Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Hindi

(B) धातु का कार्य फलन $W_0 = 3.31 \times 10^{-19} \,J$ दिया गया है।
आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \text{ Å} = 5000 \times 10^{-10} \,m = 5 \times 10^{-7} \,m$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = W_0 + KE_{max}$ है,जहाँ $KE_{max}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{5 \times 10^{-7}} \,J$ होगी।
$E = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{5 \times 10^{-7}} = 3.972 \times 10^{-19} \,J$.
अब,$KE_{max} = E - W_0 = 3.972 \times 10^{-19} \,J - 3.31 \times 10^{-19} \,J = 0.662 \times 10^{-19} \,J$.
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,इसे इलेक्ट्रॉन के आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ से विभाजित करने पर:
$KE_{max} = \frac{0.662 \times 10^{-19} \,J}{1.6 \times 10^{-19} \,C} = 0.41375 \,eV \approx 0.41 \,eV$.

(C) आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार: $e V_0 = h \nu - h \nu_0$,जहाँ $V_0$ स्टॉपिंग पोटेंशियल है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
देहली आवृत्ति $\nu_0$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $\nu_0 = \nu - \frac{e V_0}{h}$.
चूंकि $\nu = \frac{c}{\lambda}$,इसलिए $\nu_0 = \frac{c}{\lambda} - \frac{e V_0}{h}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $c = 3 \times 10^8 \,m/s$,$\lambda = 2 \times 10^{-7} \,m$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$,$V_0 = 2.5 \,V$,और $h = 6.6 \times 10^{-34} \,J-s$.
$\nu_0 = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^{-7}} - \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 2.5}{6.6 \times 10^{-34}}$
$\nu_0 = 1.5 \times 10^{15} - 0.606 \times 10^{15} \approx 0.894 \times 10^{15} \,Hz$.
अतः,$\nu_0 \approx 9.0 \times 10^{14} \,Hz$ प्राप्त होता है।

(C) स्टॉपिंग पोटेंशियल $V_0$ आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दिया जाता है: $e V_0 = K_{\text{max}} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
दिया है:
कार्य फलन $\phi = 5 \text{ eV} = 5 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 8 \times 10^{-19} \text{ J}$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2000 \text{ Å} = 2 \times 10^{-7} \text{ m}$.
प्लांक नियतांक $h = 6.67 \times 10^{-34} \text{ J-s}$.
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
आपतित फोटॉन की ऊर्जा की गणना:
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.67 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{2 \times 10^{-7}} = 10.005 \times 10^{-19} \text{ J}$.
अब,समीकरण में मान रखने पर:
$e V_0 = 10.005 \times 10^{-19} \text{ J} - 8 \times 10^{-19} \text{ J} = 2.005 \times 10^{-19} \text{ J}$.
$V_0 = \frac{2.005 \times 10^{-19} \text{ J}}{1.6 \times 10^{-19} \text{ C}} \approx 1.25 \text{ V}$.

(C) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण इस प्रकार है:
$h \nu = h \nu_0 + K_{max}$
चूंकि निरोधी विभव (stopping potential) $V_0 = 3 \ V$ है,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = e V_0 = 1.6 \times 10^{-19} \times 3 \ J$ है।
देहली आवृत्ति (threshold frequency) $\nu_0 = 6 \times 10^{14} \ s^{-1}$ है।
संबंध $h \nu = h \nu_0 + e V_0$ का उपयोग करते हुए:
$\nu = \nu_0 + \frac{e V_0}{h}$
$\nu = 6 \times 10^{14} + \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 3}{6.4 \times 10^{-34}}$
$\nu = 6 \times 10^{14} + \frac{4.8 \times 10^{-19}}{6.4 \times 10^{-34}}$
$\nu = 6 \times 10^{14} + 0.75 \times 10^{15}$
$\nu = 6 \times 10^{14} + 7.5 \times 10^{14} = 13.5 \times 10^{14} \ s^{-1}$.

(B) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V_0$ निरोधी विभव है और $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रथम स्थिति के लिए: $4.8 = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \quad \dots (i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $1.6 = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{4.8}{1.6} = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$3 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$3 \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{3}{2\lambda} - \frac{3}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{3}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{3}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{1}{2\lambda} = \frac{2}{\lambda_0}$
$\lambda_0 = 4\lambda$

(D) मान लीजिए कि धातु का कार्य फलन $W$ है।
पहले फोटॉन की ऊर्जा $E_1 = 2W$ है।
दूसरे फोटॉन की ऊर्जा $E_2 = 3W$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE)_{\max} = E - W$ द्वारा दी जाती है।
पहले फोटॉन के लिए: $(KE_1)_{\max} = 2W - W = W$।
दूसरे फोटॉन के लिए: $(KE_2)_{\max} = 3W - W = 2W$।
अधिकतम गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{(KE_1)_{\max}}{(KE_2)_{\max}} = \frac{W}{2W} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि $(KE)_{\max} = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{1}{2}$।
इसे सरल करने पर $\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिससे $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ मिलता है।
अतः,अधिकतम वेगों का अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE)_{\max}$ इस प्रकार है:
$(KE)_{\max} = h v - h v_0$,जहाँ $v$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है और $v_0$ देहली आवृत्ति है।
पहली स्थिति के लिए आवृत्ति $v_1$ है: $(KE_1)_{\max} = h(v_1 - v_0)$.
दूसरी स्थिति के लिए आवृत्ति $v_2$ है: $(KE_2)_{\max} = h(v_2 - v_0)$.
दिया गया है कि अधिकतम गतिज ऊर्जा का अनुपात $1:k$ है,इसलिए:
$\frac{(KE_1)_{\max}}{(KE_2)_{\max}} = \frac{1}{k} = \frac{h(v_1 - v_0)}{h(v_2 - v_0)}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$v_2 - v_0 = k(v_1 - v_0)$.
$v_2 - v_0 = k v_1 - k v_0$.
$v_0$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$k v_0 - v_0 = k v_1 - v_2$.
$v_0(k - 1) = k v_1 - v_2$.
$v_0 = \frac{k v_1 - v_2}{k - 1}$.

(C) अल्बर्ट आइंस्टीन अपने विशिष्ट सापेक्षता के सिद्धांत और सामान्य सापेक्षता के कार्य के लिए व्यापक रूप से जाने जाते हैं। हालाँकि,उन्हें $1921$ में भौतिकी में नोबेल पुरस्कार विशेष रूप से प्रकाश-विद्युत प्रभाव (photoelectric effect) के नियम की खोज के लिए दिया गया था।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है: आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = 10.5 \ eV$ है।
फोटोइलेक्ट्रॉन का अधिकतम वेग $v = 1.6 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$ है।
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$ है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा $K.E._{\max} = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
$K.E._{\max} = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^6)^2 = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times 2.56 \times 10^{12} = 11.52 \times 10^{-19} \ J$ है।
इसे इलेक्ट्रॉन-वोल्ट में बदलने पर: $K.E._{\max} = \frac{11.52 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 7.2 \ eV$ प्राप्त होता है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E = \phi + K.E._{\max}$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
$\phi = E - K.E._{\max} = 10.5 \ eV - 7.2 \ eV = 3.3 \ eV$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु से उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा:
$E = E_2 - E_1 = -\frac{13.6}{2^2} - (-\frac{13.6}{1^2}) = -3.4 + 13.6 = 10.2 \ eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए:
$E = \phi + K_{max}$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है और $K_{max} = eV_s$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
$10.2 \ eV = 4.2 \ eV + eV_s$.
$eV_s = 10.2 \ eV - 4.2 \ eV = 6.0 \ eV$.
अतः,निरोधी विभव $V_s = 6 \ V$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K$ है:
$K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
जब $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाला इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत गति करता है,तो वह $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर चलता है,जिसका सूत्र है:
$R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$R^2 = \frac{2mK}{q^2 B^2}$
$B^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$B^2 = \frac{2mK}{q^2 R^2}$
$K$ का मान रखने पर:
$B^2 = \frac{2m}{q^2 R^2} \left( \frac{hc}{\lambda} - \phi \right)$
$B^2 = \left( \frac{2mhc}{q^2 R^2} \right) \frac{1}{\lambda} - \left( \frac{2m\phi}{q^2 R^2} \right)$
यह $y = mx + c$ के रूप की एक सीधी रेखा का समीकरण है,जहाँ $y = B^2$,$x = \frac{1}{\lambda}$,ढाल $m = \frac{2mhc}{q^2 R^2}$ (धनात्मक),और अंतःखंड $c = -\frac{2m\phi}{q^2 R^2}$ (ऋणात्मक) है।
अतः,ग्राफ एक सीधी रेखा है जिसकी ढाल धनात्मक है और y-अंतःखंड ऋणात्मक है। यह ग्राफ $C$ के अनुरूप है।

(D) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$hc \approx 12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करने पर,$E = \frac{12400}{4770} \ \text{eV} \approx 2.6 \ \text{eV}$ प्राप्त होता है।
प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन होने के लिए,आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\phi)$ से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए $(E \ge \phi)$।
$E = 2.6 \ \text{eV}$ की तुलना कार्य फलनों से करने पर:
धातु $A$ के लिए: $2.6 \ \text{eV} < 4.2 \ \text{eV}$ (उत्सर्जन नहीं होगा)
धातु $B$ के लिए: $2.6 \ \text{eV} < 3.7 \ \text{eV}$ (उत्सर्जन नहीं होगा)
धातु $C$ के लिए: $2.6 \ \text{eV} < 3.2 \ \text{eV}$ (उत्सर्जन नहीं होगा)
धातु $D$ के लिए: $2.6 \ \text{eV} > 2.3 \ \text{eV}$ (उत्सर्जन होगा)
अतः,केवल धातु $D$ से ही इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन होगा।

(A, B) दिया गया विद्युत क्षेत्र $E = a \cos \omega_{0} t + \frac{a}{2} [\sin(\omega + \omega_{0})t + \sin(\omega - \omega_{0})t]$ है।
यह तीन आवृत्तियों की उपस्थिति को दर्शाता है: $f_{0} = \frac{\omega_{0}}{2\pi}$,$f_{1} = \frac{\omega + \omega_{0}}{2\pi}$,और $f_{2} = \frac{|\omega - \omega_{0}|}{2\pi}$।
अधिकतम ऊर्जा उच्चतम आवृत्ति $f_{1} = \frac{6 \times 10^{15}}{2\pi} \text{ Hz}$ के अनुरूप है।
इस फोटॉन की ऊर्जा $E_{max} = h f_{1} = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 6 \times 10^{15}}{2 \times 3.14 \times 1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} \approx 3.95 \text{ eV}$ है।
दिया गया निरोधी विभव $V_{s} = 2 \text{ V}$ है,इसलिए $KE_{max} = 2 \text{ eV}$।
$KE_{max} = E_{max} - \phi$ का उपयोग करने पर,$2 \text{ eV} = 3.95 \text{ eV} - \phi$,इसलिए $\phi = 1.95 \text{ eV}$।
आवृत्ति $\omega = 10^{15} \text{ s}^{-1}$ के लिए,ऊर्जा $E = h(\frac{\omega}{2\pi}) \approx 0.66 \text{ eV}$ है।
चूंकि $E < \phi$,इसलिए $\omega$ आवृत्ति के लिए प्रकाश-विद्युत प्रभाव संभव नहीं है।
आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण $eV_{s} = hf - \phi$ $V_{s}$ और $f$ के बीच एक सीधी रेखा का ग्राफ दर्शाता है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $T$ को $T = hv - \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$v$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि $T$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति $v$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
इसके अतिरिक्त,प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की संख्या आपतित प्रकाश की तीव्रता $J$ के सीधे आनुपातिक होती है,बशर्ते आवृत्ति $v$ देहली आवृत्ति $v_{0}$ से अधिक हो।
अतः,विकल्प $(D)$ प्रकाश-विद्युत प्रभाव का एक मानक अवलोकन है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$h v = W + e V$,जहाँ $W$ कार्य फलन है,$v$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $V$ निरोधी विभव है।
आवृत्ति $v_{1}$ के लिए: $h v_{1} = W + e V_{1}$ --- $(i)$
आवृत्ति $v_{2}$ के लिए: $h v_{2} = W + e V_{2}$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ से $h = \frac{W + e V_{1}}{v_{1}}$ प्राप्त करके इसे समीकरण (ii) में रखने पर:
$(\frac{W + e V_{1}}{v_{1}}) v_{2} = W + e V_{2}$
$W v_{2} + e V_{1} v_{2} = W v_{1} + e V_{2} v_{1}$
$e(V_{1} v_{2} - V_{2} v_{1}) = W v_{1} - W v_{2}$
$e(V_{1} v_{2} - V_{2} v_{1}) = -W(v_{2} - v_{1})$
$e = \frac{W(v_{2} - v_{1})}{V_{2} v_{1} - V_{1} v_{2}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) सीज़ियम का कार्य फलन $\phi = 2.27 eV$ है।
आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 600 nm = 600 \times 10^{-9} m$ है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर ($h = 6.63 \times 10^{-34} Js$,$c = 3 \times 10^8 m/s$):
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{600 \times 10^{-9}} J = 3.315 \times 10^{-19} J$.
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने पर:
$E = \frac{3.315 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} eV \approx 2.07 eV$.
चूंकि आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(2.07 eV)$ सीज़ियम के कार्य फलन $(2.27 eV)$ से कम है,इसलिए प्रकाश-विद्युत प्रभाव नहीं होगा।
अतः,कोई इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं होगा और किसी कट-ऑफ वोल्टेज की आवश्यकता नहीं होगी। इसलिए,सही उत्तर $D$ है।

(B) प्रकाश-विद्युत प्रभाव तब होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ धातु के कार्य फलन $\phi$ से अधिक या उसके बराबर होती है।
कार्य फलन की सीमा $2 eV \leq \phi \leq 5 eV$ दी गई है,इसलिए देहली तरंगदैर्ध्य (threshold wavelength) $\lambda$ को $\lambda \leq \frac{hc}{\phi}$ शर्त को पूरा करना चाहिए।
$\phi = 2 eV$ के लिए,$\lambda_{\max} = \frac{4 \times 10^{-15} eVs \times 3 \times 10^{8} m/s}{2 eV} = 6 \times 10^{-7} m = 600 nm$.
$\phi = 5 eV$ के लिए,$\lambda_{\min} = \frac{4 \times 10^{-15} eVs \times 3 \times 10^{8} m/s}{5 eV} = 2.4 \times 10^{-7} m = 240 nm$.
अतः,प्रकाश-विद्युत प्रभाव उत्पन्न करने वाली तरंगदैर्ध्य की सीमा $240 nm \leq \lambda \leq 600 nm$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$650 nm$ का मान $600 nm$ से अधिक है,इसलिए यह प्रकाश-विद्युत प्रभाव उत्पन्न नहीं कर सकता है।

(A, B, D) प्रकाश-विद्युत प्रभाव के प्रायोगिक अवलोकनों के अनुसार:
$1$. उपयुक्त विकिरण के अवशोषण और इलेक्ट्रॉनों के उत्सर्जन के बीच कोई महत्वपूर्ण समय अंतराल नहीं होता है,बहुत कम तीव्रता पर भी।
$2$. आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण $K_{max} = h\nu - \phi_0$ है,जहाँ $\phi_0$ कार्य फलन (work function) है। इलेक्ट्रॉन केवल तभी उत्सर्जित होते हैं यदि $\nu > \nu_0$ (देहली आवृत्ति) हो। अतः,देहली आवृत्ति से नीचे कोई इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं होते हैं।
$3$. अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ आवृत्ति $\nu$ का एक रैखिक फलन है,लेकिन यह सीधे समानुपाती नहीं है (कार्य फलन पद $\phi_0$ के कारण)।
$4$. अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ केवल आपतित विकिरण की आवृत्ति और धातु के कार्य फलन पर निर्भर करती है; यह आपतित विकिरण की तीव्रता से स्वतंत्र है।
अतः,कथन $(a)$,$(b)$ और $(d)$ सही हैं।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h v - \phi_{0}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi_{0}$ धातु का कार्य फलन है।
चूँकि $K_{max} = e V_{s}$,जहाँ $V_{s}$ निरोधी विभव है,इसलिए $e V_{s} = h v - \phi_{0}$।
प्रथम स्थिति के लिए: $e V_{1} = h v_{1} - \phi_{0}$ ---$(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $e V_{2} = h v_{2} - \phi_{0}$ ---(ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$e V_{2} - e V_{1} = (h v_{2} - \phi_{0}) - (h v_{1} - \phi_{0})$
$e(V_{2} - V_{1}) = h(v_{2} - v_{1})$
$v_{2} - v_{1} = \frac{e}{h}(V_{2} - V_{1})$
$v_{2} = v_{1} + \frac{e}{h}(V_{2} - V_{1})$

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $h\nu = h\nu_{0} + eV_{0}$,जहाँ $\nu_{0}$ देहली आवृत्ति है।
प्रथम स्थिति के लिए:
$h\nu = h\nu_{0} + eV_{0}$ --- $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए:
$h(\frac{\nu}{2}) = h\nu_{0} + e(\frac{V_{0}}{4})$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ से,हमें प्राप्त होता है $eV_{0} = h\nu - h\nu_{0}$।
इस मान को समीकरण (ii) में रखने पर:
$\frac{h\nu}{2} = h\nu_{0} + \frac{1}{4}(h\nu - h\nu_{0})$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$2h\nu = 4h\nu_{0} + h\nu - h\nu_{0}$
$2h\nu = 3h\nu_{0} + h\nu$
$h\nu = 3h\nu_{0}$
$\nu_{0} = \frac{\nu}{3}$

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,जब उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा शून्य होती है,तो आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन के बराबर होती है।
$ E = h\nu = \phi $
जहाँ $ \phi = 110 \times 10^{-20} \ J $ कार्य फलन है और $ h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s $ प्लांक नियतांक है।
आवृत्ति $ \nu $ का मान $ \nu = \frac{\phi}{h} $ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय आवृत्ति $ \omega $ का संबंध आवृत्ति से $ \omega = 2\pi\nu $ द्वारा होता है।
मान रखने पर:
$ \omega = 2\pi \left( \frac{\phi}{h} \right) = \frac{2 \times 3.14 \times 110 \times 10^{-20}}{6.63 \times 10^{-34}} $
$ \omega \approx 1.04 \times 10^{16} \ rad/s $.

(A) दिया गया विद्युत क्षेत्र समीकरण $E = 60 \sin(3 \times 10^{15} t) + \sin(12 \times 10^{15} t)$ है।
यह दो प्रकाश तरंगों को दर्शाता है जिनकी कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = 3 \times 10^{15} \text{ rad/s}$ और $\omega_2 = 12 \times 10^{15} \text{ rad/s}$ हैं।
फोटॉन की ऊर्जा $E_{ph} = \hbar \omega = \frac{h \omega}{2\pi}$ द्वारा दी जाती है।
उच्च आवृत्ति घटक $\omega_2 = 12 \times 10^{15} \text{ rad/s}$ के लिए:
$E_{ph} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 12 \times 10^{15}}{2 \times 3.14} \text{ J}$.
$E_{ph} \approx 1.265 \times 10^{-18} \text{ J}$.
इसे इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(\text{eV})$ में बदलने पर: $E_{ph} = \frac{1.265 \times 10^{-18}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 7.9 \text{ eV}$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = E_{ph} - \phi_0$.
दिया गया कार्य फलन $\phi_0 = 2.8 \text{ eV}$.
$K_{max} = 7.9 \text{ eV} - 2.8 \text{ eV} = 5.1 \text{ eV}$.

(D) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण $eV_0 = h\nu - \Phi$ है,जहाँ $\Phi$ कार्य फलन (work function) है।
इस समीकरण को $y = mx + c$ के रूप में व्यवस्थित करने पर,हमें $V_0 = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\Phi}{e}$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = V_0$ और $x = \nu$ है,ढाल $m = \frac{h}{e}$ प्राप्त होती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ और निरोधी विभव (स्टॉपिंग पोटेंशियल) $(V_0)$ के बीच का संबंध $K_{max} = eV_0$ है।
यहाँ कट-ऑफ वोल्टेज (निरोधी विभव) $V_0 = 1.5 \text{ V}$ दिया गया है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $K_{max} = e \times 1.5 \text{ V} = 1.5 \text{ eV}$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम गतिज ऊर्जा $1.5 \text{ eV}$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = h\nu - \phi = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
समान तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के लिए,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $\frac{hc}{\lambda}$ स्थिर रहती है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ उस धातु के लिए अधिक होती है जिसका कार्य फलन (work function) $\phi$ कम होता है।
कार्य फलन $\phi = h\nu_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति (threshold frequency) है (ग्राफ का $x$-अंतःखंड)।
ग्राफ से,$X_1$ की देहली आवृत्ति सबसे कम $(\nu_0 = 1.0 \times 10^{14} \text{ Hz})$ है,जिसका अर्थ है कि इसका कार्य फलन सबसे कम है।
इसलिए,एक निश्चित आपतित तरंगदैर्घ्य के लिए,धातु $X_1$ सबसे अधिक अधिकतम गतिज ऊर्जा वाले फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करेगी।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $E = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{331 \times 10^{-9}} = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{331 \times 10^{-9}} = 0.06 \times 10^{-17} \text{ J} = 6 \times 10^{-19} \text{ J}$।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E = \phi + K_{max}$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है और $K_{max}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = eV_s = 1.6 \times 10^{-19} \times 0.2 = 0.32 \times 10^{-19} \text{ J}$ है।
अतः,कार्य फलन $\phi = E - K_{max} = 6 \times 10^{-19} - 0.32 \times 10^{-19} = 5.68 \times 10^{-19} \text{ J}$।
इसकी तुलना $\alpha \times 10^{-19} \text{ J}$ से करने पर,हमें $\alpha = 5.68$ प्राप्त होता है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K$ को $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ और $\lambda_2$ के लिए:
$K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$ --- $(1)$
$K_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$ --- $(2)$
दिया गया है कि $\lambda_1 = 2\lambda_2$,इसे समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$K_1 = \frac{hc}{2\lambda_2} - \phi$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$2K_1 = \frac{hc}{\lambda_2} - 2\phi$ --- $(3)$
अब,समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$K_2 - 2K_1 = (\frac{hc}{\lambda_2} - \phi) - (\frac{hc}{\lambda_2} - 2\phi)$
$K_2 - 2K_1 = \phi$
अतः,कार्य फलन $\phi = K_2 - 2K_1$ होगा।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$,जहाँ $\Phi$ कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए: $e(3V_0) = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $e(V_0) = \frac{hc}{2\lambda} - \Phi$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$3eV_0 - eV_0 = (\frac{hc}{\lambda} - \Phi) - (\frac{hc}{2\lambda} - \Phi)$
$2eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{2\lambda} = \frac{hc}{2\lambda}$
$eV_0 = \frac{hc}{4\lambda}$
$eV_0$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\frac{hc}{4\lambda} = \frac{hc}{2\lambda} - \Phi$
$\Phi = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{4\lambda} = \frac{hc}{4\lambda}$
देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ का मान $\lambda_0 = \frac{hc}{\Phi}$ द्वारा दिया जाता है।
$\Phi = \frac{hc}{4\lambda}$ रखने पर:
$\lambda_0 = \frac{hc}{hc / 4\lambda} = 4\lambda$.
इसकी तुलना $\alpha\lambda$ से करने पर,हमें $\alpha = 4$ प्राप्त होता है।

(A) देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ का सूत्र $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi}$ है।
दिया गया कार्य फलन $\phi = 6.6 \text{eV} = 6.6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{J}$।
मान रखने पर: $\lambda_0 = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6.6 \times 1.6 \times 10^{-19}} \text{m}$।
$\lambda_0 = \frac{3 \times 10^{-26}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{m} = 1.875 \times 10^{-7} \text{m} = 187.5 \text{nm}$।
प्रकाश-विद्युत प्रभाव केवल तब होता है जब आपतित तरंगदैर्ध्य $\lambda \le \lambda_0$ हो।
यदि $\lambda > \lambda_0$ है, तो आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन से कम होती है, और कोई प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होता है।
विकल्पों की तुलना करने पर: $200 \text{nm} > 187.5 \text{nm}$, $100 \text{nm} < 187.5 \text{nm}$, $50 \text{nm} < 187.5 \text{nm}$, और $150 \text{nm} < 187.5 \text{nm}$।
अतः, $200 \text{nm}$ तरंगदैर्ध्य प्रकाश-विद्युत प्रभाव उत्पन्न नहीं करेगी।