Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Hindi

(D) फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव तब होता है जब आपतित तरंगदैर्ध्य $\lambda$ थ्रेशोल्ड तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{th}}$ से कम या उसके बराबर होती है।
दिया गया है:
थ्रेशोल्ड तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{th}} = 3600 \mathring A$.
आपतित तरंगदैर्ध्य $\lambda = 1100 \mathring A$.
गतिज ऊर्जा $K_{\text{max}}$ आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण द्वारा दी जाती है:
$K_{\text{max}} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{\text{th}}}$
$hc \approx 12400 \text{ eV} \cdot \mathring A$ का उपयोग करते हुए:
$K_{\text{max}} = 12400 \left( \frac{1}{1100} - \frac{1}{3600} \right) \text{ eV}$
$K_{\text{max}} = 12400 \left( \frac{3600 - 1100}{1100 \times 3600} \right) \text{ eV}$
$K_{\text{max}} = 12400 \left( \frac{2500}{3960000} \right) \text{ eV} \approx 7.83 \text{ eV}$.

(C) कार्य फलन $\Phi_0$ को सूत्र $\Phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक $(6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ है,$c$ प्रकाश की गति $(3 \times 10^8 \ m/s)$ है,और $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य $(5000 \ Å = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m)$ है।
मान रखने पर:
$\Phi_0 = \frac{(6.63 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{5 \times 10^{-7}}$
$\Phi_0 = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{5 \times 10^{-7}}$
$\Phi_0 = 3.978 \times 10^{-19} \ J \approx 4 \times 10^{-19} \ J$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना उत्सर्जक प्लेट का कार्य फलन $\phi = h v_0$ है। आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = h v$ है।
स्थिति $1$: स्विच $S_1$ बंद है और $S_2$ खुला है। $5 V$ की बैटरी इस प्रकार जुड़ी है कि संग्राहक $C$,$E$ के सापेक्ष $-5 V$ पर है। संग्राहक पर फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max, C} = (E - \phi) - 5 eV = 1 eV \Rightarrow E - \phi = 6 eV$.
स्थिति $2$: स्विच $S_1$ खुला है और $S_2$ बंद है। $5 V$ की बैटरी इस प्रकार जुड़ी है कि संग्राहक $C$,$E$ के सापेक्ष $+5 V$ पर है। आवृत्ति दोगुनी होने पर नई ऊर्जा $2E$ हो जाती है। संग्राहक पर अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max, C} = (2E - \phi) + 5 eV = 20 eV \Rightarrow 2E - \phi = 15 eV$.
समीकरण:
$E - \phi = 6 eV$ ...$(i)$
$2E - \phi = 15 eV$ ...(ii)
(ii) में से $(i)$ घटाने पर: $E = 9 eV$.
$E = 9 eV$ को $(i)$ में रखने पर: $9 eV - \phi = 6 eV \Rightarrow \phi = 3 eV$.
देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi} = \frac{12400 eV Å}{3 eV} \approx 4133.3 Å$.

(D) दिया गया है,कार्य फलन $W_0 = 2.35 \text{ eV}$। विद्युत चुम्बकीय विकिरण का विद्युत घटक $E = a[1 + \cos(2 \pi f_1 t)] \cos(2 \pi f_2 t)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ का उपयोग करके,हम व्यंजक का विस्तार करते हैं:
$E = a \cos(2 \pi f_2 t) + a \cos(2 \pi f_1 t) \cos(2 \pi f_2 t)$
$E = a \cos(2 \pi f_2 t) + \frac{a}{2} \cos[2 \pi (f_1 + f_2) t] + \frac{a}{2} \cos[2 \pi (f_1 - f_2) t]$।
विकिरण में मौजूद आवृत्तियाँ $f_2$,$(f_1 + f_2)$,और $(f_1 - f_2)$ हैं।
अधिकतम गतिज ऊर्जा प्राप्त करने के लिए,हमें अधिकतम आवृत्ति वाले फोटॉन का उपयोग करना चाहिए,जो $f_{\max} = f_1 + f_2 = 3.6 \times 10^{15} + 1.2 \times 10^{15} = 4.8 \times 10^{15} \text{ Hz}$ है।
इस फोटॉन की ऊर्जा $E_{\text{photon}} = h f_{\max} = (6.6 \times 10^{-34} \text{ Js} \times 4.8 \times 10^{15} \text{ Hz}) / (1.6 \times 10^{-19} \text{ J/eV}) = 19.8 \text{ eV}$ है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{\max} = E_{\text{photon}} - W_0 = 19.8 \text{ eV} - 2.35 \text{ eV} = 17.45 \text{ eV}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है,आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 400 \,nm = 4 \times 10^{-7} \,m$.
विद्युत क्षेत्र,$E = 2 \,N/C$ और दूरी,$s = 1 \,m$.
आपतित फोटॉन की ऊर्जा,$E_{ph} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4 \times 10^{-7}} \approx 4.97 \times 10^{-19} \,J$.
$eV$ में बदलने पर,$E_{ph} = \frac{4.97 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 3.1 \,eV$.
इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र के विरुद्ध $1 \,m$ की दूरी तय करने के बाद रुक जाते हैं। विद्युत क्षेत्र द्वारा इलेक्ट्रॉन पर किया गया कार्य $W = qEs = (1.6 \times 10^{-19} \,C) \times (2 \,N/C) \times (1 \,m) = 3.2 \times 10^{-19} \,J$.
इसे $eV$ में बदलने पर,$K_{max} = 2 \,eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E_{ph} = W_0 + K_{max}$.
अतः,कार्य फलन $W_0 = E_{ph} - K_{max} = 3.1 \,eV - 2 \,eV = 1.1 \,eV$.

(A) दिया गया है: प्रकाश की तरंगदैर्ध्य, $\lambda = 488 \, nm$ और निरोधी विभव, $V_0 = 0.38 \, V$।
फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$hc \approx 1240 \, eV \cdot nm$ का उपयोग करने पर, $E = \frac{1240}{488} \approx 2.54 \, eV$।
फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{\max} = eV_0 = 0.38 \, eV$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $E = KE_{\max} + W_0$।
अतः, कार्य फलन $W_0 = E - KE_{\max} = 2.54 - 0.38 = 2.16 \, eV$।
इस प्रकार, कैथोड पदार्थ का कार्य फलन $2.16 \, eV$ है।

(A) स्पेक्ट्रल रेखा के अनुरूप फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu = \Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) eV$ द्वारा दी जाती है।
देहली ऊर्जा $\phi = E(H_\alpha) = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right) eV$.
$H_\beta$ फोटॉन की ऊर्जा $E_\beta = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 13.6 \left( \frac{3}{16} \right) eV$.
$H_\infty$ फोटॉन की ऊर्जा $E_\infty = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} \right) eV$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi$.
$K_\beta = 13.6 \left( \frac{3}{16} - \frac{5}{36} \right) = 13.6 \left( \frac{27 - 20}{144} \right) = 13.6 \left( \frac{7}{144} \right) eV$.
$K_\infty = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{5}{36} \right) = 13.6 \left( \frac{9 - 5}{36} \right) = 13.6 \left( \frac{4}{36} \right) = 13.6 \left( \frac{16}{144} \right) eV$.
अनुपात $\frac{K_\beta}{K_\infty} = \frac{7/144}{16/144} = \frac{7}{16}$.

(B) एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ होती है।
$P$ शक्ति के स्रोत द्वारा प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की कुल संख्या $N = \frac{P}{E} = \frac{P \lambda}{hc}$ है।
प्रति सेकंड उत्पन्न इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n = \frac{I}{e}$ है,जहाँ $I$ फोटोइलेक्ट्रिक धारा है और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
धारा उत्पन्न करने वाले आपतित फोटॉनों का प्रतिशत $\eta = \frac{n}{N} \times 100$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\eta = \frac{I/e}{P \lambda / hc} \times 100 = \frac{Ihc}{eP \lambda} \times 100$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,स्टॉपिंग पोटेंशियल $V$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$eV = h v - \Phi$
$V = (h/e) v - (\Phi/e)$
यहाँ,$h$ प्लांक नियतांक है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$v$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ को दर्शाता है,जहाँ ढलान $m = h/e$ सभी धातुओं के लिए स्थिर है,और $y$-अंतःखंड $-(\Phi/e)$ है।
देहली आवृत्ति $v_0$ को $\Phi = h v_0$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $v_0 = \Phi/h$।
चूंकि $A$ का कार्य फलन $B$ से अधिक है $(\Phi_A > \Phi_B)$,इसलिए $A$ की देहली आवृत्ति $B$ से अधिक होनी चाहिए $(v_{0A} > v_{0B})$।
$V$ बनाम $v$ ग्राफ पर,$x$-अंतःखंड देहली आवृत्ति $v_0$ को दर्शाता है।
इसलिए,धातु $A$ के लिए रेखा को $v$-अक्ष पर धातु $B$ की रेखा की तुलना में दाईं ओर काटना चाहिए।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,वह वक्र जिसमें $A$ की देहली आवृत्ति $B$ से अधिक है,सही निरूपण है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ इस प्रकार है: $K_{max} = E - \Phi$,जहाँ $E = 5 eV$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi = 4.36 eV$ धातु का कार्य फलन है।
$K_{max} = 5 eV - 4.36 eV = 0.64 eV$.
इस ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $K_{max} = 0.64 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 1.024 \times 10^{-19} J$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा और अधिकतम संवेग $p$ के बीच संबंध $K_{max} = \frac{p^2}{2m}$ है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(9.1 \times 10^{-31} kg)$ है।
$p = \sqrt{2m K_{max}} = \sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.024 \times 10^{-19}}$.
$p = \sqrt{18.6368 \times 10^{-50}} \approx 4.31 \times 10^{-25} kgms^{-1}$.

(B) आपतित फोटॉनों की ऊर्जा $E = 4.8 eV$ है और गोले का कार्य फलन $\phi = 2.8 eV$ है। फोटो-इलेक्ट्रिक उत्सर्जन तब रुक जाता है जब गोले का विभव $V$ ऐसे मान तक पहुँच जाता है कि उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा शून्य हो जाए। यह तब होता है जब $eV = E - \phi = 4.8 eV - 2.8 eV = 2.0 eV$,इसलिए $V = 2.0 V$ है।
$R = 9 mm = 9 \times 10^{-3} m$ त्रिज्या वाले गोले की धारिता $C = 4\pi\epsilon_0 R = \frac{R}{k} = \frac{9 \times 10^{-3}}{9 \times 10^9} = 10^{-12} F$ है।
विभव $V$ तक पहुँचने के लिए आवश्यक आवेश $Q = CV = 10^{-12} F \times 2.0 V = 2 \times 10^{-12} C$ है।
उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n = \frac{Q}{e} = \frac{2 \times 10^{-12}}{1.6 \times 10^{-19}} = 1.25 \times 10^7$ है।
चूंकि उत्सर्जन की दर $10^5$ इलेक्ट्रॉन प्रति सेकंड है,इसलिए लगा समय $t = \frac{n}{\text{rate}} = \frac{1.25 \times 10^7}{10^5} = 125 s$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = h\nu - \phi_0$,जहाँ $\phi_0 = h\nu_0$ है।
आवृत्ति $\nu_1 = 2\nu_0$ के लिए,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_1 = h(2\nu_0) - h\nu_0 = h\nu_0$ है।
दिया गया है कि $v_1 = 2 \times 10^6 \ m/s$,इसलिए $K_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 = h\nu_0$ है।
आवृत्ति $\nu_2 = 3\nu_0$ के लिए,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_2 = h(3\nu_0) - h\nu_0 = 2h\nu_0$ है।
चूंकि $K_2 = 2K_1$,इसलिए $\frac{1}{2}mv_2^2 = 2(\frac{1}{2}mv_1^2)$ है।
अतः,$v_2^2 = 2v_1^2$,जिसका अर्थ है कि $v_2 = \sqrt{2}v_1$ है।
$v_1 = 2 \times 10^6 \ m/s$ का मान रखने पर,हमें $v_2 = \sqrt{2} \times 2 \times 10^6 = 2\sqrt{2} \times 10^6 \ m/s$ प्राप्त होता है।

(B) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$.
बामर श्रेणी के लिए, संक्रमण $n_1 = 2$ पर समाप्त होता है।
अधिकतम ऊर्जा वाला फोटॉन $n_2 = \infty$ से $n_1 = 2$ तक के संक्रमण के अनुरूप होता है।
इन मानों को रखने पर: $E_{\text{max}} = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) \text{ eV} = 13.6 \times \frac{1}{4} \text{ eV} = 3.4 \text{ eV}$.
फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन के लिए, आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\phi)$ से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए। अतः, वह अधिकतम कार्य फलन जिसके लिए फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित हो सकते हैं, आपतित फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा के बराबर यानी $3.4 \text{ eV}$ है।

(B) दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n_2 = 3)$ से मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में संक्रमण के दौरान मुक्त फोटॉन की ऊर्जा:
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right] \ eV$
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right] = 13.6 \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] = 13.6 \times \frac{8}{9} \approx 12.09 \ eV \approx 12.1 \ eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$:
$K_{\max} = E - W = 12.1 \ eV - 3.1 \ eV = 9.0 \ eV$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK_{\max}}}$ है।
सूत्र $\lambda \approx \frac{12.27}{\sqrt{K_{\max}}} \ \text{Å}$ (जहाँ $K_{\max}$ $eV$ में है) का उपयोग करने पर:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{9}} = \frac{12.27}{3} = 4.09 \ \text{Å}$.
अतः,तरंगदैर्ध्य लगभग $4 \ \text{Å}$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ पदार्थ का कार्य फलन (work function) है।
चूँकि $K_{max} = e V_s$,जहाँ $V_s$ निरोधी विभव है,हमारे पास $e V_s = E - \phi$ है।
प्रथम स्थिति के लिए: $e(1.7 \ V) = 3.1 \ eV - \phi$,जिसका अर्थ है $\phi = 3.1 \ eV - 1.7 \ eV = 1.4 \ eV$ है।
द्वितीय स्थिति के लिए: $e V_s' = 2.5 \ eV - \phi$ है।
$\phi$ का मान रखने पर: $e V_s' = 2.5 \ eV - 1.4 \ eV = 1.1 \ eV$ प्राप्त होता है।
अतः,निरोधी विभव $V_s' = 1.1 \ V$ होगा।

(A) उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ का सूत्र है: $K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2$।
यहाँ $m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$ और $v_{max} = 8 \times 10^5 \text{ m/s}$ दिया गया है।
$K_{max} = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-31}) \times (8 \times 10^5)^2$।
$K_{max} = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times 64 \times 10^{10} = 288 \times 10^{-21} \text{ J}$।
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट (eV) में बदलने के लिए,इलेक्ट्रॉन के आवेश $(e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C})$ से विभाजित करें:
$K_{max} \text{ (eV में)} = \frac{288 \times 10^{-21}}{1.6 \times 10^{-19}} = 180 \times 10^{-2} = 1.8 \text{ eV}$।
निरोधी विभव $(V_s)$ और अधिकतम गतिज ऊर्जा के बीच संबंध है: $K_{max} = e V_s$।
अतः,$V_s = \frac{K_{max}}{e} = 1.8 \text{ V}$।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi_0$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है और $\phi_0$ कार्य फलन है।
चूंकि $K_{max} = eV_s$, जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $V_s$ निरोधी विभव है, हम लिख सकते हैं:
$eV_s = h\nu - \phi_0$
$V_s = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\phi_0}{e}$
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ के रूप में है, जहाँ $y = V_s$, $x = \nu$, और ढाल $m = \frac{h}{e}$ है।
दिया गया है $h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ Js}$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
ढाल $m = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{1.6 \times 10^{-19}} = 4.125 \times 10^{-15} \text{ JsC}^{-1}$.
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $\phi_0$ कार्य फलन (work function) है।
चूंकि $K_{max} = eV_0$,जहाँ $V_0$ कट-ऑफ (स्टॉपिंग) विभव है और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,इसलिए हमारे पास $eV_0 = h\nu - \phi_0$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $V_0 = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\phi_0}{e}$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,कट-ऑफ वोल्टेज $V_0$ और आवृत्ति $\nu$ के बीच के ग्राफ का ढाल $m = \frac{h}{e}$ है।
मान रखने पर: $\text{ढाल} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{1.6 \times 10^{-19} \ C} = 4.14 \times 10^{-15} \ V \cdot s$.

(C) धातु का कार्य फलन $\phi_0 = 1.1 \ eV$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है।
चूँकि $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2(E - \phi_0)}{m}}$ होता है।
$E_1 = 1.5 \ eV$ ऊर्जा वाली पहली किरण के लिए,अधिकतम वेग $v_1 = \sqrt{\frac{2(1.5 - 1.1)}{m}} = \sqrt{\frac{2(0.4)}{m}}$ है।
$E_2 = 2 \ eV$ ऊर्जा वाली दूसरी किरण के लिए,अधिकतम वेग $v_2 = \sqrt{\frac{2(2 - 1.1)}{m}} = \sqrt{\frac{2(0.9)}{m}}$ है।
अधिकतम वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{0.4}{0.9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ है।
अतः,अनुपात $2:3$ है।

(A) दिया गया है:
कार्य फलन,$W = 2.2 \,eV$
आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 400 \,nm$
आपतित फोटॉन की ऊर्जा इस प्रकार है:
$E = \frac{1240 \,eV \cdot nm}{\lambda (nm)} = \frac{1240}{400} = 3.1 \,eV$
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$E = W + K_{max}$
जहाँ $K_{max} = e V_s$ ($V_s$ निरोधी विभव है)।
$e V_s = E - W$
$e V_s = 3.1 \,eV - 2.2 \,eV = 0.9 \,eV$
अतः,निरोधी विभव $V_s = 0.9 \,V$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$ $K_{\max} = h\nu - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
$1$. कथन $I$ गलत है क्योंकि $K_{\max}$ सीधे आवृत्ति $\nu$ पर निर्भर करता है।
$2$. कथन $II$ गलत है क्योंकि प्रकाश-विद्युत प्रभाव के लिए प्रकाश की आवृत्ति का देहली आवृत्ति (threshold frequency,$\nu_0$) से अधिक होना आवश्यक है,चाहे तीव्रता कुछ भी हो।
$3$. कथन $III$ सही है क्योंकि $K_{\max}$ केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करता है,उसकी तीव्रता पर नहीं।
$4$. कथन $IV$ सही है क्योंकि जैसे-जैसे आवृत्ति $\nu$ बढ़ती है,$K_{\max} = h\nu - \phi$ भी बढ़ता है।
अतः,कथन $III$ और $IV$ सही हैं।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,स्टॉपिंग पोटेंशियल $V_s$ और आवृत्ति $\nu$ के बीच संबंध है:
$e V_s = h \nu - \phi$
$V_s$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$V_s = \left( \frac{h}{e} \right) \nu - \frac{\phi}{e}$
यह $y = mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जहाँ ढाल $m = \frac{h}{e}$ है।
प्रश्न के अनुसार ढाल $4 \times 10^{-15} \ V \ s$ है,इसलिए:
$\frac{h}{e} = 4 \times 10^{-15} \ V \ s$
$h = (4 \times 10^{-15} \ V \ s) \times (1.6 \times 10^{-19} \ C)$
$h = 6.4 \times 10^{-34} \ J \ s$
अतः,प्लांक नियतांक का मान $6.4 \times 10^{-34} \ J \ s$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E._{max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K.E._{max} = E - W$
जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $W$ धातु का कार्य फलन है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा:
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{248 \, nm} = 5.0 \, eV$
अधिकतम गतिज ऊर्जा और निरोधी विभव $(V_s)$ के बीच संबंध:
$K.E._{max} = e V_s = 2.8 \, eV$
इन मानों को प्रकाश-विद्युत समीकरण में रखने पर:
$2.8 \, eV = 5.0 \, eV - W$
$W = 5.0 \, eV - 2.8 \, eV$
$W = 2.2 \, eV$
अतः, धातु का कार्य फलन $2.2 \, eV$ है।

(A) प्रकाश-विद्युत समीकरण $eV_S = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
अतः, निरोधी विभव $V_S = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ है।
पहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 200 \, nm$ के लिए, निरोधी विभव $V_{S1} = \frac{1240}{e} \left( \frac{1}{200} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ है।
दूसरी तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = 400 \, nm$ के लिए, निरोधी विभव $V_{S2} = \frac{1240}{e} \left( \frac{1}{400} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ है।
निरोधी विभव में कमी $\Delta V_S = V_{S1} - V_{S2}$ है।
$\Delta V_S = \frac{1240}{e} \left( \frac{1}{200} - \frac{1}{\lambda_0} - \left( \frac{1}{400} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \right)$.
$\Delta V_S = \frac{1240}{e} \left( \frac{1}{200} - \frac{1}{400} \right) = \frac{1240}{e} \left( \frac{2-1}{400} \right) = \frac{1240}{400} = 3.1 \, V$.

(A) उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_{\max}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$
यहाँ $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$ और $v_{\max} = 1.6 \times 10^6 \ m/s$ दिया गया है,इसलिए:
$(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^6)^2$
$(K.E.)_{\max} = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times 2.56 \times 10^{12}$
$(K.E.)_{\max} = 11.52 \times 10^{-19} \ J$
निरोधी विभव $V_s$ और अधिकतम गतिज ऊर्जा के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$e V_s = (K.E.)_{\max}$
$V_s = \frac{(K.E.)_{\max}}{e} = \frac{11.52 \times 10^{-19} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ C}$
$V_s = 7.2 \ V$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$h \nu - W = K_{\text{max}}$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,$W$ कार्य फलन है और $K_{\text{max}}$ उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
चूंकि गतिज ऊर्जा ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $K_{\text{max}} \geq 0$ होना चाहिए।
अतः,$h \nu - W \geq 0$,जिसका अर्थ है $h \nu \geq W$।
दिया गया है कि कार्य फलन $W = h \nu_0$,इसलिए शर्त $h \nu \geq h \nu_0$ हो जाती है।
दोनों पक्षों को $h$ से विभाजित करने पर,हमें $\nu \geq \nu_0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,प्रकाश-विद्युत प्रभाव केवल तभी होगा यदि आपतित प्रकाश की आवृत्ति देहली आवृत्ति (threshold frequency) $\nu_0$ से अधिक या उसके बराबर हो।

(D) दिया गया है,कार्य-फलन $\phi_0 = 1.5 \ eV$ है। निरोधी विभव (stopping potential) $V_s$ आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दिया जाता है: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$। चूंकि $V_s \propto \frac{1}{\lambda}$,छोटी तरंगदैर्ध्य बड़े निरोधी विभव (अधिक ऋणात्मक) के अनुरूप होती है।
तरंगदैर्ध्य की तुलना करने पर: $\lambda_A = 200 \ nm < \lambda_B = 400 \ nm < \lambda_C = 600 \ nm$। अतः,निरोधी विभव का परिमाण $|V_A| > |V_B| > |V_C|$ क्रम में होगा। ग्राफ से,निरोधी विभव $V_1, V_2, V_3, V_4$ हैं जहाँ $|V_1| > |V_2| > |V_3| > |V_4|$ है। इसलिए,$A \rightarrow V_2$,$B \rightarrow V_3$,और $C \rightarrow V_4$ है।
संतृप्ति प्रकाश-धारा आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है। दी गई तीव्रताएँ: $I_A = 1.8 \ W/m^2$,$I_B = 1 \ W/m^2$,$I_C = 0.5 \ W/m^2$ हैं। अतः,संतृप्ति धारा का क्रम $I_A > I_B > I_C$ है।
इन्हें वक्रों के साथ मिलाने पर:
वक्र $III$ का निरोधी विभव $V_2$ है और उच्च संतृप्ति धारा है,जो प्रकाश $A$ के अनुरूप है।
वक्र $II$ का निरोधी विभव $V_3$ है और मध्यम संतृप्ति धारा है,जो प्रकाश $B$ के अनुरूप है।
वक्र $IV$ का निरोधी विभव $V_4$ है और कम संतृप्ति धारा है,जो प्रकाश $C$ के अनुरूप है।
अतः,सही मिलान $A \rightarrow III, B \rightarrow II, C \rightarrow IV$ है। विकल्प $(d)$ सही है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
$\lambda_1 = 600 \ nm$ के लिए,$K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$ --- $(i)$
$\lambda_2 = 400 \ nm$ के लिए,$K_2 = 2K_1 = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$ --- (ii)
$(i)$ से,$K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$. इस मान को (ii) में रखने पर:
$2 \left( \frac{hc}{\lambda_1} - \phi \right) = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$
$\frac{2hc}{\lambda_1} - 2\phi = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$
$\phi = hc \left( \frac{2}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right)$
मान रखने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J-s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,$\lambda_1 = 600 \times 10^{-9} \ m$,$\lambda_2 = 400 \times 10^{-9} \ m$:
$\phi = (6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8) \left( \frac{2}{600 \times 10^{-9}} - \frac{1}{400 \times 10^{-9}} \right)$
$\phi = (19.89 \times 10^{-26}) \times 10^9 \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{400} \right)$
$\phi = 19.89 \times 10^{-17} \left( \frac{4-3}{1200} \right) = \frac{19.89 \times 10^{-17}}{1200} \ J$
$\phi = \frac{19.89 \times 10^{-17}}{1200 \times 1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 1.036 \ eV \approx 1.02 \ eV$.

(A) माना कि $\phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार है:
$K_{\max} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ --- $(i)$
दिया गया है कि फोटॉन की प्रारंभिक ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = 2.4 \text{ eV}$ है।
जब तरंगदैर्ध्य को $50 \%$ कम किया जाता है, तो नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{\lambda}{2}$ हो जाती है।
फोटॉन की नई ऊर्जा $E' = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{hc}{\lambda / 2} = 2 \left( \frac{hc}{\lambda} \right) = 2 \times 2.4 \text{ eV} = 4.8 \text{ eV}$ है।
नया अधिकतम वेग $v' = 3v$ है, इसलिए नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $K'_{\max} = \frac{1}{2} m (3v)^2 = 9 \left( \frac{1}{2} m v^2 \right) = 9 K_{\max}$ है।
दूसरे मामले के लिए प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करने पर:
$9 K_{\max} = E' - \phi_0 = 4.8 - \phi_0$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ से, $K_{\max} = 2.4 - \phi_0$ है।
इस मान को समीकरण (ii) में रखने पर:
$9(2.4 - \phi_0) = 4.8 - \phi_0$
$21.6 - 9\phi_0 = 4.8 - \phi_0$
$8\phi_0 = 21.6 - 4.8 = 16.8$
$\phi_0 = \frac{16.8}{8} = 2.1 \text{ eV}$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ को $K_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2 = E - \phi_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi_0$ कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए,$E_1 = 4 \text{ eV}$ और $\phi_0 = 2 \text{ eV}$:
$\frac{1}{2} m v_1^2 = 4 - 2 = 2 \text{ eV} \quad \dots(i)$
दूसरी स्थिति के लिए,$E_2 = 2.5 \text{ eV}$ और $\phi_0 = 2 \text{ eV}$:
$\frac{1}{2} m v_2^2 = 2.5 - 2 = 0.5 \text{ eV} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{1}{2} m v_1^2}{\frac{1}{2} m v_2^2} = \frac{2}{0.5}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = 4$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{4} = 2$

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E_K = E - \phi_0$,जहाँ $E_K$ गतिज ऊर्जा है,$E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi_0$ धातु की सतह का कार्य फलन है।
इससे हमें प्राप्त होता है $E = E_K + \phi_0$ ... $(i)$।
जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा में $20 \%$ की वृद्धि की जाती है,तो नई ऊर्जा $E'$ का मान $E' = E + 0.2E = 1.2E$ हो जाता है।
नई गतिज ऊर्जा $E_K'$ को $E_K' = E' - \phi_0$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $E' = E_K' + \phi_0$ ... (ii)।
समीकरण (ii) में $E' = 1.2E$ रखने पर,हमें $1.2E = E_K' + \phi_0$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ से,$E = 0.5 + \phi_0$ है। इस मान को संशोधित समीकरण (ii) में रखने पर:
$1.2(0.5 + \phi_0) = 0.8 + \phi_0$
$0.6 + 1.2\phi_0 = 0.8 + \phi_0$
$1.2\phi_0 - \phi_0 = 0.8 - 0.6$
$0.2\phi_0 = 0.2$
$\phi_0 = 1.0 \ eV$।

(B) दिया गया है, कार्य फलन $\phi = 2.4 \text{ eV}$.
मूल अवस्था में हाइड्रोजन परमाणु को आयनित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E_i = 13.6 \text{ eV}$ है।
फोटोइलेक्ट्रॉन द्वारा हाइड्रोजन परमाणु को आयनित करने के लिए, फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ हाइड्रोजन परमाणु की आयनीकरण ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए।
अतः, $KE_{max} = 13.6 \text{ eV}$.
प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $E = KE_{max} + \phi$, जहाँ $E = \frac{hc}{\lambda}$.
मान रखने पर: $\frac{1240}{\lambda} = 13.6 + 2.4$.
$\frac{1240}{\lambda} = 16$.
$\lambda = \frac{1240}{16} = 77.5 \text{ nm}$.

(B) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में ऊर्जा समीकरण आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$e V_0 = h \nu - \phi_0 \Rightarrow V_0 = \frac{h \nu}{e} - \frac{\phi_0}{e}$ $\ldots$ $(i)$
जहाँ $V_0$ निरोधी विभव है,$h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आवृत्ति है,और $\phi_0$ कार्य फलन (work function) है।
जब आवृत्ति को दोगुना किया जाता है,तो नई आवृत्ति $\nu' = 2\nu$ होती है।
नया निरोधी विभव $V_0'$ इस प्रकार है:
$V_0' = \frac{h(2\nu)}{e} - \frac{\phi_0}{e} = \frac{2h\nu}{e} - \frac{\phi_0}{e}$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$V_0' = 2\left(\frac{h\nu}{e} - \frac{\phi_0}{e}\right) + \frac{\phi_0}{e}$
समीकरण $(i)$ को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$V_0' = 2V_0 + \frac{\phi_0}{e}$
चूंकि $\frac{\phi_0}{e} > 0$,इसलिए यह स्पष्ट है कि $V_0' > 2V_0$।
अतः,निरोधी विभव दोगुने से अधिक हो जाएगा।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE)_{\max }$ इस प्रकार दी जाती है: $(KE)_{\max } = h\nu - \phi_0$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से तुलना करने पर,जहाँ $y = (KE)_{\max }$ और $x = \nu$,हमें ढाल $m = h$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h$ (प्लांक नियतांक) एक सार्वभौमिक नियतांक है,इसलिए $(KE)_{\max }$ बनाम $\nu$ ग्राफ का ढाल सभी धातुओं के लिए समान होता है और यह आपतित विकिरण की तीव्रता से स्वतंत्र होता है।

(B) धातु की सतह का कार्य फलन $\phi_0 = 2.5 \,eV$ है।
आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 310 \,nm$ है।
स्थिरांक $hc = 1240 \,eV-nm$ दिया गया है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ इस प्रकार है:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
चूँकि निरोधी विभव $V_0$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $K_{max} = eV_0$ द्वारा संबंधित है,इसलिए:
$eV_0 = \frac{1240 \,eV-nm}{310 \,nm} - 2.5 \,eV$
$eV_0 = 4 \,eV - 2.5 \,eV$
$eV_0 = 1.5 \,eV$
अतः,निरोधी विभव $V_0 = 1.5 \,V$ होगा।

(A) दिया गया है: स्रोत की शक्ति $P = 1 \,W$, दूरी $d = 1 \,m$, संपर्क क्षेत्र की त्रिज्या $r = 1 \,Å = 10^{-10} \,m$, कार्य फलन $\phi = 5 \,eV = 5 \times 1.6 \times 10^{-19} \,J$.
$d$ दूरी पर तीव्रता $I = \frac{P}{4 \pi d^2} = \frac{1}{4 \pi (1)^2} = \frac{1}{4 \pi} \,W/m^2$.
वृत्ताकार क्षेत्र $A = \pi r^2$ द्वारा अवशोषित शक्ति $P_{abs} = I \times A = \frac{1}{4 \pi} \times \pi (10^{-10})^2 = \frac{10^{-20}}{4} \,W$.
कार्य फलन के बराबर ऊर्जा संचित करने के लिए आवश्यक समय $t = \frac{\phi}{P_{abs}}$.
मान रखने पर: $t = \frac{5 \times 1.6 \times 10^{-19}}{10^{-20} / 4} = \frac{8 \times 10^{-19}}{0.25 \times 10^{-20}} = 320 \,s$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$h v = \phi + K.E_{max}$,जहाँ $K.E_{max} = e V_s$ है।
आवृत्ति $v_1$ के लिए: $h v_1 = \phi + e V_1$ --- $(1)$
आवृत्ति $2 v_1$ के लिए: $h(2 v_1) = \phi + e(3 V_1) = \phi + 3 e V_1$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$h v_1 = \phi + e V_1$ है। इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(\phi + e V_1) = \phi + 3 e V_1$
$2 \phi + 2 e V_1 = \phi + 3 e V_1$
$\phi = e V_1$
अब,$\phi = e V_1$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$h v_1 = e V_1 + e V_1 = 2 e V_1$
आवृत्ति $4 v_1$ के लिए,माना निरोधी विभव $V_s = n V_1$ है:
$h(4 v_1) = \phi + e(n V_1)$
$4(h v_1) = e V_1 + n e V_1$
$4(2 e V_1) = e V_1(1 + n)$
$8 e V_1 = e V_1(1 + n)$
$8 = 1 + n$
$n = 7$

(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\lambda = 221 \,nm = 221 \times 10^{-9} \,m$, $h = 6.63 \times 10^{-34} \,J \cdot s$, और $c = 3 \times 10^8 \,m/s$.
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{221 \times 10^{-9}} \,J = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{221 \times 10^{-9}} \,J = 0.09 \times 10^{-17} \,J = 9 \times 10^{-19} \,J$.
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने पर:
$E = \frac{9 \times 10^{-19} \,J}{1.6 \times 10^{-19} \,J/eV} = 5.625 \,eV \approx 5.63 \,eV$.
लेड के गोले का कार्य फलन $\phi = 4.14 \,eV$ है।
उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi = 5.63 \,eV - 4.14 \,eV = 1.49 \,eV$ है।
जैसे-जैसे गोला इलेक्ट्रॉन खोता है, यह धनावेशित हो जाता है और इसका विभव तब तक बढ़ता है जब तक कि प्रकाशिक इलेक्ट्रॉन बाहर न निकल सकें। प्राप्त अधिकतम विभव $V$ का मान $eV = K_{max}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $V = 1.49 \,V$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E)$, कार्य फलन $(\Phi)$ और उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ के योग के बराबर होती है।
$E = \Phi + K_{max}$
दिया गया है:
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ = $4 eV$
अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ = $1.1 eV$
कार्य फलन ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\Phi = E - K_{max}$
$\Phi = 4 eV - 1.1 eV$
$\Phi = 2.9 eV$
अतः, धातु का कार्य फलन $2.9 eV$ है।

(D) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = hf$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $h = 6.63 \times 10^{-34} \,J-s$ और $f = 4 \times 10^{14} \,Hz$ दिया गया है।
$E = 6.63 \times 10^{-34} \times 4 \times 10^{14} = 26.52 \times 10^{-20} \,J$.
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए, इसे $1.6 \times 10^{-19} \,J/eV$ से विभाजित करें:
$E = \frac{26.52 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \,eV = 1.6575 \,eV$.
धातु का कार्य फलन $\Phi = 2.14 \,eV$ है।
चूंकि आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(1.6575 \,eV)$ कार्य फलन $(2.14 \,eV)$ से कम है, इसलिए आपतित प्रकाश में धातु की सतह से इलेक्ट्रॉनों को बाहर निकालने के लिए पर्याप्त ऊर्जा नहीं है।
अतः, कोई प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होगा और अधिकतम गतिज ऊर्जा $0 \,eV$ होगी।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE_{max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$KE_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
दिया गया है:
कार्य फलन $\phi_0 = 2 \ \text{eV} = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ \text{J} = 3.2 \times 10^{-19} \ \text{J}$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 3000 \ \text{Å} = 3000 \times 10^{-10} \ \text{m} = 3 \times 10^{-7} \ \text{m}$
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{3 \times 10^{-7}} \ \text{J} = 6.6 \times 10^{-19} \ \text{J}$
अब,$KE_{max}$ की गणना करने पर:
$KE_{max} = 6.6 \times 10^{-19} \ \text{J} - 3.2 \times 10^{-19} \ \text{J} = 3.4 \times 10^{-19} \ \text{J}$

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $E$ को $E = \frac{hc}{\lambda} - W$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $W$ धातु का कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए: $E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - W$ --- $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - W$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ में से समीकरण (ii) को घटाने पर:
$E_1 - E_2 = \left(\frac{hc}{\lambda_1} - W\right) - \left(\frac{hc}{\lambda_2} - W\right)$
$E_1 - E_2 = hc \left(\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}\right)$
$E_1 - E_2 = hc \left(\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2}\right)$
$hc$ के लिए हल करने पर:
$hc = \frac{(E_1 - E_2) \lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1}$

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
$E_1 = 2.5 eV$ ऊर्जा वाले पहले फोटॉन के लिए:
$\frac{1}{2} m v_1^2 = E_1 - \phi_0 = 2.5 eV - 1.5 eV = 1.0 eV$ $(i)$
$E_2 = 3.5 eV$ ऊर्जा वाले दूसरे फोटॉन के लिए:
$\frac{1}{2} m v_2^2 = E_2 - \phi_0 = 3.5 eV - 1.5 eV = 2.0 eV$ (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\frac{1}{2} m v_1^2}{\frac{1}{2} m v_2^2} = \frac{1.0 eV}{2.0 eV}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,अधिकतम वेगों का अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = h v - h v_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $v_0$ देहली आवृत्ति है।
आवृत्ति $v_1$ के लिए,$K_1 = h(v_1 - v_0)$.
आवृत्ति $v_2$ के लिए,$K_2 = h(v_2 - v_0)$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा का अनुपात $K_1 : K_2 = 1 : n$ दिया गया है,इसलिए $\frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{n}$.
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{h(v_1 - v_0)}{h(v_2 - v_0)} = \frac{1}{n}$.
$\frac{v_1 - v_0}{v_2 - v_0} = \frac{1}{n}$.
तिर्यक गुणा करने पर,$n(v_1 - v_0) = v_2 - v_0$.
$n v_1 - n v_0 = v_2 - v_0$.
$n v_1 - v_2 = n v_0 - v_0$.
$n v_1 - v_2 = v_0(n - 1)$.
अतः,देहली आवृत्ति $v_0 = \frac{n v_1 - v_2}{n - 1}$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = E - W_0$ होती है।
चूंकि $K = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2(E-W_0)}{m}}$ होगा।
जब $m$ द्रव्यमान और $e$ आवेश वाला कण $B$ चुंबकीय क्षेत्र में अपने वेग के लंबवत गति करता है,तो उस पर लगने वाला चुंबकीय बल उसे आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$evB = \frac{mv^2}{r}$
त्रिज्या $r$ के लिए हल करने पर,$r = \frac{mv}{eB}$ प्राप्त होता है।
$v$ का मान समीकरण में रखने पर:
$r = \frac{m}{eB} \sqrt{\frac{2(E-W_0)}{m}} = \frac{\sqrt{2m(E-W_0)}}{eB}$.