Composition of Nucleus, Size of the Nucleus, Nuclear force Questions in Hindi

(B) नाभिक की त्रिज्या का सूत्र $R = R_0 A^{1/3}$ है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है।
यहाँ,$R_0$ एक आनुभविक स्थिरांक है।
$R_0$ का मान लगभग $1.2 \times 10^{-15} \ m$ या $1.2 \ \text{fm}$ (फेम्टोमीटर) होता है।

(N/A) द्रव्यमान संख्या $A$ वाले नाभिक की त्रिज्या $R$ को अनुभवजन्य संबंध द्वारा दिया जाता है: $R = R_0 A^{1/3}$,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है जिसका मान लगभग $1.2 \times 10^{-15} \ m$ है।
नाभिक को गोलाकार मानते हुए,इसका आयतन $V$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V = \frac{4}{3} \pi R^3$.
आयतन के सूत्र में $R$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3$
$V = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$.
चूंकि $\frac{4}{3}$,$\pi$,और $R_0^3$ स्थिरांक हैं,हम लिख सकते हैं:
$V \propto A$.
इस प्रकार,नाभिक का आयतन उसकी परमाणु द्रव्यमान संख्या $A$ के सीधे समानुपाती होता है।

(A) नाभिक का घनत्व सभी नाभिकों के लिए लगभग स्थिर होता है और इसे $\rho_{n} \approx 2.3 \times 10^{17} \ kg/m^3$ द्वारा दिया जाता है।
पानी का घनत्व $\rho_{w} = 10^3 \ kg/m^3$ होता है।
यह पता लगाने के लिए कि नाभिक का घनत्व पानी के घनत्व से कितने गुना अधिक है, हम अनुपात की गणना करते हैं:
$\text{अनुपात} = \frac{\rho_{n}}{\rho_{w}} = \frac{2.3 \times 10^{17}}{10^3} = 2.3 \times 10^{14}$।
निकटतम परिमाण की कोटि में, नाभिक का घनत्व पानी के घनत्व का लगभग $10^{14}$ गुना होता है।

(N/A) नाभिक की त्रिज्या $R$ उसके द्रव्यमान संख्या $A$ से निम्नलिखित प्रायोगिक सूत्र द्वारा संबंधित है:
$R = R_0 A^{1/3}$
जहाँ:
$R$ नाभिक की त्रिज्या है।
$A$ द्रव्यमान संख्या (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की कुल संख्या) है।
$R_0$ एक स्थिरांक है,जिसका मान लगभग $1.2 \times 10^{-15} \ m$ या $1.2 \ fm$ (फेम्टोमीटर) के बराबर होता है।

(N/A) नाभिक परमाणु का केंद्रीय भाग होता है। इसमें धनावेशित प्रोटॉन और विद्युत रूप से उदासीन न्यूट्रॉन होते हैं।
दो प्रोटॉनों के बीच कूलम्ब प्रतिकर्षण बल सभी दूरियों पर कार्य करता है,चाहे वे छोटी हों या बड़ी। हालाँकि,न्यूक्लियॉन नाभिक के छोटे से क्षेत्र में मजबूती से बंधे होते हैं।
यह दर्शाता है कि नाभिक में न्यूक्लियॉनों के बीच कोई अन्य आकर्षण बल अवश्य कार्य कर रहा होगा,जो कूलम्ब प्रतिकर्षण बल के प्रभाव को दूर करने और उन्हें एक साथ बांधे रखने के लिए पर्याप्त रूप से शक्तिशाली हो।
नाभिक में दो प्रोटॉनों,दो न्यूट्रॉनों,या एक प्रोटॉन और एक न्यूट्रॉन के बीच कार्य करने वाले बल को नाभिकीय (या प्रबल) बल कहा जाता है।
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा की स्थिरता को इस बल की लघु-परास प्रकृति के संदर्भ में समझा जा सकता है।
$1930$ से $1950$ के बीच किए गए प्रयोगों से प्राप्त नाभिकीय बल की मुख्य विशेषताएँ निम्नलिखित हैं:
$(i)$ नाभिकीय बल आवेशों के बीच कार्य करने वाले कूलम्ब बल या द्रव्यमानों के बीच कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल की तुलना में बहुत अधिक शक्तिशाली होता है। यही कारण है कि यह नाभिक में प्रोटॉन और न्यूट्रॉन को बांधे रखता है।
$(ii)$ दो न्यूक्लियॉनों के बीच नाभिकीय बल तब तेजी से शून्य हो जाता है जब उनकी दूरी कुछ फेमटोमीटर $(fm)$ से अधिक हो जाती है। यह मध्यम या बड़े आकार के नाभिक में बलों की संतृप्ति की ओर ले जाता है,जो प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा की स्थिरता का कारण है।
$(iii)$ $r_0$ से अधिक दूरी के लिए बल आकर्षक होता है और $r_0$ से कम दूरी के लिए बल अत्यधिक प्रतिकर्षी होता है,जहाँ $r_0$ लगभग $0.8 \ fm$ है।

(C) दो न्यूट्रॉन के बीच मुख्य रूप से प्रबल नाभिकीय बल कार्य करता है,जो कम दूरी $(< 10^{-15} \ m)$ पर आकर्षण का बल होता है।
इसके अतिरिक्त,उनके द्रव्यमान के कारण उनके बीच गुरुत्वाकर्षण बल भी कार्य करता है,हालांकि यह नाभिकीय बल की तुलना में अत्यंत दुर्बल होता है।
चूंकि न्यूट्रॉन विद्युत रूप से उदासीन होते हैं,इसलिए उनके बीच कोई स्थिर-वैद्युत बल नहीं होता है।
अतः,दो न्यूट्रॉन के बीच नाभिकीय बल और गुरुत्वाकर्षण बल दोनों कार्य करते हैं।

(N/A) नाभिकीय बल वह प्रबल आकर्षण बल है जो परमाणु के नाभिक के भीतर न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के बीच कार्य करता है।
यह धनावेशित प्रोटॉन के बीच के स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल को पार करके न्यूक्लियॉन को एक साथ बांधकर एक स्थिर नाभिक बनाने के लिए जिम्मेदार है।
इसकी मुख्य विशेषताएं निम्नलिखित हैं:
$1$. यह एक लघु-परास बल है,जो केवल लगभग $1-2 \ fm$ $(1 \ fm = 10^{-15} \ m)$ की दूरी तक ही प्रभावी होता है।
$2$. यह विद्युत-चुंबकीय बल और गुरुत्वाकर्षण बल की तुलना में बहुत अधिक शक्तिशाली होता है।
$3$. यह आवेश से स्वतंत्र है,जिसका अर्थ है कि यह प्रोटॉन-प्रोटॉन,न्यूट्रॉन-न्यूट्रॉन और प्रोटॉन-न्यूट्रॉन युग्मों के बीच समान रूप से कार्य करता है।

(A) नाभिकीय बल एक प्रबल आकर्षण बल है जो नाभिक के भीतर न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के बीच कार्य करता है।
यह एक लघु-परास (short-range) बल है,जिसका अर्थ है कि यह केवल बहुत छोटी दूरियों पर कार्य करता है,जो आमतौर पर $10^{-15} \ m$ (या $1 \ fm$) की कोटि का होता है।
इस परास के बाहर,बल बहुत तेजी से शून्य हो जाता है,यही कारण है कि यह विद्युत-चुंबकीय या गुरुत्वाकर्षण बलों के विपरीत,पूरे परमाणु की संरचना को प्रभावित नहीं करता है।

(A) दो न्यूक्लिऑन्स के बीच नाभिकीय स्थितिज ऊर्जा उनके बीच की दूरी $r$ पर निर्भर करती है।
नाभिकीय बल मॉडल के अनुसार,कम दूरी पर स्थितिज ऊर्जा अत्यधिक आकर्षक होती है और पाउली के अपवर्जन सिद्धांत तथा हार्ड-कोर प्रतिकर्षण के कारण बहुत कम दूरी पर यह प्रतिकर्षी हो जाती है।
स्थितिज ऊर्जा वक्र लगभग $0.8 \ fm$ की दूरी पर अपना न्यूनतम मान प्राप्त करता है।
यह दूरी उस संतुलन स्थिति के अनुरूप है जहाँ न्यूक्लिऑन्स के बीच का कुल बल शून्य होता है।

(N/A) रेडियोधर्मिता को एक नाभिकीय घटना माना जाता है क्योंकि इसमें एक अस्थिर परमाणु नाभिक का स्वतःस्फूर्त विघटन शामिल होता है।
$1$. यह प्रक्रिया नाभिक के भीतर से उत्पन्न होती है,जहाँ न्यूट्रॉन और प्रोटॉन का अनुपात स्थिरता के लिए अनुकूल नहीं होता है।
$2$. अल्फा कणों,बीटा कणों या गामा किरणों का उत्सर्जन नाभिक के अंदर न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के पुनर्व्यवस्था के कारण होता है ताकि वह अधिक स्थिर अवस्था प्राप्त कर सके।
$3$. तापमान,दबाव,रासायनिक अवस्था या विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र जैसे बाहरी कारक रेडियोधर्मी क्षय की दर को प्रभावित नहीं करते हैं,जो यह साबित करता है कि यह प्रक्रिया परमाणु की इलेक्ट्रॉनिक संरचना से स्वतंत्र है और पूरी तरह से नाभिक तक ही सीमित है।

(N/A) नाभिक की स्थिरता आकर्षक नाभिकीय बल और प्रतिकर्षी स्थिर-वैद्युत बल के बीच संतुलन द्वारा निर्धारित होती है। नाभिकीय बल केवल बहुत कम दूरी पर न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के बीच कार्य करता है। यदि प्रोटॉन की संख्या न्यूट्रॉन की संख्या से काफी अधिक हो जाती है,तो प्रोटॉन के बीच कार्य करने वाला लंबी दूरी का स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल,कम दूरी के आकर्षक नाभिकीय बल से अधिक शक्तिशाली हो जाता है। परिणामस्वरूप,नाभिक अस्थिर हो जाता है और अधिक स्थिर विन्यास प्राप्त करने के लिए रेडियोधर्मी क्षय की प्रक्रिया से गुजरता है।

(N/A) न्यूक्लियॉन मौलिक कण नहीं हैं; वे 'क्वार्क' नामक छोटे कणों से बने होते हैं। एक प्रोटॉन $2$ अप क्वार्क और $1$ डाउन क्वार्क $(uud)$ से बना होता है,जबकि एक न्यूट्रॉन $1$ अप क्वार्क और $2$ डाउन क्वार्क $(udd)$ से बना होता है।
न्यूक्लियॉन की जांच करने के लिए,आपतित इलेक्ट्रॉन की तरंग दैर्ध्य $\lambda$ न्यूक्लियॉन के व्यास $d$ $(d = 10^{-15} \ m)$ से कम या उसके बराबर होनी चाहिए।
डी-ब्रोग्ली संबंध का उपयोग करते हुए,$\lambda = h/p$। उच्च-ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों के लिए,गतिज ऊर्जा $K$ कुल ऊर्जा $E = pc$ के लगभग बराबर होती है (क्योंकि विराम द्रव्यमान ऊर्जा नगण्य है)।
अतः,$K = pc = hc/\lambda$।
$\lambda = d = 10^{-15} \ m$ रखने पर:
$K = \frac{(6.625 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (3 \times 10^8 \ m/s)}{10^{-15} \ m} = 1.9875 \times 10^{-10} \ J$।
इलेक्ट्रॉन वोल्ट में परिवर्तित करने पर:
$K = \frac{1.9875 \times 10^{-10} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ J/eV} \approx 1.242 \times 10^9 \ eV = 1.242 \ GeV$।
इसलिए,न्यूक्लियॉन की आंतरिक संरचना की जांच करने के लिए इलेक्ट्रॉन के पास कम से कम $1.242 \ GeV$ की गतिज ऊर्जा होनी चाहिए।

(N/A) $(i)$ $^{120}Sn$ के लिए:
$S_p = [m(^{119}In) + m(^1H) - m(^{120}Sn)]c^2$
$S_p = (118.9058 + 1.0078252 - 119.902199) \times 931.5 \ MeV/u \approx 10.64 \ MeV$
$^{121}Sb$ के लिए:
$S_p = [m(^{120}Sn) + m(^1H) - m(^{121}Sb)]c^2$
$S_p = (119.902199 + 1.0078252 - 120.903824) \times 931.5 \ MeV/u \approx 5.77 \ MeV$
निष्कर्ष: चूंकि $(S_p)_{Sn} > (S_p)_{Sb}$,इसलिए $^{120}Sn$ अधिक स्थिर है क्योंकि $Z=50$ एक जादुई संख्या है।
$(ii)$ जादुई संख्याओं का अस्तित्व यह दर्शाता है कि नाभिक में न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) परमाणु में इलेक्ट्रॉनों की तरह ही 'शेल संरचना' (कवच संरचना) में व्यवस्थित होते हैं। यह प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा के ग्राफ में देखे गए शिखरों (peaks) की भी व्याख्या करता है।

(B) परमाणु की त्रिज्या $R_{1} = 1\,\mathring{A} = 10^{-10}\,\text{m}$ है।
नाभिक की त्रिज्या $R_{2} = 1\,\text{fermi} = 10^{-15}\,\text{m}$ है।
परमाणु का आयतन $V_{1} = \frac{4}{3} \pi R_{1}^{3}$ है।
नाभिक का आयतन $V_{2} = \frac{4}{3} \pi R_{2}^{3}$ है।
आयतन का अनुपात $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{4}{3} \pi R_{1}^{3}}{\frac{4}{3} \pi R_{2}^{3}} = \left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{3}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \left(\frac{10^{-10}}{10^{-15}}\right)^{3} = (10^{5})^{3} = 10^{15}$।
अतः,परमाणु का आयतन नाभिक के आयतन से $10^{15}$ गुना अधिक है।

(A) एक एटॉमिक मास यूनिट $(amu)$ को ${ }_{6} C^{12}$ परमाणु के द्रव्यमान के $\frac{1}{12}$ भाग के रूप में परिभाषित किया गया है।
${ }_{6} C^{12}$ परमाणु के एक मोल का द्रव्यमान $= 12 \ g = 12 \times 10^{-3} \ kg$ है।
एक मोल में परमाणुओं की संख्या आवोगाद्रो संख्या के बराबर होती है,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ atoms/mol$.
एक ${ }_{6} C^{12}$ परमाणु का द्रव्यमान $= \frac{12 \times 10^{-3} \ kg}{6.022 \times 10^{23}} \approx 1.9926 \times 10^{-26} \ kg$.
$1 \ amu = \frac{1}{12} \times (\text{एक } { }_{6} C^{12} \text{ परमाणु का द्रव्यमान})$.
$1 \ amu = \frac{1}{12} \times \frac{12 \times 10^{-3} \ kg}{6.022 \times 10^{23}} = \frac{10^{-3}}{6.022 \times 10^{23}} \ kg$.
$1 \ amu \approx 1.66 \times 10^{-27} \ kg$.

(N/A) केंद्रीय बल वह बल है जो दो वस्तुओं के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है। उदाहरण: दो द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल या दो बिंदु आवेशों के बीच स्थिर-वैद्युत बल।
गैर-केंद्रीय बल वह बल है जो दो वस्तुओं के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य नहीं करता है। उदाहरण: नाभिकीय बल या दो धारावाही लूपों के बीच कार्य करने वाला चुंबकीय बल।

(C) नाभिक का द्रव्यमान लगभग $M = A \times M_{\text{nucleon}}$ होता है,जहाँ $M_{\text{nucleon}} \cong 1.67 \times 10^{-27} \; kg$ है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है।
$R = R_0 A^{1/3}$ प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $R_0 = 1.3 \times 10^{-15} \; m$,हमें $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ प्राप्त होता है।
घनत्व $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \times M_{\text{nucleon}}}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{M_{\text{nucleon}}}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\rho = \frac{1.67 \times 10^{-27}}{\frac{4}{3} \times 3.14 \times (1.3 \times 10^{-15})^3} \cong 1.8 \times 10^{17} \; kg \; m^{-3}$।
अतः,घनत्व की कोटि $10^{17} \; kg \; m^{-3}$ है।

(B) द्रव्यमान संख्या वाले नाभिक की त्रिज्या $R$ का सूत्र है: $R = R_{0} A^{1/3}$, जहाँ $R_{0}$ एक नियतांक है।
$125$ और $64$ द्रव्यमान संख्या वाले दो संतति नाभिकों के लिए, उनकी त्रिज्याएँ $R_{1}$ और $R_{2}$ इस प्रकार हैं:
$R_{1} = R_{0} (125)^{1/3} = R_{0} \times 5$
$R_{2} = R_{0} (64)^{1/3} = R_{0} \times 4$
अतः, त्रिज्याओं का अनुपात है:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{R_{0} (125)^{1/3}}{R_{0} (64)^{1/3}} = \frac{5}{4}$
इस प्रकार, अनुपात $5: 4$ है।

(B) नाभिक की त्रिज्या को इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $R = R_{0} A^{1/3}$,जहाँ $R_{0}$ एक स्थिरांक है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln \left(\frac{R}{R_{0}}\right) = \ln (A^{1/3})$
लघुगणक के गुणधर्म $\ln(x^n) = n \ln(x)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\ln \left(\frac{R}{R_{0}}\right) = \frac{1}{3} \ln A$
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली और $1/3$ ढाल वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
इसलिए,$\ln \left(\frac{R}{R_{0}}\right)$ बनाम $\ln A$ का ग्राफ एक सीधी रेखा है।

(C) नाभिक की त्रिज्या $R = R_{0} A^{\frac{1}{3}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $R_{0}$ एक स्थिरांक है।
नाभिक का घनत्व $\rho$ नाभिक के द्रव्यमान और उसके आयतन के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है।
$\rho = \frac{\text{नाभिक का द्रव्यमान}}{\text{नाभिक का आयतन}} = \frac{m \times A}{\frac{4}{3} \pi R^{3}}$,जहाँ $m$ न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन या न्यूट्रॉन) का औसत द्रव्यमान है।
$R$ का मान रखने पर:
$\rho = \frac{m \times A}{\frac{4}{3} \pi (R_{0} A^{\frac{1}{3}})^{3}} = \frac{m \times A}{\frac{4}{3} \pi R_{0}^{3} A}$.
इस समीकरण को सरल करने पर,$A$ पद कट जाते हैं:
$\rho = \frac{m}{\frac{4}{3} \pi R_{0}^{3}}$.
चूंकि $\rho$ द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है,इसलिए नाभिकीय घनत्व सभी नाभिकों के लिए स्थिर रहता है।
अतः,दो नाभिकों के नाभिकीय घनत्व का अनुपात $1: 1$ है।

(B) नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है।
नाभिक का आयतन $V$,$V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\frac{4}{3} \pi R_0^3$ एक स्थिरांक है,इसलिए आयतन $V$ द्रव्यमान संख्या $A$ के सीधे आनुपातिक है। अतः,कथन $(A)$ सही है।
नाभिक का घनत्व $\rho$,$\rho = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}} = \frac{m A}{V}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ एक न्यूक्लियॉन का औसत द्रव्यमान है।
$V \propto A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\rho = \frac{m A}{k A} = \frac{m}{k}$ प्राप्त होता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
चूंकि $\rho$ एक स्थिरांक है,नाभिक का घनत्व द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है। अतः,कथन $(E)$ सही है।
इसलिए,कथन $(A)$ और $(E)$ सही हैं।

(C) $X$ और $Y$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों अभिक्रियाओं पर परमाणु क्रमांक $(Z)$ और द्रव्यमान संख्या $(A)$ के संरक्षण के नियम को लागू करते हैं।
अभिक्रिया $I$ के लिए: ${ }_{7}^{14} N +{ }_{2}^{4} He \longrightarrow{ }_{8}^{17} O + X$
$Z$ का योग: $7 + 2 = 8 + Z_X \implies Z_X = 1$
$A$ का योग: $14 + 4 = 17 + A_X \implies A_X = 1$
अतः,$X$ एक ${ }_{1}^{1} H$ (प्रोटॉन) है।
अभिक्रिया $II$ के लिए: ${ }_{4}^{9} Be +{ }_{2}^{4} He \longrightarrow{ }_{6}^{12} C + Y$
$Z$ का योग: $4 + 2 = 6 + Z_Y \implies Z_Y = 0$
$A$ का योग: $9 + 4 = 12 + A_Y \implies A_Y = 1$
अतः,$Y$ एक ${ }_{0}^{1} n$ (न्यूट्रॉन) है।
इसलिए,$X$ एक प्रोटॉन है और $Y$ एक न्यूट्रॉन है।

(A) इलेक्ट्रॉन और नाभिक के युग्म के लिए,स्थितिज ऊर्जा $V(r) = \frac{K(-e)(+Ze)}{r} = -\frac{KZe^2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक है और $r$ बढ़ने पर यह शून्य की ओर अग्रसर होती है,इसलिए आरेख $(3)$ इलेक्ट्रॉन को दर्शाता है।
न्यूट्रॉन के लिए,नाभिक के बाहर $(r > r_0)$ कोई स्थिर-वैद्युत बल नहीं होता है। अतः,$r > r_0$ के लिए स्थितिज ऊर्जा शून्य है। आरेख $(1)$ न्यूट्रॉन को दर्शाता है।
प्रोटॉन के लिए,नाभिक और प्रोटॉन दोनों धनावेशित होने के कारण $r > r_0$ के लिए स्थिर-वैद्युत बल प्रतिकर्षी होता है। अतः,स्थितिज ऊर्जा धनात्मक होती है और $r$ बढ़ने पर घटती है। आरेख $(2)$ प्रोटॉन को दर्शाता है।
अतः,सही युग्म $(1, n), (2, p^{+}), (3, e^{-})$ है,जो विकल्प $A$ के अनुरूप है।

(C) नाभिकीय त्रिज्या $R = r_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (r_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi r_0^3 A$ है।
नाभिकीय द्रव्यमान लगभग $M = A \times m_p$ है,जहाँ $m_p$ एक न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन या न्यूट्रॉन) का द्रव्यमान है।
नाभिकीय घनत्व $\rho$ को $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \cdot m_p}{\frac{4}{3} \pi r_0^3 A} = \frac{3 m_p}{4 \pi r_0^3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $m_p$ और $r_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए नाभिकीय घनत्व $\rho$ द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है।
अतः,$^{238}U$ का नाभिकीय द्रव्यमान घनत्व $^{119}Sn$ के समान ही है।

(C) किसी नाभिक ${ }_Z^A X$ के लिए,द्रव्यमान संख्या $A = N + Z$ होती है,जहाँ $N$ न्यूट्रॉन की संख्या है और $Z$ प्रोटॉन की संख्या है।
$(I)$ ${ }_{32}^{65} X$ और ${ }_{33}^{65} Y$ में,परमाणु क्रमांक $(Z)$ क्रमशः $32$ और $33$ हैं। चूँकि $Z$ अलग है,इसलिए वे समस्थानिक नहीं हैं। यह कथन गलत है।
$(II)$ ${ }_{42}^{86} X$ और ${ }_{42}^{85} Y$ में,दोनों का परमाणु क्रमांक $(Z)$ $42$ है। समान $Z$ और अलग द्रव्यमान संख्या $(A)$ होने के कारण,वे समस्थानिक हैं। यह कथन सही है।
$(III)$ ${ }_{85}^{174} X$ के लिए,$N = 174 - 85 = 89$। ${ }_{88}^{177} Y$ के लिए,$N = 177 - 88 = 89$। चूँकि दोनों में $89$ न्यूट्रॉन हैं,इसलिए यह कथन सही है।
$(IV)$ ${ }_{92}^{235} X$ और ${ }_{94}^{235} Y$ में,दोनों की द्रव्यमान संख्या $(A = 235)$ समान है। समान द्रव्यमान संख्या वाले नाभिकों को समभारिक कहा जाता है। यह कथन सही है।
अतः,कथन $(II), (III)$ और $(IV)$ सही हैं।

(A) नाभिक की त्रिज्या $R = r_0 A^{1/3}$ है।
दिया गया है $r_0 = 1.3 \times 10^{-15} \, m$ और $A = 206$.
$R = 1.3 \times 10^{-15} \times (206)^{1/3} \approx 1.3 \times 10^{-15} \times 5.9 \approx 7.67 \times 10^{-15} \, m$.
व्यास के विपरीत सिरों पर स्थित दो प्रोटॉन के बीच की दूरी $d = 2R = 2 \times 7.67 \times 10^{-15} = 15.34 \times 10^{-15} \, m$ है।
स्थिर-वैद्युत बल $F$ कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{k e^2}{d^2}$.
$F = \frac{(9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{(15.34 \times 10^{-15})^2} \approx \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{235.3 \times 10^{-30}} \approx \frac{23.04 \times 10^{-29}}{235.3 \times 10^{-30}} \approx 0.0979 \times 10^1 \approx 1 \, N$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,परिमाण की कोटि $10^2 \, N$ है (क्योंकि गणना में अक्सर सरल पाठ्यपुस्तक मॉडल में $d=R$ लिया जाता है,जिससे $F \approx 10^2 \, N$ प्राप्त होता है)। अतः,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(A) कथन $I$ गलत है क्योंकि एक तत्व के समस्थानिकों में प्रोटॉन की संख्या समान होती है लेकिन न्यूट्रॉन की संख्या अलग-अलग होती है।
कथन $II$ गलत है क्योंकि कुछ तत्वों के कई स्थिर समस्थानिक होते हैं (उदाहरण के लिए,ऑक्सीजन के तीन स्थिर समस्थानिक हैं: $^{16}O, ^{17}O, ^{18}O$)।
कथन $III$ सही है क्योंकि प्रत्येक तत्व के समस्थानिक होते हैं,जो समान परमाणु क्रमांक लेकिन अलग द्रव्यमान संख्या वाले परमाणु होते हैं।
कथन $IV$ सही है क्योंकि एक ही तत्व के समस्थानिक समान रासायनिक गुण प्रदर्शित करते हैं; इसलिए,कार्बन के सभी समस्थानिक $(^{12}C, ^{13}C, ^{14}C)$ ऑक्सीजन के साथ प्रतिक्रिया करके $CO_2$ जैसे यौगिक बना सकते हैं।
अतः,केवल कथन $III$ और $IV$ सही हैं।

(B) नाभिकीय त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = R_0 A^{1/3}$ है,जहाँ $R_0$ एक नियतांक है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_{Cs}}{R_{Ca}} = \left( \frac{A_{Cs}}{A_{Ca}} \right)^{1/3}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई द्रव्यमान संख्या $A_{Cs} = 135$ और $A_{Ca} = 40$ का मान रखने पर:
$\frac{R_{Cs}}{R_{Ca}} = \left( \frac{135}{40} \right)^{1/3}$.
अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर:
$\frac{135}{40} = \frac{27}{8}$.
इस प्रकार,$\frac{R_{Cs}}{R_{Ca}} = \left( \frac{27}{8} \right)^{1/3} = \frac{3}{2} = 1.50$.

(B) दो न्यूक्लियॉन के बीच नाभिकीय बल को मुख्य रूप से $Meson$ विनिमय सिद्धांत द्वारा समझाया जाता है, जिसे मूल रूप से $1935$ में $Hideki$ $Yukawa$ द्वारा प्रस्तावित किया गया था। इस सिद्धांत के अनुसार, न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) $mesons$ (विशेष रूप से $\pi$-mesons या $pions$) नामक कणों का आदान-प्रदान करके परस्पर क्रिया करते हैं। ये $mesons$ प्रबल नाभिकीय बल के लिए बल वाहक के रूप में कार्य करते हैं, जो नाभिक के भीतर न्यूक्लियॉन को एक साथ बांधे रखते हैं।

(A) सही विकल्प $A$ है।
भारी नाभिकों में प्रोटॉन की संख्या बहुत अधिक होती है। चूंकि प्रोटॉन धनावेशित होते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे पर एक मजबूत स्थिरवैद्युत प्रतिकर्षण बल लगाते हैं।
यद्यपि प्रबल नाभिकीय बल आकर्षक होता है,लेकिन यह एक लघु-परास (short-range) बल है जो केवल निकटतम पड़ोसियों के बीच ही कार्य करता है।
जैसे-जैसे नाभिक का आकार बढ़ता है,सभी प्रोटॉनों के बीच लंबी दूरी का स्थिरवैद्युत प्रतिकर्षण,लघु-परास नाभिकीय आकर्षण की तुलना में तेजी से बढ़ता है,जिससे अंततः नाभिक अस्थिर हो जाता है।

(B) न्यूट्रिनो एक प्राथमिक कण है जो केवल दुर्बल परमाणु बल और गुरुत्वाकर्षण के माध्यम से परस्पर क्रिया करता है। यह विद्युत रूप से तटस्थ (आवेशहीन) होता है। कण भौतिकी के मानक मॉडल के अनुसार,न्यूट्रिनो $1/2$ स्पिन वाले फर्मिऑन हैं। इसलिए,न्यूट्रिनो पर कोई आवेश नहीं होता है लेकिन इसमें स्पिन होता है।

(D) $X$ की पहचान करने के लिए,हम द्रव्यमान संख्या और परमाणु क्रमांक के संरक्षण के नियमों को लागू करते हैं।
द्रव्यमान संख्या $(A)$ का संरक्षण:
$27 + 4 = 30 + A_X$
$31 = 30 + A_X$
$A_X = 1$
परमाणु क्रमांक $(Z)$ का संरक्षण:
$13 + 2 = 15 + Z_X$
$15 = 15 + Z_X$
$Z_X = 0$
$1$ द्रव्यमान संख्या और $0$ परमाणु क्रमांक वाला कण एक न्यूट्रॉन है,जिसे ${ }_0^1 n$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(D) सही कथन $(d)$ है।
नाभिकीय बल एक लघु-परास बल है,जिसका अर्थ है कि यह केवल निकटवर्ती न्यूक्लियॉन के बीच ही प्रभावी ढंग से कार्य करता है।
जैसे-जैसे न्यूक्लियॉन की संख्या $(A)$ बढ़ती है,नाभिक का आकार बढ़ता जाता है।
चूंकि नाभिकीय बल लंबी दूरी तक कार्य नहीं करता है,इसलिए नाभिक के बहुत बड़ा होने पर प्रति न्यूक्लियॉन बंधन प्रभाव कम हो जाता है,जिससे यह कम स्थिर हो जाता है।
अतः,जब नाभिक में न्यूक्लियॉन की संख्या बहुत अधिक होती है,तो स्थिरता बनाए रखने के संदर्भ में नाभिकीय बल प्रभावी रूप से कमजोर हो जाता है।

(A) नाभिक की त्रिज्या $(R)$ और उसकी द्रव्यमान संख्या $(A)$ के बीच का संबंध $R = R_0 A^{1/3}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_0$ एक आनुभविक स्थिरांक है।
दी गई द्रव्यमान संख्या $A_1 = 216$ और $A_2 = 64$ के लिए,हम उनकी त्रिज्याओं का अनुपात इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 A_1^{1/3}}{R_0 A_2^{1/3}} = \left( \frac{A_1}{A_2} \right)^{1/3}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{216}{64} \right)^{1/3}$
चूंकि $216 = 6^3$ और $64 = 4^3$ है:
$\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{6^3}{4^3} \right)^{1/3} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
अतः,अनुपात $\frac{R_1}{R_2}$ का मान $3:2$ है।

$(A)$ नाभिकीय बल आवेश से स्वतंत्र होता है, जिसका अर्थ है कि किसी भी दो न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन-प्रोटॉन, प्रोटॉन-न्यूट्रॉन, या न्यूट्रॉन-न्यूट्रॉन) के बीच प्रबल नाभिकीय बल एक निश्चित दूरी पर लगभग समान होता है।
हालाँकि, दो प्रोटॉनों के मामले में, उनके धनात्मक आवेश के कारण उनके बीच एक अतिरिक्त स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल कार्य करता है।
चूंकि नाभिकीय बल आकर्षण का होता है और स्थिर-वैद्युत बल प्रतिकर्षण का, इसलिए दो प्रोटॉनों के बीच शुद्ध बल $f_{pp} = f_{\text{nuclear}} - f_{\text{electrostatic}}$ होता है।
प्रोटॉन-न्यूट्रॉन या न्यूट्रॉन-न्यूट्रॉन युग्मों के लिए, कोई स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण नहीं होता है, इसलिए शुद्ध बल केवल आकर्षक नाभिकीय बल होता है $(f_{pn} = f_{nn} = f_{\text{nuclear}})$।
अतः, $f_{pp} < f_{pn} = f_{nn}$।
कथन और कारण दोनों सत्य हैं, और कारण सही ढंग से बताता है कि प्रोटॉनों के बीच शुद्ध बल कम क्यों होता है।

(A) नाभिक का घनत्व $\rho = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}}$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान संख्या $A$ वाले नाभिक का द्रव्यमान $M = A \times (1.6 \times 10^{-27} \ kg)$ है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (1.5 \times 10^{-15} A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi (1.5)^3 \times 10^{-45} A \ m^3$ है।
नाभिकीय घनत्व की गणना करने पर: $\rho = \frac{1.6 \times 10^{-27} A}{\frac{4}{3} \times 3.14 \times 3.375 \times 10^{-45} A} = \frac{1.6 \times 10^{-27}}{14.137 \times 10^{-45}} \approx 0.11317 \times 10^{18} \ kg/m^3 = 1.1317 \times 10^{17} \ kg/m^3$ है।
जल का घनत्व $\rho_w = 10^3 \ kg/m^3$ है।
अनुपात $\frac{\rho}{\rho_w} = \frac{1.1317 \times 10^{17}}{10^3} = 1.1317 \times 10^{14} = 11.317 \times 10^{13}$ है।
इसे $n \times 10^{13}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n \approx 11$ प्राप्त होता है।

(C) नाभिकीय घनत्व,नाभिक के द्रव्यमान और उसके आयतन का अनुपात होता है।
माना $A$ द्रव्यमान संख्या है और $R$ नाभिक की त्रिज्या है।
नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_0$ एक नियतांक है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ है।
नाभिक का द्रव्यमान लगभग $M = A \cdot u$ होता है,जहाँ $u$ परमाणु द्रव्यमान इकाई है।
इसलिए,नाभिकीय घनत्व $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \cdot u}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3u}{4 \pi R_0^3}$ होता है।
चूंकि नाभिकीय घनत्व का व्यंजक केवल नियतांकों ($u$ और $R_0$) पर निर्भर करता है,इसलिए यह द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है।
अतः,सभी नाभिकों का घनत्व समान होता है।
इसलिए,ऑक्सीजन नाभिक और हीलियम नाभिक के घनत्व का अनुपात $1:1$ है।

(B) दिया गया है कि वेग का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{2}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$m_1 v_1 = m_2 v_2$। इसलिए,उनके द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि नाभिकीय द्रव्यमान घनत्व स्थिर होता है,इसलिए नाभिक का द्रव्यमान उसके आयतन के समानुपाती होता है,अर्थात $m \propto r^3$,जहाँ $r$ नाभिकीय त्रिज्या है।
अतः,$\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$।
द्रव्यमान का अनुपात रखने पर: $\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \frac{2}{3}$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{r_1}{r_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}$।
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $\left(\frac{x}{3}\right)^{\frac{1}{3}}$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(B) नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_0 \approx 1.2 \times 10^{-15} \ m$ है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ है।
नाभिक का द्रव्यमान लगभग $M = A \times m_p$ होता है (जहाँ $m_p$ एक न्यूक्लियॉन का द्रव्यमान है)।
नाभिकीय घनत्व $\rho_N = \frac{M}{V} = \frac{A m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3 m_p}{4 \pi R_0^3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $m_p$,$\pi$,और $R_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए नाभिकीय घनत्व $\rho_N$ द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है।
अतः,सभी न्यूक्लाइड्स के लिए नाभिकीय घनत्व लगभग समान होता है।
अभिकथन $A$ कहता है कि घनत्व अलग-अलग और क्रमबद्ध हैं,जो कि असत्य है।
कारण $R$ नाभिकीय त्रिज्या के लिए एक मानक सूत्र है,जो कि सत्य है।
इस प्रकार,$A$ असत्य है लेकिन $R$ सत्य है।

(D) किसी कण का क्षय ऊर्जा और द्रव्यमान के संरक्षण के नियमों द्वारा नियंत्रित होता है। एक मुक्त न्यूट्रॉन का विराम द्रव्यमान $(m_n \approx 939.57 \ MeV/c^2)$ एक मुक्त प्रोटॉन के विराम द्रव्यमान $(m_p \approx 938.27 \ MeV/c^2)$ से अधिक होता है।
चूंकि निकाय की कुल ऊर्जा संरक्षित रहनी चाहिए,इसलिए एक कण केवल हल्के कणों में ही क्षयित हो सकता है (साथ ही आवेश और लेप्टॉन संख्या के संरक्षण के लिए आवश्यक लेप्टॉन)।
चूंकि $m_n > m_p$,एक न्यूट्रॉन प्रोटॉन,इलेक्ट्रॉन और एंटीन्यूट्रिनो में क्षयित हो सकता है $(n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e)$।
इसके विपरीत,एक मुक्त प्रोटॉन न्यूट्रॉन में क्षयित नहीं हो सकता क्योंकि इसमें न्यूट्रॉन के लिए आवश्यक अतिरिक्त द्रव्यमान बनाने के लिए पर्याप्त द्रव्यमान-ऊर्जा नहीं होती है।

(A) नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है।
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2^{1/3}}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{A_1^{1/3}}{A_2^{1/3}} = \frac{1}{2^{1/3}}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}$।
अतः,उनके द्रव्यमानों का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$m_1 v_1 = m_2 v_2$ (यह मानते हुए कि प्रारंभिक नाभिक स्थिर था)।
इसलिए,उनकी चालों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{m_2}{m_1} = \frac{2}{1}$ है।
यह दिया गया है कि चालों का अनुपात $n:1$ है,इसलिए $n = 2$ प्राप्त होता है।

(D) नाभिक की सतह पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र है: $V = \frac{kQ}{R}$,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$,$Q = Ze$,और $R$ त्रिज्या है।
दिया गया है: $Z = 50$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$,और $R = 9 \times 10^{-13} \text{ cm} = 9 \times 10^{-15} \text{ m}$.
मान रखने पर:
$V = \frac{(9 \times 10^9) \times (50 \times 1.6 \times 10^{-19})}{9 \times 10^{-15}}$
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-15}}$
$V = 80 \times 10^{-10} \times 10^{15} \text{ V}$
$V = 80 \times 10^5 \text{ V} = 8 \times 10^6 \text{ V}$.
अतः,विभव $8 \times 10^6 \text{ V}$ है।

(A) द्रव्यमान संख्या $A$ वाले नाभिक की त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = R_0 A^{1/3}$ है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है।
माना पहले नाभिक की द्रव्यमान संख्या $A_1$ है और उसकी त्रिज्या $R_1$ है।
दूसरे नाभिक की द्रव्यमान संख्या $A_2 = 192$ है और उसकी त्रिज्या $R_2$ है।
प्रश्न के अनुसार,$R_1 = \frac{R_2}{2}$ है।
त्रिज्या का सूत्र रखने पर: $R_0 (A_1)^{1/3} = \frac{1}{2} R_0 (A_2)^{1/3}$।
दोनों पक्षों को $R_0$ से विभाजित करने पर: $(A_1)^{1/3} = \frac{1}{2} (A_2)^{1/3}$।
दोनों पक्षों का घन करने पर: $A_1 = \frac{1}{8} A_2$।
यहाँ $A_2 = 192$ दिया गया है,इसलिए $A_1 = \frac{192}{8} = 24$।
अतः,नाभिक की द्रव्यमान संख्या $24$ है।

(B) नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ होती है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है और $A$ द्रव्यमान संख्या है,हम आयतन के सूत्र में $R$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$.
यह दर्शाता है कि नाभिक का आयतन उसकी द्रव्यमान संख्या के सीधे आनुपातिक होता है,अर्थात $V \propto A$।
इसलिए,आयतनों का अनुपात $\frac{V_2}{V_1} = \frac{A_2}{A_1}$ है।
दिया गया है कि $A_2 = 4 A_1$,इसलिए $\frac{V_2}{V_1} = \frac{4 A_1}{A_1} = 4$।

(A) नाभिक की त्रिज्या का सूत्र $R = R_0 A^{1/3}$ है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
इसका अर्थ है $R^3 \propto A$,या $\frac{R_1^3}{R_2^3} = \frac{A_1}{A_2}$।
यहाँ $R_1 = 4.8 \text{ fermi}$,$A_1 = 64$,और $R_2 = 4 \text{ fermi}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\left(\frac{4.8}{4}\right)^3 = \frac{64}{A_2}$।
$(1.2)^3 = \frac{64}{A_2}$।
$1.728 = \frac{64}{A_2}$।
$A_2 = \frac{64}{1.728} = \frac{64000}{1728}$।
भिन्न को सरल करने पर: $A_2 = \frac{1000}{27}$।
इसकी तुलना $\frac{1000}{x}$ से करने पर,हमें $x = 27$ प्राप्त होता है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि प्रारंभिक नाभिक विराम अवस्था में है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
मान लीजिए कि दो नाभिकों के द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ हैं और उनके वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं।
$p_i = p_f$
$0 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$m_1 v_1 = -m_2 v_2$
वेगों का परिमाण लेने पर,हमें $m_1 |v_1| = m_2 |v_2|$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{|v_1|}{|v_2|} = \frac{m_2}{m_1}$।
चूंकि द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{1}$ दिया गया है,चालों के अनुपात में मान रखने पर:
$\frac{|v_1|}{|v_2|} = \frac{1}{2}$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि नाभिक विपरीत दिशाओं में गति करते हैं।
अतः,वे $1:2$ के अनुपात में चाल के साथ विपरीत दिशाओं में गति करेंगे।

(A) हल्के नाभिकों के लिए,प्रोटॉन की संख्या $(Z)$,न्यूट्रॉन की संख्या $(N)$ के लगभग बराबर होती है,इसलिए आलेख $N=Z$ रेखा का अनुसरण करता है ($45^{\circ}$ ढाल)।
जैसे-जैसे परमाणु क्रमांक बढ़ता है,प्रोटॉन के बीच का लंबी दूरी का स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण,कम दूरी के आकर्षक नाभिकीय बल की तुलना में तेजी से बढ़ता है।
भारी नाभिकों में स्थिरता बनाए रखने के लिए,स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण को बढ़ाए बिना अतिरिक्त आकर्षक नाभिकीय बल प्रदान करने के लिए अधिक न्यूट्रॉन की आवश्यकता होती है।
इसके कारण वक्र $x$-अक्ष (न्यूट्रॉन अक्ष) की ओर झुक जाता है,जिसका अर्थ है कि स्थिर भारी नाभिकों के लिए $N > Z$ होता है।
अतः,$STATEMENT-1$ सत्य है और $STATEMENT-2$ सत्य है,और $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है।

(B) नाभिक का घनत्व $\rho = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}} = \frac{A \cdot m_n}{\frac{4}{3} \pi R^3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $m_n$ न्यूक्लियॉन का औसत द्रव्यमान है।
चूँकि नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ होती है,इसे घनत्व के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर $\rho = \frac{A \cdot m_n}{\frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3} = \frac{A \cdot m_n}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m_n}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि नाभिकीय घनत्व $\rho$ द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है।
इसलिए,सभी नाभिकों का घनत्व लगभग स्थिर होता है और यह तत्व पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,अभिकथन $(A)$ गलत है क्योंकि घनत्व समान होते हैं,जबकि कारण $(R)$ नाभिकीय त्रिज्या और द्रव्यमान संख्या के बीच संबंध के बारे में एक सही कथन है।

(D) नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ संबंध द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है (लगभग $1.2 \times 10^{-15} \ m$)।
नाभिक का द्रव्यमान लगभग $M = A \times m_p$ होता है,जहाँ $m_p$ एक न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन या न्यूट्रॉन) का द्रव्यमान है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ है।
द्रव्यमान घनत्व $\rho$ को $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \cdot m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A}$ द्वारा दिया जाता है।
अंश और हर से $A$ को हटाने पर,हमें $\rho = \frac{m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m_p$,$\pi$,और $R_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए घनत्व $\rho$ द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है।

(A) अभिकथन $(A)$ सत्य है क्योंकि न्यूट्रॉन तटस्थ कण होते हैं,जिसका अर्थ है कि वे परमाणुओं के इलेक्ट्रॉन बादलों से गुजरते समय कूलम्ब बल का अनुभव नहीं करते हैं। यह उन्हें प्रोटॉन जैसे आवेशित कणों की तुलना में पदार्थ में बहुत अधिक आसानी से प्रवेश करने की क्षमता देता है।
कारण $(R)$ भी सत्य है क्योंकि न्यूट्रॉन का द्रव्यमान $(m_n \approx 1.6749 \times 10^{-27} \ kg)$ प्रोटॉन के द्रव्यमान $(m_p \approx 1.6726 \times 10^{-27} \ kg)$ से थोड़ा अधिक होता है।
हालाँकि,न्यूट्रॉन की उच्च भेदन शक्ति का कारण उनका विद्युत आवेश का अभाव है,न कि उनका द्रव्यमान। इसलिए,$(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या नहीं है।