Electrical Energy and Power Questions in Hindi

(C) एक स्थिर वोल्टेज स्रोत $V$ से जुड़े प्रतिरोधक में व्यय होने वाली शक्ति का सूत्र $P = \frac{V^2}{R}$ है।
चूंकि बल्ब समांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए प्रत्येक बल्ब पर वोल्टेज $V$ समान होगा।
अतः,व्यय होने वाली शक्ति प्रतिरोध के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $P \propto \frac{1}{R}$।
प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$ दिया गया है।
व्यय होने वाली शक्ति का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{R_2}{R_1}$ होगा।
मान रखने पर,हमें $\frac{P_1}{P_2} = \frac{2}{1} = 2 : 1$ प्राप्त होता है।

(D) $R$ प्रतिरोध वाले एक प्रतिरोधक में $t$ समय तक $i$ धारा प्रवाहित होने पर उत्पन्न ऊष्मा $(H)$ जूल के तापन नियम के अनुसार $H = i^2Rt$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ प्रतिरोध $R$ और समय $t$ को स्थिर मानते हुए,हमारे पास $H \propto i^2$ है।
यह समीकरण $H$-अक्ष (या इस ग्राफ में $U$-अक्ष) की दिशा में खुलने वाले एक परवलय (parabola) को दर्शाता है।
दिए गए वक्रों को देखने पर,वक्र $d$ एक परवलयिक संबंध को दर्शाता है जहाँ $i$ के बढ़ने पर $H$ अधिक तेजी से बढ़ता है,जो $i^2$ पर निर्भरता की विशेषता है।
अतः,वक्र $d$ सही निरूपण है।

(B) जब एक स्थिर विभवांतर $V$ लागू किया जाता है,तो $R$ प्रतिरोध में उत्पन्न ऊष्मा $(H)$ का सूत्र है: $H = \frac{V^2}{R} t$,जहाँ $t$ समय है।
चूंकि $V$ और $t$ स्थिर हैं,इसलिए उत्पन्न ऊष्मा $H \propto \frac{1}{R}$ होगी।
अतः,उत्पन्न ऊष्मा प्रतिरोध $R$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

(D) परिपथ में उपलब्ध कुल शक्ति $P_{total} = V \times I$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $V = 220 \, V$ और $I = 9 \, A$ दिया गया है,इसलिए कुल शक्ति $P_{total} = 220 \times 9 = 1980 \, W$ है।
मान लीजिए कि समानांतर क्रम में जोड़े जा सकने वाले $60 \, W$ के बल्बों की अधिकतम संख्या $n$ है।
$n$ बल्बों द्वारा खपत की गई कुल शक्ति $P_{consumed} = n \times 60 \, W$ है।
फ्यूज न उड़े,इसके लिए खपत की गई कुल शक्ति उपलब्ध कुल शक्ति से कम या उसके बराबर होनी चाहिए: $n \times 60 \leq 1980$.
$n$ के लिए हल करने पर: $n \leq \frac{1980}{60} = 33$.
अतः,बल्बों की अधिकतम संख्या $33$ है।

(A) बल्बों का प्रतिरोध $R_1 = \frac{V^2}{P_1}$ और $R_2 = \frac{V^2}{P_2}$ द्वारा दिया जाता है।
जब उन्हें समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो परिपथ द्वारा खपत कुल शक्ति $P_p = \frac{V^2}{R_{eq}}$ होती है।
समांतर संयोजन के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का मान $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{P_p}{V^2} = \frac{P_1}{V^2} + \frac{P_2}{V^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P_p = P_1 + P_2$।

(B) प्रतिरोध $R$ में व्यय होने वाली शक्ति $P$ को $P = I^2 R$ द्वारा दर्शाया जाता है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta P}{P} = 2 \frac{\Delta I}{I}$ प्राप्त होता है।
यहाँ धारा में दिया गया प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta I}{I} \times 100 = 1\%$ है।
अतः,शक्ति में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta I}{I} \times 100)$ होगा।
मान रखने पर,हमें $2 \times 1\% = 2\%$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,शक्ति में प्रतिशत परिवर्तन $2\%$ है।

(B) दिया गया है: शक्ति $P = 60 \ W$,वोल्टेज $V = 120 \ V$,समय $t = 1 \ s$.
सूत्र $P = VI$ का उपयोग करने पर,धारा $I$ का मान होगा:
$I = \frac{P}{V} = \frac{60}{120} = 0.5 \ A$.
हम जानते हैं कि समय $t$ में प्रवाहित कुल आवेश $Q = It$ होता है।
साथ ही,आवेश के क्वांटीकरण के अनुसार $Q = ne$,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ एक इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
$Q$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$ne = It$
$n = \frac{It}{e} = \frac{0.5 \times 1}{1.6 \times 10^{-19}}$
$n = \frac{0.5}{1.6} \times 10^{19} = 0.3125 \times 10^{19} = 3.125 \times 10^{18}$.
अतः,इलेक्ट्रॉनों की संख्या $3.125 \times 10^{18}$ है।

(B) प्रतिरोधक की पावर रेटिंग का सूत्र $P = \frac{V^2}{R}$ है।
वोल्टेज $V$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $V^2 = R \times P$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $R = 196 \,\Omega$ और $P = 1 \,W$ को रखने पर:
$V = \sqrt{R \times P} = \sqrt{196 \times 1} = \sqrt{196} = 14 \,volt$.
अतः,सुरक्षित रूप से लगाया जा सकने वाला अधिकतम वोल्टेज $14 \,volt$ है।

(C) सप्लाई वोल्टेज $V$ और समान मात्रा में पानी को उबालने के लिए आवश्यक ऊष्मा $H$ स्थिर है।
उत्पन्न ऊष्मा का सूत्र $H = \frac{V^2}{R} t$ है,जहाँ $R$ तार का प्रतिरोध है और $t$ समय है।
चूंकि $H$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $t \propto R$ होगा।
अतः,$\frac{t_1}{t_2} = \frac{R_1}{R_2}$.
प्रतिरोध $R$ तार की लंबाई $l$ के समानुपाती होता है $(R = \rho \frac{l}{A})$,इसलिए $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2}$.
इसे समय के समीकरण में रखने पर: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{l_1}{l_2}$.
दिया गया है कि $l_2 = \frac{2}{3} l_1$,इसलिए $\frac{l_1}{l_2} = \frac{3}{2}$.
इस प्रकार,$\frac{15}{t_2} = \frac{3}{2}$.
$t_2$ का मान ज्ञात करने पर: $t_2 = 15 \times \frac{2}{3} = 10 \ min$.

(C) मान लीजिए कि दो बल्बों के प्रतिरोध $R_1 = R$ और $R_2 = 2R$ हैं।
जब घटकों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रत्येक घटक पर वोल्टेज $V$ समान रहता है।
एक प्रतिरोधक में व्यय होने वाली शक्ति का सूत्र $P = \frac{V^2}{R}$ है।
पहले बल्ब के लिए,$P_1 = \frac{V^2}{R}$।
दूसरे बल्ब के लिए,$P_2 = \frac{V^2}{2R}$।
व्यय होने वाली शक्ति का अनुपात लेने पर:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{V^2/R}{V^2/2R} = \frac{2R}{R} = \frac{2}{1}$।

(D) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
तार '$A$' और '$B$' के लिए:
$\frac{R_A}{R_B} = \frac{l_A}{l_B} \times \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2$.
यहाँ $\frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{2}$ और $\frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{1}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{r_B}{r_A} = \frac{1}{2}$ होगा।
इन मानों को रखने पर: $\frac{R_A}{R_B} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.
जब समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो दोनों तारों के बीच विभवांतर $V$ समान होता है।
उत्पन्न ऊष्मा $H = \frac{V^2}{R} t$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,उत्पन्न ऊष्मा का अनुपात $\frac{H_A}{H_B} = \frac{V^2/R_A}{V^2/R_B} = \frac{R_B}{R_A}$ होगा।
चूंकि $\frac{R_A}{R_B} = \frac{1}{8}$ है,इसलिए $\frac{R_B}{R_A} = \frac{8}{1}$ होगा।
अतः,उत्पन्न ऊष्मा का अनुपात $8 : 1$ है।

(D) रेटेड शक्ति $P_1 = \frac{V_1^2}{R_1}$ है,जहाँ $V_1 = 220 \ V$ और $P_1 = 100 \ W$ है। अतः,$R_1 = \frac{220^2}{100}$।
जब इसे $V_2 = 220 \times 0.8 \ V$ से जोड़ा जाता है,तो नई शक्ति $P_2 = \frac{V_2^2}{R_2}$ होती है।
वोल्टेज घटने से फिलामेंट का तापमान कम हो जाता है,जिससे प्रतिरोध भी कम हो जाता है $(R_2 < R_1)$।
यदि प्रतिरोध स्थिर रहता $(R_2 = R_1)$,तो शक्ति $P_{const} = \frac{(220 \times 0.8)^2}{R_1} = (0.8)^2 \times P_1 = 100 \times (0.8)^2 \ W = 64 \ W$ होती।
चूंकि $R_2 < R_1$,इसलिए वास्तविक शक्ति $P_2 = \frac{V_2^2}{R_2}$,$P_{const} = 64 \ W$ से अधिक होगी।
साथ ही,यदि हम धारा $I = \frac{V}{R}$ पर विचार करें,तो जैसे-जैसे $V$ घटता है,$R$ भी घटता है,इसलिए धारा $I_2 < I_1$ लेकिन अनुपात $\frac{I_2}{I_1} > 0.8$ होता है। अतः,$P_2 = V_2 I_2 = (0.8 V_1) I_2 < (0.8 V_1) I_1 = 0.8 P_1 = 80 \ W$।
इसलिए,वास्तविक शक्ति $64 \ W$ और $80 \ W$ के बीच होगी,अर्थात $100 \times (0.8)^2 \ W$ और $100 \times 0.8 \ W$ के बीच।

(A) बल्ब की शक्ति $P = 210 \, W$ है।
समय अंतराल $t = 5 \, min = 5 \times 60 \, s = 300 \, s$ है।
उपभोग की गई विद्युत ऊर्जा $E = P \times t = 210 \times 300 = 63000 \, J$ है।
इस ऊर्जा को कैलोरी में बदलने के लिए,हम $H = \frac{E}{J}$ संबंध का उपयोग करते हैं,जहाँ $J = 4.2 \, J/cal$ है।
$H = \frac{63000}{4.2} = 15000 \, cal$.
अतः,उत्पन्न ऊष्मा $15000 \, cal$ है।

(B) बल्ब द्वारा खपत की गई शक्ति का सूत्र $P = i^2R$ है,जहाँ $i$ धारा है और $R$ प्रतिरोध है।
चूंकि $R$ स्थिर है,इसलिए $P \propto i^2$ होगा।
छोटे परिवर्तनों के लिए अवकलन का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\Delta P}{P} = 2\frac{\Delta i}{i}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि धारा में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta i}{i} \times 100 = 1\%$ है।
इसलिए,शक्ति में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta i}{i} \times 100) = 2 \times 1\% = 2\%$ होगा।
अतः,खपत होने वाली शक्ति में $2\%$ का परिवर्तन होता है।

(A) विद्युत उपकरण की शक्ति $P$ को सूत्र $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $V$ वोल्टेज है और $R$ प्रतिरोध है।
$R$ का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें $R = \frac{V^2}{P}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $V = 220 \, V$ और $P = 100 \, W$ दिया गया है।
मान रखने पर: $R = \frac{(220)^2}{100} = \frac{48400}{100} = 484 \, \Omega$।
अतः,बल्ब का प्रतिरोध $484 \, \Omega$ है।

(D) बल्ब का प्रतिरोध $R$ स्थिर रहता है और इसे $R = \frac{V_R^2}{P_R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V_R = 220\, V$ और $P_R = 100\, W$ है।
जब इसे नए वोल्टेज $V_A = 110\, V$ से जोड़ा जाता है,तो खपत की गई शक्ति $P_{consumed} = \frac{V_A^2}{R}$ द्वारा दी जाती है।
समीकरण में $R = \frac{V_R^2}{P_R}$ का मान रखने पर,हमें $P_{consumed} = \left( \frac{V_A}{V_R} \right)^2 \times P_R$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $P_{consumed} = \left( \frac{110}{220} \right)^2 \times 100 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \times 100 = \frac{1}{4} \times 100 = 25\, W$.

(D) उपभोग की गई ऊर्जा $kWh$ (यूनिट) में इस सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है: $\text{यूनिट} = \frac{\text{शक्ति (W)} \times \text{समय (h)}}{1000}$.
दिया गया है: $\text{शक्ति} = 60 \, W$, $\text{समय} = 8 \, \text{घंटे}$.
$\text{यूनिट} = \frac{60 \times 8}{1000} = \frac{480}{1000} = 0.48 \, \text{यूनिट}$.
प्रति यूनिट कीमत = $1.25 \, \text{रुपये}$.
कुल बिल = $\text{यूनिट} \times \text{प्रति यूनिट कीमत} = 0.48 \times 1.25 = 0.60 \, \text{रुपये}$.

(D) कुल खपत की गई ऊर्जा किलोवाट-घंटे (यूनिट) में निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है:
$E = \frac{P \times t \times n}{1000}$
जहाँ:
$P = 50\,W$ (एक बल्ब की शक्ति)
$n = 10$ (बल्बों की संख्या)
$t = 10 \times 30 = 300$ घंटे (एक महीने का कुल समय)
मान रखने पर:
$E = \frac{50 \times 300 \times 10}{1000}$
$E = \frac{150000}{1000} = 150$ यूनिट।

(D) पानी को गर्म करने के लिए आवश्यक ऊष्मा ऊर्जा $H$ का सूत्र $H = \frac{V^2 t}{R}$ है,जहाँ $V$ वोल्टेज है,$t$ समय है और $R$ हीटर का प्रतिरोध है।
चूंकि पानी की मात्रा और आवश्यक तापमान वृद्धि समान है,इसलिए ऊष्मा ऊर्जा $H$ स्थिर रहती है। साथ ही,हीटर का प्रतिरोध $R$ भी स्थिर है।
इसलिए,$V^2 t = \text{स्थिरांक}$,जिसका अर्थ है कि $t \propto \frac{1}{V^2}$।
हम अनुपात को $\frac{t_1}{t_2} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ $V_1 = 220 \, \text{V}$,$t_1 = 5 \, \text{min}$,और $V_2 = 110 \, \text{V}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{5}{t_2} = \left( \frac{110}{220} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$।
अतः,$t_2 = 5 \times 4 = 20 \, \text{min}$।

(C) यह परिपथ दो समानांतर शाखाओं से बना है। ऊपरी शाखा में $1 \,\Omega$ और $3 \,\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए इसका कुल प्रतिरोध $R_1 = 1 + 3 = 4 \,\Omega$ है। निचली शाखा में $R_2 = 8 \,\Omega$ का प्रतिरोधक है।
चूंकि शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए दोनों शाखाओं के सिरों पर विभवांतर $V$ समान रहता है।
प्रतिरोधक में व्ययित शक्ति $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दी जाती है।
$8 \,\Omega$ के प्रतिरोधक के लिए,$P_2 = \frac{V^2}{8} = 2 \,\text{W},$ जिसका अर्थ है कि $V^2 = 16 \,\text{V}^2$ है।
ऊपरी शाखा से बहने वाली धारा $i_1 = \frac{V}{R_1} = \frac{V}{4}$ है।
$3 \,\Omega$ के प्रतिरोधक में व्ययित शक्ति $P_{3\Omega} = i_1^2 \times 3 = \left(\frac{V}{4}\right)^2 \times 3 = \frac{V^2}{16} \times 3$ है।
$V^2 = 16$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P_{3\Omega} = \frac{16}{16} \times 3 = 3 \,\text{W}$ प्राप्त होता है।

(C) शक्ति $P = V \times I = 220\, V \times 4\, A = 880\, W = 880\, J/s$.
$1\, kg$ $(1000\, g)$ पानी का तापमान $20\, ^oC$ से $100\, ^oC$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा:
$Q = mc\Delta T$
$Q = 1000\, g \times 4.2\, J/g\, ^oC \times (100\, ^oC - 20\, ^oC)$
$Q = 1000 \times 4.2 \times 80 = 336,000\, J$.
लिया गया समय $t = \frac{Q}{P} = \frac{336,000\, J}{880\, J/s} \approx 381.8\, s$.
मिनट में रूपांतरण: $t = \frac{381.8}{60} \approx 6.36\, min \approx 6.3\, min$.

(C) बल्ब द्वारा उपभोग की गई शक्ति का सूत्र $P = \frac{V^2}{R}$ है,जहाँ $V$ वोल्टेज है और $R$ बल्ब का प्रतिरोध है।
चूंकि बल्ब का प्रतिरोध $R$ स्थिर रहता है,हम सापेक्ष त्रुटि के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: $\frac{\Delta P}{P} = 2 \frac{\Delta V}{V}$.
दिया गया है कि वोल्टेज $2.5\%$ कम हो जाता है,इसलिए $\frac{\Delta V}{V} = 2.5\% = 0.025$.
इस मान को त्रुटि सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta P}{P} = 2 \times 2.5\% = 5\%$.
अतः,शक्ति में उसके रेटेड मान का $5\%$ की कमी होगी।

(A) सबसे पहले,रेटेड मानों का उपयोग करके प्रत्येक लैंप का प्रतिरोध $R$ ज्ञात करें:
$R = \frac{V^2}{P} = \frac{220^2}{500} = \frac{48400}{500} = 96.8\, \Omega$
चूंकि दो समान लैंप $110\, V$ के स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए प्रत्येक लैंप पर वोल्टेज $V' = \frac{110}{2} = 55\, V$ होगा।
प्रत्येक लैंप द्वारा खपत की गई शक्ति है:
$P' = \frac{(V')^2}{R} = \frac{55^2}{96.8} = \frac{3025}{96.8} = 31.25\, W$
वैकल्पिक रूप से,अनुपात विधि का उपयोग करते हुए:
$P' = \left( \frac{V'}{V} \right)^2 \times P = \left( \frac{55}{220} \right)^2 \times 500 = \left( \frac{1}{4} \right)^2 \times 500 = \frac{1}{16} \times 500 = \frac{125}{4}\, W$

(B) हीटर की शक्ति $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ वोल्टेज है और $R$ प्रतिरोध है।
चूंकि $V$ स्थिर है,इसलिए $P \propto \frac{1}{R}$ होगा।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $R \propto l$ होता है।
अतः,$P \propto \frac{1}{l}$ होगा।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $l_1 = 100$ है और अंतिम लंबाई $l_2 = 100 - 10 = 90$ है।
समानुपातिकता $P_1 l_1 = P_2 l_2$ का उपयोग करने पर:
$P_2 = P_1 \times \frac{l_1}{l_2} = P_1 \times \frac{100}{90} = P_1 \times 1.111$ प्राप्त होता है।
शक्ति में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{P_2 - P_1}{P_1} \times 100 = (1.111 - 1) \times 100 = 11.1\%$ है।
इस प्रकार,शक्ति में लगभग $11\%$ की वृद्धि होगी।

(C) लैंप की रेटेड शक्ति $P_R = 100\, W$ है और रेटेड वोल्टेज $V_R = 220\, V$ है। रेटेड स्थितियों पर फिलामेंट का प्रतिरोध $R = \frac{V_R^2}{P_R} = \frac{220^2}{100} = 484\, \Omega$ है।
यदि प्रतिरोध स्थिर रहता,तो $110\, V$ पर खपत शक्ति $P = \frac{V^2}{R} = \frac{110^2}{484} = 25\, W$ होती।
हालाँकि,फिलामेंट का प्रतिरोध तापमान के साथ बढ़ता है। जब लैंप को $110\, V$ से जोड़ा जाता है,तो व्यय शक्ति रेटेड $100\, W$ से कम होती है,इसलिए फिलामेंट का तापमान $220\, V$ पर इसके ऑपरेटिंग तापमान से कम होगा।
चूंकि तापमान कम है,इसलिए फिलामेंट का प्रतिरोध उसके रेटेड प्रतिरोध $R = 484\, \Omega$ से कम होगा।
$P = \frac{V^2}{R_{new}}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,चूंकि $R_{new} < R$ है,इसलिए शक्ति $P$ का मान $25\, W$ से अधिक होगा।

(B) मान लीजिए मूल तार का प्रतिरोध $R$ है। उत्पन्न शक्ति $H = V^2/R$ है।
जब तार को $n$ समान भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $R' = R/n$ हो जाता है।
जब इन $n$ भागों को समानांतर में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{\text{eq}}$ का मान $1/R_{\text{eq}} = n \times (1/R') = n \times (n/R) = n^2/R$ होता है।
इस प्रकार,$R_{\text{eq}} = R/n^2$ है।
नई उत्पन्न शक्ति $H_{\text{total}} = V^2/R_{\text{eq}} = V^2 / (R/n^2) = n^2 (V^2/R) = n^2 H$ होगी।

(A) धारा $I(t) = I_0 \sin(\omega t)$ के रूप में है। चूंकि लूप $0 \rightarrow T$ के लिए है,इसलिए $\omega T = \pi$,अतः $\omega = \pi/T$ है।
कुल आवेश $Q$ समय के साथ धारा का समाकलन है:
$Q = \int_0^T I_0 \sin(\frac{\pi}{T} t) dt = I_0 [-\frac{T}{\pi} \cos(\frac{\pi}{T} t)]_0^T = I_0 \frac{T}{\pi} (1 - (-1)) = \frac{2 I_0 T}{\pi}$.
$I_0$ के लिए हल करने पर,$I_0 = \frac{Q \pi}{2T}$ प्राप्त होता है।
उत्पन्न ऊष्मा $H = \int_0^T I^2 R dt$ द्वारा दी जाती है:
$H = R \int_0^T I_0^2 \sin^2(\frac{\pi}{T} t) dt = R I_0^2 \int_0^T \frac{1 - \cos(\frac{2\pi}{T} t)}{2} dt$.
$H = \frac{R I_0^2}{2} [t - \frac{T}{2\pi} \sin(\frac{2\pi}{T} t)]_0^T = \frac{R I_0^2}{2} [T - 0] = \frac{R I_0^2 T}{2}$.
$I_0 = \frac{Q \pi}{2T}$ रखने पर:
$H = \frac{R T}{2} (\frac{Q \pi}{2T})^2 = \frac{R T Q^2 \pi^2}{2 \cdot 4 T^2} = \frac{Q^2 \pi^2 R}{8 T}$.

(A) माना प्रारंभिक धारा $I_0$ है। चूंकि धारा $\Delta t$ समय में समान रूप से घटकर शून्य हो जाती है,इसलिए $t$ समय पर धारा $I(t) = I_0(1 - \frac{t}{\Delta t})$ है।
कुल आवेश $q = \int_0^{\Delta t} I(t) dt = \int_0^{\Delta t} I_0(1 - \frac{t}{\Delta t}) dt = \frac{I_0 \Delta t}{2}$.
अतः,$I_0 = \frac{2q}{\Delta t}$.
उत्पन्न ऊष्मा $H = \int_0^{\Delta t} I^2 R dt = R \int_0^{\Delta t} I_0^2 (1 - \frac{t}{\Delta t})^2 dt$.
इस समाकलन को हल करने पर,$H = \frac{R I_0^2 \Delta t}{3}$.
$I_0$ का मान रखने पर,$H = \frac{R}{3} (\frac{2q}{\Delta t})^2 \Delta t = \frac{4q^2 R}{3 \Delta t}$.

(B) सबसे पहले,सभी उपकरणों की कुल बिजली खपत $(P_{\text{total}})$ की गणना करें:
$P_{\text{total}} = (15 \times 40\ W) + (5 \times 100\ W) + (5 \times 80\ W) + (1 \times 1000\ W)$
$P_{\text{total}} = 600\ W + 500\ W + 400\ W + 1000\ W = 2500\ W$
शक्ति के सूत्र $P = V \times I$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $V = 220\ V$ है:
$I = \frac{P_{\text{total}}}{V} = \frac{2500}{220} \approx 11.36\ A$
चूंकि फ्यूज को कुल करंट को संभालना होता है,इसलिए मुख्य फ्यूज की न्यूनतम क्षमता अगले उच्च पूर्णांक मान के बराबर होनी चाहिए,जो कि $12\ A$ है।

(B) स्थिर अवस्था में, छड़ द्वारा व्यय की गई शक्ति आसपास के वातावरण में खोई गई ऊष्मा के बराबर होती है।
एस्बेस्टस हवा की तुलना में ऊष्मा का कुचालक है, इसलिए एस्बेस्टस से ढकी छड़ (स्थिति-$1$) वायुमंडल के संपर्क में रहने वाली छड़ (स्थिति-$2$) की तुलना में कम कुशलता से ऊष्मा खोएगी।
इसलिए, स्थिति-$1$ में छड़ का तापमान अधिक होगा।
चूंकि ग्रेफाइट छड़ का प्रतिरोध तापमान बढ़ने के साथ घटता है $(R \propto 1/T)$, इसलिए स्थिति-$1$ में छड़ का प्रतिरोध स्थिति-$2$ की तुलना में कम होगा।
यह देखते हुए कि विभवांतर $V$ स्थिर है, व्यय की गई शक्ति $P = V^2/R$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि स्थिति-$1$ में $R$ कम है, इसलिए स्थिति-$1$ में व्यय की गई शक्ति $P$ अधिक होगी।

(B) ग्राफ से,$emf$ $E$ समय $t$ के साथ $E(t) = mt$ के अनुसार रैखिक रूप से बदलता है। $t = 4 \, s$ पर,$E = 24 \, V$ है। इसलिए,ढाल $m = \frac{24}{4} = 6 \, V/s$ है। अतः,$E(t) = 6t$।
प्रतिरोध $R$ में उत्पन्न ऊष्मा $H$,$0$ से $4 \, s$ के समयांतराल के लिए शक्ति $P = \frac{E^2}{R}$ के समाकलन द्वारा दी जाती है:
$H = \int_{0}^{4} \frac{E^2}{R} \, dt = \int_{0}^{4} \frac{(6t)^2}{12} \, dt$
$H = \int_{0}^{4} \frac{36t^2}{12} \, dt = \int_{0}^{4} 3t^2 \, dt$
$H = [t^3]_{0}^{4} = 4^3 - 0^3 = 64 \, J$.

(A) कुल आवेश $q$,$i-t$ ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल है। चूंकि धारा $\Delta t$ समय में $I_0$ से $0$ तक समान रूप से घटती है,इसलिए ग्राफ आधार $\Delta t$ और ऊंचाई $I_0$ वाला एक त्रिभुज है।
$q = \frac{1}{2} I_0 \Delta t \implies I_0 = \frac{2q}{\Delta t}$.
समय के फलन के रूप में धारा $i(t) = I_0 \left(1 - \frac{t}{\Delta t}\right) = \frac{2q}{\Delta t} \left(1 - \frac{t}{\Delta t}\right)$ है।
उत्पन्न ऊष्मा $H = \int_0^{\Delta t} i^2 R dt$ द्वारा दी जाती है।
$H = R \int_0^{\Delta t} \left[ \frac{2q}{\Delta t} \left(1 - \frac{t}{\Delta t}\right) \right]^2 dt = R \frac{4q^2}{(\Delta t)^2} \int_0^{\Delta t} \left(1 - \frac{t}{\Delta t}\right)^2 dt$.
मान लीजिए $u = 1 - \frac{t}{\Delta t}$,तो $du = -\frac{1}{\Delta t} dt$.
$H = R \frac{4q^2}{(\Delta t)^2} (-\Delta t) \int_1^0 u^2 du = R \frac{4q^2}{\Delta t} \int_0^1 u^2 du = R \frac{4q^2}{\Delta t} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{4}{3} \frac{q^2 R}{\Delta t}$.

(B) प्रतिरोध $R$ में उत्पन्न कुल ऊष्मा $H$ का मान $H = \int i^2 R dt$ द्वारा दिया जाता है।
अंतराल $0$ से $t_0$ के लिए,धारा $i = \frac{3i_0}{t_0}t$ है। ऊष्मा $H_1 = \int_0^{t_0} (\frac{3i_0}{t_0}t)^2 R dt = \frac{9i_0^2 R}{t_0^2} [\frac{t^3}{3}]_0^{t_0} = 3i_0^2 Rt_0$ है।
अंतराल $t_0$ से $2t_0$ के लिए,धारा $i = 3i_0$ स्थिर है। ऊष्मा $H_2 = (3i_0)^2 R (2t_0 - t_0) = 9i_0^2 Rt_0$ है।
अंतराल $2t_0$ से $3t_0$ के लिए,धारा $i = i_0$ स्थिर है। ऊष्मा $H_3 = (i_0)^2 R (3t_0 - 2t_0) = i_0^2 Rt_0$ है।
कुल ऊष्मा $H = H_1 + H_2 + H_3 = 3i_0^2 Rt_0 + 9i_0^2 Rt_0 + i_0^2 Rt_0 = 13i_0^2 Rt_0$ है।

(A) बल्ब की पावर रेटिंग $P = V^2 / R$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ वोल्टेज है और $R$ फिलामेंट का प्रतिरोध है।
यह मानते हुए कि दोनों बल्ब समान ऑपरेटिंग वोल्टेज $V$ के लिए डिज़ाइन किए गए हैं,हमारे पास $R = V^2 / P$ है।
यह दर्शाता है कि प्रतिरोध $R$,पावर $P$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(R \propto 1/P)$।
इसलिए,$100\ W$ बल्ब का प्रतिरोध $60\ W$ बल्ब की तुलना में कम होता है।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \ell / A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$\ell$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल (मोटाई) है।
चूंकि दोनों के लिए लंबाई $\ell$ और पदार्थ (प्रतिरोधकता $\rho$) समान हैं,इसलिए $R \propto 1/A$ होगा।
चूंकि $100\ W$ बल्ब का प्रतिरोध कम है,इसलिए इसका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ अधिक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि इसका फिलामेंट मोटा है।

(D) $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाले एक पतले गोलाकार कवच पर विचार करें। इस पतले कवच का प्रतिरोध $dR = \frac{\rho dr}{4\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है।
गोलाकार कवच का कुल प्रतिरोध $R$,$r_1 = 0.1\ m$ से $r_2 = 0.2\ m$ तक $dR$ का समाकलन है:
$R = \int_{r_1}^{r_2} \frac{\rho dr}{4\pi r^2} = \frac{\rho}{4\pi} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_1}^{r_2} = \frac{\rho}{4\pi} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) = \frac{\rho(r_2 - r_1)}{4\pi r_1 r_2}$.
कवच में ऊष्मा उत्पादन की दर (शक्ति) $P = I^2 R = \left( \frac{\epsilon}{R + r_{int}} \right)^2 R$ है। अधिकतम शक्ति स्थानांतरण प्रमेय के अनुसार,कवच में व्ययित शक्ति तब अधिकतम होती है जब इसका प्रतिरोध $R$ बैटरी के आंतरिक प्रतिरोध $r_{int}$ के बराबर होता है।
$R = r_{int} = \frac{2}{\pi}\ \Omega$ रखने पर:
$\frac{\rho(0.2 - 0.1)}{4\pi(0.1)(0.2)} = \frac{2}{\pi} \Rightarrow \frac{\rho(0.1)}{4\pi(0.02)} = \frac{2}{\pi} \Rightarrow \frac{\rho}{0.8} = 2 \Rightarrow \rho = 1.6\ \Omega\cdot m$.
चूँकि चालकता $\sigma = \frac{1}{\rho}$ है,इसलिए $\sigma = \frac{1}{1.6} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}\ S/m$ प्राप्त होता है।

(D) प्रत्येक बल्ब का प्रतिरोध $R$ इस प्रकार है: $R = \frac{V^2}{P} = \frac{200^2}{60} = \frac{40000}{60} = \frac{2000}{3} \, \Omega$.
जब ऐसे तीन बल्बों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R + R + R = 3R = 3 \times \frac{2000}{3} = 2000 \, \Omega$ होता है।
$200\, V$ की आपूर्ति से जुड़े इस श्रेणी संयोजन द्वारा ली गई कुल शक्ति $P_{total} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{200^2}{2000} = \frac{40000}{2000} = 20 \, W$ होगी।

(C) बल्ब की पावर रेटिंग $P = \frac{V^2}{R}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ पावर है,$V$ वोल्टेज है और $R$ प्रतिरोध है।
भारत में उपयोग किए जाने वाले बल्ब के लिए: $P = \frac{V_{India}^2}{R} = \frac{220^2}{R} = 60\,W$.
$USA$ में उपयोग किए जाने वाले बल्ब के लिए: $P = \frac{V_{USA}^2}{R'} = \frac{110^2}{R'} = 60\,W$.
चूंकि दोनों स्थितियों में पावर $P$ समान $(60\,W)$ है,इसलिए हम समीकरणों की तुलना कर सकते हैं:
$\frac{220^2}{R} = \frac{110^2}{R'}$
$R' = R \times \left(\frac{110}{220}\right)^2$
$R' = R \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{R}{4}$.

(C) हीटर में लगे प्रतिरोधक या हीटिंग एलिमेंट को जूल हीटिंग की प्रक्रिया के माध्यम से विद्युत ऊर्जा को ऊष्मा के रूप में उत्सर्जित करने के लिए डिज़ाइन किया जाता है। जूल के तापन नियम के अनुसार,$R$ प्रतिरोध वाले चालक में $t$ समय तक $I$ धारा प्रवाहित करने पर उत्पन्न ऊष्मा $H = I^2Rt$ द्वारा दी जाती है। एक प्रतिरोधक हीटर में,आपूर्ति की गई लगभग सभी विद्युत ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा (ऊष्मा) में परिवर्तित हो जाती है। अन्य उपकरण जैसे जनरेटर यांत्रिक ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में बदलते हैं,जबकि थर्मोकपल ऊष्मीय ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में बदलते हैं।

(C) एक प्रतिरोधक में व्यय होने वाली शक्ति का सूत्र $P = I^2 R$ है,जहाँ $P$ शक्ति है,$I$ धारा है,और $R$ प्रतिरोध है।
दिया गया है:
$P = 1\;W$
$I = 5\;A$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$1 = (5)^2 \times R$
$1 = 25 \times R$
$R = \frac{1}{25}\;\Omega$
$R = 0.04\;\Omega$
अतः,फ्यूज तार का प्रतिरोध $0.04\;\Omega$ है।

(D) विद्युत वाहक बल $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले परिपथ के लिए,बाह्य प्रतिरोध $R$ को दी गई शक्ति $P = I^2 R = \left(\frac{E}{R+r}\right)^2 R$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम शक्ति के लिए शर्त ज्ञात करने हेतु,हम $P$ का $R$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dP}{dR} = E^2 \left[ \frac{(R+r)^2 - R \cdot 2(R+r)}{(R+r)^4} \right] = 0$.
इससे $R+r - 2R = 0$ प्राप्त होता है,अतः $R = r$। इस प्रकार,कथन $(i)$ सही है।
शक्ति सूत्र में $R = r$ रखने पर: $P = \left(\frac{E}{R+R}\right)^2 R = \left(\frac{E}{2R}\right)^2 R = \frac{E^2}{4R^2} \cdot R = \frac{E^2}{4R}$। इस प्रकार,कथन $(ii)$ सही है।
स्रोत द्वारा प्रदान की गई कुल शक्ति (इनपुट शक्ति) $P_{\text{in}} = E \cdot I = E \cdot \left(\frac{E}{R+r}\right)$ है। चूँकि $R=r$,इसलिए $P_{\text{in}} = E \cdot \left(\frac{E}{2R}\right) = \frac{E^2}{2R}$। इस प्रकार,कथन $(iii)$ सही है।
दक्षता $\eta$ को आउटपुट शक्ति और इनपुट शक्ति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \times 100 = \frac{E^2/4R}{E^2/2R} \times 100 = \frac{1}{2} \times 100 = 50\%$। इस प्रकार,कथन $(iv)$ सही है।
चूँकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) अधिकतम शक्ति स्थानांतरण प्रमेय (Maximum Power Transfer Theorem) के अनुसार,एक चर लोड प्रतिरोध $y$ में उत्पन्न शक्ति तब अधिकतम होती है जब लोड प्रतिरोध का मान परिपथ के थेवेनिन समतुल्य प्रतिरोध के बराबर होता है।
दिए गए परिपथ में,बैटरी का आंतरिक प्रतिरोध $r = 2\,\Omega$ है और यह स्थिर प्रतिरोध $R$ के साथ श्रेणीक्रम में है। अतः,चर लोड $y$ को छोड़कर परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R + r = R + 2\,\Omega$ होगा।
अधिकतम शक्ति के लिए,$y = R_{eq}$ होना चाहिए।
यहाँ दिया गया है कि अधिकतम शक्ति के लिए $y = 5\,\Omega$ है,
अतः,$5\,\Omega = R + 2\,\Omega$
$R = 5\,\Omega - 2\,\Omega = 3\,\Omega$.

(A) तार में उत्पन्न ऊष्मा की दर शक्ति के सूत्र द्वारा दी जाती है: $P = \frac{V^2}{R}$।
प्रारंभ में,तार का प्रतिरोध $R_1 = \frac{\rho L}{A} = \frac{\rho L}{\pi r^2}$ है।
अतः,प्रारंभिक शक्ति $P_1 = \frac{V^2}{R_1}$ है।
जब लंबाई आधी $(L' = L/2)$ और त्रिज्या दोगुनी $(r' = 2r)$ कर दी जाती है,तो नया प्रतिरोध $R_2$ इस प्रकार होगा:
$R_2 = \frac{\rho (L/2)}{\pi (2r)^2} = \frac{\rho L / 2}{\pi (4r^2)} = \frac{\rho L}{8 \pi r^2} = \frac{R_1}{8}$।
नई शक्ति $P_2$ इस प्रकार है:
$P_2 = \frac{V^2}{R_2} = \frac{V^2}{R_1 / 8} = 8 \left( \frac{V^2}{R_1} \right) = 8 P_1$।
इसलिए,उत्पन्न ऊष्मा की दर $8$ गुना बढ़ जाएगी।

(D) दिया गया है $R(T) = R_0[1 + \alpha(T - T_0)]$। $T_0 = 300\,K$ पर, $R_0 = 100\,\Omega$। $T = 500\,K$ पर, $R = 120\,\Omega$। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $120 = 100[1 + \alpha(500 - 300)]$, जिससे $1.2 = 1 + 200\alpha$ प्राप्त होता है, अतः $\alpha = 0.2/200 = 10^{-3}\,K^{-1}$।
तापमान $30\,s$ में $300\,K$ से $500\,K$ तक एक स्थिर दर पर बढ़ता है। मान लीजिए $T(t) = 300 + kt$। $t = 30\,s$ पर, $T = 500\,K$, इसलिए $500 = 300 + 30k$, जिससे $k = 20/3\,K/s$ प्राप्त होता है। अतः, $T(t) - T_0 = (20/3)t$।
व्ययित शक्ति $P = V^2/R(t) = V^2 / [R_0(1 + \alpha(20/3)t)]$ है। ऊष्मा के रूप में व्ययित कुल ऊर्जा $W = \int_0^{30} P dt = \int_0^{30} \frac{V^2}{R_0(1 + (20\alpha/3)t)} dt$ है।
$V = 200\,V, R_0 = 100\,\Omega, \alpha = 10^{-3}$ रखने पर:
$W = \frac{200^2}{100} \int_0^{30} \frac{1}{1 + (20 \times 10^{-3} / 3)t} dt = 400 \int_0^{30} \frac{1}{1 + (1/150)t} dt$।
$\int \frac{1}{1+ax} dx = \frac{1}{a} \ln(1+ax)$ का उपयोग करने पर, हमें $W = 400 \times 150 [\ln(1 + t/150)]_0^{30} = 400 \times 150 \ln(1 + 30/150) = 400 \times 150 \ln(6/5)$ प्राप्त होता है। विकल्पों के अनुसार, सही उत्तर $400 \ln(6/5)$ है, जिसे $400 \ln(5/6)$ के ऋणात्मक मान के रूप में दर्शाया जा सकता है।

(B) समांतर परिपथ में,प्रत्येक घटक के सिरों पर वोल्टेज बैटरी के वोल्टेज के समान होता है।
बल्ब $1$ के सिरों पर वोल्टेज $(V_1)$ $= 6.0\,V$.
बल्ब $2$ के सिरों पर वोल्टेज $(V_2)$ $= 6.0\,V$.
बल्ब की चमक उसके द्वारा व्यय की गई शक्ति पर निर्भर करती है,जिसे $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
बल्ब $1$ के लिए: $P_1 = \frac{6^2}{3} = \frac{36}{3} = 12\,W$.
बल्ब $2$ के लिए: $P_2 = \frac{6^2}{6} = \frac{36}{6} = 6\,W$.
चूंकि $P_1 > P_2$ है,इसलिए बल्ब $1$ अधिक चमकीला जलेगा।

(A) दिया गया है: धारा $I = 2\, mA = 2 \times 10^{-3}\, A$,शक्ति $P = 4.4\, W$।
सूत्र $P = I^2 R$ का उपयोग करके,हम प्रतिरोध $R$ ज्ञात करते हैं:
$R = \frac{P}{I^2} = \frac{4.4}{(2 \times 10^{-3})^2} = \frac{4.4}{4 \times 10^{-6}} = 1.1 \times 10^6\, \Omega$।
अब,जब इस प्रतिरोधक पर $V = 11\, V$ का वोल्टेज लगाया जाता है,तो नई शक्ति $P'$ इस प्रकार होगी:
$P' = \frac{V^2}{R} = \frac{11^2}{1.1 \times 10^6} = \frac{121}{1.1 \times 10^6} = 110 \times 10^{-6}\, W = 11 \times 10^{-5}\, W$।

(D) परिपथ में धारा $i = \frac{E}{r + R}$ द्वारा दी जाती है।
बाहरी प्रतिरोध $R$ को दी गई शक्ति $P = i^2 R$ है।
$i$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P = \left(\frac{E}{r + R}\right)^2 R = \frac{E^2 R}{(r + R)^2}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम शक्ति के लिए शर्त ज्ञात करने हेतु,हम $P$ का $R$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dP}{dR} = E^2 \left[ \frac{(r + R)^2 \cdot 1 - R \cdot 2(r + R)}{(r + R)^4} \right] = 0$.
यह सरल होकर $(r + R)^2 - 2R(r + R) = 0$ हो जाता है।
$(r + R)$ से विभाजित करने पर,हमें $(r + R) - 2R = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r - R = 0$ या $R = r$.
अतः,दी गई शक्ति तब अधिकतम होती है जब बाहरी प्रतिरोध सेल के आंतरिक प्रतिरोध के बराबर होता है।

(D) विद्युत धारा के प्रवाह के कारण चालक में उत्पन्न ऊष्मा जूल के तापन नियम द्वारा दी जाती है: $H = I^2Rt$।
यह ऊष्मीय ऊर्जा तापमान में वृद्धि का कारण बनती है,जिसे $H = ms\Delta\theta$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$s$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है,और $\Delta\theta$ तापमान में वृद्धि है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें मिलता है: $I^2Rt = ms\Delta\theta$। यदि $R$,$t$,$m$ और $s$ स्थिर रहते हैं,तो $\Delta\theta \propto I^2$।
प्रारंभ में,धारा $I$ के लिए,तापमान में वृद्धि $\Delta\theta_1 = 4\,^oC$ है।
जब धारा को तीन गुना किया जाता है,तो $I' = 3I$। तापमान में नई वृद्धि $\Delta\theta_2$ इस प्रकार होगी: $\frac{\Delta\theta_2}{\Delta\theta_1} = \frac{(I')^2}{I^2} = \frac{(3I)^2}{I^2} = 9$।
अतः,$\Delta\theta_2 = 9 \times \Delta\theta_1 = 9 \times 4\,^oC = 36\,^oC$।

(A) विभवांतर $V = 4 \times 10^6 \, V$ है।
स्थानांतरित आवेश $Q = 4 \, C$ है।
समय अवधि $t = 100 \, ms = 100 \times 10^{-3} \, s = 0.1 \, s$ है।
जमीन तक पहुँचने वाली ऊर्जा $E = V \times Q = 4 \times 10^6 \times 4 = 16 \times 10^6 \, J$ है।
शक्ति $P$ ऊर्जा के वितरण की दर है: $P = \frac{E}{t}$.
$P = \frac{16 \times 10^6 \, J}{0.1 \, s} = 160 \times 10^6 \, W$.
चूंकि $10^6 \, W = 1 \, MW$,इसलिए शक्ति $160 \, MW$ है।

(D) तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho L}{A}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि सभी तारों के लिए व्यास समान है,इसलिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ स्थिर रहता है।
प्रत्येक तार के लिए प्रतिरोध की गणना:
$R_1 = \frac{\rho L}{A}$
$R_2 = \frac{(1.2\rho)(1.2L)}{A} = 1.44 \frac{\rho L}{A}$
$R_3 = \frac{(0.9\rho)(0.9L)}{A} = 0.81 \frac{\rho L}{A}$
$R_4 = \frac{\rho(1.5L)}{A} = 1.5 \frac{\rho L}{A}$
प्रतिरोधों की तुलना करने पर: $R_3 < R_1 < R_2 < R_4$.
स्थिर विभवांतर $V$ के लिए ऊर्जा क्षय की दर (शक्ति) $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $P \propto \frac{1}{R}$,जिस तार का प्रतिरोध सबसे कम होगा,उसमें शक्ति का क्षय सबसे अधिक होगा।
इसलिए,शक्ति क्षय का सबसे अधिक से सबसे कम का क्रम: $P_3 > P_1 > P_2 > P_4$ है।

(B) $V$ वोल्टेज वाली बैटरी द्वारा $R$ तुल्य प्रतिरोध वाले परिपथ को दी गई शक्ति $P$ का सूत्र है: $P = \frac{V^2}{R}$.
$R$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $R = \frac{V^2}{P}$.
दिए गए मान $V = 100\,V$ और $P = 40\,W$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $R = \frac{100^2}{40} = \frac{10000}{40} = 250\,\Omega$.
अतः,परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $250\,\Omega$ है।