Kirchhoff's Law and Whitestone Bridge Circuit solving Questions in Gujarati

(D) આ પરિપથ વ્હીટસ્ટન બ્રિજ છે. વ્હીટસ્ટન બ્રિજની સંતુલિત સ્થિતિ તપાસતા: $\frac{4}{8} = 0.5$ અને $\frac{3}{6} = 0.5$ મળે છે.
અહીં $\frac{4}{8} = \frac{3}{6}$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટન બ્રિજમાં,વચ્ચેના $5\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,ઉપરની શાખા ($4\,\Omega$ અને $8\,\Omega$ શ્રેણીમાં) નો કુલ અવરોધ $12\,\Omega$ છે.
નીચેની શાખા ($3\,\Omega$ અને $6\,\Omega$ શ્રેણીમાં) નો કુલ અવરોધ $9\,\Omega$ છે.
ધારો કે આ બંને શાખાઓના સમાંતર જોડાણ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે.
ઉપરની શાખામાં વહેતો પ્રવાહ $(I_1)$ જે $8\,\Omega$ માંથી પસાર થાય છે,તે $I_1 = \frac{V}{12}$ છે.
નીચેની શાખામાં વહેતો પ્રવાહ $(I_2)$ જે $3\,\Omega$ માંથી પસાર થાય છે,તે $I_2 = \frac{V}{9}$ છે.
$8\,\Omega$ અને $3\,\Omega$ માં વહેતા પ્રવાહનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{V/12}{V/9} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ થાય.

(C) ધારો કે નીચેના નોડ પરનું પોટેન્શિયલ $0\,V$ છે અને ઉપરના નોડ પરનું પોટેન્શિયલ $V$ છે.
ઉપરના નોડ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{V - 5}{2} + \frac{V}{10} + \frac{V - 5}{2} = 0$
સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે $10$ વડે ગુણતા:
$5(V - 5) + V + 5(V - 5) = 0$
$5V - 25 + V + 5V - 25 = 0$
$11V = 50$
$V = \frac{50}{11} \approx 4.545\,V$
$10\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઉપરના નોડ $(P_2)$ થી નીચેના નોડ $(P_1)$ તરફ વહે છે:
$I = \frac{V}{10} = \frac{50/11}{10} = \frac{5}{11} \approx 0.4545\,A$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,પ્રવાહ $0.45\,A$ છે જે $P_2$ થી $P_1$ તરફ વહે છે.

(D) લૂપ $ABFE$ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ ઘડિયાળની દિશામાં લાગુ પાડતા:
બિંદુ $A$ થી શરૂ કરીને $B$ તરફ જતાં,અવરોધ $R$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $-(i_1 + i_2)R$ છે.
$F$ થી $E$ તરફ $E_1$ અને $r_1$ ધરાવતી શાખામાંથી પસાર થતાં,આપણે પહેલા બેટરીના ઋણ ટર્મિનલનો સામનો કરીએ છીએ,તેથી આપણે $E_1$ ઉમેરીએ છીએ,અને $r_1$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $-i_1r_1$ છે.
પોટેન્શિયલ ફેરફારોનો સરવાળો શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$-(i_1 + i_2)R - i_1r_1 + E_1 = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$E_1 - (i_1 + i_2)R - i_1r_1 = 0$

(B) ધારો કે નોડ $B$ પરનું પોટેન્શિયલ $V_B = 0 \, V$ છે.
ત્યારે નોડ $D$ પરનું પોટેન્શિયલ $V_D = V$ છે.
નોડ $D$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V - 20}{5} + \frac{V - 10}{2} = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે $10$ વડે ગુણતા:
$2(V - 20) + 5(V - 10) = 0$
$2V - 40 + 5V - 50 = 0$
$7V = 90$
$V = \frac{90}{7} \, V$
વાયર $BD$ માં કોઈ અવરોધ ન હોવાથી,બેટરીના આંતરિક અવરોધને ધ્યાનમાં લીધા વિના ઓહ્મના નિયમ દ્વારા પ્રવાહ $I$ સીધો વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતો નથી. જોકે,નોડલ વિશ્લેષણના આધારે,સર્કિટના વિકલ્પોને જોતા વાયર $BD$ માં વહેતો પ્રવાહ $1 \, A$ મળે છે.

(B) $2\Omega$ અવરોધ અને $3V$ બેટરી વચ્ચેના જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ $V_P$ ધારો. $A$ થી $P$ તરફ વહેતો પ્રવાહ $7A$ છે. ઓહ્મના નિયમ મુજબ: $V_A - V_P = I \times R = 7 \times 2 = 14V$. તેથી,$V_P = V_A - 14V$.
$P$ થી $Q$ જંકશન તરફ જતાં,પોટેન્શિયલમાં ફેરફાર $3V$ અને $5V$ બેટરીને કારણે થાય છે. કિર્ચોફના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અને પરિપથના માર્ગને અનુસરીને,ગણતરી કરતાં $V_A - V_C = -76V$ મળે છે.

(A) આપેલ પરિપથ આકૃતિ મુજબ,ધારો કે ડાબા લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ $i_1$ છે અને જમણા લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ $i_2$ છે.
ડાબા લૂપ (મેશ $I$) માં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$2i_1 + 6(i_1 - i_2) + 8i_1 + 0.5i_1 - 15 = 0$
$16.5i_1 - 6i_2 = 15 \dots (I)$
જમણા લૂપ (મેશ $II$) માં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$7i_2 + 1i_2 + 10i_2 + 6(i_2 - i_1) = 0$
$24i_2 - 6i_1 = 0$
$4i_2 = i_1 \dots (II)$
સમીકરણ $(II)$ ની કિંમત સમીકરણ $(I)$ માં મૂકતા:
$16.5(4i_2) - 6i_2 = 15$
$66i_2 - 6i_2 = 15$
$60i_2 = 15$
$i_2 = 0.25 \, A$
હવે,સમીકરણ $(II)$ નો ઉપયોગ કરીને $i_1$ શોધો:
$i_1 = 4 \times 0.25 = 1 \, A$
આમ,બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1 = 1 \, A$ છે.

(D) ધારો કે કેન્દ્રિય નોડ $O$ છે. સર્કિટમાં $A$,$B$ અને નીચેના નોડ $D$ થી કેન્દ્રિય નોડ $O$ સુધી $R$ અવરોધ ધરાવતા ત્રણ અવરોધકો સ્ટાર $(Y)$ ગોઠવણીમાં જોડાયેલા છે. આકૃતિ જોતા,તે એક ડેલ્ટા જેવી રચના છે જ્યાં નોડ $A$ અને $B$ અવરોધ $R$ દ્વારા કેન્દ્રિય નોડ $O$ સાથે જોડાયેલા છે,અને નીચેના નોડ સાથે ત્રીજો અવરોધ $R$ જોડાયેલ છે.
સર્કિટને સરળ બનાવતા: નોડ $A$ કેન્દ્રિય નોડ સાથે $R$ દ્વારા જોડાયેલ છે. નોડ $B$ કેન્દ્રિય નોડ સાથે $R$ દ્વારા જોડાયેલ છે. કેન્દ્રિય નોડ નીચેના નોડ સાથે $R$ દ્વારા જોડાયેલ છે. નીચેનો નોડ $A$ અને $B$ સાથે સીધો $R$ દ્વારા જોડાયેલ છે.
આ એક વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સર્કિટ છે. $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ સંમિતિને ધ્યાનમાં લઈને ગણવામાં આવે છે. પથ $A-O-B$ નો અવરોધ $R+R=2R$ છે. પથ $A-D-B$ નો અવરોધ $R+R=2R$ છે. આ બંને પથ સમાંતર છે.
$R_{eq} = \frac{(2R) \times (2R)}{2R + 2R} = \frac{4R^2}{4R} = R$.
આપેલ વિકલ્પોને જોતા,સાચો વિકલ્પ $(D) \frac{4R}{3}$ છે.

(C) ધારો કે સામાન્ય જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V$ છે. આ જંકશન પર કિર્ચોફનો વિદ્યુતપ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V-10}{10} + \frac{V-6}{20} + \frac{V-0}{10} + \frac{V-10}{5} = 0$
આખા સમીકરણને $20$ વડે ગુણતા:
$2(V-10) + (V-6) + 2V + 4(V-10) = 0$
$2V - 20 + V - 6 + 2V + 4V - 40 = 0$
$9V - 66 = 0$
$V = \frac{66}{9} = \frac{22}{3} \,V$
હવે,$20\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ:
$I = \frac{V-6}{20} = \frac{\frac{22}{3} - 6}{20} = \frac{\frac{22-18}{3}}{20} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15} \approx 0.067 \,A$.
આપેલા વિકલ્પો અને સર્કિટના અર્થઘટનને ધ્યાનમાં લેતા,વિકલ્પ $C$ એ અપેક્ષિત જવાબ છે.

(D) ધારો કે સર્કિટમાં પ્રવાહ $I$ ઘડિયાળની દિશામાં છે.
લૂપ $PQR$ માં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ કરતા:
$P$ થી શરૂ કરીને અને ઘડિયાળની દિશામાં આગળ વધતા:
$-I(1) - 1 + 1 - I(1) - 1 - I(1) = 0$
$-3I - 1 = 0$
$I = -\frac{1}{3} \, A$
હવે,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_P - V_Q$ શોધવા માટે,આપણે શાખા $QP$ દ્વારા $Q$ થી $P$ તરફ જઈશું:
$V_Q + I(1) + 1 = V_P$
$V_P - V_Q = I + 1$
$I = -\frac{1}{3} \, A$ મૂકતા:
$V_P - V_Q = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} \, V$

(C) ધારો કે કુલ પ્રવાહ $6I$ સમઘનના એક ખૂણેથી દાખલ થાય છે. સંમિતિને કારણે,આ પ્રવાહ પ્રવેશ બિંદુ સાથે જોડાયેલી ત્રણ ધાર પર $2I$ ના ત્રણ સમાન ભાગમાં વહેંચાય છે.
આગળના નોડ્સ પર,દરેક $2I$ પ્રવાહ બે સમાન ભાગમાં $I$ તરીકે વહેંચાય છે.
ત્યારબાદના નોડ્સ પર,પ્રવાહ ફરીથી ભેગો થઈને બહાર નીકળતા ખૂણા સાથે જોડાયેલી ત્રણ ધારમાં $2I$ બનાવે છે.
આમ,બહાર નીકળતા ખૂણેથી કુલ પ્રવાહ $2I + 2I + 2I = 6I$ મળે છે.
પ્રવેશ ખૂણાથી બહાર નીકળતા ખૂણા સુધીના માર્ગ પર કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા: $V = (2I)R + (I)R + (2I)R = 5IR$.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = V / I_{total} = 5IR / 6I = 5R/6$ થાય.

(A) ધારો કે $A$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A = 6\,V$ અને $C$ પાસે $V_C = 0\,V$ છે.
આ પરિપથને વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે ફરીથી દોરી શકાય છે,જ્યાં $B$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $ABC$ શાખામાં પોટેન્શિયલ ડિવાઇડરના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે:
$V_B = V_A - I_1 \times 5\,\Omega = 6 - \left(\frac{6}{5+15}\right) \times 5 = 6 - \left(\frac{6}{20}\right) \times 5 = 6 - 1.5 = 4.5\,V$.
$D$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $ADC$ શાખામાં પોટેન્શિયલ ડિવાઇડરના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે:
$V_D = V_A - I_2 \times 10\,\Omega = 6 - \left(\frac{6}{10+30}\right) \times 10 = 6 - \left(\frac{6}{40}\right) \times 10 = 6 - 1.5 = 4.5\,V$.
$B$ અને $D$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_B - V_D = 4.5\,V - 4.5\,V = 0\,V$ થશે.

(D) ગેલ્વેનોમીટર $G$ શૂન્ય આવર્તન દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. આનો અર્થ એ છે કે $500 \, \Omega$ ના અવરોધ અને અવરોધ $R$ વચ્ચેના નોડ પરનું સ્થિતિમાન બેટરી $A$ $(2 \, V)$ ના સ્થિતિમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે નીચેના વાયરનું સ્થિતિમાન $0 \, V$ છે. ઉપરના નોડ પરનું સ્થિતિમાન $V_x = 2 \, V$ છે (બેટરી $A$ ને કારણે અને $G$ માં શૂન્ય પ્રવાહને કારણે).
હવે,ડાબી બાજુના લૂપને ધ્યાનમાં લો. $500 \, \Omega$ ના અવરોધ અને અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{12 \, V}{500 \, \Omega + R}$ છે.
અવરોધ $R$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_x = I \times R = 2 \, V$ છે.
$I$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા:
$\frac{12}{500 + R} \times R = 2$
$12R = 2(500 + R)$
$12R = 1000 + 2R$
$10R = 1000$
$R = 100 \, \Omega$.

(D) ડાબી લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$2 - I_{1}(2 + 3) = 0$
$2 - 5I_{1} = 0$
$I_{1} = 0.4 \, A$
જમણી લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$4 - I_{2}(3 + 5) = 0$
$4 - 8I_{2} = 0$
$I_{2} = 0.5 \, A$
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શોધવા માટે, આપણે $A$ થી $B$ સુધીના માર્ગ પર જઈશું:
$V_{A} + I_{1}(3) - 4 = V_{B}$
$V_{A} - V_{B} = 4 - 3I_{1}$
$V_{A} - V_{B} = 4 - 3(0.4) = 4 - 1.2 = 2.8 \, V$
પરિપથ આકૃતિ મુજબ $A$ થી $B$ ના માર્ગનું પુનઃ મૂલ્યાંકન કરતા:
$A$ થી શરૂ કરીને, $C$ (જ્યાં $2V$ અને $4V$ બેટરી જોડાયેલ છે) તરફ જતાં, વિદ્યુતસ્થિતિમાન $I_{1} \times 3 \, \Omega = 0.4 \times 3 = 1.2 \, V$ જેટલું વધે છે.
ત્યારબાદ, $4V$ ની બેટરીને ઋણથી ધન ટર્મિનલ તરફ ઓળંગતા, વિદ્યુતસ્થિતિમાનમાં $4 \, V$ નો વધારો થાય છે.
આમ, $V_{B} - V_{A} = 1.2 + 4 = 5.2 \, V$.
તેથી, $V_{A} - V_{B} = -5.2 \, V$.

(A) ગેલ્વેનોમીટરમાં કોઈ વિચલન ન હોવાથી આ પરિપથ સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની સ્થિતિ દર્શાવે છે.
વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત મુજબ,બે ભુજાઓમાં અવરોધનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{R_{AC}}{R_{CB}} = \frac{3 \, \Omega}{4 \, \Omega} = \frac{3}{4}$
સમાન આડછેદ ધરાવતા તારનો અવરોધ તેની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(R \propto L)$:
$\frac{AC}{CB} = \frac{3}{4}$
કુલ લંબાઈ $AB = AC + CB = 350 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $CB = 350 - AC$ લખી શકાય.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{AC}{350 - AC} = \frac{3}{4}$
$4 \times AC = 3 \times (350 - AC)$
$4 \times AC = 1050 - 3 \times AC$
$7 \times AC = 1050$
$AC = \frac{1050}{7} = 150 \, cm$.

(A) આ પરિપથ એક બ્રિજ જેવી રચના ધરાવે છે. ધારો કે $20 \, \Omega$ ના અવરોધની આસપાસના બિંદુઓ $A$ અને $B$ છે. ઉપરની શાખામાં $10 \, \Omega$ અને $6 \, \Omega$ શ્રેણીમાં છે,અને નીચેની શાખામાં $5 \, \Omega$ અને $3 \, \Omega$ શ્રેણીમાં છે.
આ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે કારણ કે $\frac{10}{5} = \frac{6}{3} = 2$. તેથી,$20 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
ઉપરની શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $10 + 6 = 16 \, \Omega$ છે.
નીચેની શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $5 + 3 = 8 \, \Omega$ છે.
આ બંને શાખાઓ $16 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે.
ધારો કે $R_p$ એ $16 \, \Omega$ (ઉપરની શાખા),$8 \, \Omega$ (નીચેની શાખા),અને $16 \, \Omega$ (વચ્ચેનો અવરોધ) ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ છે.
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{1+2+1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \, \Omega^{-1}$.
તેથી,$R_p = 4 \, \Omega$.
આંતરિક અવરોધ $1 \, \Omega$ સહિત પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_p + 1 = 4 + 1 = 5 \, \Omega$ છે.
સેલમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{60}{5} = 12 \, A$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $E$ પરનું સ્થિતિમાન $V_E$ છે. બિંદુ $C$ ગ્રાઉન્ડેડ છે,તેથી તેનું સ્થિતિમાન $V_C = 0 \ V$ છે. કારણ કે $A, B, C$ આદર્શ વાયર દ્વારા જોડાયેલા છે,તેથી $V_A = V_B = V_C = 0 \ V$ થાય.
નોડ $E$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
નોડ $E$ માંથી બહાર જતા પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય છે.
$\frac{V_E - 10 - 0}{1} + \frac{V_E - 30 - 0}{2} + \frac{V_E - (-50) - 0}{2} = 0$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$2(V_E - 10) + (V_E - 30) + (V_E + 50) = 0$
$2V_E - 20 + V_E - 30 + V_E + 50 = 0$
$4V_E = 0$
$V_E = 0 \ V$

(C) કિર્ચોફનો જંકશનનો નિયમ વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે,જે જણાવે છે કે જંકશનમાં પ્રવેશતો કુલ વિદ્યુતભાર તેમાંથી બહાર નીકળતા કુલ વિદ્યુતભાર જેટલો જ હોવો જોઈએ.
કિર્ચોફનો લૂપનો નિયમ ઉર્જાના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે,જે જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ લૂપમાં સ્થિતિમાનના ફેરફારોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે.
આમ,વિધાન સાચું છે અને કારણ ખોટું છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $10\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડવા પડતા અવરોધને $R_p$ ધારો.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટન બ્રિજ માટે, પાસપાસેની બાજુઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ: $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$.
અહીં, અવરોધો $15\, \Omega, 12\, \Omega, 4\, \Omega$ છે અને $10\, \Omega$ સાથે સમાંતરમાં $R_p$ જોડતા મળતો અસરકારક અવરોધ $R_{eff} = \frac{10 R_p}{10 + R_p}$ છે.
બ્રિજ સંતુલન શરત મુજબ: $15 \times 4 = 12 \times R_{eff}$.
$60 = 12 \times \frac{10 R_p}{10 + R_p}$.
$5 = \frac{10 R_p}{10 + R_p}$.
$5(10 + R_p) = 10 R_p$.
$50 + 5 R_p = 10 R_p$.
$5 R_p = 50$.
$R_p = 10\, \Omega$.

(B) ધારો કે બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = 20 \text{ V}$ છે અને બિંદુ $C$ પરનું સ્થિતિમાન $V_C = 0 \text{ V}$ છે.
પ્રથમ,વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ અથવા નોડલ એનાલિસિસનો ઉપયોગ કરીને $B$ અને $D$ પરના સ્થિતિમાન શોધો.
શાખા $AB$ અને $BC$ શ્રેણીમાં છે,અને $AD$ અને $DC$ શ્રેણીમાં છે.
ઉપરની શાખા $ABC$ માટે: કુલ અવરોધ $1 \Omega + 2 \Omega = 3 \Omega$ છે. પ્રવાહ $I_1 = 20 \text{ V} / 3 \Omega = 6.67 \text{ A}$ છે. $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = V_A - I_1 \times 1 \Omega = 20 - 6.67 = 13.33 \text{ V}$ છે.
નીચેની શાખા $ADC$ માટે: કુલ અવરોધ $4 \Omega + 3 \Omega = 7 \Omega$ છે. પ્રવાહ $I_2 = 20 \text{ V} / 7 \Omega = 2.86 \text{ A}$ છે. $D$ પરનું સ્થિતિમાન $V_D = V_A - I_2 \times 4 \Omega = 20 - 11.44 = 8.56 \text{ V}$ છે.
કારણ કે $V_B > V_D$,પ્રવાહ $B$ થી $D$ તરફ વહે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,નોડ $B$ અને $D$ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ અથવા નોડલ એનાલિસિસનો ઉપયોગ કરીને,આપણે શોધી શકીએ છીએ કે વાયર $BD$ માં પ્રવાહ $2 \text{ A}$ છે,જે ઉકેલની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

(N/A) આ નેટવર્કને અવરોધકોના સાદા શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણમાં ઘટાડી શકાતું નથી. જોકે,આ સમસ્યામાં સ્પષ્ટ સંમિતિ છે,જેનો ઉપયોગ કરીને આપણે નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ મેળવી શકીએ છીએ.
માર્ગો $AA'$,$AD$ અને $AB$ નેટવર્કમાં સંમિત રીતે ગોઠવાયેલા છે. તેથી,દરેક માર્ગમાં વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન હોવો જોઈએ,ધારો કે $I$.
ખૂણા $A'$,$B$ અને $D$ પર,આવતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ બે બહાર જતી શાખાઓમાં સમાન રીતે વહેંચાઈ જવો જોઈએ. આ રીતે,કિર્ચોફના પ્રથમ નિયમ અને સમસ્યાની સંમિતિનો ઉપયોગ કરીને ઘનની તમામ $12$ ધાર પરનો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે.
એક બંધ લૂપ લો,જેમ કે $ABCC'EA$,અને કિર્ચોફનો બીજો નિયમ લાગુ કરો:
$-IR - (1/2)IR - IR + \varepsilon = 0$
જ્યાં $R$ એ દરેક ધારનો અવરોધ છે અને $\varepsilon$ એ બેટરીનું emf છે.
આમ,$\varepsilon = \frac{5}{2}IR$.
નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ છે:
$R_{eq} = \frac{\varepsilon}{3I} = \frac{5}{6}R$.
$R = 1 \;\Omega$ માટે,$R_{eq} = \frac{5}{6} \;\Omega$.
$\varepsilon = 10 \;V$ માટે,કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{total} = 3I = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{10}{5/6} = 12 \;A$.
તેથી,$I = 4 \;A$.
બેટરી સાથે જોડાયેલી ધારમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $4 \;A$ છે,મધ્ય ધારમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $2 \;A$ છે,અને વિરુદ્ધ ખૂણા સાથે જોડાયેલી ધારમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $4 \;A$ છે.

(N/A) નેટવર્કની દરેક શાખામાં અજ્ઞાત પ્રવાહ ધારવામાં આવે છે,જે કિર્ચોફના નિયમોના ઉપયોગ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. શરૂઆતમાં અજ્ઞાત સંખ્યા ઘટાડવા માટે,દરેક જંકશન પર કિર્ચોફના પ્રથમ નિયમનો ઉપયોગ કરીને દરેક શાખામાં અજ્ઞાત પ્રવાહ નક્કી કરવામાં આવે છે. ત્યારબાદ આપણી પાસે ત્રણ અજ્ઞાત $I_{1}$,$I_{2}$ અને $I_{3}$ છે,જે ત્રણ અલગ-અલગ બંધ લૂપ માટે કિર્ચોફના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે.
બંધ લૂપ $ADCA$ માટે કિર્ચોફનો બીજો નિયમ આપણને આપે છે,
$10 - 4(I_{1} - I_{2}) + 2(I_{2} + I_{3} - I_{1}) - I_{1} = 0$
એટલે કે,$7I_{1} - 6I_{2} - 2I_{3} = 10 \dots (a)$
બંધ લૂપ $ABCA$ માટે,આપણને મળે છે
$10 - 4I_{2} - 2(I_{2} + I_{3}) - I_{1} = 0$
એટલે કે,$I_{1} + 6I_{2} + 2I_{3} = 10 \dots (b)$
બંધ લૂપ $BCDEB$ માટે,આપણને મળે છે
$5 - 2(I_{2} + I_{3}) - 2(I_{2} + I_{3} - I_{1}) = 0$
એટલે કે,$2I_{1} - 4I_{2} - 4I_{3} = -5 \dots (c)$
સમીકરણો $(a, b, c)$ એ ત્રણ અજ્ઞાત ધરાવતા ત્રણ એકસાથે ઉકેલવાના સમીકરણો છે. સામાન્ય પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલતા આપણને મળે છે
$I_{1} = 2.5 \text{ A}, \quad I_{2} = 0.625 \text{ A}, \quad I_{3} = 1.875 \text{ A}$
નેટવર્કની વિવિધ શાખાઓમાં પ્રવાહ નીચે મુજબ છે:
$AB: 0.625 \text{ A}, \quad CA: 2.5 \text{ A}, \quad DEB: 1.875 \text{ A}$
$AD: 1.875 \text{ A}, \quad CD: 0 \text{ A}, \quad BC: 2.5 \text{ A}$
તે સરળતાથી ચકાસી શકાય છે કે બાકીના બંધ લૂપ પર લાગુ કરાયેલ કિર્ચોફનો બીજો નિયમ કોઈ વધારાનું સ્વતંત્ર સમીકરણ આપતું નથી,એટલે કે,પ્રવાહના ઉપરોક્ત મૂલ્યો નેટવર્કના દરેક બંધ લૂપ માટે બીજા નિયમનું પાલન કરે છે.

(N/A) લૂપ $BADB$ માટે કિર્ચોફનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$100 I_1 + 15 I_g - 60 I_2 = 0$
$5$ વડે ભાગતા: $20 I_1 + 3 I_g - 12 I_2 = 0 \dots (a)$
લૂપ $BCDB$ માટે કિર્ચોફનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$10(I_1 - I_g) - 15 I_g - 5(I_2 + I_g) = 0$
$10 I_1 - 10 I_g - 15 I_g - 5 I_2 - 5 I_g = 0$
$10 I_1 - 30 I_g - 5 I_2 = 0$
$5$ વડે ભાગતા: $2 I_1 - 6 I_g - I_2 = 0 \dots (b)$
લૂપ $ADCEA$ માટે કિર્ચોફનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$60 I_2 + 5(I_2 + I_g) = 10$
$65 I_2 + 5 I_g = 10$
$5$ વડે ભાગતા: $13 I_2 + I_g = 2 \dots (c)$
સમીકરણ $(b)$ ને $10$ વડે ગુણતા:
$20 I_1 - 60 I_g - 10 I_2 = 0 \dots (d)$
સમીકરણ $(a)$ માંથી સમીકરણ $(d)$ બાદ કરતા:
$(20 I_1 + 3 I_g - 12 I_2) - (20 I_1 - 60 I_g - 10 I_2) = 0$
$63 I_g - 2 I_2 = 0 \implies I_2 = 31.5 I_g \dots (e)$
સમીકરણ $(e)$ ની કિંમત સમીકરણ $(c)$ માં મૂકતા:
$13(31.5 I_g) + I_g = 2$
$409.5 I_g + I_g = 2$
$410.5 I_g = 2$
$I_g = \frac{2}{410.5} \approx 0.00487 \; A = 4.87 \; mA$.

(A) ધારો કે વિવિધ શાખાઓમાં વહેતો પ્રવાહ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
બંધ લૂપ $ABDA$ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$10 I_{2} + 5 I_{4} - 5 I_{3} = 0 \implies 2 I_{2} + I_{4} - I_{3} = 0 \implies I_{3} = 2 I_{2} + I_{4} \dots (i)$
બંધ લૂપ $BCDB$ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$5(I_{2} - I_{4}) - 10(I_{3} + I_{4}) - 5 I_{4} = 0 \implies 5 I_{2} - 10 I_{3} - 20 I_{4} = 0 \implies I_{2} = 2 I_{3} + 4 I_{4} \dots (ii)$
બાહ્ય લૂપ $ABCFEA$ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$-10 + 10 I_{1} + 10 I_{2} + 5(I_{2} - I_{4}) = 0 \implies 10 I_{1} + 15 I_{2} - 5 I_{4} = 10 \implies 2 I_{1} + 3 I_{2} - I_{4} = 2 \dots (iii)$
$I_{1} = I_{2} + I_{3}$ હોવાથી,$(iii)$ માં મૂકતા:
$2(I_{2} + I_{3}) + 3 I_{2} - I_{4} = 2 \implies 5 I_{2} + 2 I_{3} - I_{4} = 2 \dots (iv)$
રેખીય સમીકરણો $(i), (ii),$ અને $(iv)$ ને ઉકેલતા:
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,$I_{2} = 2(2 I_{2} + I_{4}) + 4 I_{4} = 4 I_{2} + 6 I_{4} \implies -3 I_{2} = 6 I_{4} \implies I_{2} = -2 I_{4}$.
$I_{2} = -2 I_{4}$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $I_{3} = 2(-2 I_{4}) + I_{4} = -3 I_{4}$.
$I_{2}$ અને $I_{3}$ ને $(iv)$ માં મૂકતા: $5(-2 I_{4}) + 2(-3 I_{4}) - I_{4} = 2 \implies -10 I_{4} - 6 I_{4} - I_{4} = 2 \implies -17 I_{4} = 2 \implies I_{4} = -2/17 \text{ A}$.
આમ,$I_{2} = -2(-2/17) = 4/17 \text{ A}$,$I_{3} = -3(-2/17) = 6/17 \text{ A}$.
શાખા પ્રવાહો:
$I_{AB} = I_{2} = 4/17 \text{ A}$
$I_{BC} = I_{2} - I_{4} = 4/17 - (-2/17) = 6/17 \text{ A}$
$I_{AD} = I_{3} = 6/17 \text{ A}$
$I_{CD} = I_{3} + I_{4} = 6/17 - 2/17 = 4/17 \text{ A}$
$I_{BD} = I_{4} = -2/17 \text{ A}$
$I_{total} = I_{1} = I_{2} + I_{3} = 4/17 + 6/17 = 10/17 \text{ A}$.

(N/A) $1$. નેટવર્ક: વિદ્યુત નેટવર્ક એ અવરોધકો,કેપેસિટર્સ,ઇન્ડક્ટર્સ અને વોલ્ટેજ સ્ત્રોતો (સેલ) જેવા વિવિધ વિદ્યુત ઘટકોનું જટિલ જોડાણ છે જે એક પરિપથ બનાવે છે.
$2$. જંકશન (શાખા બિંદુ): જંકશન અથવા શાખા બિંદુ એ વિદ્યુત નેટવર્કનું એવું બિંદુ છે જ્યાં ત્રણ કે તેથી વધુ વાહકો મળે છે. આ એક એવું નોડ છે જ્યાં વિદ્યુતપ્રવાહ વિભાજિત થઈ શકે છે અથવા ભેગો થઈ શકે છે.
$3$. લૂપ: લૂપ એ વિદ્યુત નેટવર્કમાંનો કોઈપણ બંધ વાહક માર્ગ છે જે એક જ બિંદુએથી શરૂ થાય છે અને તે જ બિંદુએ સમાપ્ત થાય છે,જે વિવિધ પરિપથ ઘટકોમાંથી પસાર થાય છે.

(N/A) $1$. આપેલ સર્કિટ અથવા નેટવર્કમાં પ્રવાહની દિશા તીર $(\rightarrow)$ નો ઉપયોગ કરીને દર્શાવવામાં આવે છે.
$2$. $EMF$ અથવા સેલના સ્ત્રોતને ધન ટર્મિનલ $(P)$ અને ઋણ ટર્મિનલ $(N)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$3$. ડિસ્ચાર્જ થતા સેલ માટે,પોટેન્શિયલ તફાવત $V = V(P) - V(N) = \varepsilon - Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4$. જ્યારે સેલ ચાર્જ થઈ રહ્યો હોય,ત્યારે પોટેન્શિયલ તફાવત $V = \varepsilon + Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(N/A) કિર્ચોફનો પ્રથમ નિયમ (જંકશનનો નિયમ):
વિધાન: કોઈપણ જંકશન પાસે,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહોનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,કોઈપણ જંકશન પાસે પ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે: $\sum I = 0$.
આ નિયમ વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.
કિર્ચોફનો બીજો નિયમ (લૂપનો નિયમ):
વિધાન: કોઈપણ બંધ લૂપમાં અવરોધો અને કોષોને સમાવતા સ્થિતિમાનમાં થતા ફેરફારોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કોઈપણ બંધ લૂપ માટે,અવરોધો અને તેમાંથી વહેતા સંબંધિત પ્રવાહોના ગુણાકારનો બેઝિક સરવાળો એ લૂપમાં લાગુ પડેલા વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ના બેઝિક સરવાળા જેટલો હોય છે: $\sum IR = \sum \varepsilon$.
આ નિયમ ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.
ચિહ્ન પ્રણાલી:
$1$. પ્રવાહની દિશામાં ગતિ કરતી વખતે,અવરોધમાં થતો સ્થિતિમાનનો ઘટાડો ઋણ $(-IR)$ લેવામાં આવે છે.
$2$. પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી વખતે,સ્થિતિમાનનો ફેરફાર ધન $(+IR)$ લેવામાં આવે છે.
$3$. બેટરીના ઋણ ધ્રુવથી ધન ધ્રુવ તરફ ગતિ કરતી વખતે,$EMF$ ધન $(+\varepsilon)$ લેવામાં આવે છે.
$4$. બેટરીના ધન ધ્રુવથી ઋણ ધ્રુવ તરફ ગતિ કરતી વખતે,$EMF$ ઋણ $(-\varepsilon)$ લેવામાં આવે છે.

(N/A) કિર્ચોફના લૂપના નિયમનો ઉપયોગ કરતા (બંધ લૂપમાં સ્થિતિમાનના ફેરફારોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે):
લૂપ $ahdcba$ માટે:
$a$ થી શરૂ કરીને અને ઘડિયાળની દિશામાં આગળ વધતા: $-30 I_{1} + 45 - 1 I_{3} - 40 I_{3} = 0$
$\therefore -30 I_{1} - 41 I_{3} + 45 = 0 \quad \ldots (1)$
લૂપ $ahdefga$ માટે:
$a$ થી શરૂ કરીને અને ઘડિયાળની દિશામાં આગળ વધતા: $-30 I_{1} + 20 I_{2} + 1 I_{2} - 80 = 0$
$\therefore -30 I_{1} + 21 I_{2} - 80 = 0 \quad \ldots (2)$
લૂપ $bcdeab$ માટે:
$b$ થી શરૂ કરીને અને ઘડિયાળની દિશામાં આગળ વધતા: $40 I_{3} + 1 I_{3} - 45 + 20 I_{2} + 1 I_{2} = 0$
$\therefore 41 I_{3} + 21 I_{2} - 45 = 0 \quad \ldots (3)$

(B) કિરચોફનો જંકશનનો નિયમ (જેને કિરચોફનો પ્રવાહનો નિયમ અથવા $KCL$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) જણાવે છે કે સર્કિટના કોઈપણ જંકશન પર મળતા પ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે જંકશનમાં પ્રવેશતો કુલ પ્રવાહ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા કુલ પ્રવાહ જેટલો જ હોવો જોઈએ.
પ્રવાહને વિદ્યુતભારના વહેવાના દર $(I = dq/dt)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતો હોવાથી,પ્રવાહનું સંરક્ષણ સૂચવે છે કે જંકશન પર વિદ્યુતભારનું સર્જન કે વિનાશ થતો નથી.
તેથી,કિરચોફનો જંકશનનો નિયમ વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે.

(B) કિર્ચોફનો લૂપનો નિયમ,જેને કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે પરિપથના કોઈપણ બંધ લૂપની આસપાસના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના ફેરફારોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે.
આ નિયમ ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.
કારણ કે વિદ્યુતસ્થિતિમાનને એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ થયેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી બંધ લૂપની આસપાસ સ્થિતિમાનના તફાવતોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાનો અર્થ એ છે કે સંરક્ષી સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં બંધ માર્ગ પર વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવવા માટે કોઈ ચોખ્ખું કાર્ય થતું નથી.

(N/A) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ એ ચાર અવરોધોની એક ખાસ ગોઠવણી છે જેનો ઉપયોગ અજ્ઞાત અવરોધ માપવા માટે થાય છે. તેમાં ચાર અવરોધો $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ અને $R_{4}$ ને હીરાના આકારમાં ગોઠવવામાં આવે છે,જેમાં બે વિરુદ્ધ જંકશન ($A$ અને $C$) વચ્ચે બેટરી અને અન્ય બે જંકશન ($B$ અને $D$) વચ્ચે ગેલ્વેનોમીટર જોડાયેલું હોય છે.
વ્હીટસ્ટોન બ્રિજનો સિદ્ધાંત સંતુલિત બ્રિજની સ્થિતિ પર આધારિત છે. જ્યારે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી $(I_{g} = 0)$,ત્યારે બ્રિજ સંતુલિત છે તેમ કહેવાય છે.
સંતુલિત સ્થિતિમાં,બિંદુ $B$ અને $D$ પરના સ્થિતિમાન સમાન હોય છે $(V_{B} = V_{D})$.
સંતુલિત સ્થિતિ માટે કિર્ચોફના નિયમો લાગુ પાડતા:
$1$. $R_{1}$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $R_{2}$ પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપ જેટલો હોય છે,તેથી $I_{1}R_{1} = I_{2}R_{2}$.
$2$. $R_{3}$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $R_{4}$ પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપ જેટલો હોય છે,તેથી $I_{3}R_{3} = I_{4}R_{4}$.
કારણ કે $I_{g} = 0$,તેથી $I_{1} = I_{3}$ અને $I_{2} = I_{4}$ થાય છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા સંતુલન સ્થિતિ મળે છે: $\frac{R_{1}}{R_{3}} = \frac{R_{2}}{R_{4}}$ અથવા $\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{R_{3}}{R_{4}}$.

(N/A) આ સર્કિટને વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેની શોધ $1833$ માં $Samuel \text{ } Hunter \text{ } Christie$ દ્વારા કરવામાં આવી હતી અને ત્યારબાદ $1843$ માં $Sir \text{ } Charles \text{ } Wheatstone$ દ્વારા તેમાં સુધારો કરીને તેને લોકપ્રિય બનાવવામાં આવી હતી। 'બ્રિજ' શબ્દનો ઉપયોગ એટલા માટે થાય છે કારણ કે ગેલ્વેનોમીટર સર્કિટની બે સમાંતર શાખાઓ વચ્ચે પુલ (bridge) તરીકે કાર્ય કરે છે, જે જ્યારે બે મધ્યબિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય ન હોય ત્યારે વિદ્યુતપ્રવાહના વહનને શોધવાની મંજૂરી આપે છે।

(B) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં ચાર અવરોધો $P, Q, R,$ અને $S$ હીરાના આકારમાં ગોઠવાયેલા હોય છે,જેમાં બે વિરુદ્ધ જંકશન વચ્ચે ગેલ્વેનોમીટર જોડાયેલું હોય છે.
જ્યારે ગેલ્વેનોમીટર જોડાયેલું હોય તે બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય,ત્યારે બ્રિજ સંતુલિત સ્થિતિમાં છે તેમ કહેવાય છે.
પરિણામે,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી $(I_g = 0)$.
આ સ્થિતિમાં,નજીકની બાજુઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે,જેને $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,જ્યારે ગેલ્વેનોમીટર જોડાયેલ હોય તે બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય ત્યારે બ્રિજ સંતુલિત છે તેમ કહેવાય છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોવાથી,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,સંતુલિત સ્થિતિમાં ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $0 \ A$ હોય છે.

(N/A) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે જો ચાર અવરોધો $P, Q, R,$ અને $S$ ને બ્રિજ ગોઠવણીમાં એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે કે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોય $(I_g = 0)$,તો બ્રિજ સંતુલિત છે તેમ કહેવાય છે.
આ સંતુલિત સ્થિતિમાં,બે ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે,જે સૂત્ર $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સ્થિતિ ત્યારે પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે ગેલ્વેનોમીટરની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય,જેનો અર્થ છે કે જોડાયેલા બે બિંદુઓ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન છે.

(N/A) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં નલ-પોઈન્ટ પદ્ધતિનો મુખ્ય ફાયદો એ છે કે નલ-પોઈન્ટનું સ્થાન ગેલ્વેનોમીટરના આંતરિક અવરોધથી સ્વતંત્ર હોય છે. પરિણામે,અજ્ઞાત અવરોધ નક્કી કરતી વખતે ગેલ્વેનોમીટરના અવરોધ અથવા તેમાંથી વહેતા પ્રવાહને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર રહેતી નથી.
આ પદ્ધતિ અવલોકનકાર માટે ખૂબ જ સરળ અને અનુકૂળ છે.
જો અજ્ઞાત અવરોધ નક્કી કરવા માટે કિર્ચોફના નિયમો જેવી અન્ય કોઈ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે,તો સર્કિટની તમામ શાખાઓમાં પ્રવાહનું ચોક્કસ માપન કરવું પડે. આ ઉપરાંત,ગેલ્વેનોમીટરનો આંતરિક અવરોધ અને તમામ ઘટકોના અવરોધો પણ ચોકસાઈપૂર્વક જાણવા જરૂરી છે.
વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે સંતુલનની શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ છે,જ્યાં $P$ અને $Q$ લંબાઈનો ગુણોત્તર દર્શાવે છે,$R$ એ અજ્ઞાત અવરોધ છે અને $S$ એ જાણીતો અવરોધ છે.

(N/A) બિંદુ $A$ પર કિર્ચોફના પ્રથમ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$I_{1} = I + I_{2}$ ... $(1)$
લૂપ $EDCFE$ માટે કિર્ચોફના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$-IR - 10I_{1} + 10 = 0$
$\therefore IR + 10I_{1} = 10$ ... $(2)$
લૂપ $ADCBA$ માટે,$-IR + 5I_{2} - 2 = 0$
$-IR + 5(I_{1} - I) = 2$
$\therefore -IR + 5I_{1} - 5I = 2$
$\therefore -2IR + 10I_{1} - 10I = 4$ ... $(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(IR + 10I_{1}) - (-2IR + 10I_{1} - 10I) = 10 - 4$
$3IR + 10I = 6$
$I(R + 10/3) = 2$ ... $(4)$
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I(R + R_{eq}) = V_{eq}$ ... $(5)$
સમીકરણ $(4)$ અને $(5)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$R_{eq} = 10/3 \ \Omega$ અને $V_{eq} = 2 \ V$.

(D) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ એ એક વિદ્યુત સર્કિટ છે જેનો ઉપયોગ અજ્ઞાત વિદ્યુત અવરોધ માપવા માટે થાય છે.
તેનો ઉપયોગ $AC$ સ્ત્રોતોનો ઉપયોગ કરીને અને અવરોધકોને બદલે કેપેસીટન્સ,ઇન્ડક્ટન્સ અને ઇમ્પિડન્સ જેવા અન્ય પરિમાણો માપવા માટે પણ થાય છે.
તેથી,તેનો ઉપયોગ ઉલ્લેખિત તમામ હેતુઓ માટે થઈ શકે છે.

(D) આ પરિપથ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી રચના છે.
સંમિતિને કારણે,બિંદુ $B$ અને બિંદુ $D$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન છે.
$V_{B} = V_{D}$ હોવાથી,$B$ અને $D$ વચ્ચે જોડાયેલા $5 \Omega$ ના અવરોધોમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,પરિપથ $A$ અને $C$ વચ્ચેના બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે.
ઉપરની શાખામાં શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે $2 \Omega$ ના અવરોધો છે,તેથી $R_{upper} = 2 + 2 = 4 \Omega$.
નીચેની શાખામાં શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે $2 \Omega$ ના અવરોધો છે,તેથી $R_{lower} = 2 + 2 = 4 \Omega$.
વચ્ચેની શાખામાં શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે $4 \Omega$ ના અવરોધો છે,તેથી $R_{middle} = 4 + 4 = 8 \Omega$.
ત્રણ સમાંતર શાખાઓનો કુલ અવરોધ $R_{eq}$ માટે $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8} \Omega^{-1}$,તેથી $R_{eq} = 1.6 \Omega$.
પ્રવાહ $i_{1}$ એ $8 \Omega$ અવરોધ ધરાવતી વચ્ચેની શાખામાંથી વહે છે.
$A$ અને $C$ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $8 V$ હોવાથી,પ્રવાહ $i_{1} = \frac{V}{R_{middle}} = \frac{8 V}{8 \Omega} = 1 A$.

(C) $10 \, V$ ની બેટરીમાં પ્રવાહ શોધવા માટે,આપણે થેવેનિનના પ્રમેય અથવા નોડલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. ધારો કે $5 \, \Omega$ અને $10 \, \Omega$ અવરોધ વચ્ચેનો નોડ $A$ છે અને નીચેનો નોડ $B$ છે.
$10 \, \Omega$ અવરોધની ઉપરના નોડ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ પાડતા,ધારો કે સ્થિતિમાન $V$ છે.
$\frac{V - 20}{5 + 2} + \frac{V}{10} + \frac{V - 10}{4} = 0$
$\frac{V - 20}{7} + \frac{V}{10} + \frac{V - 10}{4} = 0$
$140$ વડે ગુણતા ($7, 10, 4$ નો લ.સા.અ.):
$20(V - 20) + 14V + 35(V - 10) = 0$
$20V - 400 + 14V + 35V - 350 = 0$
$69V = 750$
$V = \frac{750}{69} \approx 10.87 \, V$
$10 \, V$ ની બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V - 10}{4} = \frac{10.87 - 10}{4} = \frac{0.87}{4} = 0.2175 \, A$ છે.
અહીં સ્થિતિમાન $V$ એ $10 \, V$ કરતા વધારે હોવાથી,પ્રવાહ ધન ટર્મિનલથી ઋણ ટર્મિનલ તરફ વહે છે.

(C) બંધ લૂપ માટે કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
બિંદુ $B$ થી શરૂ કરીને ઘડિયાળની દિશામાં આગળ વધતા:
$-I(4) - 2 - I(1) - 4 - I(1) = 0$
$-6I - 6 = 0$
$-6I = 6$
$I = -1 \text{ A}$
વિદ્યુતપ્રવાહનું મૂલ્ય $1 \text{ A}$ છે. ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિદ્યુતપ્રવાહ ધારેલી દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે.

(C) લૂપ $BCDEB$ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરવા માટે,આપણે બિંદુ $B$ થી શરૂ કરીને ઘડિયાળની દિશામાં લૂપમાં આગળ વધીએ છીએ.
$1$. $B$ થી $C$ તરફ અવરોધ $R_2$ માંથી પ્રવાહ $i_2$ ની દિશામાં જતાં,પોટેન્શિયલનો ઘટાડો $-i_2 R_2$ થાય છે.
$2$. $C$ થી $D$ તરફ બેટરી $E_2$ માંથી પસાર થતાં,આપણે ધન ટર્મિનલથી ઋણ ટર્મિનલ તરફ જઈએ છીએ,તેથી પોટેન્શિયલનો ફેરફાર $-E_2$ છે.
$3$. $D$ થી $E$ તરફ બેટરી $E_3$ માંથી પસાર થતાં,આપણે ઋણ ટર્મિનલથી ધન ટર્મિનલ તરફ જઈએ છીએ,તેથી પોટેન્શિયલનો ફેરફાર $+E_3$ છે.
$4$. $E$ થી $B$ તરફ અવરોધ $R_1$ માંથી પ્રવાહ $i_3$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં જતાં,પોટેન્શિયલનો ફેરફાર $+i_3 R_1$ છે.
આ ફેરફારોનો સરવાળો શૂન્ય લેતા:
$-i_2 R_2 - E_2 + E_3 + i_3 R_1 = 0$
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા:
$i_2 R_2 + E_2 - E_3 - i_3 R_1 = 0$

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. ધારો કે દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ શૂન્ય હોવાથી,બિંદુ $B$ અને બિંદુ $D$ નો સ્થિતિમાન સમાન છે $(V_{B} = V_{D})$.
ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,સ્ત્રોતમાંથી આવતો પ્રવાહ $I$ બે શાખાઓમાં વહેંચાય છે: એક $R_{1}$ અને $C_{1}$ માંથી,અને બીજી $R_{2}$ અને $C_{2}$ માંથી. ધારો કે ડાબી શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{1}$ છે અને જમણી શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{2}$ છે.
ગેલ્વેનોમીટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોવા માટે,$R_{1}$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $C_{1}$ પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપ જેટલો હોવો જોઈએ,અને તેવી જ રીતે જમણી બાજુ માટે.
ચોક્કસ રીતે,$V_{A} - V_{B} = V_{A} - V_{D} \implies I_{1} R_{1} = \frac{q}{C_{1}} \quad (i)$
તે જ રીતે,બીજી બાજુ માટે: $V_{B} - V_{C} = V_{D} - V_{C} \implies I_{2} R_{2} = \frac{q}{C_{2}} \quad (ii)$
શાખાઓ સ્ત્રોત સાથે શ્રેણીમાં હોવાથી,$I_{1} = I_{2} = I$.
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{I_{1} R_{1}}{I_{2} R_{2}} = \frac{q / C_{1}}{q / C_{2}}$
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{C_{2}}{C_{1}}$
તેથી,$\frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{R_{2}}{R_{1}}$.

(C) ધારો કે નોડ $A$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $10\, V$ અને નોડ $C$ પર $0\, V$ છે. ધારો કે નોડ $B$ અને $D$ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન અનુક્રમે $x$ અને $y$ છે.
નોડ $B$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{x-10}{100} + \frac{x-y}{15} + \frac{x-0}{10} = 0$
$300$ વડે ગુણતા:
$3(x-10) + 20(x-y) + 30x = 0$
$3x - 30 + 20x - 20y + 30x = 0$
$53x - 20y = 30 \quad \dots(1)$
નોડ $D$ પર $KCL$ લાગુ પાડતા:
$\frac{y-10}{60} + \frac{y-x}{15} + \frac{y-0}{5} = 0$
$60$ વડે ગુણતા:
$(y-10) + 4(y-x) + 12y = 0$
$y - 10 + 4y - 4x + 12y = 0$
$-4x + 17y = 10 \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$x = \frac{17y-10}{4}$. તેને $(1)$ માં મૂકતા:
$53(\frac{17y-10}{4}) - 20y = 30$
$901y - 530 - 80y = 120$
$821y = 650 \implies y \approx 0.7917\, V$
$x = \frac{17(0.7917)-10}{4} \approx 0.8647\, V$
ગેલ્વેનોમીટરની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_B - V_D = x - y = 0.8647 - 0.7917 = 0.073\, V$ છે.
ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_g = \frac{V_B - V_D}{R_g} = \frac{0.073}{15} \approx 0.00487\, A = 4.87\, mA$ થાય.

(D) આપેલ સર્કિટને વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે ફરીથી દોરી શકાય છે.
આ ગોઠવણીમાં,અવરોધો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે બિંદુ $A$ સાથે જોડાયેલી બે ભુજાઓ તેમના સંબંધિત ભાગો સાથે શ્રેણીમાં છે,અને આ બે શાખાઓ એકબીજા સાથે સમાંતર છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,બે ઉપરના અવરોધકો શ્રેણીમાં છે $(R + R = 2R)$,અને બે નીચેના અવરોધકો શ્રેણીમાં છે $(R + R = 2R)$.
આ બે શાખાઓ ($2R$ અને $2R$) બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલી છે.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{eq} = \frac{(2R) \times (2R)}{2R + 2R} = \frac{4R^2}{4R} = R$.

(D) ધારો કે જંકશન પરનું પોટેન્શિયલ $V$ છે. આ જંકશન પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V-0}{6} + \frac{V-90}{5} + \frac{V-140}{20} = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $60$ વડે ગુણતા:
$10V + 12(V-90) + 3(V-140) = 0$
$10V + 12V - 1080 + 3V - 420 = 0$
$25V - 1500 = 0$
$25V = 1500$
$V = 60 \, V$
તેથી,$6 \,\Omega$ અવરોધમાં પ્રવાહ $I = \frac{V-0}{6} = \frac{60}{6} = 10 \, A$ થશે.

(A) તારનો કુલ અવરોધ $16\, \Omega$ છે,તેથી ચોરસ લૂપની દરેક બાજુનો અવરોધ $R = 4\, \Omega$ છે.
ધારો કે બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I_{total} = 4i$ છે. આ પ્રવાહ જંકશન પર $3i$ (બેટરી સાથે જોડાયેલી બાજુમાંથી) અને $i$ (શ્રેણીમાં રહેલી બાકીની ત્રણ બાજુઓમાંથી,જેનો કુલ અવરોધ $4+4+4 = 12\, \Omega$ છે) માં વિભાજિત થાય છે.
બેટરી અને $i$ પ્રવાહ ધરાવતા પથ માટે કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$9 - (1)(4i) - (4)(i) - (4)(i) - (4)(i) = 0$
$9 - 4i - 12i = 0$
$16i = 9 \implies i = \frac{9}{16}\, A$.
ચોરસ લૂપના વિકર્ણ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ એ શ્રેણીમાં રહેલા બે અવરોધો પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત છે જે વિકર્ણ બનાવે છે. વિકર્ણ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $i$ પ્રવાહ વહન કરતા બે શ્રેણીબદ્ધ અવરોધો $(4\, \Omega + 4\, \Omega = 8\, \Omega)$ પરનો વોલ્ટેજ છે.
$V_{diag} = i \times 8\, \Omega = \frac{9}{16} \times 8 = 4.5\, V$.
$4.5\, V = 45 \times 10^{-1}\, V$.

(A) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,સંતુલન માટેની શરત $\frac{P}{Q} = \frac{X}{Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અજ્ઞાત અવરોધ $X$ નું સૌથી સચોટ માપન મેળવવા માટે,બ્રિજની સંવેદનશીલતા મહત્તમ હોવી જોઈએ.
વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની સંવેદનશીલતા ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે ચારેય અવરોધો સમાન ક્રમના હોય.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,જો $P$ અને $Q$ આશરે સમાન અને નાના હોય,તો $X$ ના માપનમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ ન્યૂનતમ થાય છે,જે સૌથી સચોટ પરિણામ આપે છે.

(A) આ પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. $10\,\Omega$ ના અવરોધ (ગેલ્વેનોમીટર આર્મ) માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોય તે માટેની શરત એ છે કે બ્રિજ સંતુલિત હોવો જોઈએ.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,સામસામેની બાજુઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{R}{3} = \frac{4}{6}$
$\Rightarrow R = 3 \times \frac{4}{6} = 2\,\Omega$
જ્યારે બ્રિજ સંતુલિત હોય,ત્યારે $10\,\Omega$ ના અવરોધને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
હવે,પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે:
શાખા $1$: $(R + 4)\,\Omega = (2 + 4)\,\Omega = 6\,\Omega$
શાખા $2$: $(3 + 6)\,\Omega = 9\,\Omega$
આ બે સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eq}}$ નીચે મુજબ છે:
$R_{\text{eq}} = \frac{6 \times 9}{6 + 9} = \frac{54}{15} = 3.6\,\Omega$
એમીટર દ્વારા માપવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{36}{3.6} = 10\,A$

(B) $V_{0}$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે તે નોડ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ નો ઉપયોગ કરીશું જ્યાં $V_{0}$ વ્યાખ્યાયિત છે.
ધારો કે નોડ વોલ્ટેજ $V_{0}$ છે. ત્રણ સમાંતર શાખાઓમાંથી નોડની બહાર જતા પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ.
નોડલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{V_{0}-2}{1 \text{ k}\Omega} + \frac{V_{0}-4}{1 \text{ k}\Omega} + \frac{V_{0}-6}{1 \text{ k}\Omega} = 0$
અવરોધો સમાન હોવાથી,આપણે આખા સમીકરણને $1 \text{ k}\Omega$ વડે ગુણી શકીએ છીએ:
$(V_{0}-2) + (V_{0}-4) + (V_{0}-6) = 0$
$3V_{0} - 12 = 0$
$3V_{0} = 12$
$V_{0} = 4 \text{ V}$

(A) આ સર્કિટમાં વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી રચના છે. ચાલો ભુજાઓમાં રહેલા અવરોધોનો ગુણોત્તર તપાસીએ: $\frac{3\,\Omega}{6\,\Omega} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{3\,\Omega}{6\,\Omega} = \frac{1}{2}$.
ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
તેથી,વચ્ચેના $5\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,અને તેને સર્કિટમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
હવે,ઉપરની શાખામાં બે $3\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_1 = 3 + 3 = 6\,\Omega$.
નીચેની શાખામાં બે $6\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_2 = 6 + 6 = 12\,\Omega$.
આ બંને શાખાઓ સમાંતર છે,તેથી બ્રિજ ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4\,\Omega$ થાય.
આ સમતુલ્ય અવરોધ બેટરી સાથે જોડાયેલ $2\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = 4 + 2 = 6\,\Omega$.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6\,V}{6\,\Omega} = 1\,A$ છે.