Plane Mirror Questions in Gujarati

(C) સમતલ અરીસા માટે,વાસ્તવિક વસ્તુ હંમેશા આભાસી પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
તેનાથી વિપરીત,આભાસી વસ્તુ વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
જ્યારે આપાત પ્રકાશના કિરણો અરીસાની પાછળના કોઈ બિંદુ તરફ અભિસારી (Converging) થતા હોય ત્યારે આભાસી વસ્તુ રચાય છે.
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે સમતલ અરીસા દ્વારા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચાય છે,તેથી આપાત કિરણો અભિસારી હોવા જોઈએ.

(B) ધારો કે બે અરીસાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આપાત કિરણ બીજા અરીસા $(M_2)$ ને સમાંતર છે. તેથી,પ્રથમ અરીસા $(M_1)$ પર આપાતકોણ $\theta$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,$(M_1)$ પરથી પરાવર્તન કોણ પણ $\theta$ છે.
આ પરાવર્તિત કિરણ બીજા અરીસા $(M_2)$ પર આપાત થાય છે.
બે અરીસાઓ અને પ્રકાશના કિરણ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,બીજા અરીસા પરનો ખૂણો $\theta$ છે (કારણ કે પરાવર્તિત કિરણ પ્રથમ અરીસા $(M_1)$ ને સમાંતર છે).
આમ,ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $\theta + \theta + \theta = 180^o$ થાય છે.
$3\theta = 180^o$
$\theta = 60^o.$

(C) ધારો કે અરીસો $y$-અક્ષ પર $y = -d/2$ થી $y = d/2$ સુધી મૂકવામાં આવ્યો છે. સ્ત્રોત $S$ એ $(L, 0)$ પર છે. સ્ત્રોત $S$ નું પ્રતિબિંબ $S'$ એ $(-L, 0)$ પર રચાય છે.
માણસ $x = 2L$ રેખા પર ચાલે છે. પ્રતિબિંબ $S'$ માંથી આવતા કિરણો જે માણસ સુધી પહોંચે છે તે અરીસાની ધારમાંથી પસાર થવા જોઈએ.
અરીસાની ઉપરની ધાર $(0, d/2)$ અને નીચેની ધાર $(0, -d/2)$ માંથી પસાર થતા $S'$ ના કિરણો દ્રષ્ટિ ક્ષેત્ર નક્કી કરે છે.
સમરૂપ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને,અરીસાથી $x = 2L$ અંતરે દ્રષ્ટિ ક્ષેત્રની ઊંચાઈ $h$ એ અંતરોના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિબિંબ $S'$ થી અરીસા સુધીનું અંતર $L$ છે,અને પ્રતિબિંબ $S'$ થી માણસ સુધીનું અંતર $L + 2L = 3L$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણ દ્વારા,દ્રષ્ટિ ક્ષેત્રની પહોળાઈ $h$ એ $\frac{h}{d} = \frac{3L}{L} = 3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$h = 3d$.

(D) પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ એ પરાવર્તન કોણ જેટલો હોય છે.
બિંદુ $P$ પર,આપાતકોણ $30^o$ છે,તેથી પરાવર્તન કોણ $30^o$ છે.
દિવાલો લંબ હોવાથી,બિંદુ $Q$ પર આપાતકોણ $90^o - 30^o = 60^o$ થાય. આમ,$Q$ પર પરાવર્તન કોણ $60^o$ છે.
બિંદુ $R$ પર,આપાતકોણ $90^o - 60^o = 30^o$ થાય. આમ,$R$ પર પરાવર્તન કોણ $30^o$ છે.
બિંદુ $S$ પર,આપાતકોણ $90^o - 30^o = 60^o$ થાય. આમ,$S$ પર પરાવર્તન કોણ $60^o$ છે.
બિંદુ $T$ પર,આપાતકોણ $90^o - 60^o = 30^o$ થાય. આમ,$T$ પર પરાવર્તન કોણ $30^o$ છે.
તેથી,$Q, R, S$ અને $T$ પર પરાવર્તન કોણ અનુક્રમે $60^o, 30^o, 60^o, 30^o$ છે.

(B) વસ્તુ ઉગમબિંદુ $c$ થી $10 \text{ cm}$ ના અંતરે $y$-અક્ષ પર સ્થિત છે. તેના યામ $(0, 10)$ છે.
અરીસો ઋણ $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,જેનો અર્થ છે કે તે ધન $x$-અક્ષ સાથે $150^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
અરીસાના લંબનો $y$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.
અરીસાથી $d$ અંતરે રહેલી વસ્તુનું પ્રતિબિંબ અરીસાની બીજી બાજુ $d$ અંતરે મળશે.
પરાવર્તનની ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરતા,પ્રતિબિંબ $I$ ઉગમબિંદુ $c$ થી $10 \text{ cm}$ ના અંતરે છે.
ઉગમબિંદુને પ્રતિબિંબ સાથે જોડતી રેખા ધન $x$-અક્ષ સાથે $-60^{\circ}$ (અથવા $300^{\circ}$) નો ખૂણો બનાવે છે.
આમ,પ્રતિબિંબના યામ $(10 \cos(-60^{\circ}), 10 \sin(-60^{\circ})) = (10 \times 0.5, 10 \times -\frac{\sqrt{3}}{2}) = (5, -5\sqrt{3})$ થશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે: વસ્તુનો વેગ $\vec{v}_o = 10 \cos(60^\circ) \hat{i} + 10 \sin(60^\circ) \hat{j} = 5 \hat{i} + 5\sqrt{3} \hat{j} \text{ cm/s}$.
અરીસાનો વેગ $\vec{v}_m = 2 \hat{i} \text{ cm/s}$.
પ્રતિબિંબનો વેગ $\vec{v}_i$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\vec{v}_{i,x} = 2\vec{v}_{m,x} - \vec{v}_{o,x}$ અને $\vec{v}_{i,y} = \vec{v}_{o,y}$.
x-ઘટક ગણતા: $\vec{v}_{i,x} = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1 \text{ cm/s}$.
y-ઘટક ગણતા: $\vec{v}_{i,y} = 5\sqrt{3} \text{ cm/s}$.
આમ,જમીનની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબનો વેગ $\vec{v}_i = -1 \hat{i} + 5\sqrt{3} \hat{j} \text{ cm/s}$ છે.
અરીસાની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબનો વેગ $\vec{v}_{im} = \vec{v}_i - \vec{v}_m = (-1 \hat{i} + 5\sqrt{3} \hat{j}) - (2 \hat{i}) = -3 \hat{i} + 5\sqrt{3} \hat{j} \text{ cm/s}$.

(C) બે સમતલ અરીસાઓ જે $\theta$ ખૂણે નમેલા હોય તેના દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન $\delta = 360^o - 2\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\delta = 270^o$,તેથી $270^o = 360^o - 2\theta$.
$2\theta = 360^o - 270^o = 90^o$,તેથી $\theta = 45^o$.
$\theta$ ખૂણે નમેલા બે અરીસાઓ દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n = \frac{360^o}{\theta} - 1$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\theta = 45^o$ મૂકતા,આપણને $n = \frac{360^o}{45^o} - 1 = 8 - 1 = 7$ મળે છે.
તેથી,અવલોકન કરી શકાય તેવા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $7$ છે.

(C) બે અરીસાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = 6\,cm + 15\,cm = 21\,cm$ છે. ધારો કે $x_1 = 6\,cm$ ($M_1$ થી અંતર) અને $x_2 = 15\,cm$ ($M_2$ થી અંતર).
$M_1$ દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબોના અંતર:
$I_1 = x_1 = 6\,cm$
$I_3 = x_1 + 2d = 6 + 42 = 48\,cm$
$I_5 = x_1 + 4d = 6 + 84 = 90\,cm$
$M_2$ દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબોના $M_2$ થી અંતર:
$I_2 = x_2 = 15\,cm$
$I_4 = x_2 + 2d = 15 + 42 = 57\,cm$
$M_1$ દ્વારા બનતા ચોથા પ્રતિબિંબનું સ્થાન શોધવા માટે,આપણે પ્રતિબિંબોના ક્રમને જોઈએ. $M_1$ દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબો $M_1$ થી $6\,cm, 48\,cm, 90\,cm, \dots$ અંતરે છે. $M_2$ દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબો $M_2$ થી $15\,cm, 57\,cm, 99\,cm, \dots$ અંતરે છે.
$M_2$ ના પ્રતિબિંબ અંતરોને $M_1$ ના સંદર્ભમાં ફેરવતા:
$I_2$ એ $M_1$ થી $15 + 21 = 36\,cm$ અંતરે છે.
$I_4$ એ $M_1$ થી $57 + 21 = 78\,cm$ અંતરે છે.
$M_1$ થી અંતર મુજબ પ્રતિબિંબોનો ક્રમ: $6\,cm (M_1), 36\,cm (M_2), 48\,cm (M_1), 78\,cm (M_2), 90\,cm (M_1), \dots$
ચોથું પ્રતિબિંબ $M_1$ થી $78\,cm$ અંતરે છે.

(B) જ્યારે સમતલ અરીસો $\theta$ ખૂણે ફરે છે, ત્યારે પરાવર્તિત કિરણ $2\theta$ ખૂણે ફરે છે.
આપેલ કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 4\pi \, rad/s^2$ અને સમય $t = \frac{1}{4} \, s$ છે.
અરીસાના પરિભ્રમણનો ખૂણો $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ છે.
અરીસો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી, $\omega_0 = 0$.
$\theta = \frac{1}{2} \times (4\pi) \times (\frac{1}{4})^2 = 2\pi \times \frac{1}{16} = \frac{\pi}{8} \, \text{રેડિયન}$.
રેડિયનને ડિગ્રીમાં ફેરવતા: $\theta = \frac{\pi}{8} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 22.5^\circ$.
પરાવર્તિત કિરણ $2\theta = 2 \times 22.5^\circ = 45^\circ$ જેટલું ફરશે.

(C) છોકરાની ઊંચાઈ $H = 1.5\,m$ છે અને તેની આંખનું સ્તર $h_e = 1.4\,m$ છે. તેની આંખોથી માથાના ઉપરના ભાગ સુધીનું અંતર $1.5 - 1.4 = 0.1\,m$ છે. તેની આંખોથી પગ સુધીનું અંતર $1.4\,m$ છે.
કોઈપણ વ્યક્તિ પોતાનું સંપૂર્ણ પ્રતિબિંબ જોવા માટે,અરીસો આંખના સ્તરની સાપેક્ષમાં માથા સુધીના અંતરના અડધા ભાગથી પગ સુધીના અંતરના અડધા ભાગ સુધીનો હોવો જોઈએ.
આંખના સ્તરની ઉપર જરૂરી અરીસાની ઊંચાઈ: $0.1 / 2 = 0.05\,m$.
આંખના સ્તરની નીચે જરૂરી અરીસાની ઊંચાઈ: $1.4 / 2 = 0.7\,m$.
અરીસાની નીચેની ધાર જમીનથી $0.8\,m$ પર છે. આંખનું સ્તર $1.4\,m$ પર હોવાથી,અરીસાની નીચેની ધાર આંખના સ્તરથી $1.4 - 0.8 = 0.6\,m$ નીચે છે.
આંખના સ્તરની નીચે $0.7\,m$ ની જરૂરિયાત છે,પરંતુ અરીસો માત્ર $0.6\,m$ સુધી જ નીચે છે,તેથી છોકરો તેના પગ જોઈ શકશે નહીં.

(B) વસ્તુ $O$ ને બે સમાંતર અરીસાઓ $AB$ અને $CD$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવી છે.
દરેક અરીસો તેની પાછળ વસ્તુ $O$ નું પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
અરીસાઓ એકબીજાની સામે નથી (તેઓ સમાંતર રેખાઓ પર ગોઠવાયેલા છે પરંતુ એકબીજાથી દૂર છે),તેથી વસ્તુ $O$ માંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો અરીસા $AB$ પર પરાવર્તિત થઈને પ્રતિબિંબ $I_1$ બનાવે છે,અને પ્રકાશના કિરણો અરીસા $CD$ પર પરાવર્તિત થઈને પ્રતિબિંબ $I_2$ બનાવે છે.
કારણ કે અરીસાઓ એકબીજાના પરાવર્તિત કિરણોના દ્રષ્ટિ ક્ષેત્રમાં ઓવરલેપ થતા નથી,તેથી વધુ કોઈ બહુવિધ પરાવર્તનો થતા નથી.
તેથી,માત્ર બે જ પ્રતિબિંબો રચાય છે,દરેક અરીસા દ્વારા એક.

(A) આપેલ આકૃતિમાં,આપાત કિરણો $A$ અને $B$ એકબીજાને સમાંતર છે. અરીસા દ્વારા પરાવર્તન પછી,પરાવર્તિત કિરણો $A'$ અને $B'$ પણ એકબીજાને સમાંતર રહે છે.
ગોળીય અરીસા (અંતર્ગોળ કે બહિર્ગોળ) માટે,સમાંતર આપાત કિરણો કાં તો મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થશે અથવા મુખ્ય કેન્દ્રમાંથી અપસરણ પામતા હોય તેવું લાગશે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ પરાવર્તન પછી સમાંતર રહેશે નહીં.
માત્ર સમતલ અરીસો જ સમાંતર આપાત કિરણોના સમૂહને સમાંતર પરાવર્તિત કિરણોના સમૂહ તરીકે પરાવર્તિત કરી શકે છે,પછી ભલે આપાતકોણ ગમે તે હોય,જો સપાટી સપાટ હોય.
તેથી,અરીસો સમતલ અરીસો જ હોવો જોઈએ.

(A) પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $(i)$ એ પરાવર્તનકોણ $(r)$ જેટલો હોય છે.
સમતલ અરીસા માટે,જો બે આપાત કિરણો એક જ બિંદુ પર અથડાય,તો તેમના અનુરૂપ પરાવર્તિત કિરણોએ લંબ સાથે સમાન કોણીય સંબંધ જાળવી રાખવો જોઈએ.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,જો કોઈ આપાત કિરણ લંબ સાથે $i$ ખૂણો બનાવે,તો તેના પરાવર્તિત કિરણને વિરુદ્ધ બાજુએ લંબ સાથે $r = i$ ખૂણો બનાવવો જ પડે.
આકૃતિ $(I)$ માં,પરાવર્તિત કિરણો લંબથી આપાત કિરણો જેટલું જ કોણીય અંતર જાળવી રાખે છે,જે બંને કિરણો માટે પરાવર્તનના નિયમનું પાલન કરે છે.
આકૃતિ $(II)$ અને $(III)$ બંને કિરણો માટે એકસાથે લંબની સાપેક્ષમાં પરાવર્તનના નિયમ દ્વારા જરૂરી સમપ્રમાણતાને યોગ્ય રીતે દર્શાવતા નથી.
તેથી,માત્ર આકૃતિ $(I)$ જ સમતલ અરીસા પર એક જ બિંદુએથી બે કિરણોના પરાવર્તનને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(B) ધારો કે અરીસો $M$ એ સમક્ષિતિજ $H$ સાથે $\theta$ ખૂણે નમેલો છે. આપાત કિરણ અરીસાની સપાટી સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,પરાવર્તન કોણ એ આપાતકોણ જેટલો જ હોય છે. તેથી,પરાવર્તિત કિરણ પણ અરીસાની સપાટી સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવશે. આ ગોઠવણીની ભૂમિતિ પરથી,પરાવર્તિત કિરણ અને સમક્ષિતિજ વચ્ચેનો ખૂણો એ પરાવર્તિત કિરણ અરીસા સાથે બનાવે છે તે ખૂણો અને અરીસો સમક્ષિતિજ સાથે બનાવે છે તે ખૂણાનો સરવાળો છે. આમ,સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta + \theta = 2\theta$ થશે.

(B) જ્યારે બે સમતલ અરીસાઓને એકબીજા સાથે $\theta$ ખૂણે રાખવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની વચ્ચે મૂકવામાં આવેલી વસ્તુના પ્રતિબિંબો એક વર્તુળ પર રચાય છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર બંને અરીસાઓનું છેદબિંદુ હોય છે.
$\theta = 90^o$ માટે,રચાતા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n = (360^o / 90^o) - 1 = 4 - 1 = 3$ છે.
આ $3$ પ્રતિબિંબો એક ચોરસના શિરોબિંદુઓ પર સ્થિત હોય છે (જ્યાં વસ્તુ અને અરીસાનું છેદબિંદુ અન્ય શિરોબિંદુઓ બનાવે છે),અને આ તમામ પ્રતિબિંબો અરીસાઓના છેદબિંદુને કેન્દ્ર ગણીને દોરેલા વર્તુળ પર આવેલા હોય છે.

(C) $H$ ઊંચાઈ ધરાવતી વ્યક્તિએ સમતલ અરીસામાં પોતાનું સંપૂર્ણ પ્રતિબિંબ જોવા માટે,જરૂરી અરીસાની લઘુત્તમ લંબાઈ $L = H/2$ છે.
અહીં $H = 170 \, cm$ આપેલ છે,તેથી અરીસાની લઘુત્તમ લંબાઈ $L = 170/2 = 85 \, cm$ થાય. આમ,વિધાન $(b)$ સાચું છે.
અરીસાની નીચેની ધાર જમીનથી આંખો સુધીના અંતરના અડધા અંતરે હોવી જોઈએ. ધારો કે $h$ એ જમીનથી આંખોની ઊંચાઈ છે.
અહીં $h = 160 \, cm$ આપેલ છે,તેથી જમીનથી અરીસાના નીચેના ભાગની ઊંચાઈ $h/2 = 160/2 = 80 \, cm$ થાય. આમ,વિધાન $(c)$ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(b)$ અને $(c)$ છે.

(C) ધારો કે અરીસા $M_1$ પર આપાતકોણ $i_1 = 30^o$ છે. પરાવર્તન કોણ પણ $30^o$ છે. પરાવર્તિત કિરણ $M_1$ ની સપાટી સાથે $90^o - 30^o = 60^o$ નો ખૂણો બનાવે છે.
બે અરીસાઓ અને કિરણ દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણમાં,શિરોબિંદુ પરનો ખૂણો $40^o$ છે. $M_1$ પરના પાયાનો ખૂણો $60^o$ છે. આમ,$M_2$ પરના પાયાનો ખૂણો $180^o - (40^o + 60^o) = 80^o$ છે.
$M_2$ પર આપાતકોણ $90^o - 80^o = 10^o$ છે. $10^o < 90^o$ હોવાથી,કિરણ $M_2$ પરથી પરાવર્તિત થાય છે.
$M_2$ પરથી પરાવર્તન કોણ $10^o$ છે. આ કિરણ $M_2$ ની સપાટી સાથે $90^o - 10^o = 80^o$ નો ખૂણો બનાવે છે.
હવે,કિરણ અને અરીસાઓ દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લો. શિરોબિંદુ પરનો ખૂણો $40^o$ છે. $M_2$ પરના પાયાનો ખૂણો $80^o$ છે. $M_1$ પરના પાયાનો ખૂણો $180^o - (40^o + 80^o) = 60^o$ છે.
$M_1$ ની સપાટી સાથેનો ખૂણો $60^o$ હોવાથી,આપાતકોણ $90^o - 60^o = 30^o$ છે. આ પ્રારંભિક આપાતકોણ જેટલો જ છે,જેનો અર્થ છે કે કિરણ અરીસાઓ વચ્ચે પરાવર્તન કરવાનું ચાલુ રાખશે.
જોકે,પ્રશ્ન પરાવર્તનોની સંખ્યા વિશે પૂછે છે. ભૂમિતિના આધારે,કિરણ ફરીથી $M_1$ પર અથડાશે,પછી $M_2$ પર,અને તેથી વધુ. અરીસાઓ લાંબા હોવાથી,કિરણ સિસ્ટમમાંથી બહાર નીકળે ત્યાં સુધી મર્યાદિત સંખ્યામાં પરાવર્તનો અનુભવશે. $40^o$ ના ખૂણા માટે,પરાવર્તનોની કુલ સંખ્યા $N = \frac{180^o}{\theta} = \frac{180^o}{40^o} = 4.5$ તરીકે ગણવામાં આવે છે. કિરણ $4$ પરાવર્તનો અનુભવશે.

(D) ધારો કે પાછળની બારીની પહોળાઈ $W = 120 \, cm$ અને ઊંચાઈ $H = 45 \, cm$ છે. ડ્રાઈવરથી પાછળની બારીનું અંતર $d_1 = 2 \, m$ છે. અરીસો ડ્રાઈવરની સામે $d_2 = 0.5 \, m$ ના અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે. પાછળની બારીનું પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $d_2 = 0.5 \, m$ ના અંતરે રચાય છે. આમ,ડ્રાઈવરથી પાછળની બારીના પ્રતિબિંબનું કુલ અંતર $D = d_1 + d_2 + d_2 = 2 + 0.5 + 0.5 = 3 \, m$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને,અરીસાના કદ $(w, h)$ અને બારીના કદ $(W, H)$ નો ગુણોત્તર એ ડ્રાઈવરથી અરીસાના અંતર અને ડ્રાઈવરથી પ્રતિબિંબના કુલ અંતરના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે:
$\frac{w}{W} = \frac{d_2}{D} \Rightarrow w = W \times \frac{0.5}{3} = 120 \times \frac{1}{6} = 20 \, cm$
$\frac{h}{H} = \frac{d_2}{D} \Rightarrow h = H \times \frac{0.5}{3} = 45 \times \frac{1}{6} = 7.5 \, cm$
તેથી,અરીસાનું લઘુત્તમ કદ $(20 \, cm \times 7.5 \, cm)$ છે.

(A) માણસ અરીસામાં સ્ત્રોત $S$ નું પ્રતિબિંબ ત્યાં સુધી જોઈ શકે છે જ્યાં સુધી તે પ્રતિબિંબના દ્રષ્ટિ ક્ષેત્રમાં રહે.
ધારો કે અરીસો $AB$ છે જેની લંબાઈ $L = 20\,cm$ છે. સ્ત્રોત $S$ અરીસાથી $d_1 = 10\,cm$ અંતરે છે.
માણસ અરીસાથી $d_2 = 20\,cm$ અંતરે એક રેખા પર ચાલે છે. સ્ત્રોત $S$ થી માણસનું કુલ અંતર $d_1 + d_2 = 10\,cm + 20\,cm = 30\,cm$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણોનો ઉપયોગ કરીને,અરીસાથી $d_1 + d_2$ અંતરે દ્રષ્ટિ ક્ષેત્રની પહોળાઈ $PQ$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{PQ}{L} = \frac{d_1 + d_2}{d_1} = \frac{30\,cm}{10\,cm} = 3$
$PQ = 3 \times L = 3 \times 20\,cm = 60\,cm$.
માણસ $v = 10\,cm/s$ ની ઝડપે ચાલે છે.
તે જે સમય માટે પ્રતિબિંબ જોઈ શકે છે તે સમય $t = \frac{PQ}{v} = \frac{60\,cm}{10\,cm/s} = 6\,s$ છે.

(A) ધારો કે બે અરીસાઓ $M_1$ અને $M_2$ છે જે $L$ અંતરે અલગ છે. પદાર્થ $O$ એ $M_1$ થી $x = L/3$ અંતરે અને $M_2$ થી $y = 2L/3$ અંતરે છે.
$M_1$ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબો $M_1$ થી $L/3, 7L/3, 13L/3, \dots$ અંતરે છે.
$M_2$ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબો $M_2$ થી $2L/3, 8L/3, 14L/3, \dots$ અંતરે છે.
બધા સ્થાનને $M_1$ ની સાપેક્ષમાં ગણતા: $M_1$ થી અંતર $L/3, 5L/3, 7L/3, 11L/3, 13L/3, 17L/3, \dots$ મળે છે.
ક્રમિક પ્રતિબિંબો વચ્ચેનું અંતર $4L/3, 2L/3, 4L/3, 2L/3, \dots$ છે.
આમ,કોઈપણ બે પ્રતિબિંબો વચ્ચેનું અંતર $2L/3$ ના ગુણાંકમાં હોય છે,તેથી $\frac{3L}{2}$ શક્ય નથી.

(C) ધારો કે $d = 10 \, cm = 0.1 \, m$ એ અરીસાઓ વચ્ચેનું અંતર છે અને $L = 20 \, m$ એ અરીસાઓની લંબાઈ છે.
દરેક પરાવર્તન પછી,કિરણ અરીસા પર $x$ જેટલું આડું અંતર કાપે છે.
પથની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે $\tan 53^{\circ} = \frac{x}{d}$ છે.
આપેલ છે કે $\tan 53^{\circ} = \frac{4}{3}$,તેથી $x = d \tan 53^{\circ} = 0.1 \times \frac{4}{3} \, m = \frac{0.4}{3} \, m$.
કુલ પરાવર્તનોની સંખ્યા $n$ એ કુલ લંબાઈ $L$ અને પ્રતિ પરાવર્તન કપાતા આડા અંતર $x$ ના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
$n = \frac{L}{x} = \frac{20}{0.4 / 3} = \frac{20 \times 3}{0.4} = \frac{60}{0.4} = 150$.
આમ,પ્રકાશનું $150$ વાર પરાવર્તન થાય છે.

(C) ધારો કે આપાત કિરણ ક્ષિતિજ સાથે $10^o$ નો ખૂણો બનાવે છે. પરાવર્તિત કિરણ શિરોલંબ છે, જેનો અર્થ છે કે તે ક્ષિતિજ સાથે $90^o$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આપાત કિરણ અને પરાવર્તિત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો એ કુલ વિચલન $\delta$ છે.
આપાત કિરણ ક્ષિતિજની નીચે $10^o$ છે અને પરાવર્તિત કિરણ ક્ષિતિજની ઉપર $90^o$ છે, તેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\delta = 90^o + 10^o = 100^o$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ, વિચલન કોણ $\delta$ એ આપાતકોણ $i$ સાથે $\delta = 180^o - 2i$ દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી, $100^o = 180^o - 2i$, જે $2i = 80^o$ અથવા $i = 40^o$ આપે છે.
આપાતકોણ $i$ એ આપાત કિરણ અને અરીસાના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ધારો કે $\theta$ એ અરીસો ક્ષિતિજ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. આપાત કિરણ અને અરીસાની સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $i = 90^o - (\text{આપાત કિરણ અને અરીસાની સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો})$ છે.
ભૂમિતિ પરથી, આપાત કિરણ અને અરીસાની સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta + 10^o$ છે.
આમ, આપાતકોણ $i = 90^o - (\theta + 10^o)$.
$i = 40^o$ મૂકતા, આપણને $40^o = 90^o - \theta - 10^o$ મળે છે.
$40^o = 80^o - \theta$, જેનો અર્થ છે કે $\theta = 40^o$.

(C) $H$ ઊંચાઈ ધરાવતી વસ્તુનું સંપૂર્ણ પ્રતિબિંબ સમતલ અરીસામાં જોવા માટે,જરૂરી અરીસાની લઘુત્તમ લંબાઈ $H/2$ હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે માથાના ઉપરના ભાગમાંથી અને પગમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો અરીસા પર પરાવર્તિત થઈને આંખો સુધી પહોંચવા જોઈએ.
અહીં માણસની ઊંચાઈ $H = 160\,cm$ આપેલી છે.
તેથી,અરીસાની લઘુત્તમ લંબાઈ $L = H/2 = 160/2 = 80\,cm$ થાય.
આંખોની ઊંચાઈ સંપૂર્ણ પ્રતિબિંબ જોવા માટે જરૂરી અરીસાની લઘુત્તમ લંબાઈને અસર કરતી નથી,જો અરીસો યોગ્ય રીતે ગોઠવાયેલો હોય.

(A) જ્યારે આપાત કિરણો અરીસાની પાછળના કોઈ બિંદુ તરફ કેન્દ્રિત થતા હોય ત્યારે આભાસી વસ્તુ રચાય છે. આ કિસ્સામાં,અરીસાની પાછળનું બિંદુ $P$ આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
જ્યારે આ કિરણો સમતલ અરીસા પર અથડાય છે,ત્યારે તેઓ પરાવર્તિત થાય છે અને વાસ્તવમાં અરીસાની સામેના બિંદુ $Q$ પર મળે છે.
જેহেতু પરાવર્તિત કિરણો વાસ્તવમાં બિંદુ $Q$ પર મળે છે,તેથી $Q$ પર રચાતું પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ છે.
તેથી,સમતલ અરીસાને કારણે આભાસી વસ્તુનું પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક હોય છે.
વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(A) બે સમતલ અરીસાઓ જે $\theta$ ખૂણે નમેલા હોય તેના દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{360^o}{\theta} - 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે જો $\frac{360^o}{\theta}$ એ બેકી પૂર્ણાંક હોય.
જો $\frac{360^o}{\theta}$ એ એકી પૂર્ણાંક હોય,તો જો વસ્તુ સમપ્રમાણ રીતે મૂકવામાં આવે તો $n = \frac{360^o}{\theta} - 1$ અને જો વસ્તુ અસમપ્રમાણ રીતે મૂકવામાં આવે તો $n = \frac{360^o}{\theta}$ થાય.
અહીં $\theta = 72^o$ આપેલ છે,તેથી $\frac{360^o}{72^o} = 5$,જે એકી પૂર્ણાંક છે.
વસ્તુ અસમપ્રમાણ રીતે મૂકવામાં આવી હોવાથી,રચાતા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
આમ,વિધાન સાચું છે.
કારણ એ બે નમેલા સમતલ અરીસાઓ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા માટેનો સામાન્ય નિયમ જણાવે છે,જે સાચો છે.
વિધાન એ કારણમાં જણાવેલ નિયમનો સીધો ઉપયોગ હોવાથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(B) જ્યારે વસ્તુ આભાસી હોય ત્યારે સમતલ અરીસો વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચે છે. જ્યારે કેન્દ્રિત થતા પ્રકાશના કિરણો અરીસા પર આપાત થાય ત્યારે આભાસી વસ્તુ બને છે. પરાવર્તિત કિરણો પછી અરીસાની સામે એક બિંદુ પર કેન્દ્રિત થાય છે,જે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
તેનાથી વિપરીત,જો વસ્તુ વાસ્તવિક હોય (બિંદુ સ્ત્રોતમાંથી આવતા અપસારી કિરણો),તો સમતલ અરીસો અરીસાની પાછળ આભાસી પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે કારણ કે જો આપાત કિરણો કેન્દ્રિત થતા હોય (આભાસી વસ્તુ),તો સમતલ અરીસો વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ બનાવી શકે છે.
કારણ પણ સાચું છે કારણ કે સમતલ અરીસો વાસ્તવિક વસ્તુ માટે આભાસી પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
જો કે,કારણ એ સમજાવતું નથી કે વિધાન શા માટે સાચું છે; તે એક અલગ કિસ્સો (વાસ્તવિક વસ્તુ વિરુદ્ધ આભાસી વસ્તુ) વર્ણવે છે. આમ,બંને સાચા છે,પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(D) આપેલ છે:
અરીસાનું કોણીય વિચલન,$\theta = 3.5^{\circ}$.
અરીસાથી પડદાનું અંતર,$D = 1.5\; m$.
જ્યારે સમતલ અરીસાને $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે પરાવર્તિત કિરણ $2\theta$ ખૂણે ફરે છે.
તેથી,પરાવર્તિત કિરણનું વિચલન કોણ $2\theta = 2 \times 3.5^{\circ} = 7.0^{\circ}$ થશે.
પડદા પર પરાવર્તિત પ્રકાશના ટપકાનું સ્થાનાંતર $(d)$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tan(2\theta) = \frac{d}{D}$
કિંમતો મૂકતા:
$d = D \times \tan(7.0^{\circ})$
$d = 1.5\; m \times \tan(7.0^{\circ})$
$\tan(7.0^{\circ}) \approx 0.12278$ લેતા,
$d = 1.5 \times 0.12278 = 0.18417\; m$
સ્થાનાંતરને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા:
$d = 0.18417 \times 100\; cm = 18.417\; cm \approx 18.4\; cm$.
આમ,પરાવર્તિત પ્રકાશના ટપકાનું સ્થાનાંતર $18.4\; cm$ છે.

જ્યારે પ્રકાશના કિરણો કોઈ ચળકતી સપાટી પર અથડાય છે ત્યારે તે પાછા તે જ માધ્યમમાં પાછા ફરે છે,આ ઘટનાને પ્રકાશનું પરાવર્તન કહે છે.
પરાવર્તનના નિયમો:
$(i)$ આપાત કિરણ,પરાવર્તિત કિરણ અને આપાત બિંદુએ સપાટીને દોરેલો લંબ ત્રણેય એક જ સમતલમાં હોય છે.
$(ii)$ આપાતકોણ $(i)$ અને પરાવર્તનકોણ $(r)$ ના માપ સમાન હોય છે,એટલે કે $\angle i = \angle r$.

(A) અરીસાના મુખ્યત્વે બે પ્રકાર છે:
$(1)$ સમતલ અરીસો
$(2)$ ગોલીય અરીસો
ગોલીય અરીસાના બે પ્રકાર છે:
$(1)$ અંતર્ગોળ અરીસો: જો ગોલીય અરીસાની અંદરની (વક્ર) સપાટી પરાવર્તક બનાવવામાં આવે,તો તેને અંતર્ગોળ અરીસો કહેવાય છે.
$(2)$ બહિર્ગોળ અરીસો: જો ગોલીય અરીસાની બહારની (ઉપસેલી) સપાટી પરાવર્તક બનાવવામાં આવે,તો તેને બહિર્ગોળ અરીસો કહેવાય છે.

(N/A) આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ,$\lambda = 5000 \,\mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \,m$.
પ્રકાશની ઝડપ,$c = 3 \times 10^{8} \,m/s$.
આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ નીચેના સંબંધ દ્વારા મળે છે,$v = \frac{c}{\lambda}$.
$v = \frac{3 \times 10^{8}}{5000 \times 10^{-10}} = 6 \times 10^{14} \,Hz$.
પરાવર્તિત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ અને આવૃત્તિ આપાત પ્રકાશ જેટલી જ રહે છે.
તેથી,પરાવર્તિત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $5000 \,\mathring{A}$ અને તેની આવૃત્તિ $6 \times 10^{14} \,Hz$ છે.
જ્યારે પરાવર્તિત કિરણ એ આપાત કિરણને લંબ હોય,ત્યારે આપાતકોણ $\angle i$ અને પરાવર્તનકોણ $\angle r$ નો સરવાળો $90^{\circ}$ થાય છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ હંમેશા પરાવર્તનકોણ જેટલો હોય છે,એટલે કે $\angle i = \angle r$.
તેથી,$\angle i + \angle i = 90^{\circ} \implies 2\angle i = 90^{\circ} \implies \angle i = 45^{\circ}$.
આપેલ શરત માટે આપાતકોણ $45^{\circ}$ છે.

(C) પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન હોય છે,અને આપાત કિરણ,પરાવર્તિત કિરણ અને લંબ એક જ સમતલમાં હોય છે.
ધારો કે લંબ સદિશ $\overrightarrow{ c }$ છે. આપાત કિરણ $\overrightarrow{ a }$ નો લંબની દિશામાં ઘટક $(\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ c }) \overrightarrow{ c }$ છે.
લંબને લંબરૂપે $\overrightarrow{ a }$ નો ઘટક $\overrightarrow{ a } - (\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ c }) \overrightarrow{ c }$ છે.
પરાવર્તિત કિરણ $\overrightarrow{ b }$ માટે લંબને લંબરૂપે ઘટક સમાન રહે છે પરંતુ લંબની દિશામાં ઘટક વિરુદ્ધ થાય છે,તેથી:
$\overrightarrow{ b } = (\overrightarrow{ a } - (\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ c }) \overrightarrow{ c }) - (\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ c }) \overrightarrow{ c }$
$\overrightarrow{ b } = \overrightarrow{ a } - 2(\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ c }) \overrightarrow{ c }$

(C) ધારો કે અરીસો $y$-અક્ષ પર છે અને તેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે. અરીસો $y = -25 \,cm$ થી $y = +25 \,cm$ સુધી વિસ્તરેલો છે.
પ્રકાશનો સ્ત્રોત $S$ એ $(60 \,cm, 0)$ પર છે.
સમતલ અરીસામાં સ્ત્રોત $S$ નું પ્રતિબિંબ $S'$ એ $(-60 \,cm, 0)$ પર રચાય છે.
માણસ અરીસાથી $1.2 \,m = 120 \,cm$ ના અંતરે ચાલે છે.
પ્રતિબિંબ $S'$ માંથી નીકળતા કિરણો જે દ્રષ્ટિ ક્ષેત્ર નક્કી કરે છે તે અરીસાની ધાર $y = 25 \,cm$ અને $y = -25 \,cm$ માંથી પસાર થાય છે.
સમરૂપ ત્રિકોણોનો ઉપયોગ કરતા,ઊંચાઈ અને પ્રતિબિંબ $S'$ થી અંતરનો ગુણોત્તર અચળ રહે છે:
$\frac{y_{edge}}{distance_{S'}} = \frac{x}{distance_{S'} + distance_{man}}$
અહીં,અરીસાથી પ્રતિબિંબ $S'$ નું અંતર $60 \,cm$ છે. અરીસાથી માણસનું અંતર $120 \,cm$ છે.
તેથી,પ્રતિબિંબ $S'$ થી માણસનું કુલ અંતર $60 \,cm + 120 \,cm = 180 \,cm$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણોના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{25 \,cm}{60 \,cm} = \frac{x}{180 \,cm}$
$x = \frac{25 \times 180}{60} = 25 \times 3 = 75 \,cm$.
આ $x$ એ મધ્ય અક્ષથી એક બાજુના અંતિમ બિંદુ સુધીનું અંતર છે.
બંને અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચેનું કુલ અંતર $2x = 2 \times 75 \,cm = 150 \,cm$ છે.

(B) ધારો કે અરીસાઓ જ્યાં મળે છે તે ખૂણો ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે. બિંદુવત ઉદગમ $P$ નું સ્થાન $(a, 2a)$ છે.
અરીસા ${M}_{1}$ ($x=0$ પર) દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ ${I}_{1} = (-a, 2a)$ છે.
અરીસા ${M}_{2}$ ($y=0$ પર) દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ ${I}_{2} = (a, -2a)$ છે.
બંને અરીસાઓ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ (પરાવર્તનોનું છેદબિંદુ) ${I}_{3} = (-a, -2a)$ છે.
આપણે તમામ પ્રતિબિંબોની જોડીઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાની જરૂર છે:
$1$. ${I}_{1}$ અને ${I}_{2}$ વચ્ચેનું અંતર: $\sqrt{(a - (-a))^2 + (-2a - 2a)^2} = \sqrt{(2a)^2 + (-4a)^2} = \sqrt{4a^2 + 16a^2} = \sqrt{20a^2} = 2\sqrt{5}a = 2 \times 2.3a = 4.6a$.
$2$. ${I}_{1}$ અને ${I}_{3}$ વચ્ચેનું અંતર: $\sqrt{(-a - (-a))^2 + (-2a - 2a)^2} = \sqrt{0 + (-4a)^2} = 4a$.
$3$. ${I}_{2}$ અને ${I}_{3}$ વચ્ચેનું અંતર: $\sqrt{(-a - a)^2 + (-2a - (-2a))^2} = \sqrt{(-2a)^2 + 0} = 2a$.
સૌથી લાંબુ અંતર $4.6a$ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) તરંગો સમતલ અરીસા તરીકે કાર્ય કરે છે જે પ્રકાશનું પરાવર્તન કરીને $\delta$ કોણીય વિસ્તાર ધરાવતી છબી બનાવે છે.
આપેલ છે કે $O$ અને $E$ સમાન ઊંચાઈ પર છે,તેથી $O E B C$ એ $O E \parallel B C$ સાથેનું સમલંબ ચતુષ્કોણ બનાવે છે.
ધારો કે બિંદુ $B$ પર આપાતકોણ $\beta$ છે અને બિંદુ $C$ પર આપાતકોણ $\gamma$ છે.
પરાવર્તનની ભૂમિતિ પરથી,સમક્ષિતિજ સાથે પરાવર્તિત કિરણનો ખૂણો અરીસાની સપાટીના નમન $\alpha$ દ્વારા પ્રભાવિત થાય છે.
પરાવર્તનના નિયમ અને આકૃતિમાં દર્શાવેલ ખૂણાઓના ભૌમિતિક ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$\angle 1 = 90^{\circ} - \beta - \alpha$
$\angle 2 = 90^{\circ} - \gamma - \alpha$
$O$ અને $E$ સમાન ઊંચાઈ પર હોવાથી,સંમિતિ મુજબ $\beta = \gamma$ થાય છે.
કોણીય વિસ્તાર $\delta$ એ નિરીક્ષક $E$ પર પરાવર્તિત કિરણો દ્વારા બનતો ખૂણો છે.
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,નમેલા અરીસાઓ દ્વારા થતું કુલ વિચલન $\delta = 2 \alpha$ પરિણમે છે.

(C) પ્રકાશનું કિરણ દરેક અન્ય દીવાલ પર બરાબર એકવાર પરાવર્તિત થયા પછી તે જ કાણામાંથી બહાર નીકળે તે માટે,માર્ગ ચોરસના વિકર્ણની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવો જોઈએ.
ધારો કે આપાતકોણ $\theta_i$ છે. પ્રથમ દીવાલ પર પરાવર્તન કોણ પણ $\theta_i$ હશે.
ચોરસમાં માર્ગને અનુસરતા,ભૂમિતિ મુજબ પછીની દીવાલો પરનો આપાતકોણ એવો હોવો જોઈએ કે જે બહાર નીકળવાનો કોણ $e = \theta_i$ સાથે કાણા પર પાછો ફરે.
કિરણ અન્ય ત્રણેય દીવાલોને અથડાયા પછી તે જ કાણામાંથી બહાર નીકળે તે માટે,કુલ વિચલન એવું હોવું જોઈએ કે કિરણ તેના મૂળ માર્ગને સમાંતર હોય પરંતુ ઉલટું હોય,અથવા સંમિત માર્ગને અનુસરે.
ચોરસ પાત્રમાં,પ્રકાશ ત્રણેય દીવાલોને અથડાઈને કાણા પર પાછો ફરે તે માટે,ભૂમિતિ સૂચવે છે કે $\theta_i$ એ $2\theta_i = 90^{\circ}$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ,જે $\theta_i = 45^{\circ}$ આપે છે.
આમ,કિરણ માત્ર $\theta_i = 45^{\circ}$ પર જ બહાર આવશે.

(D) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ $\theta$ ખૂણે નમેલા બે સમતલ અરીસાઓ પરથી બે ક્રમિક પરાવર્તન અનુભવે છે,ત્યારે ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન $\delta$ એ સૂત્ર $\delta = 360^{\circ} - 2\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પ્રશ્નમાં,નિર્ગમન કિરણ આપાત કિરણને સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે કુલ વિચલન $\delta = 180^{\circ}$ છે.
આ મૂલ્યને સૂત્રમાં મૂકતા:
$180^{\circ} = 360^{\circ} - 2\theta$
$\theta$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$2\theta = 360^{\circ} - 180^{\circ}$
$2\theta = 180^{\circ}$
$\theta = 90^{\circ}$
તેથી,પરાવર્તિત કિરણ આપાત કિરણને સમાંતર રહે તે માટે અરીસાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવો જોઈએ.

(C) આપાત કિરણ ઋણ $y$-દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી તેનો દિશા સદિશ $-\hat{j}$ છે.
અરીસો $Y$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. અરીસાનો લંબ $X$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે (અથવા $Y$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો).
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન હોય છે.
આપાત કિરણ અરીસાની સપાટી સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,પરાવર્તિત કિરણ પણ અરીસાની સપાટી સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવશે.
ભૂમિતિ જોતા,પરાવર્તિત કિરણ ચોથા ચરણમાં $X$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
પરાવર્તિત કિરણનો દિશા સદિશ $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ તરીકે લખી શકાય.
તે ચોથા ચરણમાં હોવાથી,$v_x > 0$ અને $v_y < 0$ છે.
ધન $X$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $-30^{\circ}$ છે.
તેથી,દિશા $(\cos(-30^{\circ})\hat{i} + \sin(-30^{\circ})\hat{j}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j})$ ના પ્રમાણમાં છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $\sqrt{3}\hat{i} - \hat{j}$ સદિશ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(C) આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,સ્ક્રીન પર પડછાયાની લંબાઈ $CD = H$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણ $\triangle BGF$ અને $\triangle DEF$ પરથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{DE}{BG} = \frac{FE}{GF} \Rightarrow \frac{h'}{h} = \frac{d-x}{x} \Rightarrow \frac{d}{x} = \frac{h' + h}{h} \quad \dots(i)$
હવે,સમરૂપ ત્રિકોણ $\triangle ABG$ અને $\triangle ACE$ પરથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{CE}{AE} = \frac{BG}{AG} \Rightarrow \frac{H + h'}{d + x} = \frac{h}{x} \Rightarrow \frac{d+x}{x} = \frac{H + h'}{h} \Rightarrow \frac{d}{x} + 1 = \frac{H + h'}{h} \Rightarrow \frac{d}{x} = \frac{H + h' - h}{h} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{h' + h}{h} = \frac{H + h' - h}{h}$
$h' + h = H + h' - h$
$H = 2h$
આમ,દીવાલ પર પડછાયાની ઊંચાઈ $2h$ છે.

(A) જ્યારે સમતલ અરીસાને તેના સમતલમાં રહેલી ધરી પર $\delta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે અરીસાનો લંબ પણ તેટલા જ $\delta$ ખૂણે ફરે છે.
ધારો કે આપાતકોણ $i$ છે. પરાવર્તન કોણ પણ $i$ છે.
જ્યારે અરીસો $\delta$ ખૂણે ફરે છે,ત્યારે નવો આપાતકોણ $i \pm \delta$ બને છે (ભ્રમણની દિશા પર આધાર રાખે છે).
નવો પરાવર્તન કોણ પણ $i \pm \delta$ થશે.
પરાવર્તિત કિરણની દિશામાં થતો ફેરફાર એ નવા પરાવર્તન કોણ અને મૂળ પરાવર્તન કોણ વચ્ચેનો તફાવત છે.
ગાણિતિક રીતે,પ્રકાશશાસ્ત્રમાં આ એક પ્રમાણિત પરિણામ છે કે જો સમતલ અરીસાને $\delta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે,તો પરાવર્તિત કિરણ તે જ દિશામાં $2 \delta$ ખૂણે ફરે છે.

(A) ડિજિટલ મૂવી પ્રોજેક્ટર,ખાસ કરીને જે $DLP$ (ડિજિટલ લાઈટ પ્રોસેસિંગ) ટેકનોલોજીનો ઉપયોગ કરે છે,તે ડિજિટલ માઈક્રોમિરર ડિવાઈસ $(DMD)$ પર આધારિત છે.
આ ઉપકરણમાં સેમિકન્ડક્ટર ચિપ પર લાખો સૂક્ષ્મ અરીસાઓ ગોઠવાયેલા હોય છે.
દરેક અરીસો પ્રોજેક્ટ કરેલી ઈમેજના એક પિક્સેલને અનુરૂપ હોય છે.
આ માઈક્રોમિરર્સને નમાવીને,પ્રોજેક્ટર પ્રકાશને કાં તો લેન્સ તરફ (તેજસ્વી પિક્સેલ બનાવવા માટે) અથવા તેનાથી દૂર (ઘેરો પિક્સેલ બનાવવા માટે) પરાવર્તિત કરે છે.
તેથી,તેનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત માઈક્રોમિરર્સ દ્વારા પ્રકાશનું પરાવર્તન છે.

(B) રિયરવ્યુ મિરરમાં ડે અને નાઈટ સેટિંગ માટે જાડા ફાચર આકારના (wedge-shaped) અરીસાનો ઉપયોગ થાય છે.
'દિવસ'ની સ્થિતિમાં,કાચની આગળની સપાટી પ્રકાશનું પરાવર્તન કરે છે,જે સ્પષ્ટ અને તેજસ્વી પ્રતિબિંબ આપે છે.
'રાત્રિ'ની સ્થિતિમાં,અરીસાને એવી રીતે નમાવવામાં આવે છે કે પ્રકાશ અરીસાની પાછળની ચાંદી લગાવેલી સપાટી પરથી પરાવર્તિત થાય છે,જે પ્રતિબિંબને ઝાંખું બનાવે છે,જેથી પાછળ આવતા વાહનોની હેડલાઇટનો ઝગારા (glare) ઓછો થાય છે.

(A) જ્યારે પ્રકાશના કિરણો પરાવર્તન પછી ખરેખર એકબીજાને છેદે ત્યારે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચાય છે.
સમતલ અરીસા માટે,વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ ત્યારે જ રચાય છે જ્યારે આપાત કિરણપુંજ અરીસાની પાછળના કોઈ બિંદુ તરફ અભિસારી (converging) હોય.
આ કિસ્સામાં,અરીસાની પાછળનું બિંદુ સમતલ અરીસા માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ત્યારબાદ પરાવર્તિત કિરણો અરીસાની સામેના બિંદુ પર કેન્દ્રિત થાય છે,જેનાથી વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચાય છે.
તેથી,આપાત કિરણપુંજ અભિસારી હોવું જોઈએ.

(C) ધારો કે દડાનો વેગ $\vec{v}_b = u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}$ છે.
અરીસો શિરોલંબ રીતે $yz$-સમતલમાં મૂકવામાં આવ્યો છે તેમ ધારતા,દડાના પ્રતિબિંબનો વેગ $\vec{v}_i = -u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}$ થશે.
દડાની સાપેક્ષ પ્રતિબિંબનો વેગ $\vec{v}_{ib} = \vec{v}_i - \vec{v}_b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{v}_{ib} = (-u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}) - (u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j})$.
$\vec{v}_{ib} = -2u \cos \theta \hat{i}$.
વેગ અચળ હોવાથી અને ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં હોવાથી,ગતિ સીધી રેખામાં અને સમક્ષિતિજ હશે.

(A) સમતલ અરીસો હંમેશા આભાસી,ચત્તું,વસ્તુના કદ જેવડું જ અને પાર્શ્વ વ્યુત્ક્રમિત (laterally inverted) પ્રતિબિંબ રચે છે.
પ્રતિબિંબ આભાસી હોવાથી તે વાસ્તવિક નથી.
પ્રતિબિંબ ચત્તું હોવાથી તે શરત $B$ સંતોષે છે.
પ્રતિબિંબ સમાન કદનું હોવાથી તે શરત $C$ સંતોષતું નથી.
પ્રતિબિંબ પાર્શ્વ વ્યુત્ક્રમિત હોવાથી તે શરત $D$ સંતોષે છે.
તેથી,સાચી લાક્ષણિકતાઓ $B$ (ચત્તું) અને $D$ (પાર્શ્વ વ્યુત્ક્રમિત) છે.

(B) ધારો કે અરીસાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = 10\,cm$ છે. પદાર્થ $O$ એ અરીસા $A$ થી $x_A = 2\,cm$ અને અરીસા $B$ થી $x_B = 8\,cm$ ના અંતરે છે.
$1$. અરીસા $A$ દ્વારા રચાતું પ્રથમ પ્રતિબિંબ $I_1$ એ અરીસા $A$ ની પાછળ $2\,cm$ ના અંતરે છે.
$2$. અરીસા $B$ દ્વારા રચાતું પ્રથમ પ્રતિબિંબ $I_2$ એ અરીસા $B$ ની પાછળ $8\,cm$ ના અંતરે છે.
$3$. અરીસા $A$ દ્વારા રચાતું બીજું પ્રતિબિંબ $(I_3)$ એ અરીસા $A$ દ્વારા $I_2$ નું પ્રતિબિંબ છે. અરીસા $A$ થી $I_2$ નું અંતર $10\,cm + 8\,cm = 18\,cm$ છે. તેથી,$I_3$ એ અરીસા $A$ ની પાછળ $18\,cm$ ના અંતરે રચાય છે.
અરીસા $A$ ની પાછળના પ્રતિબિંબો $2\,cm$ $(I_1)$ અને $18\,cm$ $(I_3)$ ના અંતરે છે. અરીસા $A$ ની પાછળ મળતું બીજું સૌથી નજીકનું પ્રતિબિંબ અરીસા $A$ થી $18\,cm$ ના અંતરે છે.

(B) શરૂઆતમાં,વસ્તુ $x = -12\,cm$ પર છે અને અરીસો $x = 0$ પર છે. પ્રતિબિંબ $x = +12\,cm$ પર રચાય છે.
જ્યારે અરીસાને વસ્તુ તરફ $4\,cm$ ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે અરીસાનું નવું સ્થાન $x = -4\,cm$ થાય છે.
નવા અરીસાના સ્થાનથી વસ્તુનું અંતર $u = |-12 - (-4)| = 8\,cm$ છે.
પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ સમાન અંતરે રચાતું હોવાથી,પ્રતિબિંબનું નવું સ્થાન $x_i$ એ $|x_i - (-4)| = 8\,cm$ નું પાલન કરે છે,તેથી $x_i = 4\,cm$.
પ્રતિબિંબનું પ્રારંભિક સ્થાન $12\,cm$ હતું અને અંતિમ સ્થાન $4\,cm$ છે.
તેથી,પ્રતિબિંબના સ્થાનમાં થતું સ્થાનાંતર $12\,cm - 4\,cm = 8\,cm$ અરીસાની તરફ છે.

(B) પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $i$ એ પરાવર્તન કોણ $r$ જેટલો હોય છે. આપેલ છે કે $r = 30^{\circ}$,તેથી $i = 30^{\circ}$.
સમતલ અરીસા માટે વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર $\delta = 180^{\circ} - (i + r)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\delta = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
આમ,વિચલન કોણ $120^{\circ}$ છે.

(C) ધારો કે આપાત એકમ સદિશ $\vec{a} = \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{j}$ છે અને પરાવર્તિત એકમ સદિશ $\vec{b} = \frac{1}{2}\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{j}$ છે.
આ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
આ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$ છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 120^{\circ}$.
આપાત કિરણ અને પરાવર્તિત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે.
વિચલન કોણ $\delta = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ છે.
વિચલન કોણનું સૂત્ર $\delta = 180^{\circ} - 2i$ પણ છે,જ્યાં $i$ એ આપાતકોણ છે.
$60^{\circ} = 180^{\circ} - 2i \implies 2i = 120^{\circ} \implies i = 60^{\circ}$.

(B) સમતલ અરીસાની મોટવણી $(m)$ $+1$ હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે સમતલ અરીસો વસ્તુના કદ જેટલું જ પ્રતિબિંબ બનાવે છે $(h_i = h_o)$.
સમતલ અરીસા દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ આભાસી અને ચત્તું હોય છે,જેનો અર્થ છે કે મોટવણી ધન હોવી જોઈએ.
પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ વસ્તુની ઊંચાઈ જેટલી હોવાથી,તેમનો ગુણોત્તર $1$ થાય છે.
તેથી,મોટવણીની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$m = \frac{h_i}{h_o} = 1$.