Magnetic Moment of Current Carrying Coil Questions in Gujarati

(C) વર્તુળાકાર લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = I A$ છે,જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર લૂપ માટે,ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે.
તેથી,$M = I (\pi R^2)$.
તારની લંબાઈ $L$ એ લૂપનો પરિઘ બનાવે છે,તેથી $L = 2 \pi R$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{L}{2 \pi}$.
$R$ ની કિંમત ચુંબકીય મોમેન્ટના સમીકરણમાં મૂકતા:
$M = I \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2$
$M = I \pi \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right)$
$M = \frac{I L^2}{4 \pi}$
$L$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા:
$L^2 = \frac{4 M \pi}{I}$
$L = \sqrt{\frac{4 M \pi}{I}}$ અથવા $\left[ \frac{4 M \pi}{I} \right]^{\frac{1}{2}}$.

(A) ધારો કે વર્તુળાકાર લૂપની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ મળે.
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,$B = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{A/\pi}}$ મળે.
પ્રવાહ $I$ માટે ઉકેલતા,$I = \frac{2B}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ મળે.
લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ને $M = I A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$I$ નું પદ મૂકતા,$M = \left( \frac{2B}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}} \right) A = \frac{2 B A^{3/2}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$ મળે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે તારની લંબાઈ $l$ છે. ચોરસ લૂપ માટે,ચોરસની બાજુ $a = l/4$ છે.
તેથી,તેની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{sq} = i A = i (l/4)^2 = i l^2 / 16$ છે.
વર્તુળાકાર લૂપ માટે,પરિઘ $2 \pi r = l$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = l / (2 \pi)$ છે.
તેથી,તેની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{cir} = i A = i \pi r^2 = i \pi (l / (2 \pi))^2 = i \pi (l^2 / 4 \pi^2) = i l^2 / (4 \pi)$ છે.
વર્તુળની ચુંબકીય મોમેન્ટ અને ચોરસની ચુંબકીય મોમેન્ટનો ગુણોત્તર:
$\frac{M_{cir}}{M_{sq}} = \frac{i l^2 / (4 \pi)}{i l^2 / 16} = \frac{16}{4 \pi} = \frac{4}{\pi}$.

(A) વર્તુળાકાર કોઈલનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ કોઈલની ત્રિજ્યા છે.
આથી,ત્રિજ્યા $R = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ થાય.
$I$ પ્રવાહ ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ છે.
પ્રવાહ $I$ ને કર્તા બનાવતા,$I = \frac{2 B R}{\mu_0}$ મળે.
કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ને $M = I A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$I$ અને $R$ ના સૂત્રોને $M$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \left( \frac{2 B R}{\mu_0} \right) A = \frac{2 B A}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$M = \frac{2 B A^{3/2}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$ મળે છે.

(D) વાહકની લંબાઈ $L$ એ વર્તુળાકાર લૂપનો પરિઘ બનાવે છે.
$L = 2 \pi r$,જ્યાં $r$ એ લૂપની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$r = \frac{L}{2 \pi}$.
વર્તુળાકાર લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $A = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \pi \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right) = \frac{L^2}{4 \pi}$.
વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $M = I \left( \frac{L^2}{4 \pi} \right) = \frac{IL^2}{4 \pi}$.

(D) પ્રવાહ ગાળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = I \times A$ છે।
અહીં, પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનને કારણે મળતો પ્રવાહ $I = qf = ef$ છે, જ્યાં $f$ એ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ છે।
વર્તુળાકાર કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે।
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને $M = (ef)(\pi r^2)$ મળે છે।
આપેલ છે: $r = 0.05 \,nm = 0.05 \times 10^{-9} \,m = 5 \times 10^{-11} \,m$, $f = 10^{16} \,Hz$, અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
$M = (1.6 \times 10^{-19} \,C) \times (10^{16} \,s^{-1}) \times (3.14) \times (5 \times 10^{-11} \,m)^2$.
$M = 1.6 \times 10^{-3} \times 3.14 \times 25 \times 10^{-22}$.
$M = 1.6 \times 3.14 \times 25 \times 10^{-25}$.
$M = 125.6 \times 10^{-25} = 1.256 \times 10^{-23} \,A-m^2 \approx 1.26 \times 10^{-23} \,A-m^2$.

(B) ધારો કે વર્તુળાકાર લૂપની ત્રિજ્યા $r$ છે. લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^{2}$ છે.
તેથી,$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$.
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $B = \frac{\mu_{0} I}{2 \sqrt{\frac{A}{\pi}}}$.
પ્રવાહ $I$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $I = \frac{2 B}{\mu_{0}} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $M = \left( \frac{2 B}{\mu_{0}} \sqrt{\frac{A}{\pi}} \right) A$.
$M = \frac{2 B}{\mu_{0}} \cdot \frac{A^{1/2}}{\pi^{1/2}} \cdot A = \frac{2 B A^{3/2}}{\mu_{0} \pi^{1/2}}$.

(B) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનો કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રવાહ $i$ એ $i = ef$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $f$ એ ભ્રમણની આવૃત્તિ છે.
વર્તુળાકાર કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
તેથી,$M = (ef)(\pi r^2)$.
અહીં $e$,$\pi$ અને $r$ અચળ હોવાથી,$M \propto f$ થાય.
જો આવૃત્તિ $f$ બમણી કરવામાં આવે $(f' = 2f)$,તો નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ $M' = e(2f)(\pi r^2) = 2(ef\pi r^2) = 2M$ થશે.

(C) ચુંબકીય મોમેન્ટ વિદ્યુતભારોની ગતિ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે,જે પ્રવાહ લૂપ અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે.
$1$. સ્થિર વિદ્યુતભાર માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે અને તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર કે ચુંબકીય મોમેન્ટ ઉત્પન્ન કરતું નથી.
$2$. અચળ વેગથી ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર (અને આમ ચુંબકીય મોમેન્ટ) બંને ઉત્પન્ન કરે છે.
$3$. પ્રવેગિત અથવા મંદિત વિદ્યુતભારો સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો બનાવે છે,જેમાં પણ ચુંબકીય અસરો સામેલ હોય છે.
તેથી,સ્થિર વિદ્યુતભાર એ એકમાત્ર વિકલ્પ છે જે ચુંબકીય મોમેન્ટ ઉત્પન્ન કરતું નથી.

(A) વિદ્યુત પ્રવાહ $I$ એ વીજભારના વહેવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $I = \frac{q}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કક્ષામાં ફરતા ઇલેક્ટ્રોનના કિસ્સામાં,વીજભાર $q$ એ પ્રાથમિક વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે,અને સમય $t$ એ આવર્તકાળ $T = 1.5 \times 10^{-16} \ s$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1.6 \times 10^{-19} \ C}{1.5 \times 10^{-16} \ s}$
$I = 1.066 \times 10^{-3} \ A$.

(D) પ્રવાહધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ $M = I \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે. તેનો $SI$ એકમ $A \cdot m^2$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ $U = -M \cdot B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$M = U / B$.
ઊર્જા $U$ નો એકમ જૂલ $(J)$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નો એકમ ટેસ્લા $(T)$ છે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટનો એકમ $J \cdot T^{-1}$ થાય છે.

(A) પ્રવાહધારિત લૂપની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m = NIA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$N_1 = 1$,$R_1 = R$,અને $A_1 = \pi R^2$. તેથી,$m = I \pi R^2$.
જ્યારે $L$ લંબાઈના તારને $N_2 = 2$ આંટાવાળી રીંગમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી રીંગનો પરિઘ $2 \times (2 \pi R_2) = L$ થાય છે. કારણ કે $L = 2 \pi R$,તેથી $4 \pi R_2 = 2 \pi R$,જે આપણને $R_2 = \frac{R}{2}$ આપે છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi R_2^2 = \pi (\frac{R}{2})^2 = \frac{\pi R^2}{4}$ છે.
નવી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m'$ એ $m' = N_2 I A_2 = 2 \times I \times \frac{\pi R^2}{4} = \frac{I \pi R^2}{2}$ છે.
કારણ કે $m = I \pi R^2$,તેથી આપણને $m' = \frac{m}{2}$ મળે છે.

(A) પ્રવાહધારિત લૂપની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ એ $M = I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપ માટે,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
તેથી,$M = I (\pi r^2) \quad \dots(1)$
$I$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
આ સૂત્રને $I$ માટે ગોઠવતા,આપણને $I = \frac{2rB}{\mu_0}$ મળે છે.
$I$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$M = \left( \frac{2rB}{\mu_0} \right) (\pi r^2)$
$M = \frac{2 \pi B r^3}{\mu_0}$.

(C) ધારો કે તારની કુલ લંબાઈ $L$ છે.
એક આંટાવાળી કોઈલ $(n_1 = 1)$ માટે,પરિઘ $L = 2\pi R_1$ થાય,તેથી $R_1 = \frac{L}{2\pi}$.
કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2R_1} = \frac{\mu_0 I}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L} = B$ છે.
બે આંટાવાળી કોઈલ $(n_2 = 2)$ માટે,કુલ લંબાઈ $L = n_2(2\pi R_2) = 2(2\pi R_2) = 4\pi R_2$ થાય.
આમ,નવી ત્રિજ્યા $R_2 = \frac{L}{4\pi} = \frac{R_1}{2}$ મળે.
$n$ આંટા માટે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_n = \frac{n \mu_0 I}{2R_n}$ છે.
$n=2$ માટે,$B_2 = \frac{2 \mu_0 I}{2R_2} = \frac{\mu_0 I}{R_2}$.
$R_2 = \frac{R_1}{2}$ મૂકતા,$B_2 = \frac{\mu_0 I}{R_1/2} = \frac{2 \mu_0 I}{R_1}$ મળે.
કારણ કે $B = \frac{\mu_0 I}{2R_1}$,તેથી $\frac{\mu_0 I}{R_1} = 2B$ થાય.
તેથી,$B_2 = 2(2B) = 4B$ થાય.

(D) આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા,$N = 1000$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 2 \times 10^{-4} \ m^2$
વિદ્યુતપ્રવાહ,$I = 5.0 \ A$
સોલેનોઈડની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\mu = N \cdot I \cdot A$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\mu = 1000 \times 5.0 \times (2 \times 10^{-4})$
$\mu = 5000 \times 2 \times 10^{-4}$
$\mu = 10000 \times 10^{-4}$
$\mu = 1 \ A \ m^2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે: કોઈલની ત્રિજ્યા $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$.
આંટાની સંખ્યા $N = 100$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 1 \text{ A}$.
પ્રવાહધારિત કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = N I A$ છે,જ્યાં $A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^{2} = \pi \times (0.1 \text{ m})^{2} = 0.01 \pi \text{ m}^{2}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$M = 100 \times 1 \times (0.01 \times 3.142) \text{ A m}^{2}$.
$M = 100 \times 0.03142 \text{ A m}^{2} = 3.142 \text{ A m}^{2}$.
આમ,કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $3.142 \text{ A m}^{2}$ છે.

(A) પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$M = NIA$
જ્યાં:
$N$ એ લૂપમાં રહેલા આંટાઓની સંખ્યા છે,
$I$ એ લૂપમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે,
$A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ માત્ર લૂપના ગુણધર્મો $(N, I, A)$ પર આધાર રાખે છે અને તે લૂપ જે બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવ્યું છે તેનાથી સ્વતંત્ર છે.

(D) ગોળાકાર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ માટે જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,જો જમણા હાથની આંગળીઓને વિદ્યુતપ્રવાહની દિશામાં વાળવામાં આવે,તો અંગૂઠો લૂપની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશા દર્શાવે છે.
જો ઉપરથી જોતા વિદ્યુતપ્રવાહ વિષમઘડી (anticlockwise) દિશામાં વહેતો હોય,તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ઉપરની તરફ (નિરીક્ષક તરફ) નિર્દેશ કરે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ઉત્તર ધ્રુવમાંથી બહાર નીકળતી હોવાથી,લૂપની જે બાજુએ વિદ્યુતપ્રવાહ વિષમઘડી દેખાય છે તે ઉત્તર ધ્રુવ તરીકે વર્તે છે.
તેથી,જો વિદ્યુતપ્રવાહ વિષમઘડી હોય તો લૂપની ઉપરની બાજુ ઉત્તર ધ્રુવ તરીકે વર્તે છે.

(C) વર્તુળાકાર પ્રવાહધારિત રીંગના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રણેય રીંગ એકબીજાને લંબ હોવાથી અને ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત હોવાથી,તેમના ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશો અનુક્રમે $x$,$y$ અને $z$ અક્ષોની દિશામાં હશે.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{B_1} = \frac{\mu_0 I}{2r} \hat{i}$
$\vec{B_2} = \frac{\mu_0 I}{2r} \hat{j}$
$\vec{B_3} = \frac{\mu_0 I}{2r} \hat{k}$
ઉગમબિંદુ પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B_0}$ એ આ ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે:
$\vec{B_0} = \vec{B_1} + \vec{B_2} + \vec{B_3} = \frac{\mu_0 I}{2r} (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય:
$B_0 = |\vec{B_0}| = \frac{\mu_0 I}{2r} \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}$
$B_0 = \frac{\mu_0 I}{2r} \sqrt{3} = \sqrt{3} \frac{\mu_0 I}{2r}$

(C) પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
$R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $T$ આવર્તકાળ સાથે ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,સમતુલ્ય પ્રવાહ $I$ એ એકમ સમય $T$ માં વહેતો વિદ્યુતભાર $e$ છે,તેથી $I = \frac{e}{T}$.
વર્તુળાકાર કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે.
આ કિંમતોને ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $M = I A = \left( \frac{e}{T} \right) (\pi R^2) = \frac{\pi e R^2}{T}$.

(C) સોલેનોઈડની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = N \cdot I \cdot A$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ સોલેનોઈડનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $N = 500$
પ્રવાહ $I = 15 \,A$
ત્રિજ્યા $r = 2 \,cm = 0.02 \,m$
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.02)^2 = 0.0004 \pi \,m^2$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = 500 \times 15 \times 0.0004 \pi$
$M = 7500 \times 0.0004 \pi$
$M = 3 \pi \,J \,T^{-1}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) પ્રવાહ ગાળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ ગાળામાંથી વહેતા પ્રવાહ $I$ અને તેના ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,$M = I A$.
જ્યારે $L$ લંબાઈના તારને વર્તુળાકાર ગાળામાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પરિઘ $2 \pi r = L$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે ત્રિજ્યા $r = \frac{L}{2 \pi}$ છે.
આ વર્તુળાકાર ગાળાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \frac{L^2}{4 \pi}$ છે.
ક્ષેત્રફળને ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $M = I \times \frac{L^2}{4 \pi} = \frac{L^2 I}{4 \pi}$ મળે છે.

(B) ધારો કે તારની લંબાઈ $l$ છે.
જ્યારે તારને $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પરિઘ તારની લંબાઈ જેટલો થાય છે:
$l = 2 \pi r \Rightarrow r = \frac{l}{2 \pi}$
પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$M = i A$
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ મૂકતા:
$M = i \cdot \pi r^2 = i \pi \left( \frac{l}{2 \pi} \right)^2$
$M = i \pi \cdot \frac{l^2}{4 \pi^2} = \frac{i l^2}{4 \pi}$
$l$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$l^2 = \frac{4 \pi M}{i}$
$l = \sqrt{\frac{4 \pi M}{i}}$

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $i$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 i}{2 R}$ ...$(i)$
લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નીચે મુજબ છે:
$M = i A$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી,પ્રવાહ $i$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$i = \frac{2 B R}{\mu_0}$
આ કિંમતને સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$M = \left( \frac{2 B R}{\mu_0} \right) A$
લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ હોવાથી,$R = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ મળે.
$R$ ની કિંમત $M$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \frac{2 B A}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
$M = \frac{2 B A \sqrt{A}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = i A$ છે,જ્યાં $i$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ રીંગનું ક્ષેત્રફળ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $q$ એ $\omega$ કોણીય વેગથી ફરે છે,ત્યારે એક પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ થાય છે.
સમતુલ્ય પ્રવાહ $i = \frac{q}{T} = \frac{q \omega}{2 \pi}$ મળે છે.
રીંગનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે.
આ કિંમતોને $M$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \left( \frac{q \omega}{2 \pi} \right) (\pi R^2) = \frac{1}{2} q \omega R^2$.

(D) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે.
વર્તુળાકાર લૂપ માટે,પરિઘ $2 \pi r = L$,તેથી $r = \frac{L}{2 \pi}$. ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r^2 = \pi (\frac{L}{2 \pi})^2 = \frac{L^2}{4 \pi}$ થાય.
ચોરસ લૂપ માટે,પરિમિતિ $4a = L$,તેથી $a = \frac{L}{4}$. ક્ષેત્રફળ $A_2 = a^2 = (\frac{L}{4})^2 = \frac{L^2}{16}$ થાય.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = iA$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ સમાન હોવાથી,ડાયપોલ મોમેન્ટનો ગુણોત્તર $\frac{M_1}{M_2} = \frac{i A_1}{i A_2} = \frac{A_1}{A_2}$ થાય.
ક્ષેત્રફળની કિંમતો મૂકતા: $\frac{M_1}{M_2} = \frac{L^2 / 4 \pi}{L^2 / 16} = \frac{16}{4 \pi} = \frac{4}{\pi}$.

(D) વર્તુળાકાર ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = NIA$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાઓની સંખ્યા છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
ગૂંચળું વર્તુળાકાર હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ થાય,જ્યાં $r$ એ ગૂંચળાની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$M = NI(\pi r^2)$.
ગૂંચળા $A$ માટે: $N_A = 300$,$M_A = M_1$,$r_A = r_1$.
ગૂંચળા $B$ માટે: $N_B = 200$,$M_B = M_2$,$r_B = r_2$.
આપણને $M_A / M_B = 1/2$ અને $I_A = I_B = I$ આપેલ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{M_A}{M_B} = \frac{N_A I_A \pi r_A^2}{N_B I_B \pi r_B^2} = \frac{N_A}{N_B} \cdot \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} = \frac{300}{200} \cdot \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2$.
$\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2$.
$\left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\frac{r_A}{r_B} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ છે:
કોઈલનું ક્ષેત્રફળ, $A = 2 \,cm^2 = 2 \times 10^{-4} \,m^2$
આંટાની સંખ્યા, $n = 1000$
પ્રવાહ, $I = 1 \,A$
પ્રવાહધારિત કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ શોધવાનું સૂત્ર:
$M = nIA$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$M = (1000) \times (1) \times (2 \times 10^{-4})$
$M = 10^3 \times 2 \times 10^{-4}$
$M = 2 \times 10^{-1} \,Am^2$
$M = 0.2 \,Am^2$
આમ, ચુંબકીય મોમેન્ટ $0.2 \,Am^2$ છે.

(A) તારની લંબાઈ $L$ એ વર્તુળાકાર લૂપનો પરિઘ બનાવે છે,તેથી $L = 2 \pi r$,જ્યાં $r$ એ લૂપની ત્રિજ્યા છે.
આના પરથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{L}{2 \pi}$ મળે છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \pi \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right) = \frac{L^2}{4 \pi}$ થાય.
ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં આ કિંમત મૂકતા,આપણને $M = i \times \frac{L^2}{4 \pi} = \frac{i L^2}{4 \pi}$ મળે છે.

(D) $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $Q$ વીજભાર ધરાવતા કણની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\mu = I A$
જ્યાં $I$ એ સમતુલ્ય પ્રવાહ છે,$I = \frac{Q}{T} = \frac{Q v}{2 \pi R}$,અને $A$ એ વર્તુળાકાર પથનું ક્ષેત્રફળ છે,$A = \pi R^2$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\mu = \left( \frac{Q v}{2 \pi R} \right) (\pi R^2) = \frac{Q v R}{2}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ છે કે ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu$ માત્ર વીજભાર $Q$,ઝડપ $v$ અને ત્રિજ્યા $R$ પર આધાર રાખે છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં કણનું દળ $m$ આવતું નથી,તેથી $Q$,$v$ અને $R$ ને અચળ રાખીને દળ બદલવાથી ચુંબકીય મોમેન્ટ પર કોઈ અસર થશે નહીં.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ અપરિવર્તિત રહેશે.

(B) $n$ આંટા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 n i}{2r}$
આના પરથી, પ્રવાહ $i$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$i = \frac{2 B r}{\mu_0 n}$
લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$M = n i A$
$i$ ની કિંમત મૂકતા:
$M = n \left( \frac{2 B r}{\mu_0 n} \right) A = \frac{2 B r A}{\mu_0}$
આપેલ ક્ષેત્રફળ $A = \pi \ m^2$, આપણે જાણીએ છીએ કે $A = \pi r^2$, તેથી $\pi r^2 = \pi$, જેનો અર્થ છે કે $r = 1 \ m$.
કિંમતો $B = 0.1 \ T$, $r = 1 \ m$, અને $A = \pi \ m^2$ મૂકતા:
$M = \frac{2 \times 0.1 \times 1 \times \pi}{\mu_0} = \frac{0.2 \pi}{\mu_0}$

(A) પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $(\mu)$ નું સૂત્ર $\mu = iA$ છે,જ્યાં $i$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
$q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $V$ ઝડપથી ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi R}{V}$ થાય.
સમતુલ્ય પ્રવાહ $i = \frac{q}{T} = \frac{qV}{2\pi R}$ મળે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે.
તેથી,$\mu = iA = \left(\frac{qV}{2\pi R}\right) \times (\pi R^2) = \frac{qVR}{2}$.
વર્તુળના કેન્દ્રની સાપેક્ષ કણનું કોણીય વેગમાન $(L) = mVR$ થાય.
ચુંબકીય મોમેન્ટ અને કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\mu}{L} = \frac{qVR / 2}{mVR} = \frac{q}{2m}$.

(D) આપેલ છે: ટોર્ક $\tau = 0.016 \ Nm$,ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$,અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.04 \ T$.
ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = mB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.016 = m \times 0.04 \times \sin 30^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી $0.016 = m \times 0.04 \times 0.5 = m \times 0.02$.
આમ,ચુંબકીય મોમેન્ટ $m = \frac{0.016}{0.02} = 0.8 \ Am^2$.
સોલેનોઇડ માટે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $m = NIA$ છે.
આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 1 \ cm^2 = 10^{-4} \ m^2$ અને આંટાની સંખ્યા $N = 1000$.
ચુંબકીય મોમેન્ટને સરખાવતા: $0.8 = 1000 \times I \times 10^{-4}$.
$0.8 = 0.1 \times I$.
તેથી,પ્રવાહ $I = \frac{0.8}{0.1} = 8 \ A$.

(A) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $a$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2a}$ છે.
લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A = I(\pi a^2)$ છે.
ગુણોત્તર $x = \frac{B}{M} = \frac{\mu_0 I}{2a} \times \frac{1}{I \pi a^2} = \frac{\mu_0}{2 \pi a^3}$ થાય.
જ્યારે પ્રવાહ $I$ બમણો $(I' = 2I)$ અને ત્રિજ્યા $a$ બમણી $(a' = 2a)$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો ગુણોત્તર $x'$:
$x' = \frac{\mu_0}{2 \pi (a')^3} = \frac{\mu_0}{2 \pi (2a)^3} = \frac{\mu_0}{2 \pi (8a^3)} = \frac{1}{8} \left( \frac{\mu_0}{2 \pi a^3} \right) = \frac{x}{8}$.

(D) આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 0.05 \ nm = 0.05 \times 10^{-9} \ m$
આવૃત્તિ $f = 10^{16} \ Hz$ (પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણ)
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
પ્રવાહ ગાળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ ગાળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવાહ $I = e \times f$ છે.
વર્તુળાકાર કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^{2}$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$M = (e \times f) \times (\pi r^{2})$
$M = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (10^{16} \ s^{-1}) \times (3.14) \times (0.05 \times 10^{-9} \ m)^{2}$
$M = 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{16} \times 3.14 \times 0.0025 \times 10^{-18}$
$M = 1.6 \times 3.14 \times 0.0025 \times 10^{-21} \ m^{2} \cdot C/s$
$M = 0.01256 \times 10^{-21} \ A \ m^{2}$
$M = 1.26 \times 10^{-23} \ A \ m^{2}$

(B) સોલેનોઈડની ચુંબકીય મોમેન્ટ $m$ શોધવાનું સૂત્ર $m = N \cdot I \cdot A$ છે.
અહીં,આંટાની સંખ્યા $N = 800$,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 3.0 \text{ A}$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 2.5 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$m = 800 \times 3.0 \times 2.5 \times 10^{-4}$
$m = 2400 \times 2.5 \times 10^{-4}$
$m = 6000 \times 10^{-4}$
$m = 0.6 \text{ JT}^{-1}$.
આમ,સોલેનોઈડ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $0.60 \text{ JT}^{-1}$ છે.

(B) કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = N I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સપાટ સર્પાકાર કોઈલ માટે જ્યાં આંટાઓ $r_1$ અને $r_2$ ત્રિજ્યા વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલા હોય,ત્યારે અસરકારક ક્ષેત્રફળ $A$ દરેક આંટાના ક્ષેત્રફળના સંકલન દ્વારા ગણવામાં આવે છે: $A = \int_{r_1}^{r_2} \pi r^2 \frac{N}{r_2 - r_1} dr = \frac{N \pi}{r_2 - r_1} [\frac{r^3}{3}]_{r_1}^{r_2} = N \pi \frac{r_2^3 - r_1^3}{3(r_2 - r_1)} = N \pi \frac{r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2}{3}$.
અહીં $N = 200$,$r_1 = 0.03\text{ m}$,$r_2 = 0.06\text{ m}$,અને $I = 20\text{ mA} = 0.02\text{ A}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $M = 200 \times 0.02 \times \pi \times \frac{(0.03)^2 + (0.03)(0.06) + (0.06)^2}{3}$.
$M = 4 \times \pi \times \frac{0.0009 + 0.0018 + 0.0036}{3} = 4 \times \pi \times \frac{0.0063}{3} = 4 \times \pi \times 0.0021 = 0.0084 \times 3.14159 \approx 0.02639\text{ A.m}^2$.
આને $2.639 \times 10^{-2}\text{ A.m}^2$ તરીકે લખી શકાય છે. બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$\alpha = 2.64$ મળે છે.

(C) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $B = 3.14 \times 10^{-3} \text{ T}$,$N = 100$,$r = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
કિંમતો મૂકતા: $3.14 \times 10^{-3} = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 100 \times I}{2 \times 0.05}$.
$3.14 \times 10^{-3} = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-5} \times I}{0.1}$.
$10^{-3} = \frac{4 \times 10^{-5} \times I}{0.1} = 4 \times 10^{-4} \times I$.
$I = \frac{10^{-3}}{4 \times 10^{-4}} = \frac{10}{4} = 2.5 \text{ A}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = N I A = N I (\pi r^2)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$M = 100 \times 2.5 \times 3.14 \times (0.05)^2$.
$M = 250 \times 3.14 \times 0.0025 = 1.9625 \approx 2 \text{ A m}^2$.
આમ,પ્રવાહ $2.5 \text{ A}$ અને ચુંબકીય મોમેન્ટ $2 \text{ A m}^2$ છે.