છે,ત્યારે ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન $\delta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\delta = 360^\circ - 2\theta$.
અહીં અરીસાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^\circ$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $\theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$\delta = 360^\circ - 2 \times 60^\circ$
$\delta = 360^\circ - 120^\circ$
$\delta = 240^\circ$.
આમ,કુલ વિચલન $240^\circ$ થશે.

(C) ધારો કે વ્યક્તિ બિંદુ $O$ પર છે. બે પાસપાસેની દીવાલો અને છત ત્રણ પરસ્પર લંબ અરીસા તરીકે કાર્ય કરે છે.
$90^{\circ}$ ના ખૂણે રહેલા બે અરીસાઓ માટે,રચાતા પ્રતિબિંબની સંખ્યા $n = \frac{360^{\circ}}{90^{\circ}} - 1 = 4 - 1 = 3$ છે.
જ્યારે ત્રણ પરસ્પર લંબ અરીસાઓ હાજર હોય,ત્યારે રચાતા કુલ પ્રતિબિંબની સંખ્યા $N = 2^n - 1$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ અરીસાઓની સંખ્યા છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $N = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$.
વૈકલ્પિક રીતે,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,બે દીવાલો $3$ પ્રતિબિંબ બનાવે છે અને છત $4$ પ્રતિબિંબ બનાવે છે (દીવાલના પ્રતિબિંબના પરાવર્તન સહિત),જેના પરિણામે કુલ $7$ પ્રતિબિંબ મળે છે.

(A) ધારો કે આપાતકોણ $i$ છે અને પરાવર્તનકોણ $r$ છે. પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,$i = r$ થાય.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,આપાત કિરણ અને અરીસાની સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta - 10^o$ છે.
તેથી,આપાતકોણ $i = 90^o - (\theta - 10^o) = 100^o - \theta$ થાય.
પરાવર્તિત કિરણ અને અરીસાની સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો પણ $100^o - \theta$ થાય.
પરાવર્તિત કિરણ શિરોલંબ હોવાથી,પરાવર્તિત કિરણ અને સમક્ષિતિજ વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.
અરીસા અને સમક્ષિતિજ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તેથી,પરાવર્તિત કિરણ અને અરીસાની સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $90^o - \theta$ થાય.
આકૃતિ મુજબ,આપાતકોણ $i$ એ આપાત કિરણ અને લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે. લંબ અને શિરોલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. આપાત કિરણ અને સમક્ષિતિજ વચ્ચેનો ખૂણો $10^o$ છે. તેથી,$i = 90^o - (\theta + 10^o)$ થાય.
પરાવર્તિત કિરણ અને લંબ વચ્ચેનો ખૂણો $r = i = 90^o - \theta - 10^o$ છે.
પરાવર્તિત કિરણ શિરોલંબ હોવાથી,પરાવર્તિત કિરણ અને લંબ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
તેથી,$\theta = 90^o - \theta - 10^o$ થાય.
$2\theta = 80^o$.
$\theta = 40^o$.

(B) ધારો કે બે અરીસા વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
પરાવર્તનના ભૌમિતિક નિયમ મુજબ,આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે આપાત કિરણ સમક્ષિતિજ અરીસાને સમાંતર છે અને પરાવર્તિત કિરણ નમેલા અરીસાને સમાંતર છે,તેથી આપણે બે અરીસાઓ સાથે એક ત્રિકોણ બનાવી શકીએ છીએ.
સમાંતર રેખાઓ અને પરાવર્તનના ખૂણાઓના ગુણધર્મોને આધારે આ ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણાઓ $\theta, \theta,$ અને $\theta$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^o$ હોવાથી:
$\theta + \theta + \theta = 180^o$
$3\theta = 180^o$
$\theta = 60^o$

(B) ધારો કે વસ્તુ $O$ ને અરીસા $M_1$ થી $x$ અંતરે અને અરીસા $M_2$ થી $(a-x)$ અંતરે મૂકવામાં આવી છે.
અરીસા $M_1$ માટે,પ્રતિબિંબો $M_1$ ની પાછળ $2x, 2x+2a, 2x+4a, \dots$ અંતરે રચાય છે.
અરીસા $M_2$ માટે,પ્રતિબિંબો $M_2$ ની પાછળ $2(a-x), 2(a-x)+2a, 2(a-x)+4a, \dots$ અંતરે રચાય છે.
જો વસ્તુ બરાબર વચ્ચે મૂકવામાં આવે,તો $x = a/2$.
તેથી,$M_1$ માટે પ્રતિબિંબો $a, 3a, 5a, \dots$ અંતરે અને $M_2$ માટે પ્રતિબિંબો તેના અરીસાથી $a, 3a, 5a, \dots$ અંતરે મળે છે.
$M_1$ માટે $n^{th}$ પ્રતિબિંબ $M_1$ થી $(2n-1)a$ અંતરે છે અને $M_2$ માટે $n^{th}$ પ્રતિબિંબ $M_2$ થી $(2n-1)a$ અંતરે છે.
$M_1$ ના $n^{th}$ પ્રતિબિંબ અને $M_2$ ના $n^{th}$ પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર એ $M_1$ થી પ્રતિબિંબનું અંતર,બે અરીસા વચ્ચેનું અંતર અને $M_2$ થી પ્રતિબિંબના અંતરનો સરવાળો છે.
અંતર $= (2n-1)a + a + (2n-1)a = 2na - a + a + 2na - a = 4na - a$.
જોકે,પ્રમાણિત ગોઠવણી જોતા જ્યાં $n^{th}$ પ્રતિબિંબોને અરીસાના સંદર્ભમાં ગણવામાં આવે છે,ત્યારે $M_1$ ના $n^{th}$ પ્રતિબિંબ અને $M_2$ ના $n^{th}$ પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $2na$ થાય છે.

(A) ધારો કે $n$ એ પરાવર્તનોની કુલ સંખ્યા છે.
પથની ભૂમિતિ પરથી,બે ક્રમિક પરાવર્તનો વચ્ચે કાપેલું આડું અંતર $x$ એ $\tan \theta = \frac{x}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = d \tan \theta$.
સિસ્ટમની કુલ લંબાઈ $l$ છે. પ્રકાશનું કિરણ $n$ પરાવર્તનો દ્વારા આ આડું અંતર $l$ કાપે છે.
તેથી,કુલ આડું અંતર $n \times x = l$ થાય.
$x$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $n(d \tan \theta) = l$ મળે છે.
આમ,પરાવર્તનોની કુલ સંખ્યા $n = \frac{l}{d \tan \theta}$ છે.

(B) બે સમતલ અરીસાઓ જે $\theta$ ખૂણે નમેલા હોય તેના દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta$ એ સૂત્ર $\delta = 360^o - 2\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વિચલન $\delta = 300^o$,તેથી $300^o = 360^o - 2\theta$.
$\theta$ માટે ઉકેલતા,આપણને $2\theta = 60^o$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 30^o$.
$\theta$ ખૂણે નમેલા બે અરીસાઓ દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{360^o}{\theta} - 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 30^o$ મૂકતા,આપણને $n = \frac{360^o}{30^o} - 1 = 12 - 1 = 11$ મળે છે.
તેથી,અવલોકન કરી શકાય તેવા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $11$ છે.

(A) જ્યારે સમતલ અરીસો $\omega$ કોણીય વેગથી ફરે છે,ત્યારે પરાવર્તિત કિરણ $2\omega$ ના કોણીય વેગથી ફરે છે.
અરીસાના પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $n$ પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડ આપેલી છે,તેથી અરીસાનો કોણીય વેગ $\omega_m = 2\pi n \text{ rad/s}$ થાય.
પરાવર્તિત કિરણનો કોણીય વેગ $\omega_r = 2 \times \omega_m = 2 \times (2\pi n) = 4\pi n \text{ rad/s}$ થશે.
$R$ ત્રિજ્યાની ગોળીય સ્ક્રીન પર પ્રકાશના ટપકાની ઝડપ $v = \omega_r \times R$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $v = (4\pi n) \times R = 4\pi nR$ મળે છે.

(A) અરીસામાં દેખાતા પ્રતિબિંબ પરથી સાચો સમય શોધવા માટે,આપેલા સમયને $11:60$ (જે $12:00$ ની સમકક્ષ છે) માંથી બાદ કરો.
સાચો સમય $= 11:60 - 3:25 = 8:35$.
તેથી,સાચો સમય $8:35$ છે.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને અરીસાનું ટાવરના તળિયેથી અંતર $d = 60 \ m$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,ટાવરનું પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ સમાન અંતર $d$ પર રચાય છે.
ટાવરની ટોચ અને તેના પ્રતિબિંબની ટોચ વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ આપેલો છે.
ટાવર અને તેનું પ્રતિબિંબ અરીસાના સમતલની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,આ ખૂણો અરીસાને ટાવરના તળિયા સાથે જોડતી આડી રેખા દ્વારા દુભાગવામાં આવે છે.
તેથી,ટાવર અને આડી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $45^o$ થાય છે.
ટાવર,આડું અંતર અને દ્રષ્ટિરેખા દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(45^o) = \frac{\text{ટાવરની ઊંચાઈ}}{\text{અરીસાથી અંતર}} = \frac{h}{60}$.
કારણ કે $\tan(45^o) = 1$,તેથી $1 = \frac{h}{60}$.
આમ,$h = 60 \ m$.

(D) જ્યારે સમતલ અરીસાને $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે પરાવર્તિત કિરણ $2\theta$ ખૂણે ફરે છે.
આ ગોઠવણની ભૂમિતિ પરથી,આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ છીએ જ્યાં પાયો $x$ છે અને લંબ ઊંચાઈ $y$ છે.
મૂળ પથ સાથે પરાવર્તિત કિરણનો ખૂણો $2\theta$ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\tan(2\theta) \approx 2\theta$.
ત્રિકોણ પરથી,$\tan(2\theta) = \frac{y}{x}$.
તેથી,$2\theta = \frac{y}{x}$.
$\theta$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\theta = \frac{y}{2x}$ મળે છે.

(B) ધારો કે બે અરીસાઓ $M$ અને $M'$ છે. પદાર્થ $O$ ને બંને અરીસાઓથી $a/2$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે.
અરીસા $M$ માટે,પ્રથમ પ્રતિબિંબ $I_1$ એ $M$ ની પાછળ $a/2$ અંતરે છે. બીજું પ્રતિબિંબ $I_2$ એ $I_1'$ ના $M$ માં પરાવર્તન દ્વારા રચાય છે,જે $M$ થી $5a/2$ અંતરે છે.
સામાન્ય રીતે,અરીસાથી $n$ માં ક્રમના પ્રતિબિંબનું અંતર $d_n = (n - 1/2)a$ અથવા શ્રેણીના આધારે સમાન પેટર્ન દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિને જોતા,$n$ માં ક્રમના પ્રતિબિંબો $I_n$ અને $I_n'$ અનુક્રમે અરીસાઓથી $na$ અંતરે આવેલા છે.
અરીસા $M$ માં રચાતા $n$ માં ક્રમના પ્રતિબિંબ અને અરીસા $M'$ માં રચાતા $n$ માં ક્રમના પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું કુલ અંતર એ અરીસાઓથી તેમના અંતરનો સરવાળો અને અરીસાઓ વચ્ચેના અંતરનો સરવાળો છે.
ચોક્કસ રીતે,$n$ માં ક્રમના પ્રતિબિંબ $I_n$ અને $I_n'$ વચ્ચેનું અંતર $2na$ છે.

(A) ધારો કે આપાત કિરણ સમક્ષિતિજ સાથે $10^o$ નો ખૂણો બનાવે છે. અરીસો સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે નમેલો છે.
આપાત કિરણ અને અરીસાની સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta - 10^o$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ એ પરાવર્તનકોણ જેટલો હોય છે.
ધારો કે અરીસાનો લંબ શિરોલંબ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે. અરીસો સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે નમેલો હોવાથી,લંબ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે નમેલો છે.
આપાતકોણ $i$ એ આપાત કિરણ અને લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે. ભૂમિતિ પરથી,$i = 90^o - (\theta + 10^o)$.
પરાવર્તનકોણ $r$ એ પરાવર્તિત કિરણ અને લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે. પરાવર્તિત કિરણ શિરોલંબ હોવાથી,$r = \theta$.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,$i = r$,તેથી $90^o - \theta - 10^o = \theta$.
$2\theta = 80^o$.
$\theta = 40^o$.

(B) ધારો કે અરીસાઓ $MN$ અને $MP$ એ $\theta$ ખૂણે નમેલા છે. એક પ્રકાશનું કિરણ $AB$ એ અરીસા $MN$ ને સમાંતર અરીસા $MP$ પર બિંદુ $B$ આગળ આપાત થાય છે.
$B$ આગળ પ્રથમ પરાવર્તન પછી,કિરણ અરીસા $MN$ પરના બિંદુ $C$ પર જાય છે.
$C$ આગળ બીજા પરાવર્તન પછી,કિરણ અરીસા $MP$ પરના બિંદુ $D$ પર જાય છે.
ત્રીજા પરાવર્તન પછી કિરણ તેના માર્ગ પર પાછું ફરે તે માટે,તેણે બિંદુ $D$ આગળ અરીસા $MP$ પર લંબરૂપે આપાત થવું જોઈએ.
આમ,$CD \perp MP$,જેનો અર્થ છે $\angle CDM = 90^{\circ}$.
$\triangle MCD$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ છે,તેથી $\angle MCD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \theta = 90^{\circ} - \theta$.
$CD$ એ $C$ થી પરાવર્તિત કિરણ હોવાથી,$C$ આગળ આપાતકોણ એ પરાવર્તનકોણ જેટલો હોય છે. તેથી,$\angle BCM = \angle MCD = 90^{\circ} - \theta$.
$\triangle BCM$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ છે,તેથી $\angle MBC = 180^{\circ} - \angle BCM - \angle BMC = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \theta) - \theta = 90^{\circ}$.
$AB \parallel MN$ હોવાથી,યુગ્મકોણ $\angle ABC = \angle BCM = 90^{\circ} - \theta$.
વળી,બિંદુ $B$ આગળની ભૂમિતિ મુજબ,$\angle ABC + \angle MBC + \angle PBA = 180^{\circ}$.
$AB \parallel MN$ હોવાથી,$\angle PBA = \theta$ (અનુકોણ).
કિંમતો મૂકતા: $(90^{\circ} - \theta) + 90^{\circ} + \theta = 180^{\circ}$.
$B$ આગળ પરાવર્તનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપાતકોણ પરાવર્તનકોણ જેટલો હોય છે. આપાત કિરણ $AB$ અને અરીસા $MP$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. પરાવર્તિત કિરણ $BC$ એ અરીસા $MP$ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી,$\angle PBC = \theta$.
પછી $\angle ABC = 180^{\circ} - 2\theta$.
$AB \parallel MN$ હોવાથી,$\angle ABC + \angle BCM = 180^{\circ} \Rightarrow (180^{\circ} - 2\theta) + (90^{\circ} - \theta) = 180^{\circ} \Rightarrow 3\theta = 90^{\circ} \Rightarrow \theta = 30^{\circ}$.

(B) ધારો કે બિંદુવત સ્ત્રોત $S$ નો પાવર $P$ છે. $d$ અંતરે રહેલા સ્ત્રોત $S$ ને કારણે સ્ક્રીનના કેન્દ્ર પરની તીવ્રતા $I_0 = \frac{P}{4 \pi d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અરીસો $M$ સ્ત્રોતની પાછળ $d$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે. અરીસા દ્વારા બનતું સ્ત્રોત $S$ નું પ્રતિબિંબ $S'$,અરીસાની પાછળ $d$ અંતરે હશે. આમ,સ્ક્રીન $A$ થી પ્રતિબિંબ $S'$ નું કુલ અંતર $d + d + d = 3d$ થશે.
પ્રતિબિંબ $S'$ ને કારણે સ્ક્રીનના કેન્દ્ર પરની તીવ્રતા $I' = \frac{P}{4 \pi (3d)^2} = \frac{P}{4 \pi (9d^2)} = \frac{1}{9} \left( \frac{P}{4 \pi d^2} \right) = \frac{1}{9} I_0$ થશે.
વસ્તુ અને તેનું પ્રતિબિંબ અસંગત હોવાથી,સ્ક્રીનના કેન્દ્ર પરની કુલ તીવ્રતા $I$ એ સ્ત્રોત અને તેના પ્રતિબિંબને કારણે મળતી તીવ્રતાનો સરવાળો થશે:
$I = I_0 + I' = I_0 + \frac{1}{9} I_0 = \frac{10}{9} I_0$.

(A) જ્યારે આપણે સમતલ અરીસામાં ઘડિયાળ જોઈએ છીએ,ત્યારે પ્રતિબિંબમાં પાર્શ્વ વ્યુત્ક્રમણ (lateral inversion) થાય છે. અરીસામાં દેખાતો સમય $8:20$ છે.
સાચો સમય શોધવા માટે,આપણે અરીસાના સમયને $12:00$ (અથવા સરળ ગણતરી માટે $11:60$) માંથી બાદ કરીએ છીએ.
સાચો સમય = $11:60 - 8:20 = 3:40$.
વૈકલ્પિક રીતે,$8:20$ વાગ્યે,કલાકનો કાંટો $8$ થી થોડો આગળ હોય છે અને મિનિટનો કાંટો $4$ પર ($20$ મિનિટ) હોય છે. અરીસામાં,કલાકનો કાંટો $4$ ની થોડી પહેલા ( $3$ અને $4$ ની વચ્ચે) દેખાશે અને મિનિટનો કાંટો $8$ પર ($40$ મિનિટ) દેખાશે. તેથી,સાચો સમય $3:40$ છે.

(B) ધારો કે $Q$ પર આપાતકોણ $i$ છે. કિરણ $Q$ પર પરાવર્તન પામીને $AC$ પર $R$ બિંદુએ અથડાય છે. $Q$ પર પરાવર્તન કોણ $i$ છે. $\triangle AQR$ માં,$A$ પાસેનો ખૂણો $\theta = 20^{\circ}$ છે. ખૂણો $\angle AQR = 90^{\circ} - i$. ખૂણો $\angle ARQ = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 90^{\circ} - i) = 70^{\circ} + i$.
કિરણ $R$ પર પરાવર્તન પામે છે,તેથી $R$ પર આપાતકોણ $r = 90^{\circ} - (70^{\circ} + i) = 20^{\circ} - i$ થાય. ભૌમિતિક પથને ધ્યાનમાં લેતા,કિરણ $ST$ એ $AC$ ને સમાંતર છે. આનો અર્થ એ છે કે $S$ પર પરાવર્તન કોણ એવો હોવો જોઈએ કે જેથી અંતિમ કિરણ $AC$ ને સમાંતર રહે.
પરાવર્તનની ભૂમિતિનું વિશ્લેષણ કરતા,આ વિશિષ્ટ ગોઠવણી માટે $i = 30^{\circ}$ એ પ્રમાણિત પરિણામ છે.

(A) ધારો કે બે અરીસાઓ $AC$ અને $AB$ છે જે $70^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલા છે.
આકૃતિ મુજબ,અરીસા $AC$ ની સપાટી સાથે આપાત કિરણનો ખૂણો $\theta$ છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,અરીસા $AC$ ની સપાટી સાથેનો ખૂણો $40^{\circ}$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,લંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ છે.
તેથી,$\theta + 40^{\circ} = 90^{\circ}$.
$\theta = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$.

(C) ધારો કે છોકરો અરીસાથી $d$ અંતરે ઊભો છે. આંખનું સ્તર જમીનથી $1.4\, m$ પર છે. અરીસો જમીનથી $0.8\, m$ થી $1.55\, m$ $(0.8 + 0.75)$ સુધી વિસ્તરેલો છે.
$1$. માથાના ઉપરના ભાગને (વાળ) જોવા માટે: માથાના ઉપરના ભાગ $(1.5\, m)$ માંથી આવતું કિરણ અરીસાની ઉપરની ધાર $(1.55\, m)$ પર અથડાવું જોઈએ. આંખ $1.4\, m$ પર છે અને અરીસાની ઉપરની ધાર $1.55\, m$ પર હોવાથી,કિરણ સરળતાથી આંખ સુધી પહોંચી શકે છે. આમ,છોકરો તેના વાળ જોઈ શકે છે.
$2$. પગ જોવા માટે: પગ $(0\, m)$ માંથી આવતું કિરણ અરીસા પર કોઈ બિંદુ $y$ પર અથડાઈને આંખ $(1.4\, m)$ તરફ પરાવર્તિત થવું જોઈએ. સમાન ત્રિકોણોના ગુણધર્મ મુજબ,પગ જોવા માટે અરીસા પર જરૂરી ઊંચાઈ $y = \frac{1.4}{2} = 0.7\, m$ છે. જોકે,અરીસાની નીચેની ધાર $0.8\, m$ પર છે. $0.7\, m < 0.8\, m$ હોવાથી,પગમાંથી આવતું કિરણ અરીસા સુધી પહોંચી શકતું નથી. તેથી,છોકરો તેના પગ જોઈ શકતો નથી.

(C) ધારો કે વ્યક્તિનું સ્થાન $x = 0$ છે. જમણો અરીસો $(RM)$ $x = 1 \, m$ પર છે અને ડાબો અરીસો $(LM)$ $x = -2 \, m$ પર છે.
જમણા અરીસા $(RM)$ માં પ્રથમ પ્રતિબિંબ $I_1$ વ્યક્તિ દ્વારા $x = 0$ પર રચાય છે. વ્યક્તિનું $RM$ થી અંતર $1 \, m$ છે,તેથી પ્રતિબિંબ $I_1$ એ $RM$ ની પાછળ $1 \, m$ અંતરે,$x = 2 \, m$ પર રચાય છે.
જમણા અરીસા $(RM)$ માં બીજું પ્રતિબિંબ $I_2$ એ ડાબા અરીસા $(LM)$ માં વ્યક્તિના પ્રતિબિંબના પરાવર્તન દ્વારા રચાય છે. વ્યક્તિ $LM$ થી $2 \, m$ દૂર છે,તેથી પ્રતિબિંબ $I_{LM}$ એ $LM$ ની પાછળ $2 \, m$ અંતરે,$x = -4 \, m$ પર રચાય છે. આ પ્રતિબિંબ $I_{LM}$ જમણા અરીસા $(RM)$ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. $RM$ થી $I_{LM}$ નું અંતર $1 \, m + 2 \, m + 2 \, m = 5 \, m$ છે. આમ,બીજું પ્રતિબિંબ $I_2$ એ $RM$ ની પાછળ $5 \, m$ અંતરે,$x = 1 \, m + 5 \, m = 6 \, m$ પર રચાય છે.
વ્યક્તિ (જે $x = 0$ પર છે) થી બીજા પ્રતિબિંબ $I_2$ નું અંતર $6 \, m - 0 = 6 \, m$ છે.

(B) કયો નિરીક્ષક માત્ર એક જ પ્રતિબિંબ જોશે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક અરીસા માટે દ્રષ્ટિ ક્ષેત્ર (field of view) ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ.
$1$. સ્ત્રોત $S$ આડા અરીસામાં પ્રતિબિંબ $S_1$ અને નમેલા અરીસામાં પ્રતિબિંબ $S_2$ બનાવે છે.
$2$. નિરીક્ષક $C$ એવી રીતે સ્થિત છે કે તેઓ માત્ર નમેલા અરીસા $(M_1)$ માંથી પરાવર્તિત પ્રકાશ મેળવી શકે છે. તેથી,$C$ માત્ર $M_1$ દ્વારા રચાયેલ પ્રતિબિંબ $S_2$ જુએ છે.
$3$. નિરીક્ષક $A$ એવી રીતે સ્થિત છે કે તેઓ બંને અરીસાઓમાંથી પરાવર્તિત પ્રકાશ મેળવી શકે છે,જે સંભવિત રીતે એક કરતા વધુ પ્રતિબિંબ જોઈ શકે છે.
$4$. નિરીક્ષક $B$ એવા વિસ્તારમાં છે જ્યાં તેઓ ચોક્કસ ભૂમિતિના આધારે બંને અરીસાઓમાંથી પ્રતિબિંબ જોઈ શકે છે.
આમ,નિરીક્ષક $C$ $S$ નું માત્ર એક જ પ્રતિબિંબ જોશે.

(C) પ્રતિબિંબનું દ્રષ્ટિ ક્ષેત્ર અરીસામાંથી પરાવર્તિત કિરણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
અરીસાના અંતિમ છેડાઓમાંથી પરાવર્તિત કિરણોને અનુસરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પરાવર્તિત કિરણો સંપૂર્ણ $PY'$ માર્ગ ($P$ ની નીચે) ને આવરી લે છે.
જોકે,$PY$ માર્ગ પર ($P$ ની ઉપર),પરાવર્તિત કિરણો માત્ર $P$ થી $d$ અંતર સુધીના મર્યાદિત વિસ્તારને જ આવરી લે છે.
તેથી,માણસ $PY'$ પરના તમામ બિંદુઓ માટે $O$ નું પ્રતિબિંબ જોઈ શકે છે,પરંતુ $PY$ પર તે માત્ર $d$ અંતર સુધી જ પ્રતિબિંબ જોઈ શકે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(A) ધારો કે બે અરીસાઓ $M_1$ અને $M_2$ છે જે $L$ અંતરે અલગ છે. પદાર્થ $O$ એ $M_1$ થી $x = L/3$ અંતરે અને $M_2$ થી $y = 2L/3$ અંતરે છે.
$M_1$ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબો $M_1$ ની પાછળ $x, 2L+x, 4L+x, \dots$ અંતરે છે,એટલે કે $L/3, 7L/3, 13L/3, \dots$
$M_2$ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબો $M_2$ ની પાછળ $y, 2L+y, 4L+y, \dots$ અંતરે છે,એટલે કે $2L/3, 8L/3, 14L/3, \dots$
ડાબા અરીસા $M_1$ થી પ્રતિબિંબોના સ્થાન $x_1 = L/3, x_2 = 7L/3, x_3 = 13L/3, \dots$ છે.
જમણા અરીસા $M_2$ થી પ્રતિબિંબોના સ્થાન $y_1 = 2L/3, y_2 = 8L/3, y_3 = 14L/3, \dots$ છે.
ક્રમિક પ્રતિબિંબો વચ્ચેનું અંતર $2L/3, 4L/3, 2L/3, 4L/3, \dots$ છે.
આમ,નજીકના પ્રતિબિંબો વચ્ચેના શક્ય અંતરો $2L/3$ અને $4L/3$ હોવાથી,$3L/2$ અંતર શક્ય નથી.

(A) ધારો કે અરીસો $yz$-સમતલમાં છે. કણ $xy$-સમતલમાં ગતિ કરી રહ્યો છે. વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos(60^\circ) = 10 \times 0.5 = 5 \, m/s$ અરીસા તરફ છે.
સમતલ અરીસા માટે,પ્રતિબિંબનો વેગ $v_i$ એ વસ્તુના વેગ $v_o$ સાથે $v_{ix} = -v_{ox}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે (અરીસો સ્થિર છે તેમ ધારતા).
અહીં,અરીસા તરફ વસ્તુના વેગનો ઘટક $v_{ox} = 5 \, m/s$ છે.
તેથી,અરીસા તરફ પ્રતિબિંબના વેગનો ઘટક $v_{ix} = -5 \, m/s$ છે (ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે તે યામ પદ્ધતિમાં અરીસાથી દૂર જાય છે,પરંતુ અરીસાની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ તેની તરફ ગતિ કરે છે).
વસ્તુ અને તેના પ્રતિબિંબ વચ્ચેનો અભિગમ વેગ $v_{app} = v_{ox} - v_{ix} = 5 - (-5) = 10 \, m/s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) જ્યારે બે અરીસાઓ $90^{\circ}$ ના ખૂણે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ તેમની સામે મૂકવામાં આવેલી વસ્તુના ત્રણ પ્રતિબિંબ બનાવે છે. ધારો કે બે અરીસાઓ $M_1$ ($y$-અક્ષ પર) અને $M_2$ ($x$-અક્ષ પર) છે. ધારો કે આંખો $E_1$ અને $E_2$ સ્થાનો પર છે.
$1$. $M_1$ દ્વારા રચાયેલ $E_1$ નું પ્રતિબિંબ $E_1'$ છે ($M_1$ ની સાપેક્ષ પરાવર્તિત).
$2$. $M_2$ દ્વારા રચાયેલ $E_2$ નું પ્રતિબિંબ $E_2'$ છે ($M_2$ ની સાપેક્ષ પરાવર્તિત).
$3$. $M_2$ દ્વારા રચાયેલ $E_1$ નું પ્રતિબિંબ $E_1''$ છે અને $M_1$ દ્વારા રચાયેલ $E_2$ નું પ્રતિબિંબ $E_2''$ છે.
આ ગોઠવણીની ભૂમિતિને કારણે,અરીસા $M_2$ પરથી પરાવર્તિત થતા આંખ $E_1$ ના પ્રકાશના કિરણો પ્રતિબિંબ $E_2''$ માંથી આવતા હોય તેવું લાગશે,જે આંખ $E_2$ ને દેખાય છે. તેવી જ રીતે,અરીસા $M_1$ પરથી પરાવર્તિત થતા આંખ $E_2$ ના પ્રકાશના કિરણો પ્રતિબિંબ $E_1''$ માંથી આવતા હોય તેવું લાગશે,જે આંખ $E_1$ ને દેખાય છે.
આમ,આંખ $1$ એ આંખ $2$ નું પ્રતિબિંબ જુએ છે અને આંખ $2$ એ આંખ $1$ નું પ્રતિબિંબ જુએ છે.

(C) ધારો કે પદાર્થનું સ્થાન $x = -d$ છે (જ્યાં $d > 0$).
ધારો કે અરીસો ઉગમબિંદુ $x = 0$ ની આસપાસ $A_m = 2 \ cm$ ના કંપવિસ્તાર સાથે $SHM$ કરે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર અરીસાનું સ્થાન $x_m(t) = A_m \sin(\omega t)$ છે.
પ્રતિબિંબનું સ્થાન $x_i$ એ ગુણધર્મ દ્વારા આપવામાં આવે છે કે અરીસો હંમેશા પદાર્થ અને પ્રતિબિંબની વચ્ચેનું મધ્યબિંદુ હોય છે.
તેથી,$x_m = \frac{x_o + x_i}{2}$,જ્યાં $x_o$ એ પદાર્થનું અચળ સ્થાન છે.
$x_i = 2x_m - x_o = 2(A_m \sin(\omega t)) - x_o$.
પ્રતિબિંબનું સ્થાન $x_i(t) = 2A_m \sin(\omega t) - x_o$ છે.
પ્રતિબિંબની $SHM$ નો કંપવિસ્તાર એ દોલિત પદનો સહગુણક છે,જે $2A_m$ છે.
આપેલ છે કે $A_m = 2 \ cm$,તેથી પ્રતિબિંબનો કંપવિસ્તાર $2 \times 2 \ cm = 4 \ cm$ થાય.

(D) જ્યારે બે સમતલ અરીસાઓને એકબીજાને સમાંતર રાખવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની વચ્ચે મૂકવામાં આવેલા પદાર્થમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો અનેક પરાવર્તનો અનુભવે છે.
દરેક પરાવર્તન એક નવું પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
અરીસાઓ સમાંતર હોવાથી,પ્રકાશના કિરણો બે અરીસાઓ વચ્ચે અનંતકાળ સુધી આગળ-પાછળ પરાવર્તિત થતા રહે છે.
તેથી,બે સમાંતર સમતલ અરીસાઓ વચ્ચે મૂકવામાં આવેલા પદાર્થ માટે અનંત સંખ્યામાં પ્રતિબિંબો રચાય છે.

(D) સમતલ અરીસામાં સંપૂર્ણ પ્રતિબિંબ જોવા માટે,જરૂરી અરીસાની ન્યૂનતમ લંબાઈ વ્યક્તિની ઊંચાઈ કરતા અડધી હોવી જોઈએ. માણસની ઊંચાઈ $H = 170\, cm$ આપેલી છે. તેથી,અરીસાની ન્યૂનતમ લંબાઈ $= H/2 = 170/2 = 85\, cm$ થાય.
માથાનો ઉપરનો ભાગ જોવા માટે,અરીસાની ઉપરની ધાર આંખો અને માથાના ઉપરના ભાગ વચ્ચેના મધ્યબિંદુ જેટલી ઊંચાઈ પર હોવી જોઈએ. આંખોથી માથાના ઉપરના ભાગ સુધીનું અંતર $= 170\, cm - 160\, cm = 10\, cm$ છે. અરીસાની ઉપરની ધાર જમીનથી $160\, cm + 10/2\, cm = 165\, cm$ ની ઊંચાઈ પર હોવી જોઈએ.
પગ જોવા માટે,અરીસાની નીચેની ધાર આંખોથી પગ સુધીના અંતર કરતા અડધી ઊંચાઈ પર હોવી જોઈએ. આંખોથી પગ સુધીનું અંતર $= 160\, cm$ છે. અરીસાની નીચેની ધાર જમીનથી $160\, cm / 2 = 80\, cm$ ની ઊંચાઈ પર હોવી જોઈએ.
આમ,બંને વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(D) અરીસો $M$ દીવાલ $W$ ને સંપૂર્ણપણે સમાંતર હોવાથી,બિંદુવત ઉદગમ $S$ માંથી આવતા કોઈપણ પ્રકાશના કિરણ માટે આપાતકોણ અચળ રહે છે જેમ અરીસો દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે.
અરીસો પોતાની સમાંતર ગતિ કરતો હોવાથી,પરાવર્તિત કિરણનો માર્ગ દીવાલની સાપેક્ષમાં તેની દિશા બદલતો નથી.
તેથી,દીવાલ પર પ્રકાશના ટપકાનું સ્થાન સ્થિર રહે છે.
વધુમાં,ઉદગમ $S$ બિંદુવત હોવાથી,પરાવર્તિત પ્રકાશ દીવાલ પર બિંદુવત પ્રતિબિંબ બનાવે છે. જેમ અરીસો ગતિ કરે છે,તેમ પરાવર્તનની ભૂમિતિ બદલાતી નથી,તેથી પ્રકાશના ટપકાનું કદ બિંદુવત જ રહે છે (એટલે કે,તે સમાન રહે છે).
આમ,વિધાન $(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે,તેથી $(D)$ એ અંતિમ જવાબ છે.

(C) આપાતકોણ $i$ એ આપાત કિરણ અને લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે. આકૃતિ પરથી,આપાત કિરણ અને અરીસાની સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. લંબ એ અરીસાને લંબ હોવાથી,$i + \theta = 90^{\circ}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $i = 90^{\circ} - \theta$.
સમતલ અરીસા દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિચલન કોણ $\delta$ માટેનું સૂત્ર $\delta = 180^{\circ} - 2i$ છે.
સૂત્રમાં $i$ ની કિંમત મૂકતા:
$\delta = 180^{\circ} - 2(90^{\circ} - \theta)$
$\delta = 180^{\circ} - 180^{\circ} + 2\theta$
$\delta = 2\theta$.

(C) બે સમતલ અરીસાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે.
$\theta$ ખૂણે નમેલા બે સમતલ અરીસાઓ માટે,જો $\frac{360^\circ}{\theta}$ એ બેકી પૂર્ણાંક હોય,તો મળતા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n = \frac{360^\circ}{\theta} - 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\frac{360^\circ}{90^\circ} = 4$,જે એક બેકી પૂર્ણાંક છે.
તેથી,મળતા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n = 4 - 1 = 3$ છે.
$O$ પર રહેલો અવલોકનકાર તારાના $3$ પ્રતિબિંબો જોશે.

(A) $1$. આપાત કિરણ અરીસા $M_1$ પર $i_1 = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$ ના આપાતકોણે અથડાય છે.
$2$. $M_1$ માંથી પરાવર્તિત કિરણ સમક્ષિતિજ સાથે $40^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$3$. ધારો કે અરીસા $M_2$ નો સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\alpha = 25^{\circ}$ છે. $M_2$ પર આપાતકોણ $i_2 = 40^{\circ} + 25^{\circ} = 65^{\circ}$ છે.
$4$. અંતિમ પરાવર્તિત કિરણ સમક્ષિતિજ બને તે માટે,$M_2$ પર પરાવર્તનકોણ સમક્ષિતિજની સાપેક્ષમાં $0^{\circ}$ હોવો જોઈએ,એટલે કે કિરણ સમક્ષિતિજને સમાંતર હોવું જોઈએ.
$5$. જો અરીસા $M_2$ ને $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે,તો અરીસાનો સમક્ષિતિજ સાથેનો નવો ખૂણો $\alpha'$ બને છે. $M_2$ પર આપાતકોણ $i_2' = 40^{\circ} + \alpha'$ થાય છે.
$6$. પરાવર્તિત કિરણ સમક્ષિતિજ બને તે માટે,અરીસા સાથે પરાવર્તિત કિરણનો ખૂણો આપાતકોણ જેટલો હોવો જોઈએ. ભૂમિતિ દર્શાવે છે કે પરાવર્તિત કિરણ સમક્ષિતિજ બને તે માટે $M_2$ પર આપાતકોણ $20^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
$7$. આમ,$40^{\circ} + \alpha' = 65^{\circ} - \theta = 20^{\circ} \Rightarrow \theta = 5^{\circ}$ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં.

(B) ધારો કે જીવડું ભોંયતળિયાના વિકર્ણ પર $v_0$ ઝડપથી ગતિ કરે છે. બે પાસપાસેની દીવાલોની દિશામાં વેગના ઘટકો $v_x = v_0 \cos 45^\circ$ અને $v_y = v_0 \sin 45^\circ$ છે.
સમતલ અરીસા માટે,અરીસાને સમાંતર પ્રતિબિંબનો વેગ એ અરીસાને સમાંતર વસ્તુના વેગ જેટલો જ હોય છે.
આપેલ છે કે પાસપાસેની દીવાલોમાં પ્રતિબિંબની ઝડપ (દીવાલોને સમાંતર) $20\sqrt{2} \ cm/s$ છે. જીવડું દીવાલો સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે ગતિ કરતું હોવાથી,એક દીવાલને સમાંતર વેગનો ઘટક $v_0 \cos 45^\circ = v_0 / \sqrt{2}$ થાય.
તેથી,$v_0 / \sqrt{2} = 20\sqrt{2} \implies v_0 = 40 \ cm/s$.
છત પર બનતું પ્રતિબિંબ એ ભોંયતળિયા પર ગતિ કરતા જીવડાનું પ્રતિબિંબ છે. છત એ ભોંયતળિયાને સમાંતર હોવાથી,છત પરના પ્રતિબિંબનો વેગ એ ભોંયતળિયા પરની વસ્તુના વેગ જેટલો જ હોય છે.
તેથી,જમીનની સાપેક્ષે છત પરના પ્રતિબિંબની ઝડપ $v_0 = 40 \ cm/s$ છે.

(D) જ્યારે કોઈ વસ્તુને બે સમાંતર સમતલ અરીસાઓ વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ક્રમિક પરાવર્તનને કારણે અનેક પ્રતિબિંબો રચાય છે.
ધારો કે અરીસાઓ $M_1$ અને $M_2$ છે. સમતલ અરીસામાં એક જ પરાવર્તન દ્વારા રચાયેલ પ્રતિબિંબ પાર્શ્વ ઉલટાયેલું (laterally inverted) હોય છે.
જો પ્રતિબિંબ બેકી સંખ્યામાં પરાવર્તન દ્વારા રચાયેલું હોય,તો તે પાર્શ્વ ઉલટાયેલું હોતું નથી (તે મૂળ વસ્તુની સાપેક્ષમાં સીધું હોય છે).
જો પ્રતિબિંબ એકી સંખ્યામાં પરાવર્તન દ્વારા રચાયેલું હોય,તો તે પાર્શ્વ ઉલટાયેલું હોય છે.
પ્રથમ સાત પ્રતિબિંબોને અંતરના ક્રમમાં ગણતા:
$1$. $I_1$ ($M_1$ દ્વારા): $1$ પરાવર્તન (એકી) $\rightarrow$ પાર્શ્વ ઉલટાયેલું.
$2$. $I_2$ ($M_2$ દ્વારા): $1$ પરાવર્તન (એકી) $\rightarrow$ પાર્શ્વ ઉલટાયેલું.
$3$. $I_3$ ($M_1$ દ્વારા $M_2$ માં): $2$ પરાવર્તન (બેકી) $\rightarrow$ પાર્શ્વ ઉલટાયેલું નથી.
$4$. $I_4$ ($M_2$ દ્વારા $M_1$ માં): $2$ પરાવર્તન (બેકી) $\rightarrow$ પાર્શ્વ ઉલટાયેલું નથી.
$5$. $I_5$ ($M_1$ દ્વારા $M_2$ અને પછી $M_1$ માં): $3$ પરાવર્તન (એકી) $\rightarrow$ પાર્શ્વ ઉલટાયેલું.
$6$. $I_6$ ($M_2$ દ્વારા $M_1$ અને પછી $M_2$ માં): $3$ પરાવર્તન (એકી) $\rightarrow$ પાર્શ્વ ઉલટાયેલું.
$7$. $I_7$ ($M_1$ દ્વારા $M_2$ અને $M_1$ અને $M_2$ માં): $4$ પરાવર્તન (બેકી) $\rightarrow$ પાર્શ્વ ઉલટાયેલું નથી.
આમ,પ્રથમ સાત પ્રતિબિંબોમાં,$I_1, I_2, I_5, I_6$ પ્રતિબિંબો પાર્શ્વ ઉલટાયેલા છે. કુલ સંખ્યા $4$ છે.

(B) વસ્તુ $(0, 10) \, \text{cm}$ ના સ્થાન પર છે. અરીસો ઋણ $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,જેનો અર્થ છે કે તે ધન $x$-અક્ષ સાથે $150^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
અથવા,અરીસાની રેખા ધન $x$-અક્ષ સાથે $-30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
વસ્તુ $O$ એ $(0, 10)$ પર છે. અરીસાથી વસ્તુનું અંતર $d = 10 \sin(30^{\circ}) = 5 \, \text{cm}$ છે.
પ્રતિબિંબ $I$ અરીસાની બીજી બાજુએ સમાન અંતર $d = 5 \, \text{cm}$ પર રચાય છે.
વસ્તુ અને પ્રતિબિંબને જોડતી રેખા અરીસા સાથે $90^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
રેખા $OI$ નો ધન $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $30^{\circ} - 90^{\circ} = -60^{\circ}$ છે.
અંતર $OI = 2d = 10 \, \text{cm}$ છે.
પ્રતિબિંબ $I$ ના યામ $(OI \cos(-60^{\circ}), OI \sin(-60^{\circ}))$ છે.
$x = 10 \cos(-60^{\circ}) = 10 \times (1/2) = 5$.
$y = 10 \sin(-60^{\circ}) = 10 \times (-\sqrt{3}/2) = -5 \sqrt{3}$.
આમ,પ્રતિબિંબના યામ $(5, -5 \sqrt{3})$ છે.

(C) $H$ ઊંચાઈ ધરાવતી વસ્તુનું સંપૂર્ણ પ્રતિબિંબ સમતલ અરીસામાં જોવા માટે,અરીસાની જરૂરી લઘુત્તમ લંબાઈ $H/2$ હોય છે.
અહીં માણસની ઊંચાઈ $H = 6$ ફૂટ આપેલી છે.
તેથી,અરીસાની જરૂરી લઘુત્તમ લંબાઈ $6 / 2 = 3$ ફૂટ થશે.