Magnetic Moment of Current Carrying Coil Questions in Gujarati

(A) ધારો કે ગોલીય કવચ પર ભ્રમણની ધરી સાથે $\theta$ ખૂણે $Rd\theta$ પહોળાઈ ધરાવતી એક પાતળી રીંગ છે.
આ રીંગની ત્રિજ્યા $r = R \sin \theta$ છે.
આ રીંગનું ક્ષેત્રફળ $dA = (2\pi r)(Rd\theta) = 2\pi R^2 \sin \theta d\theta$ છે.
કવચનું કુલ પૃષ્ઠફળ $A = 4\pi R^2$ છે.
આ રીંગ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = Q \cdot \frac{dA}{A} = \frac{Q}{2} \sin \theta d\theta$ છે.
આ ફરતી રીંગ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $dI = \frac{dq \cdot \omega}{2\pi} = \frac{Q \omega}{4\pi} \sin \theta d\theta$ છે.
આ રીંગની ચુંબકીય મોમેન્ટ $d\mu = dI \cdot (\pi r^2) = \frac{Q \omega R^2}{4} \sin^3 \theta d\theta$ છે.
કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu$ મેળવવા માટે $\theta = 0$ થી $\pi$ સુધી સંકલન કરતા:
$\mu = \int_0^{\pi} \frac{Q \omega R^2}{4} \sin^3 \theta d\theta = \frac{Q \omega R^2}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3} Q \omega R^2$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ને $I = \frac{2BR}{\mu_0}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
વિદ્યુતપ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ $M = I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi R^2$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
$M$ ના સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $M = \left( \frac{2BR}{\mu_0} \right) \times (\pi R^2)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $M = \frac{2 \pi B R^3}{\mu_0}$ મળે છે.

(B) આકૃતિમાં દર્શાવેલ લૂપને બે ચોરસ પ્રવાહ લૂપથી બનેલી ગણી શકાય: એક $x-z$ સમતલમાં અને બીજી $x-y$ સમતલમાં.
દરેક લૂપના ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય $M = I \times \text{Area} = Il^2$ છે.
$x-z$ સમતલમાં રહેલી લૂપ માટે ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $y$-અક્ષની દિશામાં છે અને $x-y$ સમતલમાં રહેલી લૂપ માટે ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $z$-અક્ષની દિશામાં છે.
આ બંને ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશો એકબીજાને લંબ હોવાથી, તેમનું પરિણામી મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$M_{\text{net}} = \sqrt{M_1^2 + M_2^2} = \sqrt{(Il^2)^2 + (Il^2)^2} = \sqrt{2} Il^2$.

(N/A) સોલેનોઇડમાં આંટાની સંખ્યા,$n = 800$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 2.5 \times 10^{-4} \; m^2$.
સોલેનોઇડમાં વહેતો પ્રવાહ,$I = 3.0 \; A$.
વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત સોલેનોઇડ ગજિયા ચુંબક તરીકે વર્તે છે કારણ કે તેની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય છે,જે ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ જેવું જ હોય છે.
સોલેનોઇડ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M)$ શોધવાનું સૂત્ર: $M = nIA$.
કિંમતો મૂકતા: $M = 800 \times 3.0 \times 2.5 \times 10^{-4}$.
$M = 2400 \times 2.5 \times 10^{-4} = 6000 \times 10^{-4} = 0.6 \; J \cdot T^{-1}$.

(B) સંબંધ $\vec{\mu}_{l} = -(e/2m)\vec{L}$ એ શાસ્ત્રીય પરિણામ સાથે સુસંગત છે.
તારણ:
ધારો કે $m$ દળ અને $-e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો ઇલેક્ટ્રોન $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ ઝડપથી $T$ સમયગાળામાં ગતિ કરે છે.
કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu_{l} = iA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i = -e/T$ એ પ્રવાહ છે અને $A = \pi r^2$ એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$\mu_{l} = (-e/T)(\pi r^2)$.
કક્ષીય કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $v = 2\pi r/T$,તેથી $L = m(2\pi r/T)r = 2\pi mr^2/T$.
ગુણોત્તર લેતા,$\mu_{l}/L = [(-e/T)(\pi r^2)] / [2\pi mr^2/T] = -e/2m$.
તેથી,$\vec{\mu}_{l} = -(e/2m)\vec{L}$.
આ દર્શાવે છે કે $\vec{\mu}_{l}$ અને $\vec{L}$ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં (antiparallel) છે. સ્પિન માટેનો સંબંધ $\mu_{s} = -(e/m)S$ એ સંપૂર્ણપણે ક્વોન્ટમ મિકેનિકલ છે અને તેની કોઈ શાસ્ત્રીય સમાનતા નથી.

(N/A) વર્તુળાકાર વિદ્યુતપ્રવાહધારિત લૂપને કારણે ઉદ્ભવતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ બંધ ગાળાઓ બનાવે છે, જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
"તમારા જમણા હાથની આંગળીઓને વર્તુળાકાર તારની આસપાસ એવી રીતે વાળો કે જેથી આંગળીઓ વિદ્યુતપ્રવાહની દિશામાં રહે. આ સ્થિતિમાં જમણા હાથનો વિસ્તૃત અંગૂઠો લૂપના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા દર્શાવે છે."

(N/A) ધારો કે $a$ પહોળાઈ અને $b$ લંબાઈ ધરાવતી એક લંબચોરસ કોઈલ $ABCD$ છે, જેમાં $I$ જેટલો વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે। આ કોઈલને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ માં એવી રીતે લટકાવવામાં આવી છે કે તેની અક્ષ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રહે।
કોઈલનું ક્ષેત્રફળ $A = a b$ છે।
પ્રવાહધારિત વાહક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
બાજુઓ $AD$ અને $BC$ માટે, વિદ્યુતપ્રવાહ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર છે। તેથી, આ બાજુઓ પર લાગતું બળ $F = I L B \sin(0^{\circ}) = 0$ થાય છે।
બાજુઓ $AB$ અને $CD$ માટે, વિદ્યુતપ્રવાહ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ છે।
બાજુ $AB$ પર લાગતું બળ $\vec{F_1} = I b B \sin(90^{\circ}) = I b B$ (કાગળના સમતલની અંદરની તરફ)।
બાજુ $CD$ પર લાગતું બળ $\vec{F_2} = I b B \sin(90^{\circ}) = I b B$ (કાગળના સમતલની બહારની તરફ)।
આ બે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાના બળો $\vec{F_1}$ અને $\vec{F_2}$ એક બળયુગ્મ બનાવે છે જે લૂપ પર ટોર્ક $\tau$ લગાડે છે।
ટોર્કનું સૂત્ર $\tau = \text{બળ} \times \text{લંબ અંતર}$ છે।
$\tau = (I b B) \times (a) = I (ab) B = I A B$.
જો કોઈલના $N$ આંટા હોય, તો કુલ ટોર્ક $\tau = N I A B$ થાય છે।

(A) પ્રવાહધારિત કોઈલની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ એટલે કોઈલમાંથી વહેતો પ્રવાહ અને તે કોઈલના ક્ષેત્રફળ સદિશનો ગુણાકાર.
જો $I$ જેટલો પ્રવાહ $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી કોઈલમાંથી વહેતો હોય,તો ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{m} = I\vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો કોઈલના આંટાની સંખ્યા $N$ હોય,તો ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{m} = NI\vec{A}$ થાય છે.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટનો $SI$ એકમ $A \cdot m^2$ (એમ્પિયર-મીટર સ્ક્વેર) છે.
તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^2 T^0 A^1]$ છે.
બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં મૂકેલા ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ છે,જેનું મૂલ્ય $\tau = mB \sin \theta$ થાય છે.
સ્થાયી સંતુલન: જ્યારે ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{m}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર હોય $(\theta = 0^\circ)$,ત્યારે ટોર્ક શૂન્ય હોય છે. આ સ્થિતિમાં સ્થિતિઊર્જા લઘુત્તમ $(U = -mB)$ હોય છે,જે સ્થાયી સંતુલન દર્શાવે છે.
અસ્થાયી સંતુલન: જ્યારે ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{m}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને પ્રતિ-સમાંતર હોય $(\theta = 180^\circ)$,ત્યારે ટોર્ક શૂન્ય હોય છે. આ સ્થિતિમાં સ્થિતિઊર્જા મહત્તમ $(U = +mB)$ હોય છે,જે અસ્થાયી સંતુલન દર્શાવે છે.

(N/A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર પ્રવાહધારિત લૂપના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે તેની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(x^2 + R^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બિંદુ લૂપથી ઘણું દૂર હોય $(x \gg R)$,ત્યારે સૂત્ર સરળ બનીને $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2m}{x^3}$ થાય છે,જ્યાં $m = IA$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ માટે તેની અક્ષ પરના બિંદુએ $(x \gg a)$ ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{2p}{x^3}$ છે,જ્યાં $p$ એ ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
આ બંનેની સરખામણી કરતા જણાય છે કે ચુંબકીય ડાયપોલનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલના ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રને સમાન છે,જેમાં $\frac{1}{4\pi \epsilon_0}$ ના સ્થાને $\frac{\mu_0}{4\pi}$ અને ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ ના સ્થાને ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m$ આવે છે.

(N/A) પ્રવાહધારિત લૂપની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $(M)$ ને લૂપમાંથી વહેતા પ્રવાહ $(I)$ અને લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ $(A)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $M = I \times A$
જ્યાં:
$I$ એ એમ્પીયર $(A)$ માં પ્રવાહ છે.
$A$ એ ચોરસ મીટર $(m^2)$ માં લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટનો $SI$ એકમ એમ્પીયર-મીટર સ્ક્વેર $(A \cdot m^2)$ છે.

(A) પ્રવાહ ગાળાની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m$ એ ગાળામાંથી વહેતા વિદ્યુત પ્રવાહ $I$ અને ગાળા દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$m = I A$
જ્યાં:
$m$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે,
$I$ એ વિદ્યુત પ્રવાહ છે,
$A$ એ ગાળાનો ક્ષેત્રફળ સદિશ છે.

(N/A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો આંતરતા પ્રવાહ ધારિત ચાપને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્વાર્ટર વર્તુળ માટે,$\theta = \frac{\pi}{2}$,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B = \frac{\mu_0 I}{8 R}$ થાય છે.
$1$. $xy$-સમતલમાં રહેલા ક્વાર્ટર વર્તુળ માટે,ઉગમબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I}{8 R} \hat{k}$ છે.
$2$. $yz$-સમતલમાં રહેલા ક્વાર્ટર વર્તુળ માટે,ઉગમબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{8 R} \hat{i}$ છે.
$3$. $zx$-સમતલમાં રહેલા ક્વાર્ટર વર્તુળ માટે,ઉગમબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_3 = \frac{\mu_0 I}{8 R} \hat{j}$ છે.
ઉગમબિંદુ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ સદિશ સરવાળો છે: $\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 + \vec{B}_3 = \frac{\mu_0 I}{8 R} (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{B}| = \frac{\mu_0 I}{8 R} \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{3} \mu_0 I}{8 R}$ થાય છે.

(N/A) ગૂંચળાની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m = nIA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ પ્રવાહ છે,અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે. પ્રવાહ $I = V_{0}/R$ છે.
$(i)$ $a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે:
એક આંટાની પરિમિતિ $= 3a$.
આંટાની સંખ્યા $n = 12a / 3a = 4$.
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $m_1 = nIA = 4 \left( \frac{V_0}{R} \right) \left( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \right) = \frac{\sqrt{3} V_0 a^2}{R}$.
$(ii)$ $a$ બાજુવાળા ચોરસ માટે:
એક આંટાની પરિમિતિ $= 4a$.
આંટાની સંખ્યા $n = 12a / 4a = 3$.
ક્ષેત્રફળ $A = a^2$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $m_2 = nIA = 3 \left( \frac{V_0}{R} \right) a^2 = \frac{3 V_0 a^2}{R}$.
$(iii)$ $a$ બાજુવાળા નિયમિત ષટ્કોણ માટે:
એક આંટાની પરિમિતિ $= 6a$.
આંટાની સંખ્યા $n = 12a / 6a = 2$.
ક્ષેત્રફળ $A = 6 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $m_3 = nIA = 2 \left( \frac{V_0}{R} \right) \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \right) = \frac{3\sqrt{3} V_0 a^2}{R}$.

(A) પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M} = I\vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{A}$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ છે.
લૂપ $A, B, C, D, E, F, A$ માટે,આપણે તેને બે લૂપ $ABCD$ અને $DEFA$ તરીકે ગણી શકીએ છીએ.
લૂપ $ABCD$ ($XY$-સમતલ) ની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}_1 = I(ab)\hat{k} = abI\hat{k}$ છે.
લૂપ $DEFA$ ($XZ$-સમતલ) ની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}_2 = I(ab)\hat{j} = abI\hat{j}$ છે.
કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M} = \vec{M}_1 + \vec{M}_2 = abI(\hat{j} + \hat{k})$ છે.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{M}| = abI\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}abI$ છે.
દિશા એકમ સદિશ $\frac{\vec{M}}{|\vec{M}|} = \frac{abI(\hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{2}abI} = \left(\frac{\hat{j}}{\sqrt{2}} + \frac{\hat{k}}{\sqrt{2}}\right)$ દ્વારા મળે છે.
આમ,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\sqrt{2}abI$ છે અને તેની દિશા $\left(\frac{\hat{j}}{\sqrt{2}} + \frac{\hat{k}}{\sqrt{2}}\right)$ છે.

(D) પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણ માટે,આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi r}{v}$ છે.
સમતુલ્ય પ્રવાહ $i = \frac{q}{T} = \frac{qv}{2 \pi r}$ છે.
લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
આમ,ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય $M = iA = \left( \frac{qv}{2 \pi r} \right) \times (\pi r^2) = \frac{qvr}{2}$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે,વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
$M$ ના સમીકરણમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $M = \frac{qv}{2} \times \left( \frac{mv}{qB} \right) = \frac{mv^2}{2B}$ મળે છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા ધન વિદ્યુતભારિત કણ માટે ચુંબકીય મોમેન્ટની દિશા ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશાથી વિરુદ્ધ હોય છે. તેથી,સદિશ સ્વરૂપમાં,$\overrightarrow{M} = -\frac{mv^2}{2B} \hat{B}$ થાય.
$\hat{B} = \frac{\vec{B}}{B}$ હોવાથી,આપણને $\overrightarrow{M} = -\frac{mv^2}{2B} \left( \frac{\vec{B}}{B} \right) = -\frac{mv^2 \vec{B}}{2B^2}$ મળે છે.

(A) તારની લંબાઈ $L$ છે,જે વર્તુળાકાર લૂપનો પરિઘ બનાવે છે.
તેથી,$L = 2 \pi R$,જ્યાં $R$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
આના પરથી,ત્રિજ્યા $R = \frac{L}{2 \pi}$ થાય.
વર્તુળાકાર લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^{2} = \pi \left( \frac{L^{2}}{4 \pi^{2}} \right) = \frac{L^{2}}{4 \pi}$ મળે છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $M = I \left( \frac{L^{2}}{4 \pi} \right) = \frac{I L^{2}}{4 \pi} \; A \cdot m^{2}$ મળે છે.

(B) ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ એ પ્રવાહ $i$ અને લૂપના ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M = i A$
$f$ આવૃત્તિ સાથે ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર માટે,સમતુલ્ય પ્રવાહ $i = qf$ છે.
$\alpha$ કણ માટે,વિદ્યુતભાર $q = 2e$ છે.
આવૃત્તિ $f$ એ વેગ $v$ અને ત્રિજ્યા $r$ સાથે $f = \frac{v}{2 \pi r}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,પ્રવાહ $i = (2e) \times \left( \frac{v}{2 \pi r} \right) = \frac{ev}{\pi r}$ થાય.
વર્તુળાકાર માર્ગનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
આ કિંમતોને $M$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \left( \frac{ev}{\pi r} \right) \times (\pi r^2) = evr$.

(A) તારની કુલ લંબાઈ $L = 24a$ છે।
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે, આંટાની સંખ્યા $N_{t} = \frac{L}{3a} = \frac{24a}{3a} = 8$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_{t} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$ છે।
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{t} = N_{t} I A_{t} = 8 \times I \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2} = 2\sqrt{3} I a^{2}$ થાય।
ચોરસ માટે, આંટાની સંખ્યા $N_{s} = \frac{L}{4a} = \frac{24a}{4a} = 6$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_{s} = a^{2}$ છે।
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{s} = N_{s} I A_{s} = 6 \times I \times a^{2} = 6 I a^{2}$ થાય।
ગુણોત્તર $\frac{M_{t}}{M_{s}} = \frac{2\sqrt{3} I a^{2}}{6 I a^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે।
આને $1 : \sqrt{y}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $y = 3$ મળે છે।

(A) તારની કુલ લંબાઈ $L = 12 a$.
કિસ્સો $(i)$: $a$ બાજુ ધરાવતો સમબાજુ ત્રિકોણ.
એક આંટાની પરિમિતિ $= 3 a$.
આંટાની સંખ્યા $N_{1} = \frac{12 a}{3 a} = 4$.
એક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_{1} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu_{1} = N_{1} I A_{1} = 4 \times I \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} = \sqrt{3} I a^{2}$.
કિસ્સો $(ii)$: $a$ બાજુ ધરાવતો ચોરસ.
એક આંટાની પરિમિતિ $= 4 a$.
આંટાની સંખ્યા $N_{2} = \frac{12 a}{4 a} = 3$.
એક ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_{2} = a^{2}$.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu_{2} = N_{2} I A_{2} = 3 \times I \times a^{2} = 3 I a^{2}$.
આમ,ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\sqrt{3} I a^{2}$ અને $3 I a^{2}$ છે.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M} = I \vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{A}$ એ જમણા હાથના નિયમ મુજબ નિર્દેશિત ક્ષેત્રફળ સદિશ છે.
અંદરના લૂપ માટે (ત્રિજ્યા $r_{1} = 0.3 \, m$),પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે,તેથી $\vec{M}_{1} = I \pi r_{1}^{2} \hat{k} = 7 \times \pi \times (0.3)^{2} \hat{k} = 0.63 \pi \hat{k} \, A \cdot m^{2}$.
બહારના લૂપ માટે (ત્રિજ્યા $r_{2} = 0.5 \, m$),પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વહે છે,તેથી $\vec{M}_{2} = -I \pi r_{2}^{2} \hat{k} = -7 \times \pi \times (0.5)^{2} \hat{k} = -1.75 \pi \hat{k} \, A \cdot m^{2}$.
કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}_{net} = \vec{M}_{1} + \vec{M}_{2} = (0.63 \pi - 1.75 \pi) \hat{k} = -1.12 \pi \hat{k} \, A \cdot m^{2}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા,$\vec{M}_{net} = -1.12 \times \frac{22}{7} \hat{k} = -0.16 \times 22 \hat{k} = -3.52 \hat{k} \, A \cdot m^{2}$.
આ કિંમત આશરે $-\frac{7}{2} \hat{k} \, A \cdot m^{2}$ જેટલી થાય છે.

(B) તારની લંબાઈ $L = 314 \, cm = 3.14 \, m$ છે.
જ્યારે તારને $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે પરિઘ $2 \pi R = L$ થાય છે.
$2 \times 3.14 \times R = 3.14 \implies R = 0.5 \, m$.
ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2 = 3.14 \times (0.5)^2 = 3.14 \times 0.25 = 0.785 \, m^2$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M = 14 \, A \times 0.785 \, m^2 = 10.99 \, A \cdot m^2$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $M \approx 11 \, A \cdot m^2$ મળે છે.

(A) તકતી પર $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતી એક નાની રીંગનો વિચાર કરો.
આ રીંગનું ક્ષેત્રફળ $dA = 2\pi r dr$ છે.
આ રીંગ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \sigma dA = \frac{q}{\pi R^2} (2\pi r dr) = \frac{2q}{R^2} r dr$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
આ ફરતી રીંગ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $dI = \frac{dq}{T} = \frac{dq \omega}{2\pi} = \frac{q \omega}{\pi R^2} r dr$ છે.
આ રીંગની ચુંબકીય મોમેન્ટ $d\mu = dI \cdot A = (\frac{q \omega}{\pi R^2} r dr) (\pi r^2) = \frac{q \omega}{R^2} r^3 dr$ છે.
$0$ થી $R$ સુધી સંકલન કરતા,કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = \int_0^R \frac{q \omega}{R^2} r^3 dr = \frac{q \omega}{R^2} [\frac{r^4}{4}]_0^R = \frac{1}{4} q \omega R^2$ મળે છે.
તકતીનું કોણીય વેગમાન $L = I \omega = (\frac{1}{2} M R^2) \omega$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ અને કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{\mu}{L} = \frac{\frac{1}{4} q \omega R^2}{\frac{1}{2} M R^2 \omega} = \frac{q}{2M}$ થાય છે.

(B) પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu$ એ પ્રવાહ $i$ અને લૂપના ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. કક્ષામાં ફરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $i = q \cdot f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ છે.
$2$. આપેલ છે કે ઇલેક્ટ્રોન પ્રતિ સેકન્ડ $n$ પરિભ્રમણ કરે છે,તેથી આવૃત્તિ $f = n$. આમ,$i = e \cdot n$.
$3$. $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
$4$. ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = i \cdot A = (e n)(\pi r^2) = \pi n e r^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) વર્તુળાકાર કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = NIA$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા,$I$ એ પ્રવાહ અને $A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે કોઈલ $A$ અને $B$ ની ચુંબકીય મોમેન્ટ સમાન છે,તેથી $M_A = M_B$.
સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે $N_A I_A A_A = N_B I_B A_B$.
વર્તુળાકાર કોઈલનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે. તેથી,$A_A = \pi (r_A)^2$ અને $A_B = \pi (r_B)^2$.
કિંમતો $r_A = 10 \ cm = 0.1 \ m$ અને $r_B = 20 \ cm = 0.2 \ m$ મૂકતા:
$N_A I_A \pi (0.1)^2 = N_B I_B \pi (0.2)^2$
$N_A I_A (0.01) = N_B I_B (0.04)$
બંને બાજુ $0.01$ વડે ભાગતા,આપણને $N_A I_A = 4 N_B I_B$ મળે છે.

(C) વિદ્યુતપ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{\mu} = I \vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{A}$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ છે.
આકૃતિ પરથી,લૂપમાં $a$ બાજુવાળો એક મધ્યવર્તી ચોરસ અને તેની બાજુઓ પર જોડાયેલા $a$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $r = a/2$) વાળા ચાર અર્ધવર્તુળોનો સમાવેશ થાય છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ ચોરસ અને ચાર અર્ધવર્તુળોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે:
$A = a^2 + 4 \times \left( \frac{1}{2} \pi r^2 \right) = a^2 + 2 \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 = a^2 + 2 \pi \left( \frac{a^2}{4} \right) = a^2 + \frac{\pi a^2}{2} = a^2 \left( 1 + \frac{\pi}{2} \right)$.
ચુંબકીય પ્રવાહ $I$ એ $x$-$y$ સમતલમાં ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વહેતો હોવાથી,જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ સમતલની અંદરની તરફ,એટલે કે $-\hat{k}$ દિશામાં નિર્દેશ કરે છે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{\mu} = I \vec{A} = -I a^2 \left( 1 + \frac{\pi}{2} \right) \hat{k} = -\left( 1 + \frac{\pi}{2} \right) a^2 I \hat{k}$ થાય.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતી કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = I \cdot A$ છે,જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
કોઈલ વર્તુળાકાર હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ થાય,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \cdot \pi r^2$ થાય.
સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અને $r_1$ તથા $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બે કોઈલ માટે,તેમની ચુંબકીય મોમેન્ટનો ગુણોત્તર:
$\frac{M_1}{M_2} = \frac{I \cdot \pi r_1^2}{I \cdot \pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$ આપેલ હોવાથી,કિંમત મૂકતા:
$\frac{M_1}{M_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
આમ,તેમની ચુંબકીય મોમેન્ટનો ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(C) આપેલ પ્રવાહ વિતરણ $xy$-સમતલ અને $yz$-સમતલમાં $a$ બાજુવાળા બે ચોરસ લૂપનું બનેલું છે.
પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M} = I\vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{A}$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ છે.
$xy$-સમતલમાં રહેલા લૂપ માટે,ક્ષેત્રફળ સદિશ $z$-અક્ષની દિશામાં હોય છે,એટલે કે $\vec{M}_1 = Ia^2 \hat{k}$.
$yz$-સમતલમાં રહેલા લૂપ માટે,ક્ષેત્રફળ સદિશ $x$-અક્ષની દિશામાં હોય છે,એટલે કે $\vec{M}_2 = Ia^2 \hat{i}$.
આકૃતિના અવલોકન પરથી,જો લૂપ $xz$ અને $yz$ સમતલમાં હોય,તો કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}_{net} = Ia^2(\hat{i} + \hat{j})$ મળે છે.

(A) ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ પ્રવાહ $I$ અને લૂપના ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$M = I \times A$
અહીં,પ્રવાહ $I$ નું પરિમાણ $[A^1]$ છે અને ક્ષેત્રફળ $A$ નું પરિમાણ $[L^2]$ છે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^2 T^0 A^1]$ છે.

(A) ભ્રમણની અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે ગોળાના એક પાતળા રીંગ જેવા ઘટકને ધ્યાનમાં લો,જેની પહોળાઈ $R d\theta$ અને ત્રિજ્યા $r = R \sin \theta$ છે.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{Q}{4 \pi R^2}$ છે.
આ રીંગ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \sigma (2 \pi r) (R d\theta) = \sigma (2 \pi R \sin \theta) (R d\theta) = 2 \pi \sigma R^2 \sin \theta d\theta$ છે.
આ ભ્રમણ કરતી રીંગ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $dI = \frac{dq}{T} = \frac{dq \omega}{2 \pi} = \sigma R^2 \omega \sin \theta d\theta$ છે.
આ રીંગની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $d\mu = dI \cdot A = (\sigma R^2 \omega \sin \theta d\theta) (\pi r^2) = \sigma R^2 \omega \sin \theta d\theta (\pi R^2 \sin^2 \theta) = \pi \sigma R^4 \omega \sin^3 \theta d\theta$ છે.
કુલ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu = \int_0^{\pi} \pi \sigma R^4 \omega \sin^3 \theta d\theta = \pi \sigma R^4 \omega \int_0^{\pi} \sin^3 \theta d\theta$ છે.
$\int_0^{\pi} \sin^3 \theta d\theta = \frac{4}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\mu = \pi \left( \frac{Q}{4 \pi R^2} \right) R^4 \omega \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{Q R^2 \omega}{3}$ મળે છે.
ઘન ગોળાનું કોણીય વેગમાન $L = I \omega = (\frac{2}{5} M R^2) \omega$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{\mu}{L} = \frac{Q R^2 \omega / 3}{(2/5) M R^2 \omega} = \frac{Q}{2M} \left( \frac{5}{3} \right)$ છે.
આમ,$\alpha = \frac{5}{3} \approx 1.67$.

(C) પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I = qf$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $(1.6 \times 10^{-19} \text{ C})$ છે અને $f$ એ આવૃત્તિ $(6.6 \times 10^{15} \text{ rev } s^{-1})$ છે.
$I = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (6.6 \times 10^{15} \text{ s}^{-1}) = 1.056 \times 10^{-3} \text{ A} \approx 1.06 \times 10^{-3} \text{ A}$.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે,જ્યાં $R = 0.528 \text{ Å} = 0.528 \times 10^{-10} \text{ m}$.
$A = 3.142 \times (0.528 \times 10^{-10} \text{ m})^2 = 3.142 \times 0.2788 \times 10^{-20} \text{ m}^2 \approx 0.876 \times 10^{-20} \text{ m}^2$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M = (1.06 \times 10^{-3} \text{ A}) \times (0.876 \times 10^{-20} \text{ m}^2) \approx 0.928 \times 10^{-23} \text{ A-m}^2$.
આશરે કિંમત લેતા,$M \approx 1 \times 10^{-23} \text{ A-m}^2$ મળે છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $e$ વીજભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ પ્રવાહ $i$ ને વીજભારના વહનનો દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$i = \frac{q}{T}$
અહીં,$q = e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે.
સમયગાળો $T$ એ $v$ ઝડપ સાથે $2 \pi r$ પરિઘ ધરાવતી વર્તુળાકાર કક્ષામાં એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય છે.
$T = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{2 \pi r}{v}$
પ્રવાહના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$i = \frac{e}{(2 \pi r / v)} = \frac{e v}{2 \pi r}$

(C) પ્રવાહ $I$ ને વિદ્યુતભારના વહનનો દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $I = \frac{q}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $T$ એ પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ છે.
$r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ કક્ષીય વેગ સાથે ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર પરિઘ $2 \pi r$ જેટલું હોય છે.
આમ,આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2 \pi r}{v}$ દ્વારા મળે છે.
આ કિંમતને પ્રવાહના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = \frac{e}{T} = \frac{e}{(2 \pi r / v)} = \frac{ev}{2 \pi r}$.
અહીં $2 \pi$ અચળ હોવાથી,આપણને $I \propto e^{1} v^{1} r^{-1}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત કોઈલને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$
જ્યાં $\vec{M}$ એ કોઈલની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટને $\vec{M} = n i \vec{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $\vec{A}$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ છે.
આ કિંમતને ટોર્કના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{\tau} = (n i \vec{A}) \times \vec{B}$
$\vec{\tau} = n i (\vec{A} \times \vec{B})$
આમ,ટોર્કનું મૂલ્ય અને દિશા એ ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.

(B) ધારો કે ધાતુના તારની લંબાઈ $l$ છે.
જ્યારે તારને $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ગૂંચળામાં વાળવામાં આવે,ત્યારે પરિઘ $2 \pi r = l$ થાય,તેથી $r = \frac{l}{2 \pi}$.
વર્તુળાકાર ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A_c = \pi r^2 = \pi \left( \frac{l}{2 \pi} \right)^2 = \frac{l^2}{4 \pi}$ છે.
વર્તુળાકાર ગૂંચળાની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu_c = i A_c = i \frac{l^2}{4 \pi}$ છે.
જ્યારે તે જ તારને ચોરસ ગૂંચળામાં વાળવામાં આવે,ત્યારે પરિમિતિ $4a = l$ થાય,તેથી બાજુની લંબાઈ $a = \frac{l}{4}$ છે.
ચોરસ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A_s = a^2 = \left( \frac{l}{4} \right)^2 = \frac{l^2}{16}$ છે.
ચોરસ ગૂંચળાની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu_s = i A_s = i \frac{l^2}{16}$ છે.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટનો ગુણોત્તર $\frac{\mu_c}{\mu_s} = \frac{i l^2 / 4 \pi}{i l^2 / 16} = \frac{16}{4 \pi} = \frac{4}{\pi}$ થાય.

(D) ધારો કે ધાતુના તારની લંબાઈ $l$ છે.
જ્યારે તારને $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ગૂંચળામાં વાળવામાં આવે,ત્યારે પરિઘ $2\pi r = l$ થાય,તેથી $r = \frac{l}{2\pi}$.
વર્તુળાકાર ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A_c = \pi r^2 = \pi \left(\frac{l}{2\pi}\right)^2 = \frac{l^2}{4\pi}$ છે.
વર્તુળાકાર ગૂંચળા માટે ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu_c = i A_c = \frac{i l^2}{4\pi}$ થાય.
જ્યારે તારને ચોરસ ગૂંચળામાં વાળવામાં આવે,ત્યારે પરિમિતિ $4a = l$ થાય,તેથી બાજુની લંબાઈ $a = \frac{l}{4}$ છે.
ચોરસ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A_s = a^2 = \left(\frac{l}{4}\right)^2 = \frac{l^2}{16}$ છે.
ચોરસ ગૂંચળા માટે ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu_s = i A_s = \frac{i l^2}{16}$ થાય.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટનો ગુણોત્તર $\frac{\mu_c}{\mu_s} = \frac{i l^2 / 4\pi}{i l^2 / 16} = \frac{16}{4\pi} = \frac{4}{\pi}$ મળે.

(B) ધારો કે તારની લંબાઈ $l$ છે.
વર્તુળાકાર લૂપ માટે,પરિઘ $2 \pi r = l$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{l}{2 \pi}$.
વર્તુળાકાર લૂપની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M_{1} = i A_{1} = i \pi r^{2}$ છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $M_{1} = i \pi \left(\frac{l}{2 \pi}\right)^{2} = \frac{i l^{2}}{4 \pi}$ મળે છે.
ચોરસ લૂપ માટે,પરિમિતિ $4 a = l$ છે,તેથી બાજુની લંબાઈ $a = \frac{l}{4}$.
ચોરસ લૂપની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M_{2} = i A_{2} = i a^{2}$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $M_{2} = i \left(\frac{l}{4}\right)^{2} = \frac{i l^{2}}{16}$ મળે છે.
ડાયપોલ મોમેન્ટનો ગુણોત્તર $\frac{M_{1}}{M_{2}} = \frac{i l^{2} / 4 \pi}{i l^{2} / 16} = \frac{16}{4 \pi} = \frac{4}{\pi}$ છે.

(B) વર્તુળાકાર વિદ્યુતપ્રવાહ લૂપની અક્ષ પર મોટા અંતર $r$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ ચુંબકીય ડાયપોલના ક્ષેત્રને સમાન છે.
$n$ આંટા,$A$ ક્ષેત્રફળ અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતી કોઈલની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = n I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ અંતરે ડાયપોલની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2 M}{r^3}$ છે.
આ સૂત્રમાં $M = n I A$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2 n I A}{r^3}$.

(B) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ આપેલ હોવાથી, $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ મળે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{A/\pi}} = \frac{\mu_0 I \sqrt{\pi}}{2 \sqrt{A}}$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $I = \frac{2 B \sqrt{A}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા: $M = \left( \frac{2 B \sqrt{A}}{\mu_0 \sqrt{\pi}} \right) A = \frac{2 B A^{3/2}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$.

(C) વર્તુળાકાર ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M)$ નું સૂત્ર $M = I \cdot A$ છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળા માટે,તારની લંબાઈ $L$ એ પરિઘ જેટલી હોય છે,તેથી $L = 2\pi r$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{L}{2\pi}$.
ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{L^2}{4\pi}$ થાય.
આ કિંમતને ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા: $M = I \cdot \left(\frac{L^2}{4\pi}\right)$.
અહીં $I$ અને $4\pi$ અચળ હોવાથી,$M \propto L^2$ મળે છે.

(B) પ્રવાહ ગાળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu$ એ $\mu = IA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં '$I$' એ પ્રવાહ છે અને '$A$' એ ગાળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
'$r$' ત્રિજ્યાની કક્ષામાં '$v$' ઝડપથી ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,આવર્તકાળ '$T$' એ $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતુલ્ય પ્રવાહ '$I$' એ $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ છે.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
આ કિંમતોને ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = I \times A = \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) \times (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$.

(C) પ્રવાહધારિત ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $m = N I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે ગૂંચળા $A$ અને $B$ ની ચુંબકીય મોમેન્ટ સમાન છે,તેથી $m_A = m_B$.
તેથી,$N_A I_A A_A = N_B I_B A_B$.
ગૂંચળા વર્તુળાકાર હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ થાય. તેથી,$N_A I_A (\pi r_A^2) = N_B I_B (\pi r_B^2)$.
આપેલ ત્રિજ્યા $r_A = 10 \ cm$ અને $r_B = 20 \ cm$ મૂકતા:
$N_A I_A (10)^2 = N_B I_B (20)^2$.
$N_A I_A (100) = N_B I_B (400)$.
$N_A I_A = 4 \ N_B I_B$.

(C) ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = n I A = n I \pi R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે શરૂઆતના આંટાની સંખ્યા $n_1 = n$ અને ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે.
શરૂઆતની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu_1 = n I \pi R^2$ છે.
જ્યારે તારને ઉકેલીને ફરીથી વીંટાળવામાં આવે છે,ત્યારે તારની કુલ લંબાઈ $L = n_1 (2 \pi R_1) = n_2 (2 \pi R_2)$ અચળ રહે છે.
અહીં $R_2 = \frac{R}{3}$ આપેલ છે,તેથી $n (2 \pi R) = n_2 (2 \pi \frac{R}{3})$,જે આપણને $n_2 = 3n$ આપે છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu_2 = n_2 I \pi R_2^2 = (3n) I \pi (\frac{R}{3})^2 = 3n I \pi \frac{R^2}{9} = \frac{n I \pi R^2}{3}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\frac{n I \pi R^2}{3}}{n I \pi R^2} = \frac{1}{3}$ થાય.

(D) વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r}$
આના પરથી,પ્રવાહ $I$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$I = \frac{2Br}{\mu_0} \quad ...(i)$
$A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપ માટે,ત્રિજ્યા $r$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \pi r^2 \Rightarrow r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \quad ...(ii)$
લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ને $M = IA$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $I$ ની કિંમત અને સમીકરણ $(ii)$ માંથી $r$ ની કિંમત $M$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \left( \frac{2Br}{\mu_0} \right) \times A$
$M = \frac{2B}{\mu_0} \times \sqrt{\frac{A}{\pi}} \times A$
$M = \frac{2B}{\mu_0} \times \frac{A^{1/2}}{\pi^{1/2}} \times A$
$M = \frac{2BA^{3/2}}{\mu_0 \pi^{1/2}}$

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $m$ નું સૂત્ર $m = nIA$ છે,જ્યાં $n$ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક વર્તુળાકાર લૂપ $(n=1)$ માટે,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય પ્રેરણ $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ થાય છે.
આથી,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{B \times 2R}{\mu_0}$ મળે.
લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$m = I \times A = \left( \frac{B \times 2R}{\mu_0} \right) \times (\pi R^2) = \frac{2 \pi B R^3}{\mu_0}$.

(C) વર્તુળાકાર પથ પર ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ઓર્બિટલ મેગ્નેટિક મોમેન્ટ $M_0$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$M_0 = \frac{-e}{2m_e} L$
જ્યાં '$e$' એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે,'$m_e$' એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,અને '$L$' એ કોણીય વેગમાન છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ઓર્બિટલ મેગ્નેટિક મોમેન્ટ $M_0$ એ ઇલેક્ટ્રોનના કોણીય વેગમાન $L$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(D) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $(m)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$m = nIA$
જ્યાં $n$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળા માટે,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$m = nI(\pi r^2)$
આમ,ચુંબકીય મોમેન્ટ એ આંટાની સંખ્યા $(n)$,વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ અને ગૂંચળાની ત્રિજ્યા $(r)$ પર આધાર રાખે છે.

(B) તારની લંબાઈ અચળ રહે છે. ધારો કે $N_1 = n$ અને $N_2$ એ નવા ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા છે.
તારની કુલ લંબાઈ $L = N_1 (2 \pi R) = N_2 (2 \pi R_2)$ છે,જ્યાં $R_2 = \frac{R}{3}$:
$N_1 (2 \pi R) = N_2 (2 \pi \frac{R}{3})$
$N_1 = \frac{N_2}{3} \implies N_2 = 3 N_1$.
ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = N I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi R^2$.
મૂળ ગૂંચળા માટે: $\mu_1 = N_1 I (\pi R^2)$.
નવા ગૂંચળા માટે: $\mu_2 = N_2 I (\pi R_2^2) = (3 N_1) I \pi (\frac{R}{3})^2 = 3 N_1 I \pi \frac{R^2}{9} = \frac{1}{3} N_1 I \pi R^2$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\frac{1}{3} N_1 I \pi R^2}{N_1 I \pi R^2} = \frac{1}{3}$.

(D) વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ છે.
લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = i \pi r^2$ છે.
ગુણોત્તર $x = \frac{B}{M} = \frac{\mu_0 i / 2r}{i \pi r^2} = \frac{\mu_0}{2 \pi r^3}$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ $i$ બમણો $(2i)$ અને ત્રિજ્યા $r$ બમણી $(2r)$ થાય,ત્યારે નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = \frac{\mu_0 (2i)}{2(2r)} = \frac{\mu_0 i}{2r} = B$ થાય.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = (2i) \pi (2r)^2 = (2i) \pi (4r^2) = 8(i \pi r^2) = 8M$ થાય.
નવો ગુણોત્તર $x' = \frac{B'}{M'} = \frac{B}{8M} = \frac{1}{8} \left( \frac{B}{M} \right) = \frac{x}{8}$ થાય.