Plane Mirror Questions in Gujarati

(D) જ્યારે બે સમતલ અરીસાઓ $\theta$ ખૂણે નમેલા હોય ત્યારે રચાતા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n$ માટેનું સૂત્ર $n = \left( \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1 \right)$ છે, જો $\frac{360^{\circ}}{\theta}$ એ બેકી પૂર્ણાંક હોય.
અહીં આપેલ છે કે પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n = 3$ છે, તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$3 = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$
$4 = \frac{360^{\circ}}{\theta}$
$\theta = \frac{360^{\circ}}{4} = 90^{\circ}$
આમ, બે સમતલ અરીસાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવો જોઈએ.

(A) આપાતકોણ એ આપાત કિરણ અને આપાત બિંદુએ સપાટી પરના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જોકે,આપાત કિરણ અને પરાવર્તક સપાટી વચ્ચેના ખૂણાને ગ્લેન્સિંગ એંગલ (સ્પર્શક ખૂણો) કહેવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ખૂણો $\theta$ એ આપાત કિરણ $I$ અને સપાટી $XY$ વચ્ચેનો ખૂણો દર્શાવે છે,જે ગ્લેન્સિંગ એંગલ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) જ્યારે બે સમતલ અરીસાઓ $\theta$ ખૂણે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે બે ક્રમિક પરાવર્તન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન $\delta = 360^{\circ} - 2\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે અરીસાઓ લંબ છે,તેથી $\theta = 90^{\circ}$.
સૂત્રમાં $\theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$\delta = 360^{\circ} - 2(90^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$.
$180^{\circ}$ નું વિચલન એટલે કે અંતિમ કિરણ મૂળ કિરણની બરાબર વિરુદ્ધ દિશામાં છે,જેનો અર્થ છે કે બહાર આવતું કિરણ મૂળ કિરણને સમાંતર છે.

(D) ગોલીય અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અને તેની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ વચ્ચેનો સંબંધ $f = R/2$ છે. સમતલ અરીસાને અનંત વક્રતા ત્રિજ્યા $(R = \infty)$ ધરાવતો ગોલીય અરીસો ગણી શકાય. તેથી,સમતલ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = \infty/2 = \infty$ થાય છે. આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સમતલ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = \infty$ હોય છે.
અરીસાનો પાવર $P$ એ તેની કેન્દ્રલંબાઈના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $P = \frac{1}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = \frac{1}{\infty} = 0 \text{ ડાયોપ્ટર}$.
તેથી,સમતલ અરીસાનો પાવર $0$ છે.

(C) આપેલ છે કે,આપાતકોણ $i = 60^{\circ}$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,પરાવર્તન કોણ $r$ એ આપાતકોણ $i$ જેટલો જ હોય છે,તેથી $r = 60^{\circ}$.
સમતલ અરીસા દ્વારા ઉત્પન્ન થતો વિચલન કોણ $\delta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\delta = 180^{\circ} - (i + r)$
અહીં $i = r = 60^{\circ}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\delta = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ})$
$\delta = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

(A) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ સમતલ અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,ત્યારે તેનો અર્થ એ છે કે કિરણ અરીસાની સપાટી પરના લંબની દિશામાં ગતિ કરે છે.
તેથી,આપાતકોણ $i$,જે આપાત કિરણ અને લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે,તે $0^{\circ}$ છે.
પરાવર્તનના નિયમો અનુસાર,આપાતકોણ એ પરાવર્તન કોણ જેટલો હોય છે $(i = r)$.
આમ,પરાવર્તન કોણ $r = 0^{\circ}$ થશે.

(C) ધારો કે છોકરીની આંખ જમીનથી $140 \,cm$ ની ઊંચાઈએ બિંદુ $O$ પર છે. અરીસો જમીનથી $85 \,cm$ થી $160 \,cm$ $(85 + 75 = 160 \,cm)$ સુધી વિસ્તરેલો છે.
$1$. છોકરી અરીસાના નીચેના ભાગમાં જોઈને તેની આંખના સ્તરથી નીચેના શરીરના ભાગને જોઈ શકે છે. તેની આંખથી અરીસાની નીચેની ધાર સુધીનું અંતર $140 - 85 = 55 \,cm$ છે. પરાવર્તનના ગુણધર્મને કારણે,તે તેના શરીર પર જોઈ શકે તેવો સૌથી નીચો બિંદુ અરીસાની નીચેની ધારના સ્તરથી $55 \,cm$ નીચે છે,જે જમીનથી $85 - 55 = 30 \,cm$ છે.
$2$. છોકરી અરીસાના ઉપરના ભાગમાં જોઈને તેની આંખના સ્તરથી ઉપરના શરીરના ભાગને જોઈ શકે છે. તેની આંખથી અરીસાની ઉપરની ધાર સુધીનું અંતર $160 - 140 = 20 \,cm$ છે. પરાવર્તનના ગુણધર્મને કારણે,તે તેના શરીર પર જોઈ શકે તેવો સૌથી ઊંચો બિંદુ અરીસાની ઉપરની ધારના સ્તરથી $20 \,cm$ ઉપર છે,જે $160 + 20 = 180 \,cm$ છે. જોકે,છોકરીની ઊંચાઈ માત્ર $150 \,cm$ છે. તેથી,તે તેના માથાના ઉપરના ભાગ સુધી $(150 \,cm)$ જોઈ શકે છે.
$3$. છોકરીને દેખાતી પ્રતિબિંબની કુલ ઊંચાઈ એ તે જોઈ શકે તેવા સૌથી નીચા બિંદુ $(30 \,cm)$ થી સૌથી ઊંચા બિંદુ $(150 \,cm)$ સુધીનું અંતર છે.
દ્રશ્યમાન ઊંચાઈ = $150 \,cm - 30 \,cm = 120 \,cm$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(C) વસ્તુ પાત્રના તળિયે છે,જેમાં $10 \,cm$ ની ઊંચાઈ સુધી પાણી ભરેલું છે. સમતલ અરીસો પાણીની સપાટીથી $7 \,cm$ ઉપર મૂકવામાં આવ્યો છે.
પાણી-હવાના આંતરપૃષ્ઠ પર વક્રીભવનને કારણે,તળિયે રહેલી વસ્તુ ઓછી ઊંડાઈએ દેખાય છે.
આભાસી ઊંડાઈ $d'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d' = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{n} = \frac{10 \,cm}{1.33} \approx 7.52 \,cm$.
અરીસાથી વસ્તુના આભાસી સ્થાનનું કુલ અંતર એ પાણીની સપાટીથી અરીસાનું અંતર અને વસ્તુની આભાસી ઊંડાઈનો સરવાળો છે:
$D = 7 \,cm + 7.52 \,cm = 14.52 \,cm$.
સમતલ અરીસો તેની પાછળ તેટલા જ અંતરે પ્રતિબિંબ બનાવે છે જેટલા અંતરે વસ્તુ તેની સામે હોય છે,તેથી અરીસાથી પ્રતિબિંબનું અંતર $14.52 \,cm$ છે,જે આશરે $14.5 \,cm$ છે.

(A) ધારો કે $\hat{t}$ એ સપાટીને લંબ દિશામાં એકમ સદિશ છે.
ધારો કે $\hat{n}_1$ એ આપાત કિરણની દિશામાં એકમ સદિશ છે અને $\hat{n}_2$ એ પરાવર્તિત કિરણની દિશામાં એકમ સદિશ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન હોય છે,જે $\theta$ છે.
આપણે $\hat{n}_1$ અને $\hat{n}_2$ ને લંબ $\hat{t}$ ની સમાંતર અને લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ.
$\hat{n}_1 = -\cos \theta \hat{t} + \sin \theta \hat{u}$,જ્યાં $\hat{u}$ એ સપાટીને સમાંતર એકમ સદિશ છે.
$\hat{n}_2 = \cos \theta \hat{t} + \sin \theta \hat{u}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $\hat{n}_2 - \hat{n}_1 = 2 \cos \theta \hat{t}$.
કારણ કે $\hat{n}_1 \cdot \hat{t} = \cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$,તેથી $\cos \theta = -(\hat{n}_1 \cdot \hat{t})$.
આ કિંમત બાદબાકીના સમીકરણમાં મૂકતા: $\hat{n}_2 - \hat{n}_1 = -2(\hat{n}_1 \cdot \hat{t}) \hat{t}$.
તેથી,$\hat{n}_2 = \hat{n}_1 - 2(\hat{n}_1 \cdot \hat{t}) \hat{t}$.

(B) આપાત કિરણનો સદિશ $\hat{e}_0$ છે અને પરાવર્તિત કિરણનો સદિશ $\hat{e}$ છે. લંબ સદિશ $\hat{n}$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ એ પરાવર્તનકોણ જેટલો હોય છે,અને ત્રણેય સદિશો એક જ સમતલમાં હોય છે.
ધારો કે $\theta$ એ આપાત કિરણ અને લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે. કારણ કે $\hat{e}_0$ અરીસા તરફ નિર્દેશિત છે,$\hat{e}_0$ અને $\hat{n}$ વચ્ચેનો ખૂણો $(180^\circ - \theta)$ છે.
તેથી,$\hat{e}_0 \cdot \hat{n} = |\hat{e}_0| |\hat{n}| \cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$.
આપણે આપાત કિરણ $\hat{e}_0$ ને લંબ $\hat{n}$ ને સમાંતર અને લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\hat{e}_0 = \hat{e}_{0\perp} + \hat{e}_{0\parallel} = (\hat{e}_0 \cdot \hat{n}) \hat{n} + (\hat{e}_0 - (\hat{e}_0 \cdot \hat{n}) \hat{n})$.
પરાવર્તિત કિરણ $\hat{e}$ નો અરીસાની સપાટીને સમાંતર ઘટક સમાન રહે છે પરંતુ લંબની દિશામાંનો ઘટક ઉલટાઈ જાય છે:
$\hat{e} = -(\hat{e}_0 \cdot \hat{n}) \hat{n} + (\hat{e}_0 - (\hat{e}_0 \cdot \hat{n}) \hat{n})$.
$\hat{e} = \hat{e}_0 - 2(\hat{e}_0 \cdot \hat{n}) \hat{n}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(A) ધારો કે ઉદગમ $S(0,1)$ પર છે અને અરીસા પરનું બિંદુ $M$ છે. પરાવર્તિત કિરણ $P(3,3)$ માંથી પસાર થાય છે.
અરીસો $X$-અક્ષ પર હોવાથી,અરીસા દ્વારા બનતું ઉદગમ $S(0,1)$ નું પ્રતિબિંબ $I(0,-1)$ છે.
પરાવર્તિત કિરણની પથ લંબાઈ $SM + MP$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,$SM = IM$.
તેથી,કુલ પથ લંબાઈ $IM + MP = IP$ થાય.
અંતર $IP$ એ બિંદુઓ $I(0,-1)$ અને $P(3,3)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $IP = \sqrt{(3-0)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

(C) બે સમતલ અરીસાઓ $\theta$ ખૂણે નમેલા હોય ત્યારે રચાતા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જો $\frac{360^{\circ}}{\theta}$ એ બેકી પૂર્ણાંક હોય,અથવા જો તે એકી પૂર્ણાંક હોય અને વસ્તુ સંમિત રીતે મૂકવામાં આવી હોય.
આપેલ છે કે $n = 5$,તેથી $5 = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{360^{\circ}}{\theta} = 6$.
આમ,$\theta = \frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$.
જ્યારે ખૂણામાં $30^{\circ}$ નો ઘટાડો કરવામાં આવે,ત્યારે નવો ખૂણો $\theta' = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ થાય.
પ્રતિબિંબોની નવી સંખ્યા $n' = \frac{360^{\circ}}{30^{\circ}} - 1 = 12 - 1 = 11$ મળે છે.