Composition of Nucleus, Size of the Nucleus, Nuclear force Questions in Hindi

(A) नाभिक की त्रिज्या का संबंध $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
नाभिक $1$ के लिए: $R_1 = R_0 A_1^{1/3}$.
नाभिक $2$ के लिए: $R_2 = R_0 A_2^{1/3}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{A_2}{A_1} \right)^{1/3}$.
दिया गया है कि $A_2$,$A_1$ से $2\%$ अधिक है,इसलिए $A_2 = A_1(1 + 0.02) = 1.02 A_1$,अर्थात $\frac{A_2}{A_1} = 1.02$.
छोटे $x$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग करने पर:
$\frac{R_2}{R_1} = (1.02)^{1/3} = (1 + 0.02)^{1/3} \approx 1 + \frac{1}{3}(0.02) = 1 + 0.00666...$
अतः,$\frac{R_2}{R_1} \approx 1 + \frac{2}{300} = 1 + \frac{2}{3} \%$.
इसलिए,$R_2$,$R_1$ से $\frac{2}{3} \%$ अधिक है।

(B) प्रकृति में चार मूलभूत बल होते हैं: गुरुत्वाकर्षण बल,दुर्बल नाभिकीय बल,विद्युतचुंबकीय बल और प्रबल नाभिकीय बल।
इनमें से,प्रबल नाभिकीय बल सबसे शक्तिशाली बल है,जो नाभिक को एक साथ रखने के लिए न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के बीच कार्य करता है।

(D) प्रकृति में मूलभूत बलों के अनुसार,बलों की शक्ति का बढ़ता क्रम इस प्रकार है:
गुरुत्वाकर्षण बल $ < $ दुर्बल नाभिकीय बल $ < $ विद्युतचुंबकीय बल $ < $ प्रबल नाभिकीय बल।
अतः,प्रबल नाभिकीय बल प्रकृति में सबसे शक्तिशाली बल है।

(A-(II), B-(IV), C-(I), D-(III)) प्रकृति के चार मूलभूत बल और उनकी सापेक्ष शक्तियाँ इस प्रकार हैं:
$(i)$ प्रबल नाभिकीय बल: यह सबसे शक्तिशाली बल है,जो न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) और क्वार्क के बीच कार्य करता है। इसकी सापेक्ष शक्ति $1$ के क्रम की होती है।
(ii) विद्युतचुंबकीय बल: यह विद्युत आवेशित कणों के बीच कार्य करता है। इसकी सापेक्ष शक्ति $10^{-2}$ के क्रम की होती है।
(iii) दुर्बल नाभिकीय बल: यह कुछ रेडियोधर्मी क्षय के दौरान उप-परमाणु कणों के बीच कार्य करता है। इसकी सापेक्ष शक्ति $10^{-13}$ के क्रम की होती है।
(iv) गुरुत्वाकर्षण बल: यह द्रव्यमान वाले पिंडों के बीच आकर्षण बल है। इसकी सापेक्ष शक्ति सबसे कम,$10^{-39}$ के क्रम की होती है।
दी गई सूचियों के साथ तुलना करने पर:
$(A)$ प्रबल नाभिकीय बल $\rightarrow$ (ii) $1$
$(B)$ दुर्बल नाभिकीय बल $\rightarrow$ (iv) $10^{-13}$
$(C)$ विद्युतचुंबकीय बल $\rightarrow$ $(i)$ $10^{-2}$
$(D)$ गुरुत्वाकर्षण बल $\rightarrow$ (iii) $10^{-39}$
अतः,सही मिलान $A-(ii), B-(iv), C-(i), D-(iii)$ है।

(B) प्रकृति के मूल बलों का उनकी शक्ति के घटते क्रम में क्रम इस प्रकार है: प्रबल नाभिकीय बल $>$ विद्युतचुंबकीय बल $>$ दुर्बल नाभिकीय बल $>$ गुरुत्वाकर्षण बल।
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल प्रकृति में सबसे कमजोर बल है,न कि दुर्बल नाभिकीय बल।
इस प्रकार,विकल्प $B$ में दिया गया कथन गलत है।

(B) परिभाषा के अनुसार,एक प्रति-कण का द्रव्यमान और स्पिन उसके संबंधित कण के समान ही होता है।
हालाँकि,विद्युत आवेश,लेप्टोन संख्या और चुंबकीय आघूर्ण जैसे गुण कण के विपरीत चिह्न वाले होते हैं।
इसलिए,कणों और उनके प्रति-कणों का द्रव्यमान समान होता है लेकिन चुंबकीय आघूर्ण विपरीत होते हैं।

(C) दो न्यूक्लियॉन के बीच की स्थितिज ऊर्जा को उनकी दूरी के फलन के रूप में नाभिकीय बल विभव द्वारा वर्णित किया जाता है,जिसे अक्सर रीड विभव (Reid potential) द्वारा मॉडल किया जाता है।
यह विभव वक्र दर्शाता है कि नाभिकीय बल कम दूरी पर अत्यधिक आकर्षक और बहुत कम दूरी पर प्रतिकर्षी होता है।
स्थितिज ऊर्जा लगभग $0.8 \ fm$ की दूरी पर अपना न्यूनतम मान प्राप्त करती है।
इस दूरी पर,न्यूक्लियॉन एक स्थिर विन्यास में होते हैं,जो उन्हें ऋणात्मक बंधन ऊर्जा के साथ एक बद्ध अवस्था बनाने की अनुमति देता है।

(C) नाभिकीय बल वह प्रबल बल है जो नाभिक के भीतर न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के बीच कार्य करता है।
प्रायोगिक साक्ष्य दर्शाते हैं कि नाभिकीय बल आवेश से स्वतंत्र होता है।
इसका अर्थ यह है कि दो प्रोटॉन,दो न्यूट्रॉन या एक प्रोटॉन और एक न्यूट्रॉन के बीच का बल मूल रूप से समान होता है,बशर्ते उनके बीच की दूरी और उनकी स्पिन अवस्थाएं समान हों।
इसलिए,$F_{pp} = F_{nn} = F_{np}$।

(D) $\text{दुर्बल नाभिकीय बल प्रकृति के चार मूलभूत बलों में से एक है।}$
$\text{यह नाभिक में बीटा क्षय जैसी प्रक्रियाओं के लिए जिम्मेदार है।}$
$\text{प्रबल नाभिकीय बल, जिसकी परास लगभग } 10^{-15} \,m \text{ होती है, के विपरीत दुर्बल नाभिकीय बल की परास अत्यंत कम होती है।}$
$\text{दुर्बल नाभिकीय बल की परास लगभग } 10^{-16} \,m \text{ से } 10^{-18} \,m \text{ तक होती है।}$
$\text{अतः, दिए गए विकल्पों में से सही कोटि } 10^{-16} \,m \text{ है।}$

(B) नाभिक की त्रिज्या $R$ और उसकी द्रव्यमान संख्या $A$ के बीच संबंध $R = R_0 A^{1/3}$ है, जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है।
गोलाकार नाभिक का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi R^2$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ का मान रखने पर, $S = 4 \pi (R_0 A^{1/3})^2 = 4 \pi R_0^2 A^{2/3}$ प्राप्त होता है।
अतः, पृष्ठीय क्षेत्रफल $A^{2/3}$ के समानुपाती है, यानी $S \propto A^{2/3}$।
द्रव्यमान संख्याओं का दिया गया अनुपात $A_1 : A_2 = 27 : 125$ है, इसलिए उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $S_1 : S_2 = (A_1 / A_2)^{2/3}$ होगा।
मान रखने पर: $S_1 / S_2 = (27 / 125)^{2/3} = ((3^3) / (5^3))^{2/3} = (3/5)^2 = 9/25$।
अतः, उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $9 : 25$ है।

(A) तत्व का औसत द्रव्यमान उसके समस्थानिकों की सापेक्ष प्रचुरता के आधार पर उनके द्रव्यमानों का भारित औसत (weighted average) लेकर निकाला जाता है।
दी गई प्रचुरता का अनुपात $2:3:5$ है,इसलिए कुल भाग $2 + 3 + 5 = 10$ है।
प्रत्येक समस्थानिक का भिन्नात्मक मान:
समस्थानिक $A$ के लिए: $2/10 = 0.2$
समस्थानिक $B$ के लिए: $3/10 = 0.3$
समस्थानिक $C$ के लिए: $5/10 = 0.5$
औसत द्रव्यमान का सूत्र: $\text{औसत द्रव्यमान} = (\text{भिन्न}_A \times m_1) + (\text{भिन्न}_B \times m_2) + (\text{भिन्न}_C \times m_3)$.
मान रखने पर: $\text{औसत द्रव्यमान} = 0.2 m_1 + 0.3 m_2 + 0.5 m_3$.

(D) द्रव्यमान संख्या वाले नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है।
यह मानते हुए कि नाभिक गोलाकार है,इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi R^2$ होता है।
$R$ का मान $S$ के सूत्र में रखने पर:
$S = 4 \pi (R_0 A^{1/3})^2$
$S = 4 \pi R_0^2 A^{2/3}$
चूँकि $4 \pi R_0^2$ एक स्थिरांक है,इसलिए $S \propto A^{2/3}$ प्राप्त होता है।

(C) नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ संबंध द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है।
दिया गया है कि $A_1 = 27$ के लिए $R_1 = R$ और $A_2$ के लिए $R_2 = 2R$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^{1/3}$.
मान रखने पर: $\frac{R}{2R} = \left(\frac{27}{A_2}\right)^{1/3}$.
$\frac{1}{2} = \left(\frac{27}{A_2}\right)^{1/3}$.
दोनों पक्षों का घन करने पर: $\frac{1}{8} = \frac{27}{A_2}$.
$A_2 = 27 \times 8 = 216$.
बहुत उच्च द्रव्यमान संख्या वाले नाभिक (जैसे $A=216$) सामान्यतः अस्थिर होते हैं और अधिक स्थिर अवस्था प्राप्त करने के लिए रेडियोधर्मी क्षय या विखंडन अभिक्रिया से गुजरते हैं।

(C) द्रव्यमान संख्या $A$ के संदर्भ में परमाणु नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे द्रव्यमान संख्या $A$ बढ़ती है,नाभिक का द्रव्यमान $(M \approx A \cdot m_p)$ और नाभिक का आयतन $(V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A)$ दोनों बढ़ते हैं।
न्यूक्लियॉन की संख्या बढ़ने के साथ बंधन ऊर्जा भी बदलती है।
हालाँकि,नाभिकीय घनत्व $\rho$ इस प्रकार है:
$\rho = \frac{\text{नाभिक का द्रव्यमान}}{\text{नाभिक का आयतन}} = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3} = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3m}{4 \pi R_0^3}$.
चूँकि $m$ (औसत न्यूक्लियॉन द्रव्यमान) और $R_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए नाभिकीय घनत्व द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है और स्थिर रहता है।

(D) नाभिक का घनत्व सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\rho = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}}$.
नाभिक का द्रव्यमान $M = A \times m_p$,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $m_p \approx 1.6 \times 10^{-27} \text{ kg}$ है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$,जहाँ $R = R_0 A^{1/3}$ है।
$V$ का मान रखने पर: $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$.
घनत्व $\rho = \frac{A \times m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3 m_p}{4 \pi R_0^3}$.
मान रखने पर: $\rho = \frac{3 \times 1.6 \times 10^{-27}}{4 \times 3.14 \times (1.2 \times 10^{-15})^3}$.
$\rho = \frac{4.8 \times 10^{-27}}{12.56 \times 1.728 \times 10^{-45}} \approx 2.2 \times 10^{17} \text{ kg m}^{-3}$.

(B) नाभिक की त्रिज्या का सूत्र $R = R_0 A^{1/3}$ है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
मान लीजिए $A_1 = 189$ द्रव्यमान संख्या वाले नाभिक की त्रिज्या $R_1$ है,तो $R_1 = R_0 (189)^{1/3}$ होगा।
मान लीजिए दूसरे नाभिक की द्रव्यमान संख्या $A_2$ है और उसकी त्रिज्या $R_2$ है,तो $R_2 = R_0 (A_2)^{1/3}$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,$R_2 = \frac{1}{3} R_1$ है।
मान रखने पर,$R_0 (A_2)^{1/3} = \frac{1}{3} R_0 (189)^{1/3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $R_0$ को हटाने पर,$(A_2)^{1/3} = \frac{1}{3} (189)^{1/3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,$A_2 = (\frac{1}{3})^3 \times 189$ प्राप्त होता है।
$A_2 = \frac{1}{27} \times 189 = 7$ है।
अतः,द्रव्यमान संख्या $7$ है।

(C) नाभिकीय बल एक लघु-परास का बल है जो नाभिक के भीतर न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के बीच कार्य करता है।
यह तभी प्रभावी होता है जब दो न्यूक्लियॉन के बीच की दूरी लगभग $1$ फर्मी हो, जो $10^{-15} \,m$ के बराबर है।
इस दूरी से अधिक होने पर, नाभिकीय बल तेजी से घटता है और नगण्य हो जाता है।
अतः, नाभिकीय बल की परास $10^{-15} \,m$ है।

(A) नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है।
$R$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$।
दिया गया है $R_0 \simeq 1.0 \times 10^{-15} \ m$,$\pi \simeq 3$,और $A = 27$:
$V = \frac{4}{3} \times 3 \times (1.0 \times 10^{-15} \ m)^3 \times 27$।
$V = 4 \times 10^{-45} \times 27 \ m^3 = 108 \times 10^{-45} \ m^3$।
चूंकि $1 \ \text{Å} = 10^{-10} \ m$,इसलिए $1 \ m = 10^{10} \ \text{Å}$,और $1 \ m^3 = 10^{30} \ (\text{Å})^3$।
$V = 108 \times 10^{-45} \times 10^{30} \ (\text{Å})^3 = 108 \times 10^{-15} \ (\text{Å})^3 \approx 1 \times 10^{-13} \ (\text{Å})^3$।

(A) द्रव्यमान संख्या $A$ वाले नाभिक की त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = R_0 A^{1/3}$ है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है।
आयोडीन $(A_i = 125)$ और पोलोनियम $(A_p = 216)$ के लिए द्रव्यमान संख्या दी गई है।
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_i}{R_p} = \frac{R_0 A_i^{1/3}}{R_0 A_p^{1/3}} = \left( \frac{A_i}{A_p} \right)^{1/3}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{R_i}{R_p} = \left( \frac{125}{216} \right)^{1/3}$.
चूंकि $125 = 5^3$ और $216 = 6^3$ है,इसलिए $\frac{R_i}{R_p} = \frac{5}{6}$.
अतः,अनुपात $5:6$ है।

(A) ड्यूटेरॉन ड्यूटेरियम का नाभिक है,जो हाइड्रोजन का एक समस्थानिक (आइसोटोप) है जिसे ${ }_1^2 H$ के रूप में दर्शाया जाता है।
यह एक प्रोटॉन और एक न्यूट्रॉन से बना होता है जो प्रबल नाभिकीय बल द्वारा एक साथ बंधे होते हैं।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में से सबसे सटीक विवरण यह है कि यह एक प्रोटॉन और एक न्यूट्रॉन से बना है।

(D) नाभिक की त्रिज्या का सूत्र $R = R_0 A^{1/3}$ होता है, जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
दिया गया है:
$R_1 = 1.5 \text{ fermi}$, $A_1 = 125$
$A_2 = 64$
हमें $R_2$ ज्ञात करना है।
त्रिज्याओं का अनुपात लेने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{A_1}{A_2} \right)^{1/3}$
$\frac{1.5}{R_2} = \left( \frac{125}{64} \right)^{1/3}$
$\frac{1.5}{R_2} = \frac{5}{4}$
$R_2 = \frac{1.5 \times 4}{5} = 0.3 \times 4 = 1.2 \text{ fermi}$.

(B) नाभिक की त्रिज्या $(R)$ और द्रव्यमान संख्या $(A)$ के बीच का संबंध $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,दो नाभिकों की त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^{1/3}$ होता है।
दिया गया है: $R_1 = 6 \text{ fermi}$,$A_1 = 125$,और $A_2 = 27$।
मान रखने पर:
$\frac{6}{R_2} = \left(\frac{125}{27}\right)^{1/3} = \frac{5}{3}$।
$R_2$ के लिए हल करने पर:
$R_2 = \frac{6 \times 3}{5} = \frac{18}{5} = 3.6 \text{ fermi}$।
चूंकि $1 \text{ fermi} = 10^{-15} \text{ m}$,इसलिए $R_2 = 3.6 \times 10^{-15} \text{ m}$ होगा।

(C) नाभिकीय घनत्व द्रव्यमान संख्या से स्वतंत्र होता है और सभी नाभिकों के लिए लगभग स्थिर रहता है,जिसका मान लगभग $\rho \approx 2.3 \times 10^{17} \ kg/m^3$ होता है। अतः,कथन $A$ सत्य है।
नाभिक की त्रिज्या $R$ और द्रव्यमान संख्या $A$ के बीच का संबंध $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है। इसका अर्थ है कि $R^3 \propto A$,या $R \propto A^{1/3}$।
दिया गया कथन $B$ है $\sqrt{A} \propto R^{1/6}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें $A \propto R^{1/3}$ प्राप्त होता है,जो स्थापित संबंध $R \propto A^{1/3}$ (या $A \propto R^3$) के विपरीत है। इसलिए,कथन $B$ असत्य है।
अतः,$A$ सत्य है और $B$ असत्य है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभ में विराम अवस्था में स्थित नाभिक के लिए,दोनों टुकड़ों के संवेग का परिमाण समान होना चाहिए: $m_1 v_1 = m_2 v_2$.
इसका अर्थ है $\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2}{v_1}$.
दिया गया वेग अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{1}$ है,इसलिए $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
यह मानते हुए कि नाभिक का घनत्व $\rho$ स्थिर है,द्रव्यमान $m$ आयतन के समानुपाती होता है,अतः $m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$.
इसलिए,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}$.
द्रव्यमान अनुपात के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{R_1^3}{R_2^3} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{3}$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $\frac{R_1}{R_2} = (\frac{1}{3})^{1/3} = 1 : 3^{1/3}$ प्राप्त होता है।

(C) नाभिक की त्रिज्या $R$ और उसकी द्रव्यमान संख्या $A$ के बीच संबंध $R = R_0 A^{1/3}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है।
नाभिक का आयतन $V$,$V = \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$.
यह दर्शाता है कि आयतन $V$,द्रव्यमान संख्या $A$ के सीधे समानुपाती है $(V \propto A)$।
यदि द्रव्यमान संख्या $A$ से बढ़ाकर $2A$ कर दी जाती है,तो नया आयतन $V'$ होगा $V' \propto 2A$।
अतः,$V' = 2V$।

(A) प्रबल नाभिकीय बल की सापेक्ष शक्ति लगभग $1$ होती है।
दुर्बल नाभिकीय बल की सापेक्ष शक्ति लगभग $10^{-13}$ होती है।
अतः,प्रबल और दुर्बल नाभिकीय बलों की सापेक्ष शक्तियों का अनुपात इस प्रकार है:
अनुपात $= \frac{\text{प्रबल नाभिकीय बल}}{\text{दुर्बल नाभिकीय बल}} = \frac{1}{10^{-13}} = 10^{13}$.

(C) नाभिकीय बल प्रकृति में सबसे शक्तिशाली बल हैं, जो नाभिक के भीतर बहुत कम दूरी (आमतौर पर $r \approx 10^{-15} \,m$) पर कार्य करते हैं।
ये बल प्रोटॉन और न्यूट्रॉन को एक साथ बांधे रखने के लिए जिम्मेदार हैं, जो प्रोटॉन के बीच के स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण को दूर करते हैं।
इसलिए, नाभिकीय बल लघु परास के आकर्षी बल होते हैं।

(A, C) नाभिक की त्रिज्या का सूत्र $r = R_0 A^{1/3}$ है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
यहाँ $A_A = 64$ और $A_B = 125$ है,इसलिए $r_A = R_0 (64)^{1/3} = 4R_0$ और $r_B = R_0 (125)^{1/3} = 5R_0$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_A < r_B$ है।
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(E_{bn})$ के लिए,हल्के नाभिकों के लिए $E_{bn}$ द्रव्यमान संख्या के साथ बढ़ता है और $A = 56$ (आयरन) के पास अधिकतम होता है। $A > 60$ वाले नाभिकों के लिए,$E_{bn}$ धीरे-धीरे घटता है।
चूंकि $A_A = 64$,$A_B = 125$ की तुलना में $56$ के अधिक करीब है,इसलिए नाभिक $A$ के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा नाभिक $B$ से अधिक है,अर्थात $E_{bnA} > E_{bnB}$।
इसलिए,विकल्प $A$ और $C$ दोनों सही हैं।

(D) नाभिकीय अभिक्रिया में,समीकरण के दोनों ओर कुल परमाणु क्रमांक $(Z)$ और कुल द्रव्यमान संख्या $(A)$ का संरक्षण होना चाहिए।
मान लीजिए कि $X$ को ${ }_{Z'}^{A'} X$ के रूप में दर्शाया गया है।
अभिक्रिया है: ${ }_{7}^{14} N + { }_{Z'}^{A'} X \rightarrow { }_{6}^{14} C + { }_{1}^{1} H$।
द्रव्यमान संख्या $(A)$ का संरक्षण: $14 + A' = 14 + 1 \Rightarrow A' = 1$।
परमाणु क्रमांक $(Z)$ का संरक्षण: $7 + Z' = 6 + 1 \Rightarrow 7 + Z' = 7 \Rightarrow Z' = 0$।
$1$ द्रव्यमान संख्या और $0$ परमाणु क्रमांक वाला कण एक न्यूट्रॉन है,जिसे ${ }_{0}^{1} n$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(D) नाभिकीय अभिक्रिया में,समीकरण के दोनों पक्षों में कुल परमाणु क्रमांक $(Z)$ और कुल द्रव्यमान संख्या $(A)$ का संरक्षण होना चाहिए।
दी गई अभिक्रिया: ${ }_4^9 Be + { }_2^4 He \rightarrow { }_6^{12} C + x$
मान लीजिए कि कण $x$ को ${ }_Z^A X$ द्वारा दर्शाया गया है।
द्रव्यमान संख्या $(A)$ का संरक्षण: $9 + 4 = 12 + A \Rightarrow 13 = 12 + A \Rightarrow A = 1$.
परमाणु क्रमांक $(Z)$ का संरक्षण: $4 + 2 = 6 + Z \Rightarrow 6 = 6 + Z \Rightarrow Z = 0$.
द्रव्यमान संख्या $1$ और परमाणु क्रमांक $0$ वाला कण एक न्यूट्रॉन है,जिसे ${ }_0^1 n$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(D) नाभिक की त्रिज्या का सूत्र $R = R_{0}A^{1/3}$ होता है,जहाँ $R_{0}$ एक स्थिरांक है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
पहले नाभिक के लिए,$R_{\alpha} = R_{0}\alpha^{1/3}$.
दूसरे नाभिक के लिए,$R_{\beta} = R_{0}\beta^{1/3}$.
अनुपात लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{R_{\alpha}}{R_{\beta}} = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{1/3}$.
दिया गया है कि $\beta = 8\alpha$,इसलिए इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{R_{\alpha}}{R_{\beta}} = \left(\frac{\alpha}{8\alpha}\right)^{1/3} = \left(\frac{1}{8}\right)^{1/3} = \frac{1}{2} = 0.5$.

(C) नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है।
गोलाकार नाभिक का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi R^2 = 4 \pi R_0^2 A^{2/3}$ होता है।
अतः,$S \propto A^{2/3}$.
प्रारंभिक द्रव्यमान संख्या $A_i = 8$.
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_i \propto (8)^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$.
$10$ प्रोटॉन और $9$ न्यूट्रॉन को अवशोषित करने के बाद (इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान संख्या में योगदान नहीं देते हैं),नई द्रव्यमान संख्या $A_f = 8 + 10 + 9 = 27$ है।
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_f \propto (27)^{2/3} = (3^3)^{2/3} = 3^2 = 9$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{S_f - S_i}{S_i} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत वृद्धि $= \frac{9 - 4}{4} \times 100 = \frac{5}{4} \times 100 = 125\%$.

(D) समभारिक (isobars) वे नाभिक होते हैं जिनका द्रव्यमान संख्या $(A)$ समान होती है लेकिन परमाणु क्रमांक $(Z)$ अलग-अलग होते हैं।
युग्म ${}_{1}^{3}H$ और ${}_{2}^{3}He$ के लिए:
$1$. ${}_{1}^{3}H$ के लिए,द्रव्यमान संख्या $A = 3$ है।
$2$. ${}_{2}^{3}He$ के लिए,द्रव्यमान संख्या $A = 3$ है।
चूंकि दोनों नाभिकों की द्रव्यमान संख्या $(A = 3)$ समान है,इसलिए वे समभारिक हैं।

(D) संपर्क बिंदु पर अवरोध की स्थितिज ऊर्जा (potential energy) $U = k \frac{q_1 q_2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,प्रत्येक ड्यूटेरॉन का आवेश $q_1 = q_2 = e = 1.6 \times 10^{-19}$ $C$ है।
संपर्क बिंदु पर दो ड्यूटेरॉन के केंद्रों के बीच की दूरी $r = R_1 + R_2 = 2 \text{ fm} + 2 \text{ fm} = 4 \text{ fm} = 4 \times 10^{-15}$ m है।
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{(9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2) \times (1.6 \times 10^{-19} \text{ C})^2}{4 \times 10^{-15} \text{ m}}$
$U = \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{4 \times 10^{-15}}$
$U = \frac{23.04 \times 10^{-29}}{4 \times 10^{-15}}$
$U = 5.76 \times 10^{-14}$ $J$.

(A) आइसोटोन वे परमाणु होते हैं जिनमें न्यूट्रॉन की संख्या समान होती है।
न्यूट्रॉन की संख्या $(N)$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $N = A - Z$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$^{198}_{80}\text{Hg}$ के लिए: $N = 198 - 80 = 118$.
$^{197}_{79}\text{Au}$ के लिए: $N = 197 - 79 = 118$.
चूंकि दोनों परमाणुओं में न्यूट्रॉन की संख्या समान $(118)$ है,इसलिए वे आइसोटोन हैं।
अन्य विकल्पों के लिए:
- $^3_1\text{H}$ $(N=2)$ और $^3_2\text{He}$ $(N=1)$ आइसोटोन नहीं हैं।
- $^{214}_{82}\text{Pb}$ $(N=132)$ और $^{214}_{83}\text{Bi}$ $(N=131)$ आइसोटोन नहीं हैं।
- $^{12}_6\text{C}$ $(N=6)$ और $^{14}_6\text{C}$ $(N=8)$ समस्थानिक (isotopes) हैं,आइसोटोन नहीं।

(B) संबंध निर्धारित करने के लिए,हम सूत्र $N = A - Z$ का उपयोग करके प्रत्येक न्यूक्लाइड के लिए न्यूट्रॉन की संख्या $(N)$ की गणना करते हैं,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$^{197}_{79} \text{Au}$ के लिए: $A = 197$,$Z = 79$. अतः,$N = 197 - 79 = 118$.
$^{198}_{80} \text{Hg}$ के लिए: $A = 198$,$Z = 80$. अतः,$N = 198 - 80 = 118$.
चूंकि दोनों न्यूक्लाइड्स में न्यूट्रॉन की संख्या समान $(N = 118)$ है,इसलिए उन्हें आइसोटोन (isotones) के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

(B) नाभिकीय त्रिज्या $R$ की गणना $R = R_0 A^{1/3}$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है,जहाँ $R_0 \approx 1.2 \text{ fm}$ और $A$ नाभिक की द्रव्यमान संख्या है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,नाभिक में केवल एक प्रोटॉन होता है,इसलिए द्रव्यमान संख्या $A = 1$ है।
सूत्र में $A$ का मान रखने पर:
$R = 1.2 \times (1)^{1/3} \text{ fm}$
$R = 1.2 \times 1 \text{ fm} = 1.2 \text{ fm}$।
अतः,हाइड्रोजन परमाणु की नाभिकीय त्रिज्या $1.2 \text{ fm}$ है।
सही विकल्प $B$ है।

(B) नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ होता है।
चूंकि $\frac{4}{3} \pi R_0^3$ एक स्थिरांक है,इसलिए आयतन $V$ द्रव्यमान संख्या $A$ के सीधे समानुपाती है। अतः,कथन $A$ गलत है और कथन $B$ सही है।
द्रव्यमान क्षति को व्यक्तिगत न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के द्रव्यमान के योग और नाभिक के वास्तविक द्रव्यमान के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है। अतः,कथन $C$ गलत है और कथन $D$ सही है।
इस प्रकार,कथन $B$ और $D$ सही हैं,जबकि $A$ और $C$ गलत हैं।

(C) नाभिक का द्रव्यमान $M = A \times m_p$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $m_p$ एक न्यूक्लियॉन का औसत द्रव्यमान है (लगभग $1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$)।
नाभिक का कुल द्रव्यमान $M = 19.926 \times 10^{-27} \text{ kg}$ दिया गया है।
हम द्रव्यमान संख्या $A$ की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:
$A = \frac{M}{m_p} = \frac{19.926 \times 10^{-27} \text{ kg}}{1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}} \approx 11.93$।
इस मान को निकटतम पूर्णांक में बदलने पर,हमें $A \approx 12$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभिक की द्रव्यमान संख्या $12$ है।