Electrical Energy and Power Questions in Hindi

(B) उपकरण को दी गई शक्ति $P$,$P = V I$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ वोल्टेज है और $I$ तारों से बहने वाली विद्युत धारा है।
इससे,धारा $I$ को $I = \frac{P}{V}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
तारों के सीमित प्रतिरोध $R_C$ के कारण तारों में व्यय होने वाली शक्ति का सूत्र $P_C = I^2 R_C$ है।
$I$ का मान शक्ति हानि के सूत्र में रखने पर,हमें $P_C = \left( \frac{P}{V} \right)^2 R_C$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यय होने वाली शक्ति $P_C = \frac{P^2 R_C}{V^2}$ है।

(B) विद्युत धारा $I$ समानांतर जुड़े प्रतिरोधकों $R$ और $2R$ से होकर $I_1$ और $I_2$ में विभाजित होती है। करंट डिवाइडर नियम का उपयोग करते हुए:
$I_1 = I \times \frac{2R}{R + 2R} = \frac{2I}{3}$
$I_2 = I \times \frac{R}{R + 2R} = \frac{I}{3}$
प्रतिरोधक में उत्पन्न ऊष्मा $H = I^2 R t$ द्वारा दी जाती है। मान लें कि समय $t$ सभी के लिए समान है:
$H_1 = I_1^2 R = \left(\frac{2I}{3}\right)^2 R = \frac{4I^2 R}{9}$
$H_2 = I_2^2 (2R) = \left(\frac{I}{3}\right)^2 (2R) = \frac{2I^2 R}{9}$
$1.5R$ प्रतिरोधक के लिए,कुल विद्युत धारा $I$ इससे होकर बहती है:
$H_3 = I^2 (1.5R) = 1.5 I^2 R = \frac{13.5 I^2 R}{9}$
अनुपात $H_1 : H_2 : H_3 = \frac{4}{9} : \frac{2}{9} : \frac{13.5}{9} = 4 : 2 : 13.5 = 8 : 4 : 27$.

(A) $\varepsilon$ emf वाली बैटरी द्वारा परिपथ में $q$ आवेश को प्रवाहित करने के लिए किया गया कार्य $W = \varepsilon q$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धारा $I$,समय $t$ के लिए प्रवाहित होती है,इसलिए कुल स्थानांतरित आवेश $q = I t$ है।
अतः,बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W = \varepsilon I t$ है।
नोट: प्रश्न में दिए गए विकल्प भ्रमित करने वाले हो सकते हैं। बैटरी द्वारा किया गया कुल कार्य $\varepsilon I t$ है। बाहरी प्रतिरोध $R$ में ऊष्मा के रूप में व्यय ऊर्जा $I^2 R t$ है और आंतरिक प्रतिरोध $r$ में $I^2 r t$ है। कुल ऊर्जा $I^2(R+r)t = \varepsilon I t$ होती है। इस प्रकार के प्रश्नों के मानक रूप को देखते हुए,यदि प्रश्न बैटरी द्वारा किए गए कार्य के बारे में पूछता है,तो सही व्यंजक $\varepsilon I t$ है।

(D) जब एक आवेश $\Delta q$ विभवांतर $V$ से होकर गुजरता है,तो उसकी विद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \Delta q \cdot V$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $I = \frac{\Delta q}{\Delta t}$,इसलिए $\Delta q = I \Delta t$ होता है। इस प्रकार,स्थितिज ऊर्जा $I V \Delta t$ से कम हो जाती है।
स्थिर धारा में,आवेश वाहकों का अनुगमन वेग (drift velocity) स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि आवेश की गतिज ऊर्जा में कोई महत्वपूर्ण वृद्धि नहीं होती है। इसके बजाय,खोई हुई स्थितिज ऊर्जा चालक के आयनों के साथ टकराव के कारण ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है।
इसलिए,चालक की ऊष्मीय ऊर्जा $I V \Delta t$ से बढ़ जाती है।
अतः,कथन $II$ और $III$ सही हैं।

(B) बल्ब द्वारा खपत की गई शक्ति $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $V$ वोल्टेज है और $R$ बल्ब का स्थिर प्रतिरोध है।
लघुगणकीय अवकलन (logarithmic derivative) लेने पर, हमें $\frac{dP}{P} = 2 \frac{dV}{V}$ प्राप्त होता है।
यहाँ, वोल्टेज में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{dV}{V} = -2.5 \% = -0.025$ है।
इसलिए, शक्ति में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{dP}{P} = 2 \times (-2.5 \%) = -5 \%$ है।
ऋणात्मक चिह्न शक्ति में कमी को दर्शाता है।
अतः, शक्ति में उसके रेटेड मान का $5 \%$ की कमी होगी।

(A) चूंकि प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए प्रत्येक प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $(V)$ समान होता है।
प्रतिरोधक द्वारा खपत की गई शक्ति का सूत्र $P = \frac{V^2}{R}$ है।
चूंकि $V$ दोनों प्रतिरोधकों के लिए स्थिर है,इसलिए $P \propto \frac{1}{R}$ होगा।
अतः,खपत की गई शक्ति का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{R_2}{R_1}$ होगा।
दिया गया है कि $R_1 = 10 \Omega$ और $R_2 = 20 \Omega$,तो:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{20}{10} = \frac{2}{1}$.
इस प्रकार,उनके द्वारा खपत की गई शक्ति का अनुपात $2: 1$ है।

(A) दिए गए समय $(t)$ में $R$ प्रतिरोध वाले धात्विक चालक में उत्पन्न ऊष्मा ऊर्जा $(U)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$U = \frac{V^2}{R} t$
चूंकि प्रतिरोध $(R)$ और समय $(t)$ स्थिर हैं,इसलिए हमारे पास है:
$U \propto V^2$
यह संबंध एक परवलय (parabola) को दर्शाता है जो मूल बिंदु $(0,0)$ से शुरू होकर ऊपर की ओर खुलता है।
अतः,विकल्प $(A)$ में दिया गया ग्राफ इस परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) शक्ति $P$ और वोल्टेज $V$ का मान $P = 550 \,W$ और $V = 220 \,V$ दिया गया है।
शक्ति, वोल्टेज और धारा $I$ के बीच का संबंध सूत्र $P = V \times I$ द्वारा दिया जाता है।
धारा के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $I = \frac{P}{V}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{550}{220} = 2.5 \,A$।
अतः, हीटर द्वारा ली गई धारा $2.5 \,A$ है।

(B) दिया गया है:
विद्युत वाहक बल (emf) $\varepsilon = 12 \, V$
कुल आवेश क्षमता $q = 80 \, A \cdot h$
शक्ति आउटपुट $P = 120 \, W$
बैटरी में संचित कुल ऊर्जा $E$ का मान $E = q \cdot \varepsilon$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $E = 80 \, A \cdot h \times 12 \, V = 960 \, W \cdot h$।
चूंकि शक्ति $P$ ऊर्जा प्रदान करने की दर है, इसलिए $P = E / \Delta t$, जहाँ $\Delta t$ समय है।
अतः, $\Delta t = E / P = 960 \, W \cdot h / 120 \, W = 8 \, h$।
इस प्रकार, बैटरी $8 \, h$ तक $120 \, W$ की दर से ऊर्जा प्रदान कर सकती है।

(C) दिया गया है: धारा $I = 4 \ A$, वोल्टेज $V = 220 \ V$, पानी का द्रव्यमान $m = 1 \ kg$, प्रारंभिक तापमान $T_1 = 34^{\circ} C$, अंतिम तापमान $T_2 = 100^{\circ} C$.
पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता $c = 4200 \ J/(kg \cdot ^{\circ} C)$.
विद्युत शक्ति $P = V \times I = 220 \times 4 = 880 \ W$.
आवश्यक ऊष्मा ऊर्जा $Q = mc\Delta T = 1 \times 4200 \times (100 - 34) = 4200 \times 66 = 277200 \ J$.
चूंकि विद्युत ऊर्जा ऊष्मा ऊर्जा में परिवर्तित होती है, इसलिए $P \times t = Q$.
$880 \times t = 277200$.
$t = 277200 / 880 = 315 \ \text{सेकंड}$.
समय को मिनटों में बदलने के लिए: $t = 315 / 60 = 5.25 \ \text{मिनट}$.

(B) एक प्रतिरोधक में व्यय होने वाली शक्ति $P$ का सूत्र $P = \frac{V^2}{R}$ है,जहाँ $V$ विभवांतर है और $R$ प्रतिरोध है।
दिया गया है:
विभवांतर $V = 120 \text{ V}$
प्रतिरोध $R = 100 \Omega$
सूत्र में मान रखने पर:
$P = \frac{(120)^2}{100}$
$P = \frac{14400}{100}$
$P = 144 \text{ W}$
अतः,व्यय होने वाली शक्ति $144 \text{ W}$ है।

(D) जब लैंप उपयोग में होता है,तो प्रतिरोध $R$ को सूत्र $R = \frac{V^2}{P}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $R = \frac{240 \times 240}{60} = 960 \ \Omega$.
मान लीजिए $R'$ ठंडे फिलामेंट का प्रतिरोध है (जब उपयोग में न हो)।
प्रश्न के अनुसार,$R = 20 \times R'$.
इसलिए,$R' = \frac{R}{20} = \frac{960}{20} = 48 \ \Omega$.

(A) दिया गया है: रेटेड शक्ति,$P_R = 2400 \, W$ और रेटेड वोल्टेज,$V_R = 240 \, V$।
चूंकि फिलामेंट का प्रतिरोध $R$ स्थिर है,हम सूत्र $P = \frac{V^2}{R}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,हीटिंग एलिमेंट का प्रतिरोध $R$ ज्ञात करें:
$R = \frac{V_R^2}{P_R} = \frac{240 \times 240}{2400} = 24 \, \Omega$।
अब,जब एलिमेंट को $V = 120 \, V$ की आपूर्ति से जोड़ा जाता है,तो व्यय होने वाली नई शक्ति $P'$ है:
$P' = \frac{V^2}{R} = \frac{120 \times 120}{24} = 600 \, W$।

(A) बल्ब द्वारा खपत की गई शक्ति $P$ सूत्र $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $V$ वोल्टेज है और $R$ फिलामेंट का प्रतिरोध है।
चूंकि सभी बल्बों के लिए वोल्टेज स्रोत समान है, इसलिए $V$ स्थिर है।
अतः, शक्ति और प्रतिरोध के बीच संबंध $R = \frac{V^2}{P}$ है, जिसका अर्थ है कि $R \propto \frac{1}{P}$।
इसका मतलब है कि प्रतिरोध बल्ब की शक्ति रेटिंग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
सबसे अधिक प्रतिरोध प्राप्त करने के लिए, बल्ब की शक्ति रेटिंग सबसे कम होनी चाहिए।
दी गई शक्तियों $(100 \,W, 200 \,W, 500 \,W, 1000 \,W)$ की तुलना करने पर, $100 \,W$ वाले बल्ब की शक्ति सबसे कम है।
इस प्रकार, $100 \,W$ वाले बल्ब के फिलामेंट का प्रतिरोध सबसे अधिक है।

(D) दिया गया है कि उपकरण का प्रतिरोध $R$,धारा $I$ से $R = \frac{0.2 I}{I-4}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
उपकरण द्वारा खपत की गई शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
$R$ का व्यंजक रखने पर: $P = I^2 \left( \frac{0.2 I}{I-4} \right) = \frac{0.2 I^3}{I-4}$.
न्यूनतम शक्ति ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $I$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dP}{dI} = 0$.
$\frac{d}{dI} \left( \frac{0.2 I^3}{I-4} \right) = 0$.
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर: $\frac{(I-4)(0.6 I^2) - (0.2 I^3)(1)}{(I-4)^2} = 0$.
$0.6 I^3 - 2.4 I^2 - 0.2 I^3 = 0$.
$0.4 I^3 - 2.4 I^2 = 0$.
$0.4 I^2 (I - 6) = 0$.
चूंकि $I > 4$,इसलिए $I = 6 \ A$ प्राप्त होता है।
$I = 6 \ A$ को शक्ति समीकरण में रखने पर: $P_{\min} = \frac{0.2 \times (6)^3}{6-4} = \frac{0.2 \times 216}{2} = 0.2 \times 108 = 21.6 \ W$.

(B) तार से प्रवाहित कुल धारा $I$,अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ पर धारा घनत्व $J$ के समाकलन द्वारा दी जाती है: $I = \int J \, dA$।
चूंकि तार वृत्ताकार है,$dA = 2 \pi r \, dr$।
$I = \int_0^{R} J(r) \cdot 2 \pi r \, dr$,जहाँ $R = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$।
$I = \int_0^{2 \times 10^{-3}} (10^5 r) \cdot (2 \pi r) \, dr = 2 \pi \times 10^5 \int_0^{2 \times 10^{-3}} r^2 \, dr$।
$I = 2 \pi \times 10^5 \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^{2 \times 10^{-3}} = 2 \pi \times 10^5 \times \frac{8 \times 10^{-9}}{3} = \frac{16 \pi}{3} \times 10^{-4} \text{ A}$।
खपत की गई ऊर्जा $E = V \cdot I \cdot t$ द्वारा दी जाती है।
$E = 70 \text{ V} \times \left( \frac{16 \pi}{3} \times 10^{-4} \text{ A} \right) \times 1000 \text{ s}$।
$E = 70 \times \frac{16 \pi}{3} \times 10^{-1} = \frac{1120 \pi}{30} = \frac{112}{3} \pi \approx 37.33 \pi \text{ J}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $37 \pi \text{ J}$ है।

(B) दिया गया है: धारा घनत्व $J = (2 \times 10^{10}) r^2 \text{ A/m}^2$, विभव $V = 50 \text{ V}$, समय $t = 100 \text{ s}$, और त्रिज्या $R = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$।
ऊष्मा के रूप में क्षयित ऊर्जा $E = VIt$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले, $I = \int J dA$ का उपयोग करके कुल धारा $I$ ज्ञात करें, जहाँ $dA = 2 \pi r dr$ है।
$I = \int_{0}^{R} (2 \times 10^{10} r^2) (2 \pi r dr) = 4 \pi \times 10^{10} \int_{0}^{2 \times 10^{-3}} r^3 dr$।
$I = 4 \pi \times 10^{10} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{2 \times 10^{-3}} = \pi \times 10^{10} \times (2 \times 10^{-3})^4$।
$I = \pi \times 10^{10} \times 16 \times 10^{-12} = 16 \pi \times 10^{-2} = 0.16 \pi \text{ A}$।
अब, ऊर्जा $E = VIt = 50 \times (0.16 \pi) \times 100$ की गणना करें।
$E = 5000 \times 0.16 \pi = 800 \pi \text{ J}$।

(A) प्रतिरोधक में ऊष्मा उत्पन्न होने की दर (शक्ति) का सूत्र $H = \frac{V^2}{R}$ है।
पहली स्थिति में,शक्ति $H = \frac{V^2}{R}$ है।
दूसरी स्थिति में,नया वोल्टेज $V' = \frac{V}{3}$ और नया प्रतिरोध $R' = 2R$ है।
ऊष्मा उत्पन्न होने की नई दर $H'$ इस प्रकार है:
$H' = \frac{(V')^2}{R'} = \frac{(\frac{V}{3})^2}{2R} = \frac{\frac{V^2}{9}}{2R} = \frac{V^2}{18R}$.
चूंकि $H = \frac{V^2}{R}$,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$H' = \frac{H}{18}$.

(C) बल्ब का प्रतिरोध $R$ स्थिर रहता है और इसे इसके रेटेड मानों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
$R = \frac{V_{rated}^2}{P_{rated}} = \frac{200^2}{50} = \frac{40000}{50} = 800 \, \Omega$
जब इसे $V' = 100 V$ के नए आपूर्ति वोल्टेज से जोड़ा जाता है,तो बल्ब द्वारा खपत की गई नई शक्ति $P'$ इस प्रकार है:
$P' = \frac{(V')^2}{R} = \frac{100^2}{800} = \frac{10000}{800} = 12.5 \, W$
अतः,बल्ब की वर्तमान शक्ति $12.5 \, W$ है।

(D) फैक्ट्री को दी गई शक्ति $P_{out} = 10 \text{ kW} = 10000 \text{ W}$ है और वोल्टेज $V = 200 \text{ V}$ है।
केबल से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{P_{out}}{V} = \frac{10000}{200} = 50 \text{ A}$ है।
केबल के प्रतिरोध $R = 0.2 \Omega$ के कारण होने वाली शक्ति हानि $P_{loss} = I^2 R = (50)^2 \times 0.2 = 2500 \times 0.2 = 500 \text{ W}$ है।
स्रोत पर उत्पन्न कुल शक्ति $P_{in} = P_{out} + P_{loss} = 10000 + 500 = 10500 \text{ W}$ है।
संचरण की दक्षता $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100 = \frac{10000}{10500} \times 100 \approx 95.24 \%$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $95 \%$ है।

(A) कुंडली से गुजरने वाला कुल आवेश $Q$ धारा-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है। चूंकि धारा समय $T$ में $I_0$ से घटकर $0$ हो जाती है,इसलिए ग्राफ $T$ आधार और $I_0$ ऊंचाई वाला एक त्रिभुज है।
$Q = \frac{1}{2} I_0 T \Rightarrow I_0 = \frac{2 Q}{T}$
समय के फलन के रूप में धारा $I(t) = I_0 \left(1 - \frac{t}{T}\right) = \frac{2 Q}{T} \left(1 - \frac{t}{T}\right)$ द्वारा दी जाती है।
कुंडली में उत्पन्न ऊष्मा $H$ का मान $H = \int_0^T I^2 R \, dt$ द्वारा प्राप्त होता है।
$H = R \int_0^T \left[ \frac{2 Q}{T} \left(1 - \frac{t}{T}\right) \right]^2 \, dt = \frac{4 Q^2 R}{T^2} \int_0^T \left(1 - \frac{t}{T}\right)^2 \, dt$.
मान लीजिए $u = 1 - \frac{t}{T}$,तो $du = -\frac{1}{T} dt$,इसलिए $dt = -T du$.
जब $t=0, u=1$; जब $t=T, u=0$.
$H = \frac{4 Q^2 R}{T^2} \int_1^0 u^2 (-T \, du) = \frac{4 Q^2 R}{T} \int_0^1 u^2 \, du$.
$H = \frac{4 Q^2 R}{T} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{4 Q^2 R}{3 T}$.

(D) परिपथ में धारा $I = \frac{E}{R+r}$ द्वारा दी जाती है।
बाह्य प्रतिरोध $R$ द्वारा खपत की गई शक्ति $P = I^2 R = \left(\frac{E}{R+r}\right)^2 R$ है।
अधिकतम शक्ति के लिए शर्त ज्ञात करने हेतु,हम $P$ का $R$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dP}{dR} = 0$.
$\frac{dP}{dR} = E^2 \left[ \frac{(R+r)^2(1) - R(2)(R+r)}{(R+r)^4} \right] = 0$.
यह इंगित करता है कि $(R+r)^2 - 2R(R+r) = 0$.
$(R+r)$ से विभाजित करने पर,हमें $(R+r) - 2R = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $r - R = 0$ या $R = r$ हो जाता है।
अतः,जब बाह्य प्रतिरोध बैटरी के आंतरिक प्रतिरोध के बराबर होता है,तो बिजली की खपत अधिकतम होती है।

(A) दिया गया है: आउटपुट पावर $P_{out} = 1 \ kW = 1000 \ W$,वोल्टेज $V = 250 \ V$,प्रतिरोध $R = 2 \ \Omega$।
लाइन से बहने वाली धारा $I = \frac{P_{out}}{V} = \frac{1000}{250} = 4 \ A$ है।
ट्रांसमिशन लाइन में पावर का नुकसान $P_{loss} = I^2 R = (4)^2 \times 2 = 16 \times 2 = 32 \ W$ है।
स्रोत पर उत्पन्न कुल पावर $P_{in} = P_{out} + P_{loss} = 1000 + 32 = 1032 \ W$ है।
दक्षता $\eta = \left( \frac{P_{out}}{P_{in}} \right) \times 100$ द्वारा दी जाती है।
$\eta = \left( \frac{1000}{1032} \right) \times 100 \approx 96.898 \% \approx 96.9 \%$।

(C) बैटरी से अधिकतम शक्ति तब प्राप्त होती है जब बाहरी प्रतिरोध $R$,बैटरी के आंतरिक प्रतिरोध $r$ के बराबर होता है $(R = r)$।
बाहरी प्रतिरोध को दी गई शक्ति का सूत्र है: $P = I^2 R = \left(\frac{E}{R+r}\right)^2 \cdot R$.
अधिकतम शक्ति के लिए $R = r$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P_{max} = \frac{E^2 r}{(r+r)^2} = \frac{E^2 r}{4r^2} = \frac{E^2}{4r}$.
दिए गए मान $E = 6.0 \ V$ और $r = 0.2 \ \Omega$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P_{max} = \frac{(6.0)^2}{4 \times 0.2} = \frac{36}{0.8} = 45 \ W$.
अतः,बैटरी से प्राप्त अधिकतम शक्ति $45 \ W$ है।

(C) हीटर का प्रतिरोध $R$ स्थिर रहता है।
सूत्र $R = \frac{V^2}{P}$ का उपयोग करते हुए, हम $R = \frac{220^2}{400} \Omega$ की गणना करते हैं।
नए वोल्टेज $V' = 200 \text{ V}$ पर खपत की गई नई शक्ति $P' = \frac{(V')^2}{R}$ द्वारा दी जाती है।
$R$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें $P' = \frac{(V')^2 \cdot P}{V^2} = \frac{200^2 \times 400}{220^2}$ प्राप्त होता है।
$P' = \frac{40000 \times 400}{48400} = \frac{16000000}{48400} \approx 330.57 \text{ W}$।
निकटतम पूर्णांक में राउंड ऑफ करने पर, हमें $331 \text{ W}$ प्राप्त होता है।