Kirchhoff's Law and Whitestone Bridge Circuit solving Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $DE$ નો અવરોધ $x\,\Omega$ છે. $CD$ બાજુનો કુલ અવરોધ $1\,\Omega$ હોવાથી,$CE$ નો અવરોધ $(1-x)\,\Omega$ થશે.
$B$ અને $E$ બિંદુઓ સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન ધરાવે તે માટે,$AE$ ની આજુબાજુનો અસરકારક અવરોધ અને $CE$ ની આજુબાજુનો અસરકારક અવરોધ સમાન હોવો જોઈએ.
એટલે કે,$\frac{(1+x) \times 1}{(1+x)+1} = (1-x)$ અથવા $(1+x) = (1-x) \times (2+x)$.
અથવા $1+x = 2+x-2x-x^2$ અથવા $x^2+2x-1 = 0$.
તેને ઉકેલતા,આપણને $x = \sqrt{2}-1$ મળે છે.
હવે,$1-x = 1-(\sqrt{2}-1) = 2-\sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)$.
તેથી,$\frac{CE}{ED} = \frac{1-x}{x} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}$.

(A) ધારો કે $4 \ V$ ની બેટરી અને નીચેના વાયર વચ્ચેના જંકશન પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $0 \ V$ છે. ધારો કે નોડ $R$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_R = 4 \ V$ છે.
નોડ $R$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{V_P - 4 - 2}{2 + 1} + \frac{V_Q - 4}{3 + 2} = 0$
$\frac{V_P - 6}{3} + \frac{V_Q - 4}{5} = 0$
$5(V_P - 6) + 3(V_Q - 4) = 0 \implies 5V_P + 3V_Q = 42 \quad (1)$
વધુમાં,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{PQ} = V_P - V_Q$ છે. ડાબા લૂપ પરથી,$V_P - V_R = i_1(2+1) + 2 = 3i_1 + 2$. કારણ કે $V_R = 4 \ V$,તેથી $V_P = 3i_1 + 6$.
જમણા લૂપ પરથી,$V_Q - V_R = i_2(3+2) - 1 = 5i_2 - 1$. કારણ કે $V_R = 4 \ V$,તેથી $V_Q = 5i_2 + 3$.
નોડલ એનાલિસિસનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $V_R = 4 \ V$. $R$ થી $P$ તરફ જતો પ્રવાહ $i_1 = \frac{4 - (V_P - 2)}{3} = \frac{6 - V_P}{3}$ છે. $R$ થી $Q$ તરફ જતો પ્રવાહ $i_2 = \frac{4 - (V_Q + 1)}{5} = \frac{3 - V_Q}{5}$ છે.
નોડ $R$ પર,$i_1 + i_2 = 0 \implies \frac{6 - V_P}{3} + \frac{3 - V_Q}{5} = 0 \implies 30 - 5V_P + 9 - 3V_Q = 0 \implies 5V_P + 3V_Q = 39$.
$V_P - V_Q$ માટે ઉકેલતા: વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{PQ} = V_P - V_Q = 3 \ V$ મળે છે.

(C) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ ત્યારે સંતુલિત હોય છે જ્યારે તેની ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય,એટલે કે $P/Q = R/S$.
$[1]$ સંતુલન સ્થિતિ બેટરીના $EMF$ થી સ્વતંત્ર છે. $EMF$ બદલવાથી માત્ર શાખાઓમાં વહેતા પ્રવાહનું મૂલ્ય બદલાય છે,પરંતુ ગુણોત્તર બદલાતો નથી,તેથી ગેલ્વેનોમીટરનો પ્રવાહ શૂન્ય જ રહે છે.
$[2]$ જો બધા અવરોધોમાં $10 \ \Omega$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો નવો ગુણોત્તર $(P+10)/(Q+10)$ અને $(R+10)/(S+10)$ થાય છે. આ સામાન્ય રીતે $P/Q$ ને સમાન હોતું નથી,સિવાય કે $P=Q=R=S$ હોય. તેથી,આ હંમેશા સાચું નથી.
$[3]$ જો બધા અવરોધોને $k=5$ ના ગુણાંક વડે ગુણવામાં આવે,તો નવો ગુણોત્તર $(5P)/(5Q) = P/Q$ અને $(5R)/(5S) = R/S$ થાય છે. કારણ કે $P/Q = R/S$ છે,તેથી બ્રિજ સંતુલિત જ રહે છે.
$[4]$ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે રેસીપ્રોસિટી પ્રમેય મુજબ,બેટરી અને ગેલ્વેનોમીટરની અદલાબદલી કરવાથી સંતુલન સ્થિતિ પર કોઈ અસર થતી નથી.
તેથી,વિધાનો $[1], [3]$ અને $[4]$ સાચા છે.

(B) વ્હીટસ્ટન બ્રિજ માટે સંતુલનની શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R_3}{R_4}$ છે,જ્યાં $R_3$ એ ત્રીજી ભુજાનો અવરોધ છે અને $R_4$ એ ચોથી ભુજાનો અવરોધ $(S)$ છે.
આપેલ છે કે $R_3 = 625\, \Omega$ અને $R_4 = S$,તેથી:
$\frac{P}{Q} = \frac{625}{S}$ ..................... $(1)$
જ્યારે $P$ અને $Q$ ની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે ત્રીજી ભુજામાં નવો અવરોધ $625 + 51 = 676\, \Omega$ થાય છે. બ્રિજ ફરીથી સંતુલિત થાય છે,તેથી:
$\frac{Q}{P} = \frac{676}{S}$
$\frac{P}{Q} = \frac{S}{676}$ ..................... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{625}{S} = \frac{S}{676}$
$S^2 = 625 \times 676$
$S = \sqrt{625} \times \sqrt{676} = 25 \times 26 = 650\, \Omega$.

(B) નોડ $H$ પર કિર્ચોફનો જંકશનનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$i_{HG} = i - (i_{HA} + i_{HE}) = i - (\frac{i}{2} + \frac{i}{6}) = i - \frac{4i}{6} = \frac{i}{3}$.
નોડ $G$ પર જંકશનનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$i_{HG} = i_{GF} + i_{GB} \Rightarrow \frac{i}{3} = \frac{i}{6} + i_{GB} \Rightarrow i_{GB} = \frac{i}{6}$.
નોડ $B$ પર જંકશનનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$i_{BC} = i_{AB} + i_{GB} = \frac{i}{6} + \frac{i}{6} = \frac{2i}{6} = \frac{i}{3}$.
નોડ $C$ પર જંકશનનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$i_{BC} + i_{DC} + i_{FC} = i \Rightarrow \frac{i}{3} + \frac{2i}{3} + i_{FC} = i \Rightarrow i + i_{FC} = i \Rightarrow i_{FC} = 0$.
આમ,શાખા $FC$ માં વિદ્યુતપ્રવાહ શૂન્ય છે.

(A) ધારો કે $30\,V$ ની બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ છે અને $15\,V$ ની બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2$ છે. મધ્યના $3\,\Omega$ અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = I_1 + I_2$ (નીચેની તરફ) છે.
ડાબા લૂપ $(ABCF)$ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$-30 + 4I_1 + 3(I_1 + I_2) + 2I_1 = 0$
$9I_1 + 3I_2 = 30 \implies 3I_1 + I_2 = 10$ --- $(1)$
જમણા લૂપ $(CDEF)$ માટે $KVL$ લાગુ પાડતા:
$-15 + 1I_2 + 3(I_1 + I_2) + 2I_2 = 0$
$3I_1 + 6I_2 = 15 \implies I_1 + 2I_2 = 5$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$I_2 = 10 - 3I_1$. તેને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$I_1 + 2(10 - 3I_1) = 5$
$I_1 + 20 - 6I_1 = 5$
$-5I_1 = -15 \implies I_1 = 3\,A$.
$30\,V$ ની બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $3\,A$ છે.

(B) ધારો કે નોડ $F$ પરનું સ્થિતિમાન $0\,V$ છે. તેથી નોડ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $30\,V$ થશે. ધારો કે નોડ $C$ પરનું સ્થિતિમાન $V_C$ છે.
નોડ $C$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V_C - 30}{4 + 2} + \frac{V_C - 0}{3} + \frac{V_C - 15}{1 + 2} = 0$
$\frac{V_C - 30}{6} + \frac{V_C}{3} + \frac{V_C - 15}{3} = 0$
આખા સમીકરણને $6$ વડે ગુણતા:
$(V_C - 30) + 2V_C + 2(V_C - 15) = 0$
$V_C - 30 + 2V_C + 2V_C - 30 = 0$
$5V_C = 60 \implies V_C = 12\,V$.
$15\,V$ ની બેટરીવાળી શાખા ($C$ થી $D$ અને $E$ તરફ) માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I = \frac{V_C - 15}{1 + 2} = \frac{12 - 15}{3} = \frac{-3}{3} = -1\,A$ મળે છે.
આમ,પ્રવાહનું મૂલ્ય $1\,A$ છે.

(B) જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ બેટરીના ધન ટર્મિનલમાંથી અંદર જાય ત્યારે તે બેટરી ચાર્જ થાય છે.
ધારો કે $30\,V$ ની બેટરીમાંથી નીકળતો પ્રવાહ $I_1$ છે અને $15\,V$ ની બેટરીમાંથી નીકળતો પ્રવાહ $I_2$ છે. ડાબા લૂપ $(ABCF)$ માટે કિર્ચોફનો નિયમ વાપરતા: $30 - 4I_1 - 3(I_1 + I_2) - 2I_1 = 0 \Rightarrow 30 = 9I_1 + 3I_2 \Rightarrow 10 = 3I_1 + I_2$.
જમણા લૂપ $(FCDE)$ માટે કિર્ચોફનો નિયમ વાપરતા: $15 - 1I_2 - 2I_2 - 3(I_1 + I_2) = 0 \Rightarrow 15 = 3I_1 + 6I_2 \Rightarrow 5 = I_1 + 2I_2$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: બીજા સમીકરણ પરથી $I_1 = 5 - 2I_2$. પ્રથમ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $10 = 3(5 - 2I_2) + I_2 \Rightarrow 10 = 15 - 6I_2 + I_2 \Rightarrow 5I_2 = 5 \Rightarrow I_2 = 1\,A$.
તેથી $I_1 = 5 - 2(1) = 3\,A$.
અહીં $15\,V$ ની બેટરીમાં પ્રવાહ તેના ધન ટર્મિનલ તરફ જાય છે,તેથી તે બેટરી ચાર્જ થઈ રહી છે.

(A) ધારો કે ડાબા લૂપમાં પ્રવાહ $I_1$ છે અને જમણા લૂપમાં પ્રવાહ $I_2$ છે. ડાબા લૂપ $(ABCF)$ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$30 - 4I_1 - 6 - 2I_1 = 0 \implies 6I_1 = 24 \implies I_1 = 4\,A.$
જમણા લૂપ $(CDEF)$ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$15 - 1I_2 - 6 - 2I_2 = 0 \implies 3I_2 = 9 \implies I_2 = 3\,A.$
$CF$ શાખામાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = I_1 + I_2 = 4 + 3 = 7\,A$ છે.
પ્રવાહ $I$ એ $C$ થી $F$ તરફ વહેતો હોવાથી,$6\,V$ ની બેટરીના બે છેડા વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C - V_F = E + Ir = 6 + 7(0) = 6\,V$ થાય છે.
આમ,$V_C - V_F = 6\,V$ એ સાચું વિધાન છે.

(C) લૂપ્સ માટે કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરો.
ડાબા લૂપ $BCFAB$ માટે:
$4I_1 + 2I_1 = 30 - 6$
$6I_1 = 24 \Rightarrow I_1 = 4\,A$
આ સમીકરણમાં $I_2$ પદ ન હોવાથી,ડાબા લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ જમણા લૂપથી સ્વતંત્ર છે.
જમણા લૂપ $DCFED$ માટે:
$1I_2 + 2I_2 = 15 - 6$
$3I_2 = 9 \Rightarrow I_2 = 3\,A$
આ સમીકરણમાં $I_1$ પદ ન હોવાથી,જમણા લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ ડાબા લૂપથી સ્વતંત્ર છે.
$6\,V$ બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = I_1 + I_2 = 4 + 3 = 7\,A$ છે. પ્રવાહ $6\,V$ બેટરીના ધન ટર્મિનલમાં પ્રવેશતો હોવાથી,તે ચાર્જ થઈ રહી છે. આમ,$30\,V$ અને $15\,V$ બંને બેટરીઓ $CF$ શાખામાં પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી,વિધાન $(C)$ ખોટું છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $F$ પરનું સ્થિતિમાન $V_F = 0\,V$ છે.
ડાબા લૂપ $(ABCF)$ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$30 - 4I_1 - 6 - 2I_1 = 0$
$24 = 6I_1 \implies I_1 = 4\,A$.
જમણા લૂપ $(CDEF)$ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$15 - 1I_2 - 6 - 2I_2 = 0$
$9 = 3I_2 \implies I_2 = 3\,A$.
$6\,V$ બેટરીમાંથી પસાર થતો કુલ પ્રવાહ $I = I_1 + I_2 = 4 + 3 = 7\,A$ છે.
જેহেতু પ્રવાહ $I$ એ $6\,V$ બેટરીના ધન ટર્મિનલમાં પ્રવેશે છે,તેથી તે ચાર્જ થઈ રહી છે.
$30\,V$ બેટરી માટે,પ્રવાહ $I_1$ ધન ટર્મિનલમાંથી બહાર નીકળે છે (ડિસ્ચાર્જ થાય છે).
$15\,V$ બેટરી માટે,પ્રવાહ $I_2$ ધન ટર્મિનલમાંથી બહાર નીકળે છે (ડિસ્ચાર્જ થાય છે).
તેથી,માત્ર $6\,V$ બેટરી ચાર્જ થઈ રહી છે.

(C) ધારો કે નોડ $F$ પરનું પોટેન્શિયલ $V_F = 0 \ V$ છે. તેથી નોડ $C$ પરનું પોટેન્શિયલ $V_C = 6 \ V$ થશે.
નોડ $C$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
ધારો કે $I_1$ એ ડાબી લૂપમાંથી $4 \ \Omega$ અવરોધ દ્વારા વહેતો પ્રવાહ છે અને $I_2$ એ જમણી લૂપમાંથી $1 \ \Omega$ અવરોધ દ્વારા વહેતો પ્રવાહ છે,બંને $C$ તરફ વહે છે.
ડાબી લૂપ $(ABCF)$ માટે: $30 - 4I_1 - 6 - 2I_1 = 0 \implies 6I_1 = 24 \implies I_1 = 4 \ A$.
જમણી લૂપ $(CDEF)$ માટે: $6 - 1I_2 - 15 + 2I_2 = 0 \implies I_2 = 9 / 3 = 3 \ A$.
શાખા $CF$ માંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = I_1 + I_2 = 4 + 3 = 7 \ A$ છે.

(C) આપેલ પરિપથમાં,શાખા $BD$ માં $8 \text{ V}$ ની બેટરી છે.
વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત હોવા માટે,મધ્ય શાખામાં કોઈ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત હોવો જોઈએ નહીં,અથવા ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ.
અહીં,અવરોધો $R_{AB} = 4 \ \Omega$,$R_{BC} = 4 \ \Omega$,$R_{AD} = 4 \ \Omega$,અને $R_{DC} = 4 \ \Omega$ છે.
કારણ કે $R_{AB}/R_{AD} = R_{BC}/R_{DC} = 4/4 = 1$,અવરોધના ગુણોત્તરની દ્રષ્ટિએ બ્રિજ સંતુલિત છે.
જોકે,બિંદુ $B$ અને $D$ વચ્ચે $8 \text{ V}$ ની બેટરી જોડાયેલી છે.
તેથી,$B$ અને $D$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરી દ્વારા નક્કી થાય છે,એટલે કે $V_B - V_D = 8 \text{ V}$.
$V_B - V_D \neq 0$ હોવાથી,$8 \text{ V}$ ની બેટરીને કારણે શાખા $BD$ માંથી પ્રવાહ વહેશે.
આમ,સાચું વિધાન $V_B - V_D = 8 \text{ V}$ છે.

(A) જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ બેટરીના ધન ટર્મિનલમાંથી અંદર જાય ત્યારે તે બેટરી ચાર્જ થાય છે.
ધારો કે બિંદુ $D$ પરનું સ્થિતિમાન $0\,V$ છે.
$12\,V$ ની બેટરી $A$ અને $C$ વચ્ચે જોડાયેલ હોવાથી,$V_A = 12\,V$ અને $V_C = 0\,V$ લો.
આ સર્કિટ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. અવરોધો $R_{AB} = 4\,\Omega$,$R_{BC} = 4\,\Omega$,$R_{AD} = 4\,\Omega$,અને $R_{DC} = 4\,\Omega$ છે.
$R_{AB}/R_{AD} = R_{BC}/R_{DC} = 4/4 = 1$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
જો ત્યાં કોઈ બેટરી ન હોત,તો $B$ અને $D$ પરનું સ્થિતિમાન સમાન હોત.
$B$ અને $D$ વચ્ચે $8\,V$ ની બેટરી (ધન ટર્મિનલ $B$ પર) જોડાયેલ હોવાથી,$V_B = 8\,V$ અને $V_D = 0\,V$ છે.
$12\,V$ ની બેટરી માટે,વિદ્યુતપ્રવાહ $A$ થી $C$ તરફ વહે છે,એટલે કે તે ડિસ્ચાર્જ થઈ રહી છે.
$8\,V$ ની બેટરી માટે,$B$ પરનું સ્થિતિમાન $8\,V$ છે અને $D$ પરનું $0\,V$ છે.
$12\,V$ ની બેટરીને કારણે $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = 12 \times (4/(4+4)) = 6\,V$ થાય.
પરંતુ વાસ્તવિક સ્થિતિમાન $8\,V$ હોવાથી,વિદ્યુતપ્રવાહ $B$ થી $A$ અને $B$ થી $C$ તરફ વહે છે.
આમ,વિદ્યુતપ્રવાહ $8\,V$ ની બેટરીના ધન ટર્મિનલમાં પ્રવેશે છે,તેથી $8\,V$ ની બેટરી ચાર્જ થઈ રહી છે.

(D) ધારો કે $D$ પરનું સ્થિતિમાન $0\,V$ છે. તો $B$ પરનું સ્થિતિમાન $8\,V$ થશે ($8\,V$ ની બેટરીને કારણે).
ધારો કે $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A$ અને $C$ પરનું સ્થિતિમાન $V_C$ છે. $12\,V$ ની બેટરી $A$ અને $C$ વચ્ચે જોડાયેલ હોવાથી,$V_A - V_C = 12\,V$ થાય.
નોડ $A$ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{V_A - 8}{4} + \frac{V_A - 0}{4} + \frac{V_A - V_C}{R_{ext}} = 0$.
સંમિતિ દ્વારા,$V_A = 6\,V$ અને $V_C = -6\,V$ મળે છે.
ગણતરી કરતા,$8\,V$ ની બેટરીમાંથી નીકળતો પ્રવાહ અને $12\,V$ ની બેટરીમાંથી નીકળતો પ્રવાહ તપાસતા,તમામ વિધાનો સાચા ઠરે છે. તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(C) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે સંતુલિત સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ ચોથી ભુજાનો સમતુલ્ય અવરોધ છે.
ચોથી ભુજામાં $S_1$ અને $S_2$ સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $S = \frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2}$ થાય છે.
આ કિંમતને સંતુલિત સ્થિતિના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\frac{P}{Q} = \frac{R}{\left( \frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2} \right)}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{P}{Q} = \frac{R(S_1 + S_2)}{S_1 S_2}$ થાય છે.

(B) ધારો કે ડાબા લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ $I_1$ (ક્લોકવાઇઝ) છે અને જમણા લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ $I_2$ (ક્લોકવાઇઝ) છે.
ડાબા લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$-6 + 3I_1 + 1(I_1 - I_2) = 0$
$4I_1 - I_2 = 6$ .....$(1)$
જમણા લૂપ માટે $KVL$ લાગુ પાડતા:
$-9 + 4I_2 + 1(I_2 - I_1) + 2I_2 = 0$
$-I_1 + 7I_2 = 9$ .....$(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $7$ વડે ગુણીને સમીકરણ $(2)$ માં ઉમેરતા:
$28I_1 - 7I_2 = 42$
$-I_1 + 7I_2 = 9$
$27I_1 = 51 \implies I_1 = \frac{51}{27} = 1.88\ A$
$I_1$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$4(1.88) - I_2 = 6 \implies 7.52 - 6 = I_2 \implies I_2 = 1.52\ A$
$1\,\Omega$ ના અવરોધમાં વહેતો પ્રવાહ $(I_1 - I_2) = 1.88 - 1.52 = 0.36\ A$ જે $Q$ થી $P$ તરફ છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $0.13\ A$ ($Q$ થી $P$) છે.

(B) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,નલ ડિફ્લેક્શન માટેની શરત $R_1/R_3 = R_2/R_4$ છે. જો સેલ અને ગેલ્વેનોમીટરની અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો નલ ડિફ્લેક્શન માટેની નવી શરત $R_1/R_2 = R_3/R_4$ બને છે,જે ગાણિતિક રીતે મૂળ શરતને સમકક્ષ છે. તેથી,નલ પોઈન્ટ બદલાતો નથી. આથી,વિકલ્પ $B$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) ધારો કે નોડ $P$ પરનું સ્થિતિમાન $V$ છે. નોડ $P$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V-12}{1} + \frac{V-13}{2} + \frac{V-0}{10} = 0$
સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે $10$ વડે ગુણતા:
$10(V-12) + 5(V-13) + V = 0$
$10V - 120 + 5V - 65 + V = 0$
$16V = 185$
$V = \frac{185}{16} = 11.5625\ V$
આમ,$11.5625\ V$ એ $11.5\ V$ અને $11.6\ V$ ની વચ્ચે આવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આ પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ દર્શાવે છે. $B$ અને $D$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય થાય તે માટે,બ્રિજ સંતુલિત હોવો જોઈએ.
ભુજા $AB$ માં અવરોધ $R_{AB} = 12 \, \Omega + 4 \, \Omega = 16 \, \Omega$ છે.
ભુજા $BC$ માં અવરોધ $R_{BC} = X$ છે.
ભુજા $AD$ માં અવરોધ $R_{AD} = 1 \, \Omega + 3 \, \Omega = 4 \, \Omega$ છે.
ભુજા $DC$ માં બે $1 \, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી $R_{DC} = \frac{1 \times 1}{1 + 1} = 0.5 \, \Omega$ છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,સામસામેની ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{DC}}$
$\frac{16}{4} = \frac{X}{0.5}$
$4 = \frac{X}{0.5}$
$X = 4 \times 0.5 = 2 \, \Omega$.

(B) ધારો કે જમણી બાજુના સામાન્ય જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $0 \ V$ છે અને ડાબી બાજુના સામાન્ય જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V$ છે. ડાબા જંકશન પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V - 4}{2} + \frac{V}{2} + \frac{V + 6}{4} = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે $4$ વડે ગુણતા:
$2(V - 4) + 2V + (V + 6) = 0$
$2V - 8 + 2V + V + 6 = 0$
$5V - 2 = 0$
$V = 0.4 \ V$
હવે,ઉપરની શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ શોધીએ:
$I_1 = \frac{4 - 0.4}{2} = \frac{3.6}{2} = 1.8 \ A$. તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) નોડ $c$ પર કિર્ચોફનો જંકશનનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$i_1 + i_2 = i_3$ --- $(i)$
લૂપ $abcda$ માં કિર્ચોફનો લૂપનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$10.0 - (6.0)i_1 - (2.0)i_3 = 0$
$6.0i_1 + 2.0i_3 = 10.0$ --- $(ii)$
લૂપ $befcb$ માં કિર્ચોફનો લૂપનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$-14.0 - 10.0 + (6.0)i_1 - (4.0)i_2 = 0$
$6.0i_1 - 4.0i_2 = 24.0$ --- $(iii)$
$(i)$ પરથી,$i_3 = i_1 + i_2$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$6.0i_1 + 2.0(i_1 + i_2) = 10.0$
$8.0i_1 + 2.0i_2 = 10.0$ --- $(iv)$
$(iii)$ અને $(iv)$ ને ઉકેલતા:
$(6.0i_1 - 4.0i_2 = 24.0) \times 1 \implies 6.0i_1 - 4.0i_2 = 24.0$
$(8.0i_1 + 2.0i_2 = 10.0) \times 2 \implies 16.0i_1 + 4.0i_2 = 20.0$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$22.0i_1 = 44.0 \implies i_1 = 2.0 \, A$.

(C) આ સર્કિટ એક વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. ધારો કે નોડ્સ $a, b, c, d$ છે. અવરોધો $R_{ab} = 5 \, \Omega$,$R_{bc} = 10 \, \Omega$,$R_{ad} = 3 \, \Omega$,$R_{dc} = 6 \, \Omega$ અને મધ્ય અવરોધ $R_{bd} = 10 \, \Omega$ છે.
સંતુલિત સ્થિતિ તપાસો: $\frac{R_{ab}}{R_{ad}} = \frac{5}{3}$ અને $\frac{R_{bc}}{R_{dc}} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
કારણ કે $\frac{R_{ab}}{R_{ad}} = \frac{R_{bc}}{R_{dc}}$,બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,નોડ $b$ પરનું પોટેન્શિયલ નોડ $d$ પરના પોટેન્શિયલ જેટલું હોય છે $(V_b = V_d)$.
તેથી,મધ્ય શાખા $bd$ માંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
જો કે,પ્રશ્ન શાખા $ad$ માંથી વહેતા પ્રવાહ વિશે પૂછે છે. શાખા $ad$ એ શાખા $dc$ સાથે શ્રેણીમાં છે (કારણ કે $bd$ ખુલ્લું છે),તેથી નીચેના માર્ગનો કુલ અવરોધ $R_{lower} = 3 \, \Omega + 6 \, \Omega = 9 \, \Omega$ છે.
નીચેના માર્ગ પરનો વોલ્ટેજ $10 \, V$ છે.
આમ,શાખા $ad$ માંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{ad} = \frac{V}{R_{lower}} = \frac{10 \, V}{9 \, \Omega} \approx 1.11 \, A$ છે.

(A) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,શરત $\frac{P}{S} = \frac{Q}{R}$ છે,જેનો અર્થ છે $PR = QS$.
ધારો કે બ્રિજ પરનો કુલ વોલ્ટેજ $V$ છે.
ઉપરની શાખા $(P + Q)$ માં વપરાતો પાવર $P_1 = \frac{V^2}{P + Q}$ છે.
નીચેની શાખા $(R + S)$ માં વપરાતો પાવર $P_2 = \frac{V^2}{R + S}$ છે.
વપરાતા પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{V^2 / (P + Q)}{V^2 / (R + S)} = \frac{R + S}{P + Q}$ છે.
સંતુલિત શરત પરથી,$S = \frac{PR}{Q}$.
ગુણોત્તરમાં $S$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{R + \frac{PR}{Q}}{P + Q} = \frac{R(1 + \frac{P}{Q})}{P + Q} = \frac{R(\frac{Q + P}{Q})}{P + Q} = \frac{R}{Q}$.
આમ,ગુણોત્તર $R : Q$ છે.

(B) ધારો કે $A_1$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1 = 3\ A$ અને $A_2$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2 = 5\ A$ છે। કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ, $A_3$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_3 = I_1 + I_2 = 8\ A$ થશે।
$A_1$ પછીના નોડ પરનો પોટેન્શિયલ $V_A = V_0 - 3r$ છે અને $A_2$ પછીના નોડ પરનો પોટેન્શિયલ $V_B = V_0 - 5r$ છે।
$A_3$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_3 = (V_A - V_B) / r = (V_0 - 3r - (V_0 - 5r)) / r = 2r / r = 2\ A$ મળે છે।
$A_1$ પછીના નોડ પર, $I_1$ પ્રવાહ આવે છે અને $I_3$ પ્રવાહ $A_3$ તરફ જાય છે, તેથી $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_R = I_1 - I_3 = 3\ A - 2\ A = 1\ A$ થાય।
$R$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ તફાવત $I_R R = 2r$ છે, તેથી $1 \times R = 2r$, એટલે કે $R/r = 2$।

(A) ધારો કે મધ્ય નોડ પરનું સ્થિતિમાન $V$ છે. આ નોડ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V-10}{10} + \frac{V-(-6)}{20} + \frac{V}{10} + \frac{V-10}{5} = 0$
આખા સમીકરણને $20$ વડે ગુણતા:
$2(V-10) + (V+6) + 2V + 4(V-10) = 0$
$2V - 20 + V + 6 + 2V + 4V - 40 = 0$
$9V - 54 = 0$
$V = 6 \,V$
હવે,$20\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ:
$I = \frac{V - (-6)}{20} = \frac{6 + 6}{20} = \frac{12}{20} = 0.6 \,A$.

(B) ધારો કે બિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A$ છે અને બિંદુ $D$ પર $V_D = 0\,V$ છે. કુલ emf $4\,V$ છે.
$1$. બિંદુ $B$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $(V_B)$ શોધો: અવરોધો $P$ અને $Q$ એ $4\,V$ ના સ્ત્રોત સાથે શ્રેણીમાં છે. વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$V_A - V_B = V_A \times \frac{P}{P+Q} = 4 \times \frac{90}{90+110} = 4 \times \frac{90}{200} = 1.8\,V$.
$2$. બિંદુ $C$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $(V_C)$ શોધો: અવરોધો $R$ અને $S$ એ $4\,V$ ના સ્ત્રોત સાથે શ્રેણીમાં છે. વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$V_A - V_C = V_A \times \frac{R}{R+S} = 4 \times \frac{40}{40+60} = 4 \times \frac{40}{100} = 1.6\,V$.
$3$. $B$ અને $C$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શોધો:
$V_B - V_C = (V_A - V_C) - (V_A - V_B) = 1.6\,V - 1.8\,V = -0.2\,V$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનું મૂલ્ય $|V_B - V_C| = 0.2\,V$ છે.

(C) ધારો કે નોડ $C$ પરનું પોટેન્શિયલ $V$ છે.
નોડ $C$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$i_{1} + i_{2} = i_{3}$
$\frac{10 - V}{4} + \frac{5 - V}{2} = \frac{V - 0}{2}$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$(10 - V) + 2(5 - V) = 2V$
$10 - V + 10 - 2V = 2V$
$20 - 3V = 2V$
$5V = 20$
$V = 4 \, V$
હવે,સ્વિચ $S$ માંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_{3}$ છે:
$i_{3} = \frac{V - 0}{2} = \frac{4 - 0}{2} = 2 \, A$

(D) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી શૂન્ય પ્રવાહ માટેની શરત $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$ અથવા $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ છે.
$1$. જો બેટરીનું $EMF$ બમણું કરવામાં આવે,તો અવરોધોનો ગુણોત્તર બદલાતો નથી,તેથી બ્રિજ સંતુલિત રહે છે.
$2$. જો ગેલ્વેનોમીટર અને બેટરીના સ્થાન અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો સંતુલન માટેની શરત $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ બને છે,જે મૂળ શરતને સમાન છે. આમ,બ્રિજ સંતુલિત રહે છે.
$3$. જો ચારેય અવરોધો બમણા કરવામાં આવે,તો ગુણોત્તર $\frac{2R_1}{2R_2} = \frac{2R_3}{2R_4}$ સમાન રહે છે,તેથી બ્રિજ સંતુલિત રહે છે.
$4$. જો $R_1$ અને $R_2$ ના સ્થાન અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો શૂન્ય પ્રવાહ માટેની નવી શરત $\frac{R_2}{R_1} = \frac{R_3}{R_4}$ થશે. મૂળ શરત $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$ હોવાથી,આ નવી શરત ફક્ત ત્યારે જ સાચી ઠરે જો $R_1 = R_2$ હોય. પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે બધા અવરોધો અલગ છે,તેથી બ્રિજ અસંતુલિત થઈ જશે અને ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પ્રવાહ વહેશે.

(A) ધારો કે નોડ્સ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે. $20\,\Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{CD} = I \times R = 1\,A \times 20\,\Omega = 20\,V$ છે.
$20\,\Omega$ અવરોધ,$10\,\Omega$ અવરોધ અને $R_2$ સમાંતર હોવાથી,દરેક પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન રહેશે.
તેથી,$V_{BE} = V_{CD} = 20\,V$.
$R_2$ અવરોધ માટે,$V_{BE} = I_{R2} \times R_2 \Rightarrow 20\,V = 0.5\,A \times R_2 \Rightarrow R_2 = 40\,\Omega$.
$10\,\Omega$ અવરોધ માટે,પ્રવાહ $i = V_{BE} / 10\,\Omega = 20\,V / 10\,\Omega = 2\,A$.
$R_1$ માંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i_0$ એ સમાંતર શાખાઓમાંના પ્રવાહોનો સરવાળો છે: $i_0 = 0.5\,A + 2\,A + 1\,A = 3.5\,A$.
બાહ્ય લૂપમાં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા: $69\,V - i_0 R_1 - V_{BE} = 0$.
$69\,V - 3.5\,A \times R_1 - 20\,V = 0$.
$3.5\,A \times R_1 = 49\,V$.
$R_1 = 49 / 3.5 = 14\,\Omega$.
તેથી,$R_1 = 14\,\Omega$ અને $R_2 = 40\,\Omega$.

(C) જ્યારે વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની સામસામેની ભુજાઓના અવરોધનો ગુણોત્તર સમાન હોય ત્યારે તે સંતુલિત કહેવાય છે. અહીં, $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S} = \frac{10}{10} = 1$ છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં, ગેલ્વેનોમીટરની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
જોકે, પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં $10 \, \Omega$ નો અવરોધ જોડેલ છે. સંતુલિત સ્થિતિમાં ગેલ્વેનોમીટર શાખામાંથી પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી, આ વધારાનો અવરોધ પરિપથના સમતુલ્ય અવરોધને અસર કરતો નથી.
પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે, જેમાં દરેક શાખામાં બે $10 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે.
દરેક શાખાનો અવરોધ = $10 \, \Omega + 10 \, \Omega = 20 \, \Omega$.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી, સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.
તેથી, $R_{eq} = 10 \, \Omega$.

(D) આ પરિપથ સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની રચના દર્શાવે છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,સામસામેની બાજુઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે જોડાયેલા મધ્યસ્થ ગેલ્વેનોમીટર અથવા અવરોધમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
$A$ અને $B$ વચ્ચેની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,બિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન બિંદુ $B$ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
તેથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_B - V_A = 0 \ V$ થાય.

(B) ધારો કે ડાબા લૂપમાં પ્રવાહ $I_1$ (ઘડિયાળની દિશામાં) અને જમણા લૂપમાં પ્રવાહ $I_2$ (ઘડિયાળની દિશામાં) છે.
ડાબા લૂપ $(ABEF)$ માં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરતા:
$10 - 1I_1 - 2I_1 - 2(I_1 + I_2) - 2 = 0$
$8 - 5I_1 - 2I_2 = 0 \implies 5I_1 + 2I_2 = 8$ --- (સમીકરણ $1$)
જમણા લૂપ $(BCDE)$ માં $KVL$ લાગુ કરતા:
$2 - 6I_2 - 5 = 0$
$-3 - 6I_2 = 0 \implies I_2 = -0.5 \,A$
$I_2 = -0.5 \,A$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$5I_1 + 2(-0.5) = 8$
$5I_1 - 1 = 8$
$5I_1 = 9 \implies I_1 = 1.8 \,A$
વચ્ચેની શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = -(I_1 + I_2)$ છે.
$I = -(1.8 + (-0.5)) = -1.3 \,A$ મળે છે. જોકે,આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $-2.1 \,A$ છે.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર $DC$ પ્રવાહ માટે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. જો કે,પ્રશ્ન જણાવે છે કે જ્યારે સ્વિચ બંધ થાય છે,ત્યારે ગેલ્વેનોમીટર કોઈ વિચલન દર્શાવતું નથી. આનો અર્થ એ છે કે ગેલ્વેનોમીટરના બે ટર્મિનલ પરનો પોટેન્શિયલ સમાન છે (બેલેન્સ્ડ બ્રિજ સ્થિતિ).
ધારો કે બેટરીનો પોટેન્શિયલ $V$ છે. પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે જે બેટરી સાથે જોડાયેલ છે. એક શાખામાં $R_1$ અને $C_1$ શ્રેણીમાં છે,અને બીજી શાખામાં $R_2$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે.
ગેલ્વેનોમીટર કોઈ વિચલન દર્શાવતું ન હોવાથી,$R_1$ અને $C_1$ વચ્ચેના જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ,$R_2$ અને $C_2$ વચ્ચેના જંકશન પરના પોટેન્શિયલ જેટલો હોવો જોઈએ.
વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ: $V \frac{1/C_1}{R_1 + 1/C_1} = V \frac{1/C_2}{R_2 + 1/C_2}$.
આને સરળ બનાવતા: $\frac{1}{R_1 C_1 + 1} = \frac{1}{R_2 C_2 + 1}$.
આ સૂચવે છે કે $R_1 C_1 = R_2 C_2$,જે $\frac{R_1}{R_2} = \frac{C_2}{C_1}$ તરફ દોરી જાય છે.

(B) ધારો કે ડાબા જંકશન પરનું પોટેન્શિયલ $V_L = 50 \, V$ અને જમણા જંકશન પરનું પોટેન્શિયલ $V_R = 0 \, V$ છે. ધારો કે નોડ $C$ પરનું પોટેન્શિયલ $V_C$ અને નોડ $D$ પરનું પોટેન્શિયલ $V_D$ છે.
નોડ $C$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ કરતા:
$\frac{V_C - 50}{1} + \frac{V_C - V_D}{R_{CD}} + \frac{V_C - 0}{2} = 0$
કારણ કે $CD$ એક વાહક વાયર છે,$R_{CD} = 0$,તેથી $V_C = V_D = V$.
સંયુક્ત નોડ $CD$ પર $KCL$ લાગુ કરતા:
$\frac{V - 50}{1} + \frac{V - 50}{3} + \frac{V - 0}{2} + \frac{V - 0}{4} = 0$
$12$ વડે ગુણતા:
$12(V - 50) + 4(V - 50) + 6V + 3V = 0$
$16V - 800 + 9V = 0$
$25V = 800 \implies V = 32 \, V$
હવે,વિદ્યુતપ્રવાહની ગણતરી કરતા:
$I_1 = \frac{50 - 32}{1} = 18 \, A$ ($C$ તરફ વહે છે)
$I_3 = \frac{32 - 0}{2} = 16 \, A$ ($C$ થી દૂર વહે છે)
$C$ થી $D$ તરફ વાયર $CD$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{CD} = I_1 - I_3 = 18 - 16 = 2 \, A$ છે.

(A) આ પરિપથ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. મધ્યમાં રહેલ $6 \ \Omega$ નો અવરોધ બે મધ્ય બિંદુઓ વચ્ચે જોડાયેલ છે. પરિપથની સંમિતિને કારણે,મધ્યના $6 \ \Omega$ અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે,તેથી તેમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે,જેમાં દરેક શાખામાં બે $6 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે.
ઉપરની શાખાનો અવરોધ = $6 \ \Omega + 6 \ \Omega = 12 \ \Omega$.
નીચેની શાખાનો અવરોધ = $6 \ \Omega + 6 \ \Omega = 12 \ \Omega$.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં છે,તેથી સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$:
$1/R_{eq} = 1/12 + 1/12 = 2/12 = 1/6 \ \Omega^{-1} \Rightarrow R_{eq} = 6 \ \Omega$.
$2 \ V$ ની બેટરીમાંથી ખેંચાતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $i$:
$i = V / R_{eq} = 2 \ V / 6 \ \Omega = 1/3 \ A \approx 0.33 \ A$.
એમીટર મુખ્ય પરિપથમાં મૂકવામાં આવ્યું છે,તેથી તે કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 0.33 \ A$ માપે છે.

(A) આપેલ પરિપથ એ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ પરિપથ છે.
ધારો કે અવરોધો $R_1 = 2 \, \Omega$,$R_2 = 4 \, \Omega$,$R_3 = 3 \, \Omega$,$R_4 = 6 \, \Omega$ અને વચ્ચેનો અવરોધ $R_5 = 7 \, \Omega$ છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટેની શરત તપાસો: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{4} = 0.5$ અને $\frac{R_3}{R_4} = \frac{3}{6} = 0.5$.
અહીં $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
તેથી,વચ્ચેના $7 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,અને તેને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
હવે,પરિપથ સમાંતરમાં બે શાખાઓ ધરાવે છે:
ઉપરની શાખા: $R_{up} = R_1 + R_3 = 2 + 3 = 5 \, \Omega$.
નીચેની શાખા: $R_{low} = R_2 + R_4 = 4 + 6 = 10 \, \Omega$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{up}} + \frac{1}{R_{low}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2+1}{10} = \frac{3}{10}$.
આમ,$R_{eq} = \frac{10}{3} \, \Omega$.

(C) ધારો કે ડાબી બાજુના નોડનું પોટેન્શિયલ $V_1 = 50\; V$ અને જમણી બાજુના નોડનું પોટેન્શિયલ $V_2 = 30\; V$ છે.
વચ્ચેના અવરોધનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 5 + 5 = 10\; \Omega$ છે.
ડાબેથી જમણી તરફ વહેતો પ્રવાહ $I = (50 - 30) / 10 = 2\; A$ છે.
ડાબી બાજુના નોડ પર,$50\; V$ બેટરીમાંથી નીકળતો પ્રવાહ $I_1$ છે. તે $2\; A$ (જમણી તરફ) અને $I_{20} = 50 / 20 = 2.5\; A$ (નીચે તરફ) માં વહેંચાય છે.
તેથી,$I_1 = 2 + 2.5 = 4.5\; A$.
જમણી બાજુના નોડ પર,$30\; V$ બેટરીમાંથી $I_2$ પ્રવાહ આવે છે. ડાબી બાજુથી $2\; A$ પ્રવાહ આવે છે અને $I_{10} = 30 / 10 = 3\; A$ નીચે તરફ વહે છે.
જમણી બાજુના નોડ પર $KCL$ મુજબ: $I_2 + 2 = 3 \implies I_2 = 1\; A$.
આમ,$50\; V$ અને $30\; V$ બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ અનુક્રમે $4.5\; A$ અને $1\; A$ છે.

(B) ધારો કે નોડ $C$ પરનું સ્થિતિમાન $V$ છે. જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે, ત્યારે નોડ $C$ એ $2 \, \Omega$ ના અવરોધ દ્વારા ગ્રાઉન્ડ $(0 \, V)$ સાથે જોડાય છે.
નોડ $C$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ કરતા:
$\frac{20 - V}{2} + \frac{10 - V}{4} = \frac{V - 0}{2}$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$2(20 - V) + (10 - V) = 2V$
$40 - 2V + 10 - V = 2V$
$50 - 3V = 2V$
$5V = 50$
$V = 10 \, V$
$2 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ નીચે મુજબ છે:
$i = \frac{V - 0}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, A$.

(A) સંતુલિત વ્હીટસ્ટન બ્રિજ માટેની શરત $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$ છે.
$R_1$ માટેનો કલર કોડ (ઓરેન્જ,રેડ,બ્રાઉન) છે. પ્રમાણિત કલર કોડ ટેબલનો ઉપયોગ કરતા: ઓરેન્જ = $3$,રેડ = $2$,બ્રાઉન = $10^1$. તેથી,$R_1 = 32 \times 10^1 = 320 \, \Omega$.
આપેલ છે કે $R_2 = 80 \, \Omega$ અને $R_4 = 40 \, \Omega$.
સંતુલિત શરત પરથી,$R_3 = R_1 \times \frac{R_4}{R_2} = 320 \times \frac{40}{80} = 320 \times 0.5 = 160 \, \Omega$.
$R_3 = 160 \, \Omega$ માટે,કલર કોડ છે: $1$ (બ્રાઉન),$6$ (બ્લુ),$10^1$ (બ્રાઉન). તેથી,કલર કોડ (બ્રાઉન,બ્લુ,બ્રાઉન) થશે.

(D) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{X}$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે $R = 400 \,\Omega$ હોય,ત્યારે બ્રિજ સંતુલિત છે,તેથી $\frac{P}{Q} = \frac{400}{X} \quad .....(1)$
કિસ્સો $2$: $P$ અને $Q$ ને અદલાબદલી કરતા,નવી સંતુલન શરત $\frac{Q}{P} = \frac{405}{X} \quad .....(2)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણી પાસે $\frac{Q}{P} = \frac{X}{400}$ છે.
આને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{X}{400} = \frac{405}{X}$ મળે છે.
$X^2 = 400 \times 405 = 162000$.
$X = \sqrt{162000} = \sqrt{400 \times 405} = 20 \times \sqrt{405} \approx 20 \times 20.1246 = 402.492 \,\Omega$.
આમ,$X$ નું મૂલ્ય $402.5 \,\Omega$ ની નજીક છે.

(B) જંકશન પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
જંકશન $S$ પર: $I_3 + I_5 = I_4 \Rightarrow I_3 = I_4 - I_5 = 0.8\,A - 0.4\,A = 0.4\,A$.
જંકશન $R$ પર: $I_4 = I_1 + I_2 \Rightarrow I_2 = I_4 - I_1 = 0.8\,A - (-0.3\,A) = 1.1\,A$.
જંકશન $Q$ પર: $I_3 = I_2 + I_1 + I_6 \Rightarrow 0.4 = 1.1 - 0.3 + I_6 \Rightarrow I_6 = -0.4\,A$.

(A) પરિપથમાં બિંદુઓ $a$ અને $b$ વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે.
શાખા $1$: તેમાં $E_1$ અને બે $R_1$ અવરોધ શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $R_{eq1} = R_1 + R_1 = 2.0\,\Omega$. સ્થિતિમાન $E_{eq1} = E_1 = 2\,V$.
શાખા $2$: તેમાં $E_2$ અને $R_2$ છે. કુલ અવરોધ $R_{eq2} = R_2 = 2.0\,\Omega$. સ્થિતિમાન $E_{eq2} = E_2 = 4\,V$.
શાખા $3$: તેમાં $E_3$ અને $R_1$ છે. કુલ અવરોધ $R_{eq3} = R_1 = 1.0\,\Omega$. સ્થિતિમાન $E_{eq3} = E_3 = 4\,V$.
સમાંતર શાખાઓ માટે મિલમેનનો પ્રમેય વાપરતા:
$V_{ab} = \frac{\frac{E_1}{R_{eq1}} + \frac{E_2}{R_{eq2}} + \frac{E_3}{R_{eq3}}}{\frac{1}{R_{eq1}} + \frac{1}{R_{eq2}} + \frac{1}{R_{eq3}}} = \frac{\frac{2}{2} + \frac{4}{2} + \frac{4}{1}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{1}} = \frac{1 + 2 + 4}{0.5 + 0.5 + 1} = \frac{7}{2} = 3.5\,V$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $3.5\,V$ એ $3.3\,V$ ની સૌથી નજીક હોવાથી,સાચો જવાબ $3.3\,V$ છે.

(D) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ ત્યારે સંતુલિત થાય છે જ્યારે તેની પાસપાસેની ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય,એટલે કે $P/Q = R/S$.
આપેલ સર્કિટમાં,અવરોધો $P = 4\,\Omega$,$Q = 12\,\Omega$,$R = 18\,\Omega$,અને $S = 6\,\Omega$ છે.
અહીં $P/R = 4/18 = 2/9$ અને $Q/S = 12/6 = 2$ છે. તેથી $P/R \neq Q/S$,બ્રિજ હાલમાં અસંતુલિત છે.
બ્રિજને સંતુલિત કરવા માટે,આપણે $P/Q = R/S$ ની શરત પૂરી કરવી પડે.
ચાલો વિકલ્પ $(D)$ તપાસીએ: જો આપણે $18\,\Omega$ અને $6\,\Omega$ ની અદલાબદલી કરીએ,તો નવા અવરોધો $P = 4\,\Omega$,$Q = 12\,\Omega$,$R = 6\,\Omega$,અને $S = 18\,\Omega$ થશે.
હવે,ગુણોત્તર $P/Q = 4/12 = 1/3$ અને $R/S = 6/18 = 1/3$ થાય છે.
અહીં $P/Q = R/S$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત થાય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_G - V_H)$ શોધવા માટે,આપણે $G$ થી $H$ ના માર્ગ પર કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
બિંદુ $G$ થી શરૂ કરીને $4 \, \Omega$ અવરોધ,$3 \, V$ બેટરી અને $2 \, \Omega$ અવરોધમાંથી પસાર થઈને $H$ તરફ જતાં:
$V_G - (I_1 \times R_1) - E_1 - (I_1 \times R_2) = V_{node}$
આપેલ છે કે $I_1 = 2 \, A$,$R_1 = 4 \, \Omega$,$E_1 = 3 \, V$,$R_2 = 2 \, \Omega$:
$V_G - (2 \times 4) - 3 - (2 \times 2) = V_{node}$
$V_G - 8 - 3 - 4 = V_{node}$
$V_G - 15 = V_{node} \implies V_{node} = V_G - 15$ --- (સમીકરણ $1$)
હવે,નોડથી $H$ સુધી $1 \, \Omega$ અવરોધમાંથી પસાર થતાં:
$V_{node} - (I_2 \times R_3) = V_H$
પરિપથ પરથી,$3 \, A$ નો પ્રવાહ $H$ થી નોડ તરફ વહે છે. તેથી,નોડનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_H$ કરતા $1 \, \Omega$ અવરોધ પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપ જેટલું વધારે છે:
$V_{node} - (3 \times 1) = V_H$
$V_{node} - 3 = V_H \implies V_{node} = V_H + 3$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને $2$ ને સરખાવતા:
$V_G - 15 = V_H + 3$
$V_G - V_H = 15 - 3 = 12 \, V$.

(C) ધારો કે સામાન્ય જંકશનનું પોટેન્શિયલ $V$ છે. જંકશન પર કિર્ચોફનો કરંટનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ કરતા:
(આદર્શ એમીટરનો અવરોધ શૂન્ય છે તેમ ધારીને).
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ નોડલ એનાલિસિસનો ઉપયોગ કરતા,જંકશન પરનું પોટેન્શિયલ $4\,V$ છે.
$1$. $A_1$ માંથી વહેતો પ્રવાહ ($10\,V$ થી $4\,V$ તરફ $6\,\Omega$ અવરોધમાંથી): $I_1 = \frac{10-4}{6} = 1\,A$.
$2$. $A_3$ માંથી વહેતો પ્રવાહ ($4\,V$ થી $0\,V$ તરફ $8\,\Omega$ અવરોધમાંથી): $I_3 = \frac{4-0}{8} = 0.5\,A$.
$3$. જંકશન પર $KCL$ લાગુ કરતા: $I_1 = I_2 + I_3$,જ્યાં $I_2$ એ $A_2$ માંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
$1\,A = I_2 + 0.5\,A \implies I_2 = 0.5\,A$.
આમ,રીડિંગ $A_1 = 1\,A, A_2 = 0.5\,A, A_3 = 0.5\,A$ છે.

(B) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,મધ્યના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે: એકમાં $P$ અને $Q$ શ્રેણીમાં છે,અને બીજીમાં $R$ અને $S$ શ્રેણીમાં છે.
પ્રથમ શાખાનો કુલ અવરોધ $(P + Q)$ છે અને બીજી શાખાનો કુલ અવરોધ $(R + S)$ છે.
બંને શાખાઓ સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ સાથે જોડાયેલ હોવાથી,દરેક શાખામાં વ્યય થતો પાવર $P_{power} = \frac{V^2}{R_{eq}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,વ્યય થતા પાવરનો ગુણોત્તર:
$\frac{\text{Power in } (P+Q)}{\text{Power in } (R+S)} = \frac{\frac{V^2}{P+Q}}{\frac{V^2}{R+S}} = \frac{R+S}{P+Q}$
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,શરત $\frac{P}{R} = \frac{Q}{S}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{S}{R} = \frac{Q}{P}$.
આ ગુણોત્તરને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{R+S}{P+Q} = \frac{R(1 + S/R)}{P(1 + Q/P)}$
કારણ કે $\frac{S}{R} = \frac{Q}{P}$,કૌંસમાં રહેલા પદો ઉડી જશે:
$\frac{R(1 + Q/P)}{P(1 + Q/P)} = \frac{R}{P}$
આમ,ગુણોત્તર $R : P$ છે.

(D) ધારો કે મધ્ય જંકશન પરનો પોટેન્શિયલ $V$ છે. નોડલ એનાલિસિસનો ઉપયોગ કરતા,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગણતરી કરતા:
ડાબી લૂપ માટે: $I_1 = \frac{8 - V}{28}$ અને જમણી લૂપ માટે: $I_2 = \frac{12 - V}{54}$.
આપેલ ઉકેલ મુજબ,$x = 18/34$ અને $y = 14/28$ લેતા,$I_3 = -(x + y) = -5/6 \, \text{amp}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આ પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની ગોઠવણી દર્શાવે છે.
આપેલ છે કે $AB$ શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ શૂન્ય છે,તેથી બ્રિજ સંતુલિત અવસ્થામાં છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની શરત મુજબ,સામસામેની બાજુઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ.
પરિપથને જોતા,$10 \, \Omega$ અને $X$ એક બાજુએ છે,અને $5 \, \Omega$ તથા $20 \, \Omega$ બીજી બાજુએ છે.
સંતુલન શરત લાગુ પાડતા: $\frac{10}{X} = \frac{5}{20}$.
$X$ માટે ઉકેલતા: $X = \frac{10 \times 20}{5} = 40 \, \Omega$.