Composition of Nucleus, Size of the Nucleus, Nuclear force Questions in Hindi

(C) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि नाभिक प्रारंभ में स्थिर था,तो दोनों भागों का संवेग समान और विपरीत होगा।
$m_1 v_1 = m_2 v_2$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{2}$
चूंकि नाभिकीय द्रव्यमान $m$ आयतन के समानुपाती होता है,जो त्रिज्या $r$ के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है (अर्थात $m \propto r^3$):
$\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$
द्रव्यमान अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \frac{1}{2}$
$\frac{r_1}{r_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/3} = \frac{1}{2^{1/3}}$

(D) हम जानते हैं कि न्यूट्रिनो वह कण है जिसका द्रव्यमान लगभग शून्य और आवेश सटीक शून्य होता है।
पॉज़िट्रॉन पर $+e$ आवेश और $m_{e}$ द्रव्यमान (इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान के बराबर) होता है।
इलेक्ट्रॉन एक ऐसा कण है जिस पर $-e$ आवेश और $9.1 \times 10^{-31} \ kg$ द्रव्यमान होता है।
न्यूट्रॉन एक ऐसा कण है जिस पर शून्य आवेश और $1838 \ m_{e}$ द्रव्यमान होता है।
अतः,सही उत्तर न्यूट्रिनो है।

(D) नाभिकीय घनत्व $\rho$ को नाभिक के द्रव्यमान और उसके आयतन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि नाभिक का द्रव्यमान लगभग $M = A \cdot m_p$ (जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $m_p$ एक न्यूक्लियॉन का द्रव्यमान है) होता है और आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है,जहाँ $R = R_0 A^{1/3}$ है।
$R$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ प्राप्त होता है।
अतः,$\rho = \frac{A \cdot m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$।
यह व्यंजक दर्शाता है कि नाभिकीय घनत्व द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है।
इसलिए,किन्हीं भी दो नाभिकों के नाभिकीय घनत्व का अनुपात हमेशा $1: 1$ होता है।

(B) नाभिक की त्रिज्या का सूत्र $R = R_{0} A^{1/3}$ है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $R_{0}$ एक स्थिरांक है।
${}_{13}^{27}Al$ के लिए,द्रव्यमान संख्या $A_{1} = 27$ है।
${}_{30}^{64}Zn$ के लिए,द्रव्यमान संख्या $A_{2} = 64$ है।
त्रिज्याओं का अनुपात लेने पर:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{R_{0} A_{1}^{1/3}}{R_{0} A_{2}^{1/3}} = \left(\frac{A_{1}}{A_{2}}\right)^{1/3}$
मान रखने पर:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \left(\frac{27}{64}\right)^{1/3}$
चूँकि $27 = 3^{3}$ और $64 = 4^{3}$,इसलिए:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \left(\frac{3^{3}}{4^{3}}\right)^{1/3} = \frac{3}{4}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) परमाणु द्रव्यमान संख्या $(A)$ को नाभिक में प्रोटॉन $(Z)$ और न्यूट्रॉन $(N)$ की संख्या के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $A = Z + N$ होता है।
चूंकि न्यूट्रॉन की संख्या $(N)$ हमेशा शून्य या उससे अधिक होती है,इसलिए परमाणु द्रव्यमान संख्या $(A)$ परमाणु क्रमांक $(Z)$ के बराबर या उससे अधिक होनी चाहिए।
सबसे सरल तत्व हाइड्रोजन $(_{1}^{1}H)$ के लिए,न्यूट्रॉन की संख्या $0$ होती है,इसलिए $A = Z = 1$ होता है।
अन्य सभी तत्वों के लिए,न्यूट्रॉन की संख्या शून्य से अधिक होती है,जिससे $A > Z$ हो जाता है।
अतः,परमाणु द्रव्यमान संख्या हमेशा परमाणु क्रमांक के बराबर या उससे बड़ी होती है।

(B) नाभिक का औसत घनत्व लगभग $\rho_{n} = 2.3 \times 10^{17} \ kg/m^{3}$ होता है।
पानी का घनत्व $\rho_{w} = 10^{3} \ kg/m^{3}$ होता है।
अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम नाभिक के घनत्व को पानी के घनत्व से विभाजित करते हैं:
$\text{अनुपात} = \frac{\rho_{n}}{\rho_{w}} = \frac{2.3 \times 10^{17} \ kg/m^{3}}{10^{3} \ kg/m^{3}} = 2.3 \times 10^{14}$.
अतः,नाभिक का घनत्व पानी के घनत्व का $2.3 \times 10^{14}$ गुना होता है।

(A) ${ }_{92}^{235} U$ नाभिक में,परमाणु क्रमांक $Z$ (प्रोटॉन की संख्या) $92$ है।
द्रव्यमान संख्या $A$ का मान $235$ है।
न्यूट्रॉन की संख्या $N$ को $N = A - Z$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$N = 235 - 92 = 143$।
न्यूट्रॉन और प्रोटॉन की संख्या के बीच का अंतर $N - Z$ है।
$N - Z = 143 - 92 = 51$।
अतः,नाभिक में प्रोटॉन की तुलना में $51$ न्यूट्रॉन अधिक हैं।

(D) सही उत्तर $D$. $8:1$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विराम अवस्था में नाभिक का प्रारंभिक संवेग शून्य होता है।
इसलिए,दोनों भागों के संवेग का परिमाण समान होना चाहिए: $M_1 v_1 = M_2 v_2$.
चूंकि दोनों भागों के लिए घनत्व $\rho$ समान है,द्रव्यमान $M = \rho \cdot V = \rho \cdot (\frac{4}{3} \pi r^3)$ होता है।
इस मान को संवेग समीकरण में रखने पर:
$(\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3) v_1 = (\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r_2^3) v_2$.
समान पदों $(\rho \cdot \frac{4}{3} \pi)$ को हटाने पर,हमें $r_1^3 v_1 = r_2^3 v_2$ प्राप्त होता है।
वेगों के अनुपात के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{v_1}{v_2} = (\frac{r_2}{r_1})^3$.
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{r_2}{r_1} = \frac{2}{1}$ होगा।
अतः,$\frac{v_1}{v_2} = (\frac{2}{1})^3 = \frac{8}{1}$।

(D) सही उत्तर $D$ है।
मान लीजिए $m$ एक न्यूक्लियॉन का औसत द्रव्यमान है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
नाभिक का द्रव्यमान $M = m A$ द्वारा दिया जाता है।
नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ है।
नाभिक का घनत्व $\rho$ द्रव्यमान और आयतन का अनुपात है:
$\rho = \frac{M}{V} = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$.
चूंकि $m$ और $R_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए घनत्व $\rho$ द्रव्यमान संख्या $A$ पर निर्भर नहीं करता है।

(C) नाभिकीय त्रिज्या $R$ को सूत्र $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $R_0$ एक स्थिरांक है।
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_{Au}}{R_{Ag}} = \left( \frac{A_{Au}}{A_{Ag}} \right)^{1/3}$ होगा।
यहाँ $A_{Au} = 197$ और $A_{Ag} = 107$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{R_{Au}}{R_{Ag}} = \left( \frac{197}{107} \right)^{1/3}$.
मान की गणना करने पर: $\frac{197}{107} \approx 1.841$.
इसके बाद,$(1.841)^{1/3} \approx 1.2256$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $1.23$ प्राप्त होता है।

(B) सही उत्तर $B$ (समन्यूट्रॉनिक) है।
${ }_{92}^{238} U$ के लिए,न्यूट्रॉन की संख्या $N$ की गणना $N = A - Z = 238 - 92 = 146$ के रूप में की जाती है।
${ }_{90}^{236} Th$ के लिए,न्यूट्रॉन की संख्या $N$ की गणना $N = A - Z = 236 - 90 = 146$ के रूप में की जाती है।
चूंकि दोनों नाभिकों में न्यूट्रॉन की संख्या समान $(N = 146)$ है,इसलिए वे समन्यूट्रॉनिक (isotones) हैं।

(B) औसत परमाणु द्रव्यमान की गणना उनकी सापेक्ष प्रचुरता के आधार पर समस्थानिक द्रव्यमानों का भारित औसत लेकर की जाती है।
औसत परमाणु द्रव्यमान $= \frac{(m_1 \times p_1) + (m_2 \times p_2)}{100}$
$= \frac{(34.98 \times 75.4) + (36.98 \times 24.6)}{100}$
$= \frac{2637.492 + 909.708}{100}$
$= \frac{3547.2}{100}$
$= 35.47 \ u$

(C) नाभिक की त्रिज्या का सूत्र $R = R_{0} A^{1/3}$ है,जहाँ $R_{0} = 1.2 \text{ fm} = 1.2 \times 10^{-15} \text{ m}$ और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
${ }_{13}^{27} Al$ के लिए,द्रव्यमान संख्या $A = 27$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times (27)^{1/3} \text{ m}$
चूँकि $(27)^{1/3} = 3$,इसलिए:
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times 3 \text{ m}$
$R = 3.6 \times 10^{-15} \text{ m}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दो प्रोटॉन के बीच का बल,एक प्रोटॉन और एक न्यूट्रॉन के बीच के बल के समान होता है। यह प्रबल नाभिकीय बल का एक विशिष्ट गुण है,जो आवेश से स्वतंत्र होता है। प्रबल नाभिकीय बल न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के बीच कार्य करता है और नाभिक को एक साथ बांधे रखने के लिए जिम्मेदार होता है। यह बहुत कम दूरी पर अत्यंत शक्तिशाली होता है और अधिक दूरी पर नगण्य हो जाता है।

(B) क्वार्क्स प्राथमिक कण हैं जो संयुक्त कण बनाते हैं जिन्हें हैड्रॉन्स (hadrons) कहा जाता है।
प्रोटॉन और न्यूट्रॉन बेरियॉन्स (baryons) हैं,जो तीन क्वार्क्स से बने होते हैं।
$\pi$-मेसॉन (pions) मेसॉन्स हैं,जो एक क्वार्क और एक एंटीक्वार्क से बने होते हैं।
पॉजिट्रॉन इलेक्ट्रॉन का प्रतिकण (antiparticle) है,जो एक लेप्टॉन (lepton) है।
लेप्टॉन्स मौलिक कण होते हैं और क्वार्क्स से नहीं बने होते हैं।
इसलिए,पॉजिट्रॉन क्वार्क्स से नहीं बना है।

(D) नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा दिया जाता है और इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi R^2$ है।
आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{V}{S} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{4 \pi R^2} = \frac{R}{3}$ है।
नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है।
$Al^{27}$ के लिए,$A = 27$ है। अतः,$R = R_0 (27)^{1/3} = 3 R_0$ होगा।
इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{V}{S} = \frac{3 R_0}{3} = R_0$।
दिया गया है कि $R_0 = 1.2 \times 10^{-15} \ m$,इसलिए अनुपात $1.2 \times 10^{-15} \ m$ है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभ में विराम अवस्था में स्थित नाभिक के लिए,विभाजन के बाद कुल संवेग शून्य होना चाहिए।
$m_1 v_1 = m_2 v_2 \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{m_2}{m_1}$
चूंकि नाभिकीय पदार्थ का घनत्व स्थिर होता है,इसलिए नाभिक का द्रव्यमान $m$ उसके आयतन के समानुपाती होता है,जो उसकी त्रिज्या $R$ के घन के समानुपाती होता है।
$m \propto R^3 \implies \frac{m_2}{m_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3$
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{R_2}{R_1} = \frac{2}{1}$ होगा।
इस मान को वेग अनुपात के समीकरण में रखने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = \frac{8}{1}$.
अतः,उनके वेगों का अनुपात $8:1$ है।

(B) नाभिकीय बल एक लघु-परास बल है, जो आमतौर पर कुछ $fm$ $(1 \, fm = 10^{-15} \, m)$ की सीमा के भीतर प्रभावी होता है।
जबकि, विद्युत-चुंबकीय बल एक दीर्घ-परास बल है जो व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करता है।
यहाँ दी गई दूरी $10 \, nm = 10 \times 10^{-9} \, m = 10^{-8} \, m$ है।
चूंकि $10^{-8} \, m$ नाभिकीय बल की सीमा $(\, 10^{-15} \, m)$ से बहुत अधिक है, इसलिए इस दूरी पर नाभिकीय बल $F_{n}$ प्रभावी रूप से शून्य होता है।
अतः, विद्युत-चुंबकीय बल $F_{e}$ नाभिकीय बल $F_{n}$ की तुलना में काफी अधिक है, अर्थात $F_{e} \gg F_{n}$।

(C) कण भौतिकी के संदर्भ में,बेरियन तीन क्वार्क से बने मिश्रित कण होते हैं। सभी बेरियन में से,प्रोटॉन मुक्त अंतरिक्ष में एकमात्र स्थिर कण है। हालांकि न्यूट्रॉन परमाणु के नाभिक के भीतर बंधे होने पर स्थिर होता है,लेकिन यह मुक्त अवस्था में अस्थिर होता है और लगभग $880 \ s$ के औसत जीवनकाल के साथ प्रोटॉन,इलेक्ट्रॉन और एंटीन्यूट्रिनो में क्षय हो जाता है। इसलिए,प्रोटॉन सबसे स्थिर बेरियन है।

(C) हैड्रोन उप-परमाणु कण हैं जो प्रबल बल (strong force) द्वारा एक साथ बंधे क्वार्क से बने होते हैं। इन्हें मुख्य रूप से दो श्रेणियों में वर्गीकृत किया गया है: बेरियन और मेसन।
बेरियन $3$ क्वार्क से बने होते हैं (उदाहरण के लिए,प्रोटॉन और न्यूट्रॉन)।
मेसन एक क्वार्क और एक एंटीक्वार्क के जोड़े से बने होते हैं।
इसलिए,क्वार्क मॉडल के अनुसार,सभी हैड्रोन का निर्माण $3$ क्वार्क और $3$ एंटीक्वार्क का उपयोग करके किया जा सकता है।

(D) न्यूक्लियॉन के एक युग्म की स्थितिज ऊर्जा $U$ और उनके पृथक्करण $r$ के बीच का ग्राफ एक गहरे विभव कूप (potential well) द्वारा दर्शाया जाता है।
पृथक्करण $r < r_{0}$ (जहाँ $r_{0} \approx 0.8 \ \text{fm}$) के लिए, नाभिकीय बल अत्यधिक प्रतिकर्षी होता है, जिससे स्थितिज ऊर्जा तेजी से बढ़ती है।
पृथक्करण $r > r_{0}$ के लिए, नाभिकीय बल आकर्षक होता है, और जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है, स्थितिज ऊर्जा शून्य की ओर बढ़ती है।
न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा संतुलन पृथक्करण $r_{0}$ पर होती है, जहाँ न्यूक्लियॉन के बीच का कुल बल शून्य होता है।
ग्राफ $D$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है, जिसमें $U$, $\text{MeV}$ में और $r$, $\text{fm}$ में है।

(D) नाभिकीय बल एक लघु-परास (short-range) बल है जो प्रभावी रूप से केवल लगभग $1 \ fm$ से $3 \ fm$ $(1 \ fm = 10^{-15} \ m)$ की सीमा के भीतर कार्य करता है।
यहाँ दो प्रोटॉन के बीच की दूरी $10 \ nm = 10 \times 10^{-9} \ m = 10^{-8} \ m$ दी गई है।
चूंकि $10^{-8} \ m$,नाभिकीय बल की सीमा $(10^{-15} \ m)$ से बहुत अधिक है,इसलिए इस दूरी पर नाभिकीय बल $F_n$ नगण्य है।
हालाँकि,विद्युत-चुंबकीय बल $F_e$ (कूलम्ब बल) व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करता है और लंबी दूरी तक कार्य करता है।
इसलिए,$10 \ nm$ की दूरी पर,विद्युत-चुंबकीय बल नाभिकीय बल की तुलना में काफी अधिक होता है,अर्थात $F_e \gg F_n$।

(B) पैकिंग अंश $(f)$ को प्रति न्यूक्लियॉन द्रव्यमान क्षति के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसे $f = \frac{m - A}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ नाभिक का द्रव्यमान है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
पैकिंग अंश नाभिक की स्थिरता का एक माप है।
पैकिंग अंश का मान जितना छोटा (या अधिक ऋणात्मक) होता है,नाभिक की स्थिरता उतनी ही अधिक होती है।
नाभिक की द्रव्यमान संख्या के आधार पर पैकिंग अंश धनात्मक,ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
अतः,यह कथन कि पैकिंग अंश धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है,सही है।

(D) $1$. समस्थानिक: समान परमाणु क्रमांक $(Z)$ लेकिन अलग द्रव्यमान संख्या $(A)$ वाले परमाणु। उदाहरण: $_1H^1$ और $_1H^2$ में $Z=1$ है। अतः,$A-iii$.
$2$. समभारिक: समान द्रव्यमान संख्या $(A)$ लेकिन अलग परमाणु क्रमांक $(Z)$ वाले परमाणु। उदाहरण: $Li^7$ और $Be^7$ दोनों में $A=7$ है। अतः,$B-i$.
$3$. समन्यूट्रॉनिक: समान न्यूट्रॉन संख्या $(N = A-Z)$ वाले परमाणु। $_8O^{18}$ के लिए,$N = 18-8 = 10$। $_9F^{19}$ के लिए,$N = 19-9 = 10$। अतः,$C-ii$.
इसलिए,सही मिलान $A-iii, B-i, C-ii$ है।

(C) प्रबल नाभिकीय बल हमेशा आकर्षक नहीं होता है। यह $0.8 \ fm$ से अधिक दूरी पर प्रबल रूप से आकर्षक होता है और नाभिक के पतन (collapse) को रोकने के लिए $0.8 \ fm$ से कम दूरी पर यह प्रबल रूप से प्रतिकर्षी हो जाता है। इसलिए,यह कथन कि 'नाभिकीय बल हमेशा आकर्षक होता है' गलत है।

(B) नाभिक की त्रिज्या का सूत्र $R = R_{0} A^{1/3}$ है,जहाँ $R_{0} = 1.2 \times 10^{-15} \ m$ और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
${ }_{29} Cu^{64}$ के लिए,द्रव्यमान संख्या $A = 64$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times (64)^{1/3} \ m$
चूंकि $(64)^{1/3} = 4$,इसलिए:
$R = 1.2 \times 4 \times 10^{-15} \ m$
$R = 4.8 \times 10^{-15} \ m$
चूंकि $1 \ \text{Fermi} = 10^{-15} \ m$,इसलिए त्रिज्या $4.8 \ \text{Fermi}$ है।

(C) नाभिकीय बल $F_{n}$ एक लघु-परास बल है जो केवल लगभग $10^{-15} \text{ m}$ (या $1 \text{ fm}$) की सीमा के भीतर ही प्रभावी रूप से कार्य करता है।
इस दूरी से परे,नाभिकीय बल तेजी से घटता है और नगण्य हो जाता है।
दी गई दूरी $40 \text{ Å} = 40 \times 10^{-10} \text{ m} = 4 \times 10^{-9} \text{ m}$ है।
चूंकि $4 \times 10^{-9} \text{ m} \gg 10^{-15} \text{ m}$ है,इसलिए इस दूरी पर नाभिकीय बल $F_{n}$ शून्य के बराबर है।
हालाँकि,स्थिर-वैद्युत बल $F_{e}$ व्युत्क्रम-वर्ग नियम $(F_{e} \propto 1/r^2)$ का पालन करता है और इस दूरी पर भी महत्वपूर्ण बना रहता है।
इसलिए,$F_{n} \ll F_{e}$.

(C) नाभिकीय त्रिज्या $R$ को सूत्र $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $R_0$ एक स्थिरांक है।
दी गई द्रव्यमान संख्याएँ $A_1 = 216$ और $A_2 = 125$ हैं।
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 (A_1)^{1/3}}{R_0 (A_2)^{1/3}}$ है।
मान रखने पर,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{(216)^{1/3}}{(125)^{1/3}}$.
चूँकि $216 = 6^3$ और $125 = 5^3$ है,इसलिए $\frac{R_1}{R_2} = \frac{6}{5}$ या $6:5$ प्राप्त होता है।

(C) बेरियन तीन क्वार्क (quarks) से बने उप-परमाणु कणों का एक परिवार है।
सभी बेरियन में,प्रोटॉन एकमात्र ऐसा स्थिर कण है जो अन्य कणों में विघटित नहीं होता है।
जबकि मुक्त न्यूट्रॉन लगभग $880 \ s$ के औसत जीवनकाल के साथ प्रोटॉन,इलेक्ट्रॉन और एंटीन्यूट्रिनो में विघटित हो जाता है,प्रोटॉन को $10^{34}$ वर्षों से अधिक के जीवनकाल के साथ स्थिर माना जाता है।
इसलिए,बेरियन समूह में प्रोटॉन सबसे स्थिर कण है।

(A) नाभिक की त्रिज्या $R = R_{0} A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_{0} \approx 1.2 \times 10^{-15} \text{ m}$ है।
नाभिक का आयतन $(V)$ गोले के आयतन के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$।
$R$ के व्यंजक को आयतन के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{4}{3} \pi (R_{0} A^{1/3})^{3}$
$V = \frac{4}{3} \pi R_{0}^{3} A$
चूंकि $\frac{4}{3}$,$\pi$,और $R_{0}^{3}$ स्थिरांक हैं,इसलिए $V \propto A$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभिक का आयतन उसकी द्रव्यमान संख्या $A$ के सीधे आनुपातिक होता है।

(C) $barn$ नाभिकीय और कण भौतिकी में प्रयुक्त क्षेत्रफल का एक गैर-$SI$ मात्रक है,जिसका उपयोग नाभिकों और नाभिकीय अभिक्रियाओं के अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल (cross-sectional area) को व्यक्त करने के लिए किया जाता है। $1 \ barn = 10^{-28} \ m^2$। इसलिए,इसका उपयोग प्रकीर्णन अनुप्रस्थ काट (scattering cross-section) को मापने के लिए किया जाता है।

(B) नाभिक की त्रिज्या का सूत्र $R = R_0 A^{1/3}$ है,जहाँ $R_0 \approx 1.2 \times 10^{-15} \ m$ और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
दिया गया है $A = 125$।
मान रखने पर:
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times (125)^{1/3}$
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times (5^3)^{1/3}$
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times 5$
$R = 6 \times 10^{-15} \ m$.

(B) दिया गया है: परमाणु क्रमांक $Z = 50$, त्रिज्या $r = 9 \times 10^{-15} \,m$, और मूल आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$।
आवेशित गोले (नाभिक) की सतह पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r}$
चूंकि कुल आवेश $q = Z e$ है, हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$V = (9 \times 10^9) \times \frac{50 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-15}}$
$V = 9 \times 10^9 \times \frac{80 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-15}}$
$V = 10^9 \times 80 \times 10^{-19} \times 10^{15}$
$V = 80 \times 10^5 = 8 \times 10^6 \,V$
अतः, विद्युत विभव $8 \times 10^6 \,V$ है।

(A) अधिकतम स्थितिज ऊर्जा तब होती है जब दो हाइड्रोजन नाभिक (प्रोटॉन) एक-दूसरे के संपर्क में होते हैं।
दो नाभिकों के केंद्रों के बीच की दूरी $r$ उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है,अर्थात $r = 2 \times R = 2 \times 1.1 \times 10^{-15} \ m = 2.2 \times 10^{-15} \ m$.
स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ है।
मान रखने पर: $U = 9 \times 10^9 \times \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{2.2 \times 10^{-15}} \ J$.
$U = \frac{9 \times 2.56 \times 10^{-29} \times 10^9}{2.2 \times 10^{-15}} = \frac{23.04 \times 10^{-20}}{2.2 \times 10^{-15}} \approx 10.47 \times 10^{-5} \ J$.
$MeV$ में बदलने के लिए,$1.6 \times 10^{-13} \ J/MeV$ से विभाजित करने पर:
$U = \frac{10.47 \times 10^{-5}}{1.6 \times 10^{-13}} \approx 6.54 \times 10^7 \ eV = 0.65 \ MeV$.

(A) प्रकृति में चार मूलभूत बल होते हैं: गुरुत्वाकर्षण बल,विद्युत-चुंबकीय बल,दुर्बल नाभिकीय बल और प्रबल नाभिकीय बल। इनमें से,प्रबल नाभिकीय बल सबसे शक्तिशाली बल है,जो नाभिक को एक साथ रखने के लिए न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के बीच कार्य करता है। इसलिए,प्रकृति में सबसे शक्तिशाली बल नाभिकीय बल है।

(D) प्रकृति में चार मौलिक बल होते हैं: $1$. गुरुत्वाकर्षण बल,$2$. विद्युतचुंबकीय बल,$3$. दुर्बल नाभिकीय बल,और $4$. प्रबल नाभिकीय बल।
अभिलंब बल,घर्षण बल और स्प्रिंग बल व्युत्पन्न बल हैं जो परमाणुओं और अणुओं के बीच विद्युतचुंबकीय अंतःक्रियाओं से उत्पन्न होते हैं। इसलिए,दिए गए विकल्पों में से प्रबल नाभिकीय बल ही एकमात्र मौलिक बल है।

(B) दुर्बल नाभिकीय बल एक मौलिक अन्योन्यक्रिया है जो रेडियोधर्मी क्षय की कुछ प्रक्रियाओं के दौरान होती है,जैसे कि बीटा क्षय। यह प्राथमिक कणों के बीच कार्य करता है,विशेष रूप से क्वार्क और लेप्टॉन जैसे भारी प्राथमिक कणों के बीच,जो इन क्षय प्रक्रियाओं में शामिल होते हैं। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) द्रव्यमान संख्या $A$ वाले नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $R_0 \approx 1.2 fm = 1.2 \times 10^{-15} m$ है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ है।
नाभिक का द्रव्यमान लगभग $M = A \times m_p$ है, जहाँ $m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} kg$ प्रोटॉन का द्रव्यमान है।
घनत्व $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \times m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\rho = \frac{1.67 \times 10^{-27}}{\frac{4}{3} \times 3.14 \times (1.2 \times 10^{-15})^3} \approx 2.3 \times 10^{17} kg m^{-3}$।
अतः, घनत्व की कोटि $10^{17} kg m^{-3}$ है।

(A) नाभिक का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ सूत्र $S = 4\pi R^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $R$ नाभिक की त्रिज्या है।
यह ज्ञात है कि त्रिज्या $R$, द्रव्यमान संख्या $A$ के घनमूल के समानुपाती होती है, अर्थात $R = R_0 A^{1/3}$।
इसलिए, पृष्ठीय क्षेत्रफल $S \propto R^2 \propto (A^{1/3})^2 = A^{2/3}$।
पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात $S_1/S_2 = 9/49$ दिया गया है।
चूँकि $S_1/S_2 = (A_1/A_2)^{2/3}$, इसलिए $(A_1/A_2)^{2/3} = 9/49$।
दोनों पक्षों की घात $3/2$ लेने पर: $A_1/A_2 = (9/49)^{3/2} = ( (3/7)^2 )^{3/2} = (3/7)^3$।
मान की गणना करने पर: $A_1/A_2 = 27/343$।
अतः, उनकी द्रव्यमान संख्याओं का अनुपात $27 : 343$ है।

(A) नाभिक का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$,$S = 4\pi R^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ नाभिक की त्रिज्या है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल का दिया गया अनुपात: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{9}{25}$.
वर्गमूल लेने पर,त्रिज्या का अनुपात प्राप्त होता है: $\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
नाभिक की त्रिज्या $R$ उसकी द्रव्यमान संख्या $A$ से $R = R_0 A^{1/3}$ सूत्र द्वारा संबंधित है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है।
इसलिए,$\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^{1/3}$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
त्रिज्या का अनुपात प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125}$.
अतः,द्रव्यमान संख्याओं का अनुपात $27: 125$ है।

(A) नाभिक की त्रिज्या $R$ और उसकी द्रव्यमान संख्या $A$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$R = R_0 A^{1/3} \dots(1)$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(R) = \ln(R_0 A^{1/3}) = \ln(R_0) + \frac{1}{3} \ln(A)$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\ln(R) - \ln(R_0) = \frac{1}{3} \ln(A)$
$\ln \left(\frac{R}{R_0}\right) = \frac{1}{3} \ln(A)$
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जहाँ $y = \ln \left(\frac{R}{R_0}\right)$,$x = \ln(A)$ और ढाल $m = \frac{1}{3}$ है।
चूंकि यह एक रैखिक समीकरण है,इसलिए इसका ग्राफ एक सीधी रेखा होगा।

(D) परमाणु नाभिक की त्रिज्या $R$ और उसकी द्रव्यमान संख्या $A$ के बीच संबंध $R = R_0 A^{1/3}$ होता है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है।
इसका अर्थ है कि $R \propto A^{1/3}$ या $A \propto R^3$.
प्रथम नाभिक के लिए दिया गया है: $A_1 = 64$ और $R_1 = 4.8 \text{ fermi}$.
दूसरे नाभिक के लिए: $R_2 = 6 \text{ fermi}$ और हमें $A_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3$.
मान रखने पर: $\frac{A_2}{64} = \left(\frac{6}{4.8}\right)^3$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{6}{4.8} = \frac{60}{48} = \frac{5}{4} = 1.25$.
अतः,$A_2 = 64 \times (1.25)^3 = 64 \times \frac{125}{64} = 125$.

(A) हम जानते हैं कि नाभिक की त्रिज्या $(R)$ का संबंध है: $R = R_0 A^{1/3}$,जिसका अर्थ है $R \propto A^{1/3}$।
यहाँ,$R_0$ एक स्थिरांक है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
नाभिकीय घनत्व $(\rho)$ द्रव्यमान और आयतन का अनुपात है: $\rho = \frac{\text{mass}}{\text{volume}} = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R^3}$,जहाँ $m$ एक न्यूक्लियॉन का द्रव्यमान है।
$R = R_0 A^{1/3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\rho = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3} = \frac{3m}{4 \pi R_0^3}$।
अतः,नाभिकीय घनत्व $\rho$ द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है।
अन्य विकल्पों के लिए: बंधन ऊर्जा $E = \Delta m c^2$,इसलिए $E \propto \Delta m$ (सीधे समानुपाती,व्युत्क्रमानुपाती नहीं)।
भारी नाभिकों के हल्के नाभिकों में रूपांतरण के दौरान ऊर्जा मुक्त होती है।

(C) नाभिक का आयतन $V$ उसकी द्रव्यमान संख्या $A$ के सीधे समानुपाती होता है,जिसे संबंध $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R = R_0 A^{1/3}$ है।
अतः,$V = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$,जिसका अर्थ है कि $V \propto A$ है।
दिया गया है कि $A_2 = 3 A_1$,इसलिए आयतन का अनुपात:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{A_1}{A_2} = \frac{A_1}{3 A_1} = \frac{1}{3}$.

(D) नाभिकीय घनत्व को नाभिक के द्रव्यमान और उसके आयतन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
द्रव्यमान संख्या $A$ वाले नाभिक का द्रव्यमान $M = A \cdot m$ होता है,जहाँ $m$ न्यूक्लियॉन का औसत द्रव्यमान है $(m \approx 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg})$।
नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ होती है,जहाँ $R_0 \approx 1.2 \times 10^{-15} \text{ m}$ है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ है।
नाभिकीय घनत्व $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \cdot m}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3m}{4 \pi R_0^3}$ है।
चूंकि $\rho$ द्रव्यमान संख्या $A$ पर निर्भर नहीं करता है,इसलिए यह सभी नाभिकों के लिए स्थिर रहता है।
मान रखने पर,$\rho \approx 2.3 \times 10^{17} \text{ kg m}^{-3}$ से $3.0 \times 10^{17} \text{ kg m}^{-3}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही परिमाण का क्रम $10^{17} \text{ kg m}^{-3}$ है।

(A) नाभिक की त्रिज्या का संबंध $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ न्यूक्लियॉन की संख्या है।
इसलिए,दो नाभिकों की त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^{1/3}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $R_{Ge} = 2 R_{Be}$ और $A_{Be} = 9$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 = \left(\frac{A_{Ge}}{9}\right)^{1/3}$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है $2^3 = \frac{A_{Ge}}{9}$.
$8 = \frac{A_{Ge}}{9}$.
$A_{Ge} = 8 \times 9 = 72$.
अतः,जर्मेनियम में न्यूक्लियॉन की संख्या $72$ है।

(C) मान लीजिए कि मूल नाभिक ${ }_Z^A X$ है। $2$ अल्फा कणों $({ }_2^4 He)$ को खोने के बाद,नए नाभिक $R$ की परमाणु द्रव्यमान संख्या $A' = A - 2 \times 4 = A - 8$ होगी।
यह दिया गया है कि नए नाभिक $R$ का आयतन अल्फा कण $({ }_2^4 He)$ के आयतन का $60$ गुना है:
नाभिक का आयतन $\propto$ (द्रव्यमान संख्या $A$)
$\Rightarrow V_R = 60 \times V_{\alpha}$
चूंकि $V \propto A$,इसलिए $A' = 60 \times 4$ होगा।
$A' = A - 8$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A - 8 = 240$
$A = 248$.

(C) परमाणु स्तर पर,प्रकृति में मूलभूत बलों की सापेक्ष प्रबलता का क्रम इस प्रकार है:
प्रबल नाभिकीय बल $>$ विद्युतचुंबकीय बल $>$ दुर्बल नाभिकीय बल $>$ गुरुत्वाकर्षण बल।
अतः,परमाणु स्तर पर गुरुत्वाकर्षण बल प्रकृति में सबसे दुर्बल बल है।