Kirchhoff's Law and Whitestone Bridge Circuit solving Questions in Gujarati

(B) આ પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી રચના ધરાવે છે. મધ્યના અવરોધ $(5 \Omega)$ માંથી કોઈ પ્રવાહ ન વહે તે માટે બ્રિજ સંતુલિત હોવો જોઈએ.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ: $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{DC}}$.
અહીં,$R_{AB} = 10 \Omega$,$R_{AD} = 20 \Omega$,$R_{BC} = 15 \Omega$,અને $R_{DC} = 30 \Omega$ છે.
ગુણોત્તર તપાસતા: $\frac{10}{20} = 0.5$ અને $\frac{15}{30} = 0.5$.
ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે અને $5 \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આ સ્થિતિમાં,$10 \Omega$ અને $15 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,અને $20 \Omega$ અને $30 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે.
ઉપરની શાખાનો અવરોધ: $R_1 = 10 \Omega + 15 \Omega = 25 \Omega$.
નીચેની શાખાનો અવરોધ: $R_2 = 20 \Omega + 30 \Omega = 50 \Omega$.
આ બંને શાખાઓ સમાંતર જોડાણમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{25} + \frac{1}{50} = \frac{2+1}{50} = \frac{3}{50}$.
$R_{eq} = \frac{50}{3} \Omega \approx 16.67 \Omega$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $17 \Omega$ મળે છે.

(B) આપેલ સર્કિટ એક વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. ધારો કે $A$ પરનો પોટેન્શિયલ $0 \ V$ છે અને $B$ પરનો પોટેન્શિયલ $16 \ V$ છે.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી (બધા અવરોધો $R = 4 \ \Omega$ સમાન છે),$C$ અને $D$ પરનો પોટેન્શિયલ સમાન હશે.
જોકે,આપણે સર્કિટને સરળ બનાવી શકીએ છીએ કારણ કે $ACB$ માર્ગમાં બે શ્રેણીબદ્ધ અવરોધો છે,જેમાંથી દરેક $R = 4 \ \Omega$ છે.
$ACB$ માર્ગનો કુલ અવરોધ $R_{ACB} = R + R = 4 \ \Omega + 4 \ \Omega = 8 \ \Omega$ છે.
$ACB$ માર્ગ પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત બેટરીના વોલ્ટેજ જેટલો જ છે,જે $16 \ V$ છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$ACB$ માર્ગમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{ACB}} = \frac{16 \ V}{8 \ \Omega} = 2 \ A$ મળે છે.

(D) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ છે,જ્યાં $S$ એ ચોથી ભુજાનો સમતુલ્ય અવરોધ છે.
આપેલ સર્કિટમાં,ચોથી ભુજામાં બે અવરોધો $S_1$ અને $S_2$ સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $S$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{S} = \frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} = \frac{S_1+S_2}{S_1 S_2}$.
તેથી,$S = \frac{S_1 S_2}{S_1+S_2}$.
આ કિંમતને સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{P}{Q} = \frac{R}{\left(\frac{S_1 S_2}{S_1+S_2}\right)} = \frac{R(S_1+S_2)}{S_1 S_2}$.

(C) આપેલ પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ છે,જેનો અર્થ છે કે બ્રિજ સંતુલિત છે. તેથી,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી અને ઉપરની તથા નીચેની શાખાઓના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે.
પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eff}}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\frac{1}{R_{\text{eff}}} = \frac{1}{8+4} + \frac{1}{10+5} = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{5+4}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20} \ \Omega^{-1}$
$R_{\text{eff}} = \frac{20}{3} \ \Omega \approx 6.67 \ \Omega$
પરિપથનો કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AC}$ છે:
$V_{AC} = I \times R_{\text{eff}} = 4 \ \text{A} \times \frac{20}{3} \ \Omega = \frac{80}{3} \ \text{V} \approx 26.67 \ \text{V}$
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,$B$ અને $D$ બિંદુઓ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન છે. ઉપરની શાખા $(A-B-C)$ માંથી વહેતો પ્રવાહ:
$I_{upper} = \frac{V_{AC}}{R_{AB} + R_{BC}} = \frac{80/3}{8+4} = \frac{80/3}{12} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9} \ \text{A} \approx 2.22 \ \text{A}$
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_{AB} = I_{upper} \times R_{AB} = \frac{20}{9} \ \text{A} \times 8 \ \Omega = \frac{160}{9} \ \text{V} \approx 17.78 \ \text{V}$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$V_{AB} \approx 18 \ \text{V}$ મળે છે.

(C) આપેલ સર્કિટને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે ફરીથી દોરી શકાય છે.
ધારો કે અવરોધો $R_1 = 6 \ \Omega$,$R_2 = 6 \ \Omega$,$R_3 = 4 \ \Omega$,$R_4 = 4 \ \Omega$ છે અને વચ્ચેનો અવરોધ $R_5 = 10 \ \Omega$ છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટેની શરત $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ છે.
અહીં,$\frac{6}{4} = 1.5$ અને $\frac{6}{4} = 1.5$ છે.
જેથી $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે અને $10 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,સર્કિટ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે,જેમાં દરેક શાખામાં બે શ્રેણીબદ્ધ અવરોધો છે.
ઉપરની શાખાનો અવરોધ $R_{up} = 6 \ \Omega + 4 \ \Omega = 10 \ \Omega$ છે.
નીચેની શાખાનો અવરોધ $R_{low} = 6 \ \Omega + 4 \ \Omega = 10 \ \Omega$ છે.
સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
તેથી,$R_{eq} = 5 \ \Omega$.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12 \ V}{5 \ \Omega} = 2.4 \ A$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે તપાસીએ કે વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત છે કે નહીં. સંતુલિત બ્રિજ માટેની શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ છે.
અહીં,$P = 5 \Omega$,$Q = 10 \Omega$,$R = 20 \Omega$,અને $S = 40 \Omega$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{P}{Q} = \frac{5}{10} = 0.5$ અને $\frac{R}{S} = \frac{20}{40} = 0.5$ મળે છે.
જેથી $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી $(I_g = 0)$.
જંકશન $D$ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ,$40 \Omega$ ના અવરોધમાં પ્રવેશતો પ્રવાહ એ $20 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતા પ્રવાહ $I_2$ જેટલો જ હોય છે,કારણ કે ગેલ્વેનોમીટરની શાખામાં કોઈ પ્રવાહ જતો નથી.
તેથી,$40 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ પર પ્રવેશતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2.1 \text{ A}$ છે.
ધારો કે ઉપરની શાખા ($PQ$ અને $QR$) માંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ છે.
તેથી,નીચેની શાખા ($PS$ અને $SR$) માંથી વહેતો પ્રવાહ $(I - i) = (2.1 - i) \text{ A}$ થશે.
બંને માર્ગો પર $P$ અને $R$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$V_{PR} = i(R_{PQ} + R_{QR}) = (I - i)(R_{PS} + R_{SR})$
$V_{PR} = i(5 + 1) = (2.1 - i)(12.5 + 2.5)$
$6i = (2.1 - i)(15)$
$6i = 31.5 - 15i$
$21i = 31.5$
$i = \frac{31.5}{21} = 1.5 \text{ A}$.
આમ,$1 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $1.5 \text{ A}$ છે.

(C) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ છે,જ્યાં $S$ એ ચોથી ભુજાનો અવરોધ છે.
આ કિસ્સામાં,ચોથી ભુજામાં બે અવરોધો $S_1$ અને $S_2$ સમાંતર જોડાયેલા છે.
સમાંતર જોડાણમાં બે અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $S$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{S} = \frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} = \frac{S_1 + S_2}{S_1 S_2}$.
તેથી,$S = \frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2}$.
$S$ ની આ કિંમતને સંતુલન શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{P}{Q} = \frac{R}{\left(\frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2}\right)}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{P}{Q} = \frac{R(S_1 + S_2)}{S_1 S_2}$ મળે છે.

(A) આપેલ સર્કિટ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે કારણ કે ભુજાઓમાં અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ છે.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,મધ્યના $5 \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેશે નહીં.
તેથી,$5 \Omega$ ના અવરોધને સર્કિટમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
હવે,ઉપરની શાખામાં $3 \Omega$ અને $2 \Omega$ ના અવરોધ શ્રેણીમાં છે,જેનો કુલ અવરોધ $3 + 2 = 5 \Omega$ થાય છે.
નીચેની શાખામાં પણ $3 \Omega$ અને $2 \Omega$ ના અવરોધ શ્રેણીમાં છે,જેનો કુલ અવરોધ $3 + 2 = 5 \Omega$ થાય છે.
આ બંને શાખાઓ $6 \text{ V}$ ની બેટરી સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
સમાંતરમાં જોડાયેલ બે $5 \Omega$ ના અવરોધનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{5 \times 5}{5 + 5} = 2.5 \Omega$ છે.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{2.5} = 2.4 \text{ A}$ છે.

(A) આપેલ સર્કિટને વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે ફરીથી દોરી શકાય છે. અવરોધો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે બ્રિજ સંતુલિત છે કારણ કે ભુજાઓમાં અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{3}{3} = \frac{2}{2} = 1$ છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,મધ્યના $5 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,સર્કિટ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે,જેમાં દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં બે અવરોધો હોય છે.
ઉપરની શાખાનો અવરોધ $3 \ \Omega + 2 \ \Omega = 5 \ \Omega$ છે.
નીચેની શાખાનો અવરોધ $3 \ \Omega + 2 \ \Omega = 5 \ \Omega$ છે.
આ બે સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ દ્વારા મળે છે,જે $R_{eq} = 2.5 \ \Omega$ આપે છે.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \ V}{2.5 \ \Omega} = 2.4 \ A$ છે.

(B) આપેલ પરિપથ આકૃતિમાં,ગેલ્વેનોમીટર શૂન્ય આવર્તન દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટેની શરત $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $A$ અને $B$ પરના સ્થિતિમાન સમાન છે,એટલે કે $V_A = V_B$.
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે,તેથી ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
જ્યારે કોષને $2E$ emf અને $3r$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા નવા કોષ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે મુખ્ય પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ બદલાય છે,પરંતુ $A$ અને $B$ પરના સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર સમાન રહે છે કારણ કે બ્રિજ સંતુલનની શરત $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ માત્ર અવરોધો $R_1, R_2, R_3$ અને $R_4$ પર આધાર રાખે છે,સ્ત્રોતના emf કે આંતરિક અવરોધ પર નહીં.
તેથી,$V_A = V_B$ ની શરત હજુ પણ જળવાઈ રહે છે,અને ગેલ્વેનોમીટર શૂન્ય આવર્તન દર્શાવવાનું ચાલુ રાખશે.

(A) આ પરિપથ બે શાખાઓનું સમાંતર જોડાણ છે. ઉપરની શાખામાં $5\Omega$ અને $1\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,અને નીચેની શાખામાં $50\Omega$ અને $10\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. ગેલ્વેનોમીટર $G$ ને મધ્યબિંદુઓ વચ્ચે જોડવામાં આવ્યું છે. અવરોધોનો ગુણોત્તર તપાસતા: $\frac{5}{50} = \frac{1}{10}$. ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત છે અને ગેલ્વેનોમીટર $G$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે: એક શાખાનો કુલ અવરોધ $R_1 = 5\Omega + 1\Omega = 6\Omega$ અને બીજી શાખાનો કુલ અવરોધ $R_2 = 50\Omega + 10\Omega = 60\Omega$ છે.
કુલ પ્રવાહ $I = 1.1A$ આ બે શાખાઓમાં વહેંચાય છે. કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ઉપરની શાખામાં ($1\Omega$ અવરોધ ધરાવતી) વહેતો પ્રવાહ $I_1$ નીચે મુજબ છે:
$I_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$
$I_1 = 1.1 \times \frac{60}{6 + 60}$
$I_1 = 1.1 \times \frac{60}{66}$
$I_1 = 1.1 \times \frac{10}{11} = 0.1 \times 10 = 1A$.

(C) આપેલ સર્કિટ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. ધારો કે નોડ્સ $A, B, C, D$ છે. અવરોધો $R_{AB} = 15\Omega$,$R_{BC} = 3\Omega$,$R_{AD} = 20\Omega$,$R_{CD} = 4\Omega$ અને ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $R_G = 6\Omega$ છે.
પ્રથમ,સંતુલિત સ્થિતિ તપાસો: $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{15}{20} = 0.75$ અને $\frac{R_{BC}}{R_{CD}} = \frac{3}{4} = 0.75$.
કારણ કે $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{CD}}$,બ્રિજ સંતુલિત છે. તેથી,ગેલ્વેનોમીટર $(G)$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આ સર્કિટને બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બનાવે છે: એક $(15+3) = 18\Omega$ સાથે અને બીજી $(20+4) = 24\Omega$ સાથે.
કુલ પ્રવાહ $I = 2.1 A$ એ $I_1$ ($18\Omega$ શાખામાંથી) અને $I_2$ ($24\Omega$ શાખામાંથી) માં વિભાજિત થાય છે.
કરંટ ડિવાઈડર નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $I_1 = I \times \frac{R_{parallel2}}{R_{parallel1} + R_{parallel2}} = 2.1 \times \frac{24}{18+24} = 2.1 \times \frac{24}{42} = 2.1 \times \frac{4}{7} = 1.2 A$.

(B) સંતુલિત વ્હીટસ્ટન બ્રિજ માટે,શરત $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ છે. અહીં,$\frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ છે.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેશે નહીં.
પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે:
શાખા $1$: $R_{s1} = R_1 + R_2 = 2 \Omega + 4 \Omega = 6 \Omega$.
શાખા $2$: $R_{s2} = R_3 + R_4 = 4 \Omega + 8 \Omega = 12 \Omega$.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$R_{eq} = \frac{R_{s1} \times R_{s2}}{R_{s1} + R_{s2}} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \Omega$.
પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \text{ V}}{4 \Omega} = 2.5 \text{ A}$.

(D) આપેલ પરિપથને વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની રચના તરીકે ઓળખીને સમજી શકાય છે. અવરોધો બિંદુ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે નોડ $C$ અને $D$ સાથે બ્રિજ બનાવે છે.
બધા અવરોધો $3 \ \Omega$ હોવાથી,ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{3}{3} = \frac{3}{3}$ થાય છે,જે સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,$C$ અને $D$ વચ્ચે જોડાયેલા મધ્ય અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. આપણે આ અવરોધને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકીએ છીએ.
મધ્ય અવરોધને દૂર કર્યા પછી,પરિપથ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે:
$1$. ઉપરની શાખામાં શ્રેણીમાં બે $3 \ \Omega$ ના અવરોધો છે: $R_{ACB} = 3 + 3 = 6 \ \Omega$.
$2$. નીચેની શાખામાં શ્રેણીમાં બે $3 \ \Omega$ ના અવરોધો છે: $R_{ADB} = 3 + 3 = 6 \ \Omega$.
$3$. $A$ અને $B$ ની વચ્ચે સમાંતરમાં એક સીધો $3 \ \Omega$ નો અવરોધ પણ જોડાયેલ છે.
હવે,આપણી પાસે $6 \ \Omega, 6 \ \Omega$ અને $3 \ \Omega$ ના ત્રણ અવરોધો સમાંતરમાં જોડાયેલા છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1 + 1 + 2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$R_{eq} = \frac{3}{2} = 1.5 \ \Omega$.

(D) કિર્ચોફનો લૂપનો નિયમ (જેને કિર્ચોફનો બીજો નિયમ અથવા વોલ્ટેજ નિયમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) જણાવે છે કે પરિપથના કોઈપણ બંધ લૂપની આસપાસ સ્થિતિમાનમાં થતા ફેરફારોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે.
આ હકીકત પર આધારિત છે કે સ્થિત-વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ છે,જેનો અર્થ છે કે એકમ વિદ્યુતભારને બંધ માર્ગ પર ગતિ કરાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
તેથી,લૂપનો નિયમ એ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ '$O$' પરનું સ્થિતિમાન $ V_{0} $ છે.
જંકશન '$O$' પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાંથી બહાર જતા પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે:
$ I_{1} + I_{2} + I_{3} = 0 $
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,પ્રવાહોને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$ \frac{V_{0}-8}{2} + \frac{V_{0}-4}{4} + \frac{V_{0}-2}{2} = 0 $
$ V_{0} $ માટે ઉકેલવા માટે,આખા સમીકરણને $ 4 $ વડે ગુણો:
$ 2(V_{0}-8) + (V_{0}-4) + 2(V_{0}-2) = 0 $
$ 2V_{0} - 16 + V_{0} - 4 + 2V_{0} - 4 = 0 $
$ 5V_{0} - 24 = 0 $
$ 5V_{0} = 24 $
$ V_{0} = \frac{24}{5} = 4.8 \,V $
તેથી,બિંદુ '$O$' પરનું સ્થિતિમાન $ 4.8 \,V $ છે.

(A) આપેલ છે: $P=2 \Omega, Q=2 \Omega, R=2 \Omega, S=3 \Omega$.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટેની શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S_{eq}}$ છે,જ્યાં $S_{eq}$ એ $S$ અને $X$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ છે.
જ્યારે $S$ ને $X$ સાથે શંટ કરવામાં આવે ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $S_{eq} = \frac{S \cdot X}{S+X}$ થાય છે.
સંતુલન સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{2} = \frac{2}{\left(\frac{3X}{3+X}\right)}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 = \frac{2(3+X)}{3X}$ મળે છે.
તેથી,$3X = 6 + 2X$,જેનો ઉકેલ $X = 6 \Omega$ મળે છે.
આમ,બ્રિજને સંતુલિત કરવા માટે $S$ ને $6 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શંટ કરવો જોઈએ.

(B) અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શોધવા માટે,આપણે $A$ થી $B$ ના માર્ગ પર કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરીએ છીએ.
બિંદુ $A$ થી શરૂ કરીને,પ્રવાહ $I = 2 \ A$ પરિપથમાં વહે છે.
$A$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં $6 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતા,વિદ્યુતસ્થિતિમાનમાં ઘટાડો $I \times R = 2 \times 6 = 12 \ V$ થાય છે.
$12 \ V$ ની બેટરીમાં ધનથી ઋણ ટર્મિનલ તરફ જતા,વિદ્યુતસ્થિતિમાનમાં $12 \ V$ નો ઘટાડો થાય છે.
$9 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતા,વિદ્યુતસ્થિતિમાનમાં ઘટાડો $2 \times 9 = 18 \ V$ થાય છે.
$4 \ V$ ની બેટરીમાં ઋણથી ધન ટર્મિનલ તરફ જતા,વિદ્યુતસ્થિતિમાનમાં $4 \ V$ નો વધારો થાય છે.
$5 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતા,વિદ્યુતસ્થિતિમાનમાં ઘટાડો $2 \times 5 = 10 \ V$ થાય છે.
આને $B$ પાસેના વિદ્યુતસ્થિતિમાન $(V_B)$ સાથે સરખાવતા:
$V_A - (2 \times 6) - 12 - (2 \times 9) + 4 - (2 \times 5) = V_B$
$V_A - 12 - 12 - 18 + 4 - 10 = V_B$
$V_A - 48 = V_B$
$V_A - V_B = 48 \ V$

(B) કિર્ચોફના પ્રથમ નિયમ $(KCL)$ મુજબ, પરિપથના કોઈપણ જંકશન પર દાખલ થતા પ્રવાહનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે.
ચાલો ઉપરના ડાબા જંકશનનું વિશ્લેષણ કરીએ: $20 \text{ A}$ દાખલ થાય છે અને $5 \text{ A}$ નીચેની તરફ જાય છે. તેથી, $15 \text{ A}$ જમણી તરફ વહેશે.
હવે, ઉપરના જમણા જંકશનને ધ્યાનમાં લો: ડાબેથી $15 \text{ A}$ અને ઉપરથી $4 \text{ A}$ દાખલ થાય છે. આમ, $19 \text{ A}$ નીચેની તરફ વહેશે.
અંતે, નીચેના જમણા જંકશનને ધ્યાનમાં લો: ઉપરથી $19 \text{ A}$ અને નીચેના ડાબા જંકશનમાંથી $3 \text{ A}$ દાખલ થાય છે.
પરિપથમાં દાખલ થતો કુલ પ્રવાહ = $20 \text{ A} + 4 \text{ A} + 3 \text{ A} = 27 \text{ A}$.
પરિપથમાંથી બહાર નીકળતો કુલ પ્રવાહ = $I + 6 \text{ A}$.
કિર્ચોફના નિયમ મુજબ, $27 = I + 6 \Rightarrow I = 21 \text{ A}$.

(C) કિર્ચોફનો જંકશનનો નિયમ,જેને કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે પરિપથના કોઈપણ જંકશન પર મળતા પ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે એકમ સમયમાં જંકશનમાં પ્રવેશતો કુલ વિદ્યુતભાર એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા કુલ વિદ્યુતભાર જેટલો જ હોવો જોઈએ.
જંકશન પર વિદ્યુતભારનું સર્જન કે વિનાશ થતો નથી,તેથી આ નિયમ વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $D$ પરનું સ્થિતિમાન $V_D$ છે. નોડ $D$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ કરતા,નોડમાંથી બહાર જતા પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$I_{AD} + I_{DB} + I_{DC} = 0$
$\frac{V_D - 70}{10} + \frac{V_D - 0}{20} + \frac{V_D - 10}{30} = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે $60$ વડે ગુણતા:
$6(V_D - 70) + 3(V_D) + 2(V_D - 10) = 0$
$6V_D - 420 + 3V_D + 2V_D - 20 = 0$
$11V_D = 440$
$V_D = 40 \,V$
હવે,પ્રવાહોની ગણતરી કરીએ:
$I_{AD} = \frac{70 - 40}{10} = 3 \,A$ ($\text{A}$ થી $\text{D}$ તરફ પ્રવાહ વહે છે)
$I_{DB} = \frac{40 - 0}{20} = 2 \,A$ ($\text{D}$ થી $\text{B}$ તરફ પ્રવાહ વહે છે)
$I_{DC} = \frac{40 - 10}{30} = 1 \,A$ ($\text{D}$ થી $\text{C}$ તરફ પ્રવાહ વહે છે)
આમ,માર્ગ $AD$,$DB$ અને $DC$ માં પ્રવાહનો ગુણોત્તર $3: 2: 1$ છે.

(D) આ પરિપથ શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે નેટવર્કનો બનેલો છે.
દરેક નેટવર્ક એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ બનાવે છે.
પ્રથમ નેટવર્ક માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_1$ એ અવરોધોના સમાંતર જોડાણોને સરળ બનાવીને ગણવામાં આવે છે,જેનું પરિણામ $R_1 = R$ મળે છે.
બીજા નેટવર્ક માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_2$ પણ તેવી જ રીતે ગણવામાં આવે છે,જેનું પરિણામ $R_2 = 2R$ મળે છે.
પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = R_1 + R_2 = R + 2R = 3R$ છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વિદ્યુત પ્રવાહ $I = V_0 / R_{AB} = V_0 / 3R$ મળે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A$ અને બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B$ છે. ધારો કે ઉપરના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V_1$ અને નીચેના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V_2$ છે.
ઉપરના જંકશન પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V_1 - V_A}{R} + \frac{V_1 - V_B}{R} + \frac{V_1 - V_2}{G} = 0$
નીચેના જંકશન પર $KCL$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V_2 - V_A}{2R} + \frac{V_2 - V_B}{2R} + \frac{V_2 - V_1}{G} = 0$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$G$ વાળા પદો રદ થઈ જાય છે:
$\frac{V_1 - V_A}{R} + \frac{V_1 - V_B}{R} + \frac{V_2 - V_A}{2R} + \frac{V_2 - V_B}{2R} = 0$
$\frac{2(V_1 - V_A) + 2(V_1 - V_B) + (V_2 - V_A) + (V_2 - V_B)}{2R} = 0$
$4V_1 + 2V_2 = 3(V_A + V_B)$
અહીં બંને બાજુ અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે. તેથી,$V_1 = V_2$,અને $G$ માંથી વહેતો પ્રવાહ શૂન્ય છે. વિધાન $(3)$ સાચું છે.
$G$ માંથી પ્રવાહ શૂન્ય હોવાથી,આપણે $G$ ને દૂર કરી શકીએ છીએ. પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે: એક $R+R = 2R$ અને બીજી $2R+2R = 4R$.
$R_{\text{eff}} = \frac{(2R)(4R)}{2R + 4R} = \frac{8R^2}{6R} = \frac{4}{3} R$. વિધાન $(2)$ સાચું છે.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી સમતુલ્ય અવરોધ $G$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી વિધાન $(1)$ પણ સાચું છે.

(A) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે સંતુલિત સ્થિતિ $\frac{P}{R} = \frac{Q}{S}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $P=10 \Omega, Q=20 \Omega, R=15 \Omega, S=30 \Omega$.
ગુણોત્તર તપાસતા: $\frac{P}{R} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ અને $\frac{Q}{S} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.
અહીં $\frac{P}{R} = \frac{Q}{S}$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે અને ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
હવે,પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે: એક $(P+R)$ અને બીજી $(Q+S)$.
પ્રથમ શાખાનો અવરોધ,$R_1 = P + R = 10 + 15 = 25 \Omega$.
બીજી શાખાનો અવરોધ,$R_2 = Q + S = 20 + 30 = 50 \Omega$.
$R_1$ અને $R_2$ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{25} + \frac{1}{50} = \frac{2+1}{50} = \frac{3}{50} \Omega^{-1}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{50}{3} \Omega$.
$V = 6 \text{ V}$ ની બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{50/3} = \frac{6 \times 3}{50} = \frac{18}{50} = 0.36 \text{ A}$.

(A) ધારો કે આપેલ સર્કિટમાં પ્રવાહનું વિતરણ દર્શાવ્યા મુજબ છે.
હવે,લૂપ $1$ અને લૂપ $2$ માં કિર્ચોફનો લૂપનો નિયમ લાગુ પાડતા નીચે મુજબના સમીકરણો મળે છે:
લૂપ $1$ માં,
$-i R - (i + i_1) R - 2 E + E = 0$
$-2 i R - i_1 R = E$
$i_1 R + 2 i R = -E$ ... $(i)$
અને લૂપ $2$ માં,
$-3 E + i_1 R + \frac{i_1}{2} R + i_1 R + 2 E + (i + i_1) R = 0$
$\frac{7}{2} i_1 R + i R = E$
$7 i_1 R + 2 i R = 2 E$ ... (ii)
હવે,$7 \times$ સમીકરણ $(i)$ - સમીકરણ (ii) કરતા:
$7(i_1 R + 2 i R) - (7 i_1 R + 2 i R) = 7(-E) - 2 E$
$7 i_1 R + 14 i R - 7 i_1 R - 2 i R = -9 E$
$12 i R = -9 E$
$i = -\frac{9 E}{12 R} = -\frac{3 E}{4 R}$

(C) આ સર્કિટમાં અવરોધો $R_1, R_2, R_3, R_4$ અને મધ્ય શાખામાં $R_6$ દ્વારા વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની રચના થાય છે.
સ્ત્રોતમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ એ અવરોધ $R_6$ થી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,$R_6$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે બ્રિજ સંતુલિત હોવો જોઈએ.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે,એટલે કે $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$.
આ શરતને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $R_1 R_4 = R_2 R_3$ મળે છે.
આ સ્થિતિમાં,$R_6$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,જેનાથી સર્કિટનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_6$ ના મૂલ્યથી સ્વતંત્ર બને છે.

(B) ધારો કે નીચેના વાયર પરનો પોટેન્શિયલ $0 \text{ V}$ છે.
ધારો કે $1 \Omega, 2 \Omega$ અને $5 \Omega$ અવરોધો વચ્ચેના જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ $V_1$ છે,અને $3 \Omega, 6 \Omega$ અને $5 \Omega$ અવરોધો વચ્ચેના જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ $V_2$ છે.
નોડ $V_1$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ કરતા:
$\frac{V_1 - 10}{1} + \frac{V_1 - 0}{2} + \frac{V_1 - V_2}{5} = 0$
$17V_1 - 2V_2 = 100$ --- (સમીકરણ $1$)
નોડ $V_2$ પર $KCL$ લાગુ કરતા:
$\frac{V_2 - 4}{3} + \frac{V_2 - 0}{6} + \frac{V_2 - V_1}{5} = 0$
$-6V_1 + 21V_2 = 40$ --- (સમીકરણ $2$)
આ સમીકરણો ઉકેલતા $V_1 = 6.4 \text{ V}$ મળે છે.
તેથી,$2 \Omega$ અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I = \frac{V_1}{2} = 3.2 \text{ A} = 3200 \text{ mA}$ થાય. વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $320 \text{ mA}$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $A$ અને $B$ પરના સ્થિતિમાન અનુક્રમે $V_A$ અને $V_B$ છે. ધારો કે $V_A - V_B = V$.
નોડ $A$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ પાડતા,નોડમાંથી બહાર જતા પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે:
$\frac{V_A - V_B - E_1}{R_1} + \frac{V_A - V_B - E_2}{0} + \frac{V_A - V_B - E_3}{R_2} = 0$.
$E_2$ ધરાવતી શાખામાં કોઈ અવરોધ ન હોવાથી,તેની વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = E_2 = 2 \text{ V}$ છે.
હવે,ઉપરની શાખામાં પ્રવાહ $(I_1)$ ગણો:
$I_1 = \frac{V_A - V_B - E_1}{R_1} = \frac{2 - 2}{4} = 0 \text{ A}$.
નીચેની શાખામાં પ્રવાહ $(I_3)$ ગણો:
$I_3 = \frac{V_A - V_B - E_3}{R_2} = \frac{2 - 2}{4} = 0 \text{ A}$.
નોડ $A$ પર કિર્ચોફનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$I_{E_2} + I_1 + I_3 = 0
\Rightarrow I_{E_2} + 0 + 0 = 0
\Rightarrow I_{E_2} = 0$.
આમ,$E_2$ માંથી વહેતો પ્રવાહ શૂન્ય છે.

(C) આકૃતિ પરથી,બિંદુઓ $A$ અને $C$ વચ્ચેના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{AC} = 2 \text{ A}$ છે (કારણ કે પ્રવાહ $A$ થી $C$ તરફ $20 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે).
બિંદુઓ $A$ અને $C$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AC} = I_{AC} \times R_{AC} = 2 \text{ A} \times 20 \ \Omega = 40 \text{ V}$ છે.
હવે,જંકશન $D$ પર,અંદર આવતો પ્રવાહ $I_{CD} = 5 \text{ A}$ છે અને $F$ થી આવતો પ્રવાહ $I_{FD} = 2 \text{ A}$ છે.
કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ,જંકશન $D$ માંથી $E$ તરફ $25 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી બહાર જતો કુલ પ્રવાહ $I_{DE} = I_{CD} + I_{FD} = 5 \text{ A} + 2 \text{ A} = 7 \text{ A}$ છે.
બિંદુઓ $D$ અને $E$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{DE} = I_{DE} \times R_{DE} = 7 \text{ A} \times 25 \ \Omega = 175 \text{ V}$ છે.
પરંતુ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,જો આપણે $V_{DE} = 75 \text{ V}$ લઈએ,તો ગુણોત્તર $40/75 = 8/15$ મળે છે,જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(A) $9 V$ ની બેટરી ધરાવતા લૂપમાં પ્રવાહ $I_1$ અને $6 V$ ની બેટરી ધરાવતા લૂપમાં પ્રવાહ $I_2$ ધારો.
કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ મુજબ:
$9 V$ વાળા લૂપ માટે: $-9 + 6 I_1 + 12(I_1 - I_2) = 0 \implies 6 I_1 - 4 I_2 = 3 \dots (1)$
$6 V$ વાળા લૂપ માટે: $-6 + 15 I_2 + 12(I_2 - I_1) = 0 \implies -4 I_1 + 9 I_2 = 2 \dots (2)$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપેલ વિકલ્પ મુજબ $I_2 = 0 A$ અને $I_1 = 0.5 A$ મળે છે.

(D) ગેલ્વેનોમીટર શૂન્ય આવર્તન દર્શાવતું હોવાથી, તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી।
તેથી, પરિપથ એક જ લૂપમાં ફેરવાય છે જેમાં $12 \, V$ ની બેટરી, $500 \, \Omega$ નો અવરોધ અને $100 \, \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે।
ધારો કે આ લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ $i$ છે। આ લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$12 - i(500 + 100) = 0$
$600i = 12$
$i = \frac{12}{600} = 0.02 \, A$
વોલ્ટેજ '$V$' એ $100 \, \Omega$ ના અવરોધ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલું છે કારણ કે ગેલ્વેનોમીટર શાખામાં કોઈ પ્રવાહ નથી।
$V = i \times 100$
$V = 0.02 \times 100 = 2 \, V$

(D) ધારો કે તાર $AB$ ના એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\rho$ છે। કુલ લંબાઈ $L = 200 \, cm$ છે।
પ્રથમ કિસ્સામાં, તટસ્થ બિંદુ $A$ થી $l_1 = 80 \, cm$ અંતરે છે। લંબાઈ $AJ = 80 \, cm$ અને $JB = 200 - 80 = 120 \, cm$ છે।
વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{AJ}}{R_{JB}} = \frac{\rho \cdot 80}{\rho \cdot 120} = \frac{80}{120} = \frac{2}{3}$.
તેથી, $3R_1 = 2R_2$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સામાં, $R_2$ ને $30 \, \Omega$ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે। નવો અવરોધ $R_2' = \frac{R_2 \cdot 30}{R_2 + 30}$ થાય.
તટસ્થ બિંદુ $B$ થી $100 \, cm$ અંતરે છે, તેથી $JB = 100 \, cm$ અને $AJ = 200 - 100 = 100 \, cm$ છે।
સિદ્ધાંતનો ફરીથી ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{100}{100} = 1$.
તેથી, $R_1 = R_2' = \frac{30R_2}{R_2 + 30}$ --- $(2)$
$(1)$ પરથી, $R_2 = 1.5R_1$. આને $(2)$ માં મૂકતા:
$R_1 = \frac{30(1.5R_1)}{1.5R_1 + 30} \implies 1.5R_1 + 30 = 45 \implies 1.5R_1 = 15 \implies R_1 = 10 \, \Omega$.
તેથી $R_2 = 1.5(10) = 15 \, \Omega$.
આમ, $R_1 = 10 \, \Omega$ અને $R_2 = 15 \, \Omega$ છે।

(B) સૌ પ્રથમ,કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરીને પરિપથમાં પ્રવાહ $I$ શોધો. કુલ વિદ્યુતચાલક બળ $36 \ V - 12 \ V = 24 \ V$ છે અને કુલ અવરોધ $3 \ \Omega + 2 \ \Omega = 5 \ \Omega$ છે.
$I = \frac{24 \ V}{5 \ \Omega} = 4.8 \ A$.
પ્રવાહ $36 \ V$ ની બેટરીમાંથી $12 \ V$ ની બેટરી તરફ વહે છે,એટલે કે ઉપરની શાખામાં $B$ થી $A$ તરફ.
બિંદુ $B$ થી શરૂ કરીને,જ્યાં સ્થિતિમાન $V_B = 24 \ V$ છે,આપણે $A$ તરફ જઈએ છીએ:
$V_A = V_B - 12 \ V - I \times 3 \ \Omega$
$V_A = 24 \ V - 12 \ V - (4.8 \ A \times 3 \ \Omega)$
$V_A = 12 \ V - 14.4 \ V = -2.4 \ V$.

(A) આપેલ પરિપથ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. ધારો કે નોડ્સ $A, B, C, D$ છે.
લૂપ $ABDA$ માં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$2I_1 + 4 - 1I_2 = 0 \implies I_2 = 2I_1 + 4$ ...$(i)$
લૂપ $BCDB$ માં $KVL$ લાગુ પાડતા:
$1(I_1 + I_3) - 4(I_2 - I_3) - 4 = 0$
$I_1 + I_3 - 4I_2 + 4I_3 - 4 = 0$
$I_1 + 5I_3 - 4(2I_1 + 4) - 4 = 0$ (સમીકરણ $(i)$ માંથી $I_2$ ની કિંમત મૂકતા)
$-7I_1 + 5I_3 = 20 \implies I_3 = \frac{20 + 7I_1}{5}$ ...(ii)
લૂપ $ADCA$ માં $KVL$ લાગુ પાડતા:
$1I_2 + 4(I_2 - I_3) - 10 = 0$
$5I_2 - 4I_3 = 10$
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) માંથી $I_2$ અને $I_3$ ની કિંમત મૂકતા:
$5(2I_1 + 4) - 4\left(\frac{20 + 7I_1}{5}\right) = 10$
$10I_1 + 20 - \frac{80 + 28I_1}{5} = 10$
$50I_1 + 100 - 80 - 28I_1 = 50$
$22I_1 = 30 \implies I_1 = \frac{30}{22} \approx 1.364 \text{ A}$
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા: $I_2 = 2(1.364) + 4 = 6.728 \text{ A}$.
સમીકરણ (ii) નો ઉપયોગ કરતા: $I_3 = \frac{20 + 7(1.364)}{5} = 5.91 \text{ A}$.

(D) ધારો કે પરિપથ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ વિદ્યુતપ્રવાહ છે. જંકશન પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ નો ઉપયોગ કરતા,$4 \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $i = i_1 + i_2$ છે.
ડાબા લૂપ માટે કિર્ચોફના વોલ્ટેજના નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5 - 4(i_1 + i_2) - 8i_1 = 0$
$5 - 4i_2 - 12i_1 = 0 \Rightarrow 12i_1 + 4i_2 = 5$ ... $(i)$
જમણા લૂપ માટે $KVL$ નો ઉપયોગ કરતા:
$8i_1 - 5i_2 - 3 = 0 \Rightarrow 8i_1 - 5i_2 = 3$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$4i_2 = 5 - 12i_1 \Rightarrow i_2 = \frac{5 - 12i_1}{4}$.
$i_2$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$8i_1 - 5\left(\frac{5 - 12i_1}{4}\right) = 3$
$32i_1 - 25 + 60i_1 = 12$
$92i_1 = 37 \Rightarrow i_1 = \frac{37}{92} \text{ A}$.
હવે,$i_2$ શોધો:
$i_2 = \frac{5 - 12(37/92)}{4} = \frac{5 - 37(3/23)}{4} = \frac{5 - 111/23}{4} = \frac{115 - 111}{4 \times 23} = \frac{4}{4 \times 23} = \frac{1}{23} \text{ A}$.
આમ,$5 \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $\frac{1}{23} \text{ A}$ છે.

(A) ધારો કે બે લૂપમાં પ્રવાહ $i_1$ (ઘડિયાળની દિશામાં) અને $i_2$ (ઘડિયાળની દિશામાં) છે. જમણી શાખામાં પ્રવાહ $I$ ઉપરની તરફ વહે છે,તેથી $I = -i_2$.
ડાબી લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરતા:
$V_1 - i_1 R_1 - i_1 R_1 - (i_1 - i_2) R_2 - V_2 = 0$
$V - 2 i_1 (\beta R) - (i_1 - i_2) \gamma R - \alpha V = 0$
$V(1 - \alpha) = i_1 R (2 \beta + \gamma) - i_2 \gamma R \quad ...(i)$
જમણી લૂપ માટે $KVL$ લાગુ કરતા:
$V_2 - (i_2 - i_1) R_2 - i_2 R_1 - i_2 R_1 = 0$
$\alpha V - (i_2 - i_1) \gamma R - 2 i_2 \beta R = 0 \quad ...(ii)$
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા,આપણને $I = \frac{(\alpha-1) \gamma}{4 \beta(\beta+\gamma)} \frac{V}{R}$ મળે છે.

(B) કિર્ચોફના જંકશનના નિયમ મુજબ,જે વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે,કોઈપણ જંકશન પર મળતા વિદ્યુતપ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\sum I = 0$.
જંકશનમાં પ્રવેશતા પ્રવાહોને ધન અને જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહોને ઋણ લેતા:
પ્રવેશતા પ્રવાહો: $5$ $A$ અને $4$ $A$.
બહાર નીકળતા પ્રવાહો: $3$ $A$,$5$ $A$ અને અજ્ઞાત પ્રવાહ $I_Q$ (ધારો કે તે $P$ થી $Q$ તરફ જાય છે).
બિંદુ $P$ પર જંકશનનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$(+5) + (+4) + (-3) + (-5) - I_Q = 0$
$9 - 8 - I_Q = 0$
$1 - I_Q = 0$
$I_Q = 1$ $A$.
પરિણામ ધન હોવાથી,આપણી ધારણા કે પ્રવાહ $P$ થી $Q$ તરફ જાય છે તે સાચી છે.
તેથી,$1$ $A$ નો વિદ્યુતપ્રવાહ $P$ થી $Q$ તરફ વહે છે.

(B) ધારો કે $15 \,V$ અને $30 \,V$ ની બેટરીમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ અનુક્રમે $i_1$ અને $i_2$ છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
જંકશન $B$ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,શાખા $BD$ માંથી પસાર થતો કુલ પ્રવાહ:
$i_3 = i_1 + i_2$ ...$(i)$
લૂપ $ABDA$ માં કિર્ચોફના વોલ્ટેજના નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$15 - 6 i_1 - 3(i_1 + i_2) = 0$
$15 - 6 i_1 - 3 i_1 - 3 i_2 = 0$
$9 i_1 + 3 i_2 = 15$
$3 i_1 + i_2 = 5$ ...(ii)
લૂપ $CBDC$ માં $KVL$ નો ઉપયોગ કરતા:
$30 - 3 i_2 - 3(i_1 + i_2) = 0$
$30 - 3 i_2 - 3 i_1 - 3 i_2 = 0$
$3 i_1 + 6 i_2 = 30$
$i_1 + 2 i_2 = 10$ ...(iii)
સમીકરણ (ii) અને (iii) ઉકેલતા:
સમીકરણ (ii) પરથી,$i_2 = 5 - 3 i_1$. આ કિંમત સમીકરણ (iii) માં મૂકતા:
$i_1 + 2(5 - 3 i_1) = 10$
$i_1 + 10 - 6 i_1 = 10$
$-5 i_1 = 0 \Rightarrow i_1 = 0 \,A$
$i_1 = 0$ ની કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$3(0) + i_2 = 5 \Rightarrow i_2 = 5 \,A$
તેથી,શાખા $BD$ માંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ:
$i_3 = i_1 + i_2 = 0 + 5 = 5 \,A$

(C) કેપેસિટર પરનો વીજભાર $Q = 1 \text{ mC} = 1 \times 10^{-3} \text{ C}$ છે.
કેપેસિટન્સ $C = 5 \text{ } \mu\text{F} = 5 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
કેપેસિટરની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C = \frac{Q}{C} = \frac{1 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-6}} = 200 \text{ V}$ છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. $5 \text{ A}$ નો પ્રવાહ $50 \text{ } \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે.
કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરીને,ગણતરી કરતા આપણને $R_1, R_2$ અને $R_3$ ના મૂલ્યો મળે છે.
અંતે,$\frac{R_1 R_2}{R_3}$ નો ગુણોત્તર $0.6$ મળે છે.

(A) આ પરિપથને વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે ફરીથી દોરી શકાય છે. અવરોધો $R_{FC} = 2R$,$R_{FD} = 2R$,$R_{CE} = 2R$ અને $R_{DE} = 2R$ છે. $C$ અને $D$ વચ્ચેનો અવરોધ $2R$ છે.
અહીં $\frac{R_{FC}}{R_{FD}} = \frac{2R}{2R} = 1$ અને $\frac{R_{CE}}{R_{DE}} = \frac{2R}{2R} = 1$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
તેથી,મધ્યના અવરોધ $CD$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેશે નહીં.
આ પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે,જેમાં દરેક શાખામાં $2R$ ના બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે.
દરેક શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $2R + 2R = 4R$ થાય છે.
તેથી,શાખા $FC$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{FC} = \frac{V}{4R}$ મળે છે.

(C) આ પરિપથ એક વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બિંદુઓ $A, B, C, D$ છે. આપણે $B$ અને $D$ વચ્ચેનો અવરોધ શોધવાનો છે.
અહીં,અવરોધો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{3 \Omega}{3 \Omega} = 1$ અને $\frac{R_{BC}}{R_{CD}} = \frac{3 \Omega}{3 \Omega} = 1$ થાય છે.
ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે. તેથી,$A$ અને $C$ વચ્ચે જોડાયેલા મધ્યના $6 \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આપણે પરિપથમાંથી $6 \Omega$ ના અવરોધને દૂર કરી શકીએ છીએ.
હવે,પરિપથમાં સમાંતરમાં બે શાખાઓ છે: એક શાખામાં બે $3 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે $(3+3 = 6 \Omega)$ અને બીજી શાખામાં પણ બે $3 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે $(3+3 = 6 \Omega)$.
$B$ અને $D$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ આ બે $6 \Omega$ ની શાખાઓના સમાંતર જોડાણ દ્વારા મળે છે:
$R_{eq} = \frac{6 \Omega \times 6 \Omega}{6 \Omega + 6 \Omega} = \frac{36}{12} = 3 \Omega$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,ઇન્ડક્ટર તેના આંતરિક અવરોધ સાથે એક સાદા વાયર તરીકે વર્તે છે. પરિપથનું વિશ્લેષણ બિંદુ $A$ અને $C$ વચ્ચેના વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે કરી શકાય છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ નોડ્સ $A, B, C, D$ છે. ઇન્ડક્ટર $D$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલ છે.
બ્રિજ સંતુલિત હોવા માટે,વિરુદ્ધ ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ.
પરિપથ જોતા,અવરોધો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે ઇન્ડક્ટરની આસપાસના અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{R_{AD}}{R_{AB}} = \frac{5 \ \Omega}{2 \ \Omega} = 2.5$ અને $\frac{R_{DC}}{R_{BC}} = \frac{25 \ \Omega}{10 \ \Omega} = 2.5$ છે.
ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,મધ્ય શાખા (ઇન્ડક્ટર) માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = 0 \ A$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = 0$ મૂકતા,આપણને $U = \frac{1}{2} \times 5 \times (0)^2 = 0 \ J$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $E_1 = 2 \ V$ emf ધરાવતી બેટરીમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,તેથી $I_1 = 0 \ A$ છે.
સર્કિટમાં,$E_2 = 5 \ V$ અને $R_2$ ધરાવતી શાખા એ $R_3 = 2 \ \Omega$ ધરાવતી શાખા સાથે સમાંતર છે.
$I_1 = 0$ હોવાથી,સમાંતર જોડાણ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $E_1 = 2 \ V$ જેટલો થાય છે.
તેથી,$R_3$ પરનો વોલ્ટેજ $V_{R3} = 2 \ V$ છે.
$R_3$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_3 = \frac{V_{R3}}{R_3} = \frac{2 \ V}{2 \ \Omega} = 1 \ A$ મળે છે.
હવે,વચ્ચેની શાખામાં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા,શાખા પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = 2 \ V$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $E_2 - I_3 R_2 = V_{AB}$,જ્યાં $E_2 = 5 \ V$ છે.
$5 \ V - (1 \ A) \times R_2 = 2 \ V
\Rightarrow R_2 = 3 \ \Omega$.
$R_2$ પરનો વોલ્ટેજ $V_2$ એ અવરોધ $R_2$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ છે,જે $V_2 = -I_3 R_2 = -1 \ A \times 3 \ \Omega = -3 \ V$ છે.
તેથી,$V_2 = -3 \ V$ અને $I_3 = 1 \ A$ મળે છે.

(C) ધારો કે $6 \, V$ ના કોષમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1$ છે અને $10 \, V$ ના કોષમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_2$ છે। $12 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $(i_1 + i_2)$ છે।
બંને કોષો ધરાવતા લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$10 - i_2(1) + i_1(0.5) - 6 = 0$
$0.5 i_1 - i_2 = -4$ --- $(i)$
$10 \, V$ ના કોષ અને બાહ્ય અવરોધ ધરાવતા લૂપ માટે $KVL$ લાગુ પાડતા:
$10 - i_2(1) - (i_1 + i_2)(12) = 0$
$10 - i_2 - 12 i_1 - 12 i_2 = 0$
$-12 i_1 - 13 i_2 = -10$ અથવા $12 i_1 + 13 i_2 = 10$ --- (ii)
$(i)$ પરથી, $i_1 = 2(i_2 - 4) = 2 i_2 - 8$.
આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$12(2 i_2 - 8) + 13 i_2 = 10$
$24 i_2 - 96 + 13 i_2 = 10$
$37 i_2 = 106$
$i_2 = 106 / 37 \approx 2.8648 \, A \approx 2.87 \, A$.

(B) ધારો કે $500 \Omega$ ના અવરોધ અને $12 \text{ V}$ ની બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1$ છે.
એમીટરનું રીડિંગ શૂન્ય હોવાથી,જમણી બાજુની શાખામાં,જેમાં $2 \text{ V}$ ની બેટરી અને એમીટર છે,તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,પ્રવાહ $i_1$ એ $500 \Omega$ ના અવરોધ અને $R$ અવરોધમાંથી શ્રેણીમાં વહે છે.
ડાબી બાજુના લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$12 - 500 i_1 - R i_1 = 0$
$12 = i_1 (500 + R) \quad \dots (i)$
હવે,અવરોધ $R$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત ધ્યાનમાં લો. જમણી શાખામાં કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,$R$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ જમણી શાખાની બેટરીના ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ જેટલો હોવો જોઈએ જેથી તે લૂપમાં પ્રવાહ શૂન્ય રહે.
$R$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_R = i_1 R$ છે.
એમીટરનું રીડિંગ શૂન્ય રહે તે માટે,$R$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $2 \text{ V}$ ની બેટરીને સંતુલિત કરવો જોઈએ.
આમ,$i_1 R = 2 \text{ V} \Rightarrow i_1 = \frac{2}{R}$.
$i_1$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$12 = \frac{2}{R} (500 + R)$
$6 R = 500 + R$
$5 R = 500$
$R = 100 \Omega$

(A) બિંદુઓ $C$ અને $D$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શોધવા માટે,આપણે પહેલા $C$ અને $D$ વચ્ચેના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ નક્કી કરવો પડશે.
જંકશન $C$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ કરતા:
જંકશનમાં પ્રવેશતા પ્રવાહોનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહોના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે $I_{BC}$ એ $B$ થી $C$ તરફ વહેતો પ્રવાહ છે,$I_{CF}$ એ $C$ થી $F$ તરફ વહેતો પ્રવાહ છે,$I_{CG}$ એ $C$ થી $G$ તરફ વહેતો પ્રવાહ છે,અને $I_{CD}$ એ $C$ થી $D$ તરફ વહેતો પ્રવાહ છે.
પહેલા,જંકશન $B$ પર $KCL$ નો ઉપયોગ કરીને $I_{BC}$ શોધો:
$I_{AB} + I_{EB} = I_{BC}$
$4 \ A + 1.8 \ A = I_{BC}$
$I_{BC} = 5.8 \ A$
હવે,જંકશન $C$ પર $KCL$ લાગુ કરો:
$I_{BC} = I_{CF} + I_{CG} + I_{CD}$
$5.8 \ A = 1.3 \ A + 1 \ A + I_{CD}$
$5.8 \ A = 2.3 \ A + I_{CD}$
$I_{CD} = 5.8 \ A - 2.3 \ A = 3.5 \ A$
$C$ અને $D$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$V_{CD} = I_{CD} \times R_{CD}$
$V_{CD} = 3.5 \ A \times 8 \ \Omega = 28 \ V$.