Kirchhoff's Law and Whitestone Bridge Circuit solving Questions in Gujarati

(A) આપેલ પરિપથને વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની રચના ઓળખીને સરળ બનાવી શકાય છે.
પરિપથને જોતા,અવરોધો એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ બનાવે છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,મધ્યના અવરોધ $(2 \, \Omega)$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય છે,તેથી તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,$2 \, \Omega$ ના અવરોધને અવગણી શકાય છે.
હવે,પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે.
ઉપરની શાખામાં શ્રેણીમાં બે $4 \, \Omega$ ના અવરોધો છે,જેનો કુલ અવરોધ $4 \, \Omega + 4 \, \Omega = 8 \, \Omega$ થાય છે.
નીચેની શાખામાં પણ શ્રેણીમાં બે $4 \, \Omega$ ના અવરોધો છે,જેનો કુલ અવરોધ $4 \, \Omega + 4 \, \Omega = 8 \, \Omega$ થાય છે.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં છે,તેથી સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{net}}$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{R_{\text{net}}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \implies R_{\text{net}} = 4 \, \Omega$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કુલ પ્રવાહ $I$ છે:
$I = \frac{V}{R_{\text{net}}} = \frac{40 \, \text{V}}{4 \, \Omega} = 10 \, \text{A}$.

(D) અવરોધ $R$ ની ઉપરના જંકશન પોઈન્ટ પર નોડલ એનાલિસિસનો ઉપયોગ કરીને,ધારો કે પોટેન્શિયલ $V_x$ છે. $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = V_x / R$ છે.
જંકશન પર કિર્ચોફના કરંટ લો $(KCL)$ લાગુ કરતા:
$(V_x - V_1) / R_1 + (V_x - V_2) / R_2 + V_x / R = 0$
$V_x (1/R_1 + 1/R_2 + 1/R) = V_1/R_1 + V_2/R_2$
$V_x = \frac{V_1/R_1 + V_2/R_2}{1/R_1 + 1/R_2 + 1/R} = \frac{V_1 R_2 + V_2 R_1}{R_2 + R_1 + R_1 R_2 / R}$
તેથી,$I = V_x / R = \frac{V_1 R_2 + V_2 R_1}{R(R_1 + R_2) + R_1 R_2}$.
કિસ્સો $1$: $V_1 = 2 \,V, V_2 = 0 \,V, I = 3 \,mA \Rightarrow 3 = \frac{2 R_2}{R(R_1 + R_2) + R_1 R_2} \quad \dots(1)$
કિસ્સો $2$: $V_1 = 0 \,V, V_2 = 4 \,V, I = 4 \,mA \Rightarrow 4 = \frac{4 R_1}{R(R_1 + R_2) + R_1 R_2} \quad \dots(2)$
$(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા: $3/4 = (2 R_2) / (4 R_1) \Rightarrow 3/4 = R_2 / (2 R_1) \Rightarrow R_2 / R_1 = 3/2 \Rightarrow R_2 = 1.5 R_1$.
$R_2 = 1.5 R_1$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $3 = \frac{2(1.5 R_1)}{R(R_1 + 1.5 R_1) + R_1(1.5 R_1)} = \frac{3 R_1}{2.5 R R_1 + 1.5 R_1^2} = \frac{3}{2.5 R + 1.5 R_1}$.
તેથી,$2.5 R + 1.5 R_1 = 1$.
કિસ્સો $3$: $V_1 = 10 \,V, V_2 = 10 \,V$. તો $I = \frac{10 R_2 + 10 R_1}{R(R_1 + R_2) + R_1 R_2} = \frac{10(R_1 + R_2)}{R(R_1 + R_2) + R_1 R_2}$.
$R_2 = 1.5 R_1$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{10(2.5 R_1)}{R(2.5 R_1) + 1.5 R_1^2} = \frac{25 R_1}{2.5 R R_1 + 1.5 R_1^2} = \frac{25}{2.5 R + 1.5 R_1}$.
કારણ કે $2.5 R + 1.5 R_1 = 1$,તેથી $I = 25 / 1 = 25 \,mA$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સર્કિટમાં પ્રવાહનું વિતરણ કરીએ છીએ.
પ્રવાહનું વિતરણ કિર્ચોફના જંકશનના નિયમનું પાલન કરવું જોઈએ.
હવે,$1, 2, 3$ અને $4$ તરીકે ચિહ્નિત થયેલ બંધ લૂપ્સમાંથી,કિર્ચોફના લૂપના નિયમનો ઉપયોગ કરીને આપણી પાસે સમીકરણોનો નીચેનો સેટ છે:
$I_1 = I_2 + I_3 \quad \dots(i)$
$I_3 = I_2 + I_4 \quad \dots(ii)$
$I_4 = I_2 - I_4 + I_5$
$\Rightarrow 2 I_4 = I_2 + I_5 \quad \dots(iii)$
$I_5 = 2(I_2 - I_4 - I_5)$
$\Rightarrow I_5 = 2 I_2 - 2 I_4 - 2 I_5 \quad \dots(iv)$
$3 I_5 = 2 I_2 - 2 I_4 \quad \dots(v)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(v)$ પરથી,આપણી પાસે છે:
$3 I_5 = 2 I_2 - (I_2 + I_5)$
$\Rightarrow 4 I_5 = I_2 \quad \dots(vi)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(vi)$ પરથી,આપણી પાસે છે:
$2 I_4 = 4 I_5 + I_5 \Rightarrow I_4 = \frac{5}{2} I_5 \quad \dots(vii)$
સમીકરણ $(ii), (vi)$ અને $(vii)$ પરથી,આપણી પાસે છે:
$I_3 = 4 I_5 + \frac{5}{2} I_5 = \frac{13}{2} I_5 \quad \dots(viii)$
હવે,આપેલી સર્કિટમાં ચિહ્નિત પ્રવાહો $I$ અને $I^{\prime}$ છે:
$I^{\prime} = (I_2 - I_4 - I_5) = (4 I_5 - \frac{5}{2} I_5 - I_5)$
$= (\frac{8 - 5 - 2}{2}) I_5 = \frac{I_5}{2} \quad \dots(ix)$
અને $I = I_2 = 4 I_5$
તેથી,$I / I^{\prime}$ નો ગુણોત્તર $= (4 I_5) / (I_5 / 2) = 8$.

(D) ભાગ $PQ$ માં પ્રવાહ શોધવા માટે,આપણે જંકશન પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$1$. જ્યાં $2 \, A$ અને $8 \, A$ પ્રવાહ મળે છે તે જંકશન પર,કુલ આવતો પ્રવાહ $2 \, A + 8 \, A = 10 \, A$ છે. આ $10 \, A$ પ્રવાહ આગળના જંકશન તરફ વહે છે.
$2$. $Q$ ની નીચેના જંકશન પર,કુલ બહાર જતો પ્રવાહ $4 \, A + 2 \, A = 6 \, A$ છે. કારણ કે $10 \, A$ આ જંકશનમાં પ્રવેશે છે અને $6 \, A$ નીચેની તરફ જાય છે,તેથી બાકીનો $10 \, A - 6 \, A = 4 \, A$ પ્રવાહ $Q$ તરફ ઉપરની દિશામાં વહેવો જોઈએ.
$3$. જંકશન $Q$ પર,આવતા પ્રવાહ $3 \, A$ (ઉપરની શાખામાંથી) અને $4 \, A$ (નીચેની શાખામાંથી) છે. બહાર જતો પ્રવાહ $1 \, A$ (જમણી તરફ) છે. ધારો કે $PQ$ માં પ્રવાહ $I_{PQ}$ એ $Q$ થી $P$ તરફ વહે છે.
$4$. જંકશન $Q$ પર $KCL$ લાગુ પાડતા: $I_{incoming} = I_{outgoing}$.
$3 \, A + 4 \, A = 1 \, A + I_{PQ}$
$7 \, A = 1 \, A + I_{PQ}$
$I_{PQ} = 6 \, A$.
પરિણામ ધન હોવાથી,$6 \, A$ પ્રવાહ ધારેલી દિશામાં,એટલે કે $Q$ થી $P$ તરફ વહે છે.

(C) કિસ્સા $(i)$ માં,ગેલ્વેનોમીટર શૂન્ય આવર્તન દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે બ્રિજ સંતુલિત છે.
તેથી,સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટેની શરત $\frac{P}{S} = \frac{Q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેને $\frac{P}{Q} = \frac{S}{R}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
જ્યારે બેટરી $B$ અને ગેલ્વેનોમીટર $G$ ને આકૃતિ $(ii)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે ગેલ્વેનોમીટર શૂન્ય આવર્તન દર્શાવે તે માટેની નવી શરત એ છે કે ગેલ્વેનોમીટર સાથે જોડાયેલા ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ.
નવી ગોઠવણીમાં,અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{P}{Q}$ અને $\frac{S}{R}$ છે.
આપણે કિસ્સા $(i)$ માં સંતુલિત સ્થિતિ પરથી પહેલેથી જ સ્થાપિત કર્યું છે કે $\frac{P}{Q} = \frac{S}{R}$,તેથી નવી ગોઠવણીમાં પણ બ્રિજ સંતુલિત રહે છે.
આમ,ગેલ્વેનોમીટર હજુ પણ શૂન્ય આવર્તન દર્શાવે છે.

(B) આ પરિપથને વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે વિશ્લેષિત કરી શકાય છે. જ્યારે $R$ બદલાય ત્યારે અવરોધ $R'$ માંથી વહેતો પ્રવાહ અપરિવર્તિત રહે તે માટે,બ્રિજ સંતુલિત હોવો જોઈએ.
આપેલ પરિપથમાં,બ્રિજની ભુજાઓ $1 \, k\Omega$,$10 \, k\Omega$,$R'$ અને $1 \, k\Omega$ અવરોધો દ્વારા બનેલી છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,સામસામેની ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{1 \, k\Omega}{10 \, k\Omega} = \frac{R'}{1 \, k\Omega}$
$R'$ માટે ઉકેલતા:
$R' = \frac{1 \, k\Omega \times 1 \, k\Omega}{10 \, k\Omega} = 0.1 \, k\Omega = 100 \, \Omega$
આમ,અવરોધ $R'$ નું મૂલ્ય $100 \, \Omega$ છે.

(A) અવરોધ $R$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે સર્કિટ લૂપમાં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરીએ છીએ.
જમણી બાજુના ગ્રાઉન્ડથી શરૂ કરીને અને સર્કિટમાં ઘડિયાળની દિશામાં આગળ વધતા:
$0 + 12 - I(2) - I(R) - I(4) = 0$
આપેલ છે કે પ્રવાહ $I = 1 \, A$ છે,તેથી આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$12 - 1(2) - 1(R) - 1(4) = 0$
$12 - 2 - R - 4 = 0$
$6 - R = 0$
$R = 6 \, \Omega$
તેથી,અવરોધ $R$ નું મૂલ્ય $6 \, \Omega$ છે.

(A) કિરચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
લૂપ $ABCDA$ માટે,$2i_1 + 5(i_1 + i_2) = 12$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $7i_1 + 5i_2 = 12 \dots (1)$ મળે છે.
લૂપ $EBCFE$ માટે,$2i_2 + 5(i_1 + i_2) = 12$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $5i_1 + 7i_2 = 12 \dots (2)$ મળે છે.
હવે,સમીકરણ $(1)$ ને $7$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $5$ વડે ગુણતા:
$49i_1 + 35i_2 = 84 \dots (3)$
$25i_1 + 35i_2 = 60 \dots (4)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા $24i_1 = 24$ મળે છે,તેથી $i_1 = 1\,A$.
$i_1 = 1\,A$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,$7(1) + 5i_2 = 12$,તેથી $5i_2 = 5$,જેનો અર્થ છે કે $i_2 = 1\,A$.
આમ,$5\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $i_1 + i_2 = 1 + 1 = 2\,A$ છે.

(NONE) ધારો કે નીચેના નોડ પરનું સ્થિતિમાન $0 \, V$ છે. $2 \, V$ ની બેટરીની ઉપરના નોડ પરનું સ્થિતિમાન $2 \, V$ છે. ધારો કે $1 \, \Omega$ ના અવરોધો વચ્ચેના નોડ પરનું સ્થિતિમાન $y \, V$ છે અને ડાબી બાજુના નોડ પરનું સ્થિતિમાન $x \, V$ છે.
નોડ $A$ (ડાબો નોડ) પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ કરતા:
$\frac{x-2}{2} + \frac{x-y-5}{1} + \frac{x-0}{2} = 0$
$x - 2 + 2x - 2y - 10 + x = 0$
$4x - 2y = 12 \implies 2x - y = 6 \quad (1)$
નોડ $B$ (વચ્ચેનો નોડ) પર $KCL$ લાગુ કરતા:
$\frac{y-x+5}{1} + \frac{y-2}{1} + \frac{y-0}{1} = 0$
$y - x + 5 + y - 2 + y = 0$
$3y - x = -3 \implies x = 3y + 3 \quad (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$2(3y + 3) - y = 6$
$6y + 6 - y = 6 \implies 5y = 0 \implies y = 0 \, V$
$y=0$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$x = 3(0) + 3 = 3 \, V$
પ્રવાહ $I_1$ એ $2 \, V$ ની બેટરીની શાખામાંથી વહે છે. નીચેના નોડ $D$ (સ્થિતિમાન $0 \, V$) પર, પ્રવાહ $I_1$ એ ડાબી શાખા અને વચ્ચેની શાખામાંથી આવતા પ્રવાહોનો સરવાળો છે:
$I_1 = \frac{x-0}{2} + \frac{y-0}{1} = \frac{3-0}{2} + \frac{0-0}{1} = 1.5 \, A$.

(C) આ પરિપથ એક વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. $B$ અને $D$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોવા માટે,બ્રિજ સંતુલિત હોવો જોઈએ.
ડાબી બાજુના નોડને $A$ અને જમણી બાજુના નોડને $C$ કહો. ડાબી શાખામાં સમાંતર જોડાયેલા અવરોધો $6 \Omega$ અને $3 \Omega$ છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = \frac{6 \times 3}{6+3} = 2 \Omega$ છે.
નીચેની ડાબી શાખામાં સમાંતર જોડાયેલા અવરોધો $1 \Omega$ અને $2 \Omega$ છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AD} = \frac{1 \times 2}{1+2} = \frac{2}{3} \Omega$ છે.
ઉપરની જમણી શાખામાં સમાંતર જોડાયેલા અવરોધો $x \Omega$ અને $1 \Omega$ છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{BC} = \frac{x \times 1}{x+1} = \frac{x}{x+1} \Omega$ છે.
નીચેની જમણી શાખામાં $x \Omega$ અવરોધ છે,તેથી $R_{DC} = x \Omega$ છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,શરત $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{DC}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{2/3} = \frac{x/(x+1)}{x}$.
$3 = \frac{1}{x+1} \Rightarrow x+1 = 1/3 \Rightarrow x = -2/3$ (ભૌતિક રીતે અશક્ય).
જો આપણે શાખાઓની અદલાબદલી કરીએ,તો $3 = x+1 \Rightarrow x = 2 \Omega$. તેથી $x = 2 = \frac{1}{0.5}$. પ્રશ્ન મુજબ $x = 1/n$,તેથી $n = 0.5$ અથવા $n=2$ મળે છે.

(D) આપેલ પરિપથ એ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. ધારો કે નોડ્સને એવી રીતે નામ આપવામાં આવ્યા છે કે જેથી અવરોધો $R$,$3R$,$2R$ અને $6R$ બ્રિજની ચાર ભુજાઓ બનાવે છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટેની શરત તપાસતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$.
અહીં,$\frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{3R}{6R} = \frac{1}{2}$ છે.
ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે અને મધ્યના અવરોધ $(9R)$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે: એક $(R + 3R) = 4R$ અને બીજી $(2R + 6R) = 8R$ સાથે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4R} + \frac{1}{8R} = \frac{2+1}{8R} = \frac{3}{8R}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{8R}{3}$.

(A) ધારો કે જંકશન બિંદુ પરનું સ્થિતિમાન $x$ છે.
જંકશન બિંદુ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા,જંકશનમાંથી બહાર જતા પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\frac{x-30}{10} + \frac{x-12}{20} + \frac{x-2}{30} = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $60$ વડે ગુણતા:
$6(x-30) + 3(x-12) + 2(x-2) = 0$
$6x - 180 + 3x - 36 + 2x - 4 = 0$
$11x - 220 = 0$
$11x = 220$
$x = 20\,V$
હવે,$20\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ:
$I = \frac{x - 12}{20}$
$I = \frac{20 - 12}{20} = \frac{8}{20} = 0.4\,A$.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આપેલ ઉકેલ મુજબ ગણતરી કરતા:
$V_A+\frac{10}{3}(1)-6(1)=V_B$
$V_A-V_B=6-\frac{10}{3}=\frac{8}{3} \text { volt }$
$Q=C\left(V_A-V_B\right)$
$Q=150 \times \frac{8}{3}=400 \mu C$

(D) વિશિષ્ટ અવરોધકતા (જેને અવરોધકતા પણ કહેવાય છે) એ તારના દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે,લંબાઈ $(L)$ કે ત્રિજ્યા $(r)$ જેવા ભૌતિક પરિમાણો પર નહીં.
તેથી,જો તારની લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે તો પણ,વિશિષ્ટ અવરોધકતા $(S_1)$ બદલાતી નથી.
આમ,વિશિષ્ટ અવરોધકતાનું નવું મૂલ્ય $S_1$ રહેશે.

(C) આ પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. ગેલ્વેનોમીટરમાં કોઈ વિચલન ન મળે તે માટે,બ્રિજ સંતુલિત હોવો જોઈએ.
શરૂઆતમાં,ભુજા $BC$ નો અવરોધ $R_{BC} = 3 \ m\Omega$ છે. અન્ય ભુજાઓ $AB = 0.8 \ m\Omega$,$AD = 1 \ m\Omega$ છે અને $DC$ અજ્ઞાત છે. વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે સંતુલન શરત $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{DC}}$ છે.
આકૃતિ પરથી,$R_{AB} = 0.8 \ m\Omega$,$R_{AD} = 1 \ m\Omega$,અને $R_{BC} = 3 \ m\Omega$. ધારો કે $R_{DC} = x$. બ્રિજ ત્યારે સંતુલિત થાય છે જ્યારે $\frac{0.8}{1} = \frac{3}{x}$,તેથી $x = 3.75 \ m\Omega$.
$2^{\circ} C/s$ ના દરે $10 \ s$ સુધી ઠંડુ કર્યા પછી,તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = -20^{\circ} C$ છે.
અર્ધવાહક ભુજા $BC$ નો નવો અવરોધ $R'_{BC} = 2.4 \ m\Omega$ છે (કારણ કે $\frac{0.8}{1} = \frac{R'_{BC}}{3.75} \Rightarrow R'_{BC} = 3 \times 0.8 = 2.4 \ m\Omega$).
સૂત્ર $R' = R(1 + \alpha \Delta T)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2.4 = 3(1 + \alpha(-20))$
$0.8 = 1 - 20\alpha$
$20\alpha = 0.2$
$\alpha = \frac{0.2}{20} = 0.01 = 10^{-2} \ { }^{\circ} C^{-1}$.
તે અર્ધવાહક હોવાથી,$\alpha$ ઋણ હોય છે,તેથી $\alpha = -1 \times 10^{-2} \ { }^{\circ} C^{-1}$.

(C) અને $D$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય થાય તે માટે,વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,દરેક ભુજામાં સમાંતર જોડાણોનું સાદું રૂપ આપો:
$1$. સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટેની શરત $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{CD}}$ છે.
$2$. આપેલ સાદું રૂપ આપેલ પરિપથ આકૃતિ પરથી: $R_{AB} = 12 \Omega$,$R_{BC} = 0.5 \Omega$,$R_{AD} = (6+x) \Omega$,અને $R_{CD} = 0.5 \Omega$.
$3$. આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{12}{6+x} = \frac{0.5}{0.5} = 1$.
$4$. તેથી,$12 = 6 + x$,જે આપણને $x = 6 \Omega$ આપે છે.

(A) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત થવા માટે,બે ભુજાઓમાં અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ,એટલે કે $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$.
આપેલ સર્કિટમાં,ડાબી ભુજામાં $10 \Omega$ અને $15 \Omega$ અવરોધ છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ છે.
જમણી ભુજા માટે,આપણને અસરકારક અવરોધ $R_{eff}$ ની જરૂર છે જેથી $\frac{10}{R_{eff}} = \frac{2}{3}$,જેનો અર્થ છે $R_{eff} = 15 \Omega$.
જમણી ભુજામાં $5 \Omega$ નો અવરોધ અને ડાયોડ $D$ શ્રેણીમાં છે. જો ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય અને તેનો ડાયનેમિક અવરોધ $R_D = 10 \Omega$ હોય,તો કુલ અવરોધ $R_{eff} = 5 \Omega + 10 \Omega = 15 \Omega$ થાય છે.
આમ,જ્યારે ડાયોડ $5 \Omega$ અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં હોય અને ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય ત્યારે બ્રિજ સંતુલિત થાય છે.

(D) પ્રારંભિક અવરોધ $R_3 = 300 \ \Omega$ છે. જ્યારે તાપમાન $\Delta T = 100 \ {}^{\circ}C$ વધે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $R_3'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_3' = R_3(1 + \alpha \Delta T) = 300(1 + 0.0004 \times 100) = 300(1 + 0.04) = 300(1.04) = 312 \ \Omega$.
હવે,પરિપથમાં $50 \ V$ ના સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓ છે.
ઉપરની શાખાનો કુલ અવરોધ $R_1 + R_2 = 60 + 100 = 160 \ \Omega$ છે.
નીચેની શાખાનો કુલ અવરોધ $R_3' + R_4 = 312 + 500 = 812 \ \Omega$ છે.
પરિપથના વિશ્લેષણ મુજબ,પ્રવાહો $I_1 = \frac{50}{60+312} = \frac{50}{372} \approx 0.1344 \ A$ અને $I_2 = \frac{50}{100+500} = \frac{50}{600} \approx 0.0833 \ A$ છે.
$S$ અને $T$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_S - V_T = (I_1 \times 312) - (I_2 \times 500) = 41.94 - 41.67 = 0.27 \ V$ થાય છે.

(C) ધારો કે જ્યાં $R_1, R_2, R_3$ ભેગા થાય છે તે જંકશનનું પોટેન્શિયલ $V_O$ છે. $R_2$ માં પ્રવાહ શૂન્ય થવા માટે,$R_2$ ના બે છેડા વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ તફાવત શૂન્ય હોવો જોઈએ. $R_2$ નો એક છેડો જંકશન સાથે અને બીજો છેડો $V_1$ ના નેગેટિવ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે (જેને આપણે સંદર્ભ પોટેન્શિયલ $0$ તરીકે લઈ શકીએ),તેથી જંકશન $V_O$ નું પોટેન્શિયલ $0$ હોવું જોઈએ.
જંકશન $O$ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{V_O - V_1}{R_1} + \frac{V_O - 0}{R_2} + \frac{V_O - (-V_2)}{R_3} = 0$
$R_2$ માં પ્રવાહ શૂન્ય કરવા માટે $V_O = 0$ લેતા:
$\frac{-V_1}{R_1} + 0 + \frac{V_2}{R_3} = 0$
$\frac{V_1}{R_1} = \frac{V_2}{R_3} \Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1}{R_3}$
હવે વિકલ્પો તપાસીએ:
$(A)$ $V_1=V_2, R_1=R_3 \Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = 1, \frac{R_1}{R_3} = 1$. (સાચું)
$(B)$ $V_1=V_2, R_1=R_3 \Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = 1, \frac{R_1}{R_3} = 1$. (સાચું)
$(C)$ $V_1=2V_2, R_1=R_3/2 \Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = 2, \frac{R_1}{R_3} = 1/2$. (ખોટું)
$(D)$ $V_1/V_2 = 1/2, R_1/R_3 = (R_2/2)/R_2 = 1/2$. (સાચું)
આમ,વિકલ્પો $(A, B, D)$ સાચા છે.

(C) તાર $AB$ ની કુલ લંબાઈ $L = 100 \text{ cm} = 1 \text{ m}$ છે. ત્રિજ્યા $r(x)$ એ $r_A = 0.2 \text{ mm}$ થી $r_B = 1 \text{ mm}$ સુધી રેખીય રીતે બદલાય છે.
ધારો કે $x$ એ $A$ થી અંતર છે. તો $r(x) = r_A + \frac{r_B - r_A}{L} x = 0.2 + 0.8x$ (mm માં).
નાના ખંડ $dx$ નો અવરોધ $dR = \frac{\rho dx}{\pi r(x)^2}$ છે.
વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{AC}}{R_{CB}}$,જ્યાં $R_{AC}$ અને $R_{CB}$ એ તારના બે ભાગોના અવરોધ છે.
$R_{AC} = \int_0^{0.5} \frac{\rho dx}{\pi (0.2 + 0.8x)^2 \times 10^{-6}}$ અને $R_{CB} = \int_{0.5}^1 \frac{\rho dx}{\pi (0.2 + 0.8x)^2 \times 10^{-6}}$.
સંકલન $\int \frac{dx}{(a+bx)^2} = -\frac{1}{b(a+bx)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R_{AC} \propto \left[ -\frac{1}{0.8(0.2 + 0.8x)} \right]_0^{0.5} = -\frac{1}{0.8} (\frac{1}{0.6} - \frac{1}{0.2}) = \frac{1}{0.8} (5 - 1.66) = 4.166$.
$R_{CB} \propto \left[ -\frac{1}{0.8(0.2 + 0.8x)} \right]_{0.5}^1 = -\frac{1}{0.8} (\frac{1}{1} - \frac{1}{0.6}) = \frac{1}{0.8} (1.66 - 1) = 0.833$.
ગુણોત્તર $\frac{R_{AC}}{R_{CB}} = \frac{4.166}{0.833} = 5$.
તેથી,$\frac{R_1}{R_2} = 5 \implies \frac{X}{1} = 5 \implies X = 5 \Omega$.

(D) આપેલ છે કે $A$ આગળનું સ્થિતિમાન $B$ આગળના સ્થિતિમાન જેટલું છે $(V_A = V_B)$,તેથી વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,સામસામેની બાજુઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{10 \Omega}{R} = \frac{20 \Omega}{40 \Omega}$
$\frac{10}{R} = \frac{1}{2}$
$R = 20 \Omega$
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,$30 \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
ઉપરની શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $10 \Omega + 20 \Omega = 30 \Omega$ છે.
નીચેની શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $R + 40 \Omega = 20 \Omega + 40 \Omega = 60 \Omega$ છે.
આ બંને શાખાઓ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{2+1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$
$R_{eq} = 20 \Omega$
કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{40 \text{ V}}{20 \Omega} = 2 \text{ A}$.

(B) ધારો કે જંકશન $O$ પરનું પોટેન્શિયલ $V$ છે. જંકશન $O$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(\text{KCL})$ લાગુ પાડતા:
$i_1 = i_2 + i_3$
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,પ્રવાહોને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$\frac{10 - V}{10} = \frac{V - 6}{20} + \frac{V - 5}{30}$
$V$ માટે ઉકેલવા માટે,સમીકરણને છેદના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $60$ વડે ગુણતા:
$6(10 - V) = 3(V - 6) + 2(V - 5)$
$60 - 6V = 3V - 18 + 2V - 10$
$60 - 6V = 5V - 28$
$11V = 88$
$V = 8 \text{ V}$
હવે,$R_1$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1$ ગણો:
$i_1 = \frac{10 - V}{10} = \frac{10 - 8}{10} = \frac{2}{10} = 0.2 \text{ A}$

(D) સર્કિટમાં પ્રવાહ શોધવા માટે,આપણે લૂપ $abcda$ પર કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરીએ છીએ.
ધારો કે સર્કિટમાં પ્રવાહ $I$ ઘડિયાળની દિશામાં વહે છે.
બિંદુ $a$ થી શરૂ કરીને ઘડિયાળની દિશામાં આગળ વધતા:
$1 \ \Omega$ અવરોધમાંથી પસાર થતા,પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $-I(1)$ છે.
$10 \ V$ ની બેટરીમાંથી ઋણથી ધન તરફ જતા,પોટેન્શિયલ વધારો $+10 \ V$ છે.
$4 \ V$ ની બેટરીમાંથી ધનથી ઋણ તરફ જતા,પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $-4 \ V$ છે.
$2 \ \Omega$ અવરોધમાંથી પસાર થતા,પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $-2I$ છે.
$3 \ \Omega$ અવરોધમાંથી પસાર થતા,પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $-3I$ છે.
$KVL$ લાગુ કરતા: $-I + 10 - 4 - 2I - 3I = 0$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $6 - 6I = 0$.
$6I = 6$,જે $I = 1 \ A$ આપે છે.
પ્રવાહ $I$ ધન હોવાથી,ધારેલી ઘડિયાળની દિશા સાચી છે.
બિંદુ $e$ ધરાવતી ઉપરની શાખામાં,પ્રવાહ $e$ દ્વારા $a$ થી $b$ તરફ વહે છે.

(D) ધારો કે ઉપરના વાયરનો પોટેન્શિયલ $V$ છે અને નીચેના વાયરનો $0 \ V$ છે. ઉપરના જંકશન પર નોડલ એનાલિસિસનો ઉપયોગ કરતા,જંકશન છોડતા પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે.
આપેલ સર્કિટમાં $10 \ V$ ની બેટરી વાળી શાખામાં કોઈ અવરોધ નથી,તેથી ઉપરના વાયરનો પોટેન્શિયલ $10 \ V$ પર નિશ્ચિત છે.
દરેક શાખામાં પ્રવાહની ગણતરી કરતા:
$I_1 = \frac{10-10}{3} = 0 \ A$ ($3 \ \Omega$ શાખામાંથી પ્રવાહ).
$I_2 = \frac{10-20}{6} = -1.67 \ A$ ($6 \ \Omega$ શાખામાંથી પ્રવાહ).
$I_3 = \frac{10-3}{7} = 1 \ A$ ($7 \ \Omega$ શાખામાંથી પ્રવાહ).
કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ,સાચો જવાબ $2 \ A$ મળે છે (વિકલ્પ $D$).

(A) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ,એટલે કે $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{CD}}$.
અહીં,$R_{AB} = 100 \ \Omega$ અને $R_{AD} = 200 \ \Omega$ છે.
$B$ અને $C$ વચ્ચેનો અવરોધ એ $100 \ \Omega$ અને $R$ નું સમાંતર જોડાણ છે,જે $R_{BC} = \frac{100 \times R}{100 + R}$ થાય.
અવરોધ $R_{CD} = 40 \ \Omega$ છે.
આ મૂલ્યોને સંતુલિત બ્રિજની શરતમાં મૂકતા:
$\frac{100}{200} = \frac{\frac{100R}{100+R}}{40}$
$\frac{1}{2} = \frac{100R}{40(100+R)}$
$\frac{1}{2} = \frac{10R}{4(100+R)}$
$4(100+R) = 20R$
$400 + 4R = 20R$
$16R = 400$
$R = 25 \ \Omega$.

(B) આપેલ પરિપથમાં,બે કોષો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે પરંતુ વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે.
પરિપથ માટે કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે $200 \ V$ ના કોષથી શરૂઆત કરીએ છીએ અને પ્રવાહની દિશામાં આગળ વધીએ છીએ:
$200 - I(38) - 10 = 0$
$190 - 38I = 0$
$38I = 190$
$I = \frac{190}{38} = 5 \ A$
તેથી,પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $5 \ A$ છે.

(C) વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_A - V_B)$ શોધવા માટે,આપણે બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રવાહ $I = 2 \ A$ ની દિશામાં $A$ થી $B$ તરફ જતાં:
$V_A - I \cdot R_1 - E - I \cdot R_2 = V_B$
અહીં,$R_1 = 2 \ \Omega$,$R_2 = 1 \ \Omega$,અને $E = 3 \ V$ છે.
પ્રવાહ $A$ થી $B$ તરફ વહે છે,તેથી આપણે પહેલા $2 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થઈએ છીએ,ત્યારબાદ બેટરી (ધન ટર્મિનલમાં પ્રવેશતા,તેથી $3 \ V$ બાદ કરીએ છીએ),અને અંતે $1 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થઈએ છીએ.
$V_A - (2 \ A \cdot 2 \ \Omega) - 3 \ V - (2 \ A \cdot 1 \ \Omega) = V_B$
$V_A - 4 \ V - 3 \ V - 2 \ V = V_B$
$V_A - 9 \ V = V_B$
$V_A - V_B = 9 \ V$
આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $9 \ V$ છે.

(B) કિર્ચોફના પ્રથમ નિયમ (જંકશનનો નિયમ) મુજબ, જંકશન પર મળતા વિદ્યુતપ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય થાય છે. ધારો કે વાહક $PQ$ માં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ બિંદુ $P$ થી દૂર જતી દિશામાં છે.
અંદર આવતા વિદ્યુતપ્રવાહોનો સરવાળો = બહાર જતા વિદ્યુતપ્રવાહોનો સરવાળો
$5 \,A + 4 \,A = 5 \,A + 3 \,A + I$
$9 \,A = 8 \,A + I$
$I = 9 \,A - 8 \,A = 1 \,A$
પરિણામ ધન હોવાથી, ધારેલી દિશા (બિંદુ $P$ થી દૂર) સાચી છે. તેથી, $1 \,A$ વિદ્યુતપ્રવાહ $P$ થી $Q$ તરફ વહે છે.

(A) કિરચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ, જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે.
ચાલો નેટવર્કમાં દાખલ થતા કુલ પ્રવાહ અને બહાર નીકળતા કુલ પ્રવાહનું વિશ્લેષણ કરીએ.
નેટવર્કમાં દાખલ થતો કુલ પ્રવાહ:
$I_{\text{in}} = 1 \text{ A} + 2 \text{ A} + 3 \text{ A} + 0.8 \text{ A} = 6.8 \text{ A}$
નેટવર્કમાંથી બહાર નીકળતો કુલ પ્રવાહ:
$I_{\text{out}} = 1.2 \text{ A} + 0.5 \text{ A} + 1.7 \text{ A} + I = 3.4 \text{ A} + I$
બંનેને સરખાવતા:
$6.8 \text{ A} = 3.4 \text{ A} + I$
$I = 6.8 \text{ A} - 3.4 \text{ A} = 3.4 \text{ A}$

(D) જંકશન પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
જમણા જંકશન પર: $I_{1} + I_{2} = I_{4}$
આપેલ છે કે $I_{1} = -0.4 \text{ A}$ અને $I_{4} = 1 \text{ A}$,તેથી:
$-0.4 + I_{2} = 1 \implies I_{2} = 1.4 \text{ A}$
ડાબા-નીચેના જંકશન પર: $I_{5} = I_{3} + I_{4}$
આપેલ છે કે $I_{5} = 0.4 \text{ A}$ અને $I_{4} = 1 \text{ A}$,તેથી:
$0.4 = I_{3} + 1 \implies I_{3} = -0.6 \text{ A}$
ઉપરના જંકશન પર $KCL$ મુજબ: $I_{6} = I_{1} + I_{2} + I_{3}$
કિંમતો મૂકતા: $I_{6} = -0.4 + 1.4 + (-0.6) = 0.4 \text{ A}$
આમ,$I_{2} = 1.4 \text{ A}$,$I_{3} = -0.6 \text{ A}$,અને $I_{6} = 0.4 \text{ A}$.

(D) કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે ચાર જંકશન $J_1$ (ઉપર-ડાબે),$J_2$ (ઉપર-જમણે),$J_3$ (નીચે-ડાબે),અને $J_4$ (નીચે-જમણે) છે.
જંકશન $J_1$ પર: $20 \ A$ દાખલ થાય છે,$15 \ A$ નીચેની તરફ બહાર નીકળે છે,અને $x \ A$ જમણી તરફ જાય છે. તેથી,$20 = 15 + x \implies x = 5 \ A$.
જંકશન $J_3$ પર: ઉપરથી $15 \ A$ અને નીચે-ડાબેથી $5 \ A$ દાખલ થાય છે. કુલ પ્રવાહ $15 + 5 = 20 \ A$ જમણી તરફ બહાર નીકળે છે.
જંકશન $J_2$ પર: ડાબેથી $5 \ A$ અને ઉપર-જમણેથી $3 \ A$ દાખલ થાય છે. કુલ પ્રવાહ $5 + 3 = 8 \ A$ નીચેની તરફ બહાર નીકળે છે.
જંકશન $J_4$ પર: ડાબેથી $20 \ A$ અને ઉપરથી $8 \ A$ દાખલ થાય છે. કુલ પ્રવાહ $I = 20 + 8 = 28 \ A$ એ $I$ શાખામાંથી બહાર નીકળે છે.
આમ,પ્રવાહ $I$ નું મૂલ્ય $28 \ A$ છે.

(C) ધારો કે જ્યારે સ્વિચ $S$ ખુલ્લી હોય ત્યારે નોડ $B$ પરનો પોટેન્શિયલ $V_B$ છે. જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ હોય,ત્યારે જો સ્વિચમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ શૂન્ય હોય તો નોડ $B$ પરનો પોટેન્શિયલ સમાન રહે છે.
ગેલ્વેનોમીટરનું રીડિંગ સમાન રહેતું હોવાથી,ગેલ્વેનોમીટરની આસપાસનો પોટેન્શિયલ તફાવત સ્વિચ $S$ ની સ્થિતિથી સ્વતંત્ર હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે સ્વિચ બંધ હોય ત્યારે નોડ $B$ પરનો પોટેન્શિયલ નોડ $D$ પરના પોટેન્શિયલ જેટલો હોવો જોઈએ (એટલે કે $V_B = V_D$),અથવા સ્વિચમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ શૂન્ય છે.
નોડ $B$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ પાડતા:
જ્યારે $S$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે પ્રવાહ $I_P$ એ $P$ માંથી અને $I_Q$ એ $Q$ માંથી વહે છે.
જ્યારે $S$ બંધ હોય,જો ગેલ્વેનોમીટરનું રીડિંગ બદલાતું નથી,તો તેનો અર્થ એ છે કે $B$ પરનો પોટેન્શિયલ બદલાતો નથી.
સ્વિચમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ શૂન્ય રહે તે માટે,$B$ પરનો પોટેન્શિયલ $D$ પરના પોટેન્શિયલ જેટલો હોવો જોઈએ.
સર્કિટને જોતા,પ્રવાહ $I_R$ એ $R$ માંથી અને $I_G$ એ ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહે છે.
ગેલ્વેનોમીટરનું રીડિંગ બદલાતું ન રહેવાની શરત લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે કે $I_R = I_G$.

(B) ગેલ્વેનોમીટરમાં પ્રવાહ શૂન્ય હોવા માટે,અવરોધ '$R$' ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત તે શાખામાં રહેલી બેટરીના ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ જેટલો હોવો જોઈએ,જે $6 \text{ V}$ છે.
ધારો કે જમણી લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ '$I$' છે.
જમણી લૂપમાં કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10 \text{ V} - I(4 \Omega) - 6 \text{ V} = 0$
$4 \text{ V} = I(4 \Omega)$
$I = 1 \text{ A}$
ગેલ્વેનોમીટરમાં પ્રવાહ શૂન્ય હોવાથી,સમગ્ર પ્રવાહ '$I$' એ અવરોધ '$R$' માંથી વહે છે.
અવરોધ '$R$' માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$V = I \times R$
$6 \text{ V} = 1 \text{ A} \times R$
$R = 6 \Omega$

(B) કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ એ ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે. તે દર્શાવે છે કે કોઈપણ બંધ લૂપમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ એ છે કે સ્ત્રોત દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી ઉર્જા એ સર્કિટના ઘટકોમાં વપરાતી ઉર્જા જેટલી જ હોય છે.
કિર્ચોફનો કરંટનો નિયમ $(KCL)$ એ વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે. તે દર્શાવે છે કે જંકશન પર મળતા પ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ એ છે કે જંકશનમાં પ્રવેશતો કુલ વિદ્યુતભાર તેમાંથી બહાર નીકળતા કુલ વિદ્યુતભાર જેટલો જ હોવો જોઈએ.

(B) કિરચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા કુલ પ્રવાહનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા કુલ પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$1$. પ્રથમ જંકશન પર (ડાબી બાજુ): દાખલ થતો કુલ પ્રવાહ $4 \ A + 4 \ A = 8 \ A$ છે. આ પ્રવાહ મધ્ય શાખામાંથી વહે છે.
$2$. બીજા જંકશન પર (જમણી બાજુ): $8 \ A$ પ્રવાહ જંકશનમાં દાખલ થાય છે. બહાર નીકળતા પ્રવાહ $2 \ A$ અને બાકીનો પ્રવાહ છે જે આગળની શાખામાં જાય છે.
ધારો કે આગળની શાખામાં વહેતો પ્રવાહ $I_{branch}$ છે.
$8 \ A = 2 \ A + I_{branch} \implies I_{branch} = 6 \ A$.
$3$. ત્રીજા જંકશન પર: $6 \ A$ પ્રવાહ જંકશનમાં દાખલ થાય છે. બહાર નીકળતા પ્રવાહ $2.6 \ A$ અને '$i$' છે.
$6 \ A = 2.6 \ A + i$
$i = 6 \ A - 2.6 \ A = 3.4 \ A$.

(D) ધારો કે મધ્ય નોડ પરનું સ્થિતિમાન $V$ છે. કિર્ચોફના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
લૂપ $1$ માટે: $28 I_1 + 6 + 8 = 0 \implies 28 I_1 = -14 \implies I_1 = -0.5 \ A$.
લૂપ $2$ માટે: $54 I_2 + 6 + 12 = 0 \implies 54 I_2 = -18 \implies I_2 = -1/3 \ A$.
જંકશન પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ: $I_3 = I_1 + I_2 = -0.5 + (-1/3) = -1/2 - 1/3 = -5/6 \ A$.

(D) પ્રવાહના માર્ગ પર બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$V_A - I R_1 - E - I R_2 = V_B$
અહીં પ્રવાહ $I = 2 \text{ A}$,અવરોધ $R_1 = 2 \text{ } \Omega$,$EMF$ $E = 3 \text{ V}$,અને અવરોધ $R_2 = 1 \text{ } \Omega$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V_A - (2 \times 2) - 3 - (2 \times 1) = V_B$
$V_A - 4 - 3 - 2 = V_B$
$V_A - 9 = V_B$
$V_A - V_B = 9 \text{ V}$

(C) કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં પ્રવેશતા પ્રવાહોનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
આપેલ સંપૂર્ણ નેટવર્ક માટે,સિસ્ટમમાં પ્રવેશતો કુલ પ્રવાહ $2 \ A + 4 \ A = 6 \ A$ છે.
સિસ્ટમમાંથી બહાર નીકળતો કુલ પ્રવાહ $1 \ A + 2 \ A + I$ છે.
આવતા અને જતા કુલ પ્રવાહને સરખાવતા:
$2 + 4 = 1 + 2 + I$
$6 = 3 + I$
$I = 6 - 3 = 3 \ A$.

(B) કિરચોફનો બીજો નિયમ,જેને કિરચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે સર્કિટના કોઈપણ બંધ લૂપની આસપાસના તમામ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે સ્ત્રોત દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલ કુલ ઊર્જા એ સર્કિટમાં ઘટકો દ્વારા વપરાતી કુલ ઊર્જા જેટલી હોય છે.
આ પ્રક્રિયામાં ઊર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થતો નથી,તેથી કિરચોફનો બીજો નિયમ ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે.

(A) કિરચોફના પ્રથમ નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહોનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
જંકશન $A$ પર,દાખલ થતા પ્રવાહો $1 \ A$ અને $4 \ A$ છે. તેથી,જંકશન $A$ માંથી જંકશન $B$ તરફ જતો પ્રવાહ $I_{AB} = 1 \ A + 4 \ A = 5 \ A$ થશે.
જંકશન $B$ પર,દાખલ થતો પ્રવાહ $I_{AB} = 5 \ A$ છે. બહાર નીકળતા પ્રવાહો $0.5 \ A$ અને જંકશન $C$ તરફ જતો પ્રવાહ $(I_{BC})$ છે. તેથી,$5 \ A = 0.5 \ A + I_{BC}$,જે આપણને $I_{BC} = 4.5 \ A$ આપે છે.
જંકશન $C$ પર,દાખલ થતો પ્રવાહ $I_{BC} = 4.5 \ A$ છે. બહાર નીકળતા પ્રવાહો $I$ અને $1 \ A$ છે. તેથી,$4.5 \ A = I + 1 \ A$,જે આપણને $I = 3.5 \ A$ આપે છે.

(D) કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે.
ધારો કે વાહક '$OP$' માં પ્રવાહ $x$ છે અને તે બિંદુ '$O$' થી દૂર (એટલે કે $O$ થી $P$ તરફ) વહે છે.
જંકશન '$O$' માં દાખલ થતા પ્રવાહનો સરવાળો = $10 \ A + 2.5 \ A + 5 \ A = 17.5 \ A$.
જંકશન '$O$' માંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહનો સરવાળો = $6 \ A + x$.
$KCL$ લાગુ પાડતા: $17.5 \ A = 6 \ A + x$.
$x = 17.5 \ A - 6 \ A = 11.5 \ A$.
પરિણામ ધન હોવાથી,આપણી ધારણા કે પ્રવાહ $O$ થી $P$ તરફ વહે છે તે સાચી છે.
તેથી,પ્રવાહનું મૂલ્ય $11.5 \ A$ છે અને તેની દિશા $O$ થી $P$ તરફ છે.

(B) બિંદુ $E$ થી શરૂ કરીને $E \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E$ દિશામાં લૂપ $E B C D E$ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરતા:
$1$. $E_1$ અને $r_1$ ધરાવતી શાખામાંથી $E$ થી $B$ તરફ જતા,આપણે પહેલા $E_1$ ના ઋણ ટર્મિનલનો સામનો કરીએ છીએ,તેથી આપણને $+E_1$ જેટલો પોટેન્શિયલ ગેઇન મળે છે. ત્યારબાદ,$r_1$ માંથી પ્રવાહ $I_1$ ની દિશામાં જતા,આપણને $-I_1 r_1$ જેટલો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ મળે છે.
$2$. અવરોધ $R$ માંથી $C$ થી $D$ તરફ જતા,આપણે પ્રવાહ $(I_1 + I_2)$ ની દિશામાં જઈએ છીએ,જેના પરિણામે $-(I_1 + I_2) R$ જેટલો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ મળે છે.
$3$. બંધ લૂપની આસપાસ આ પોટેન્શિયલ ફેરફારોનો સરવાળો કરતા:
$E_1 - I_1 r_1 - (I_1 + I_2) R = 0$
આમ,સાચું સમીકરણ $E_1 - (I_1 + I_2) R - I_1 r_1 = 0$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. ધારો કે અવરોધો $P=4 \ \Omega$,$Q=4 \ \Omega$,$R=1 \ \Omega$ અને $S=3 \ \Omega$ છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,વિરુદ્ધ ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ,એટલે કે $P/R = Q/S$.
અહીં,$4/1 = 4$ અને $4/3 = 1.33$ છે. $4 \neq 1.33$ હોવાથી,બ્રિજ અસંતુલિત છે.
ધારો કે $P$ પરનું પોટેન્શિયલ $V_P$ અને $R$ પરનું પોટેન્શિયલ $V_R$ છે. $Q$ અને $S$ પરનું પોટેન્શિયલ વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે.
$V_Q = V \cdot \frac{4}{4+4} = V/2$ અને $V_S = V \cdot \frac{3}{1+3} = 3V/4$.
$V_S > V_Q$ હોવાથી,પ્રવાહ ઉચ્ચ પોટેન્શિયલથી નીચા પોટેન્શિયલ તરફ વહેશે,એટલે કે $S$ થી $Q$ તરફ.

(A) ધારો કે નોડ $E$ પરનું સ્થિતિમાન $0 \,V$ છે. નોડ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $6 \,V$ છે।
નોડ $B$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$A$ થી $B$ તરફ વહેતો પ્રવાહ $I_1 = \frac{V_A - V_B}{R_1} = \frac{-8 - 6}{28} = \frac{-14}{28} = -0.5 \,A$ છે।
$C$ થી $B$ તરફ વહેતો પ્રવાહ $I_2 = \frac{V_C - V_B}{R_2} = \frac{12 - 6}{54} = \frac{6}{54} = \frac{1}{9} \,A$ છે।
ધારો કે પ્રવાહ $I$ એ $B$ થી $E$ તરફ નીચેની દિશામાં વહે છે। નોડ $B$ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ:
$I = I_1 + I_2 = -0.5 + \frac{1}{9} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{9} = \frac{-9 + 2}{18} = -\frac{7}{18} \,A$.

(A) કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ જણાવે છે કે જંકશન પર મળતા પ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે,જે સૂચવે છે કે જંકશન પર કોઈ વીજભારનો સંગ્રહ થતો નથી. આમ,તે વીજભારના સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે.
કિર્ચોફનો વોલ્ટેજનો નિયમ $(KVL)$ જણાવે છે કે બંધ લૂપમાં સ્થિતિમાનના તફાવતોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે,જે વિદ્યુતક્ષેત્રના સંરક્ષી સ્વભાવનું પરિણામ છે. આમ,તે ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે.

(C) કિરચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહોનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
પ્રથમ જંકશન પર $KCL$ લાગુ કરતા:
$I_4 = 1 \text{ A} + 2 \text{ A} + 3 \text{ A} = 6 \text{ A}$
બીજા જંકશન પર $KCL$ લાગુ કરતા:
$I_6 = I_4 - 1.2 \text{ A} = 6 \text{ A} - 1.2 \text{ A} = 4.8 \text{ A}$
ત્રીજા જંકશન પર $KCL$ લાગુ કરતા:
$I_8 = I_6 + 0.8 \text{ A} = 4.8 \text{ A} + 0.8 \text{ A} = 5.6 \text{ A}$
અંતિમ જંકશન પર $KCL$ લાગુ કરતા:
$I = I_8 - 0.5 \text{ A} - 1.7 \text{ A} = 5.6 \text{ A} - 2.2 \text{ A} = 3.4 \text{ A}$

(A) કિરચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ એ વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે,જે જણાવે છે કે જંકશનમાં દાખલ થતો કુલ પ્રવાહ તેમાંથી બહાર નીકળતા કુલ પ્રવાહ જેટલો જ હોય છે,કારણ કે જંકશન પર વિદ્યુતભારનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી.
કિરચોફનો વોલ્ટેજનો નિયમ $(KVL)$ એ ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે,જે જણાવે છે કે સર્કિટના કોઈપણ બંધ લૂપમાં સ્થિતિમાનના ફેરફારોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે,જે દર્શાવે છે કે બંધ લૂપમાં વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે.

(A) કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહોનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહો $I$,$0.2 \ A$ અને $0.4 \ A$ છે.
જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહો $0.5 \ A$ અને $0.8 \ A$ છે.
$KCL$ લાગુ પાડતા: $I + 0.2 + 0.4 = 0.5 + 0.8$
$I + 0.6 = 1.3$
$I = 1.3 - 0.6 = 0.7 \ A$

(B) કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$1$. પ્રથમ જંકશન પર: કુલ દાખલ થતો પ્રવાહ $1.2 \ A + 1.0 \ A = 2.2 \ A$ છે. આ પ્રવાહ આગળના જંકશન તરફ વહે છે.
$2$. બીજા જંકશન પર: $2.2 \ A$ પ્રવાહ દાખલ થાય છે,અને $0.2 \ A$ તથા $0.1 \ A$ બહાર નીકળે છે. આગળ વહેતો બાકીનો પ્રવાહ $2.2 \ A - (0.2 \ A + 0.1 \ A) = 2.2 \ A - 0.3 \ A = 1.9 \ A$ છે.
$3$. ત્રીજા જંકશન પર: $1.9 \ A$ પ્રવાહ દાખલ થાય છે,અને એક શાખામાં $0.4 \ A$ બહાર નીકળે છે. બાકીનો પ્રવાહ $I$ બીજી શાખામાં વહેવો જોઈએ. તેથી,$I = 1.9 \ A - 0.4 \ A = 1.5 \ A$.

(C) આપેલ પરિપથનું વિશ્લેષણ કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ ને વિવિધ લૂપમાં લાગુ કરીને કરી શકાય છે.
ધારો કે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ નોડ્સને નામ આપવામાં આવ્યા છે.
ઉપરના લૂપમાં (જેમાં $E_1$,$r_1$ અને $R$ છે) $KVL$ લાગુ કરતા:
નોડ $E$ થી શરૂ કરીને $F, B, A$ થઈને પાછા $E$ પર જતાં:
શાખા $EF$ (જેમાં $E_1$ અને $r_1$ છે) માંથી પસાર થતાં: સ્થિતિમાનમાં ફેરફાર $+E_1 - i_1 r_1$ થાય છે.
શાખા $AB$ (જેમાં $R$ છે) માંથી પસાર થતાં: સ્થિતિમાનમાં ફેરફાર $-(i_1+i_2)R$ થાય છે.
આ સ્થિતિમાનના ફેરફારોનો સરવાળો શૂન્ય લેતા: $E_1 - i_1 r_1 - (i_1+i_2)R = 0$.
આને $E_1 - (i_1+i_2)R - i_1 r_1 = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,તે વિકલ્પ $(c)$ સાથે સુસંગત છે.