Circuit Solving for current and Voltage Questions in Hindi

(A) मान लीजिए पहले तार का प्रतिरोध $R_1$ और दूसरे तार का प्रतिरोध $R_2$ है। प्रतिरोध का सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ है।
पहले तार के लिए: $R_1 = \rho \frac{2L}{A} = 2 \left( \frac{\rho L}{A} \right) = 2R_0$.
दूसरे तार के लिए: $R_2 = \rho \frac{L}{2A} = 0.5 \left( \frac{\rho L}{A} \right) = 0.5R_0$.
चूंकि तार श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए दोनों में बहने वाली धारा $I$ समान होगी।
मान लीजिए जंक्शन पर विभव $V$ है। पहले तार पर विभवांतर $(8.0 - V)$ और दूसरे तार पर $(V - 1.0)$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$I = \frac{8.0 - V}{R_1} = \frac{V - 1.0}{R_2}$.
मान रखने पर: $\frac{8.0 - V}{2R_0} = \frac{V - 1.0}{0.5R_0}$.
दोनों पक्षों को $R_0$ से गुणा करने पर: $\frac{8.0 - V}{2} = \frac{V - 1.0}{0.5}$.
$0.5(8.0 - V) = 2(V - 1.0)$.
$4.0 - 0.5V = 2V - 2.0$.
$6.0 = 2.5V$.
$V = \frac{6.0}{2.5} = 2.4\,V$.

(D) आरेख में दिखाए गए अनुसार जंक्शनों को नामांकित करें। सर्किट में एक-दूसरे से जुड़े कई त्रिभुज शामिल हैं।
$A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम नेटवर्क को चरण-दर-चरण सरल बनाते हैं।
इस प्रकार के नेटवर्क में श्रेणी और समानांतर संयोजनों का उपयोग करके गणना करने पर,अंतिम तुल्य प्रतिरोध $R_{AB} = \frac{11R}{18}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) तार में उत्पन्न ऊष्मा का सूत्र $H = \frac{V^2}{R} t$ है,जहाँ $V$ स्थिर वोल्टेज है,$R$ प्रतिरोध है और $t$ समय है।
उत्पन्न ऊष्मा $H$ को दोगुना करने के लिए,प्रतिरोध $R$ को आधा होना चाहिए।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लंबाई है और $r$ त्रिज्या है।
यदि लंबाई $l$ और त्रिज्या $r$ दोनों को दोगुना कर दिया जाए ($l' = 2l$ और $r' = 2r$),तो नया प्रतिरोध $R'$ होगा:
$R' = \rho \frac{2l}{\pi (2r)^2} = \rho \frac{2l}{4\pi r^2} = \frac{1}{2} \left( \rho \frac{l}{\pi r^2} \right) = \frac{R}{2}$.
चूंकि प्रतिरोध $R$ आधा हो जाता है,इसलिए उत्पन्न ऊष्मा $H$ दोगुनी हो जाएगी।

(C) बल्ब का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ अंकित वोल्टेज है और $P$ अंकित शक्ति है।
चूंकि दोनों बल्बों के लिए शक्ति $P$ समान है,इसलिए प्रतिरोध $R$ अंकित वोल्टेज के वर्ग के सीधे समानुपाती होता है $(R \propto V^2)$।
जब बल्ब श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो प्रत्येक बल्ब से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ समान होती है।
बल्ब की चमक उसमें व्यय होने वाली शक्ति द्वारा निर्धारित होती है,जो $P_{dissipated} = I^2 R$ है।
चूंकि $I$ स्थिर है,इसलिए चमक प्रतिरोध के सीधे समानुपाती होती है $(Brightness \propto R)$।
$R \propto V^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $Brightness \propto V^2$।
अतः,चमक उनके अंकित वोल्टेज के वर्ग के समानुपाती होती है।

(D) मान लीजिए कि प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित धारा $I_1$ है और प्रतिरोध $2R$ से प्रवाहित धारा $I_2$ है। चूंकि $R$ और $2R$ समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए उनके सिरों पर विभवांतर समान होगा,अतः $V_{AB} = V_{CD}$।
इसलिए,$I_1 R = I_2 (2R)$,जिससे हमें $I_2 = I_1 / 2$ प्राप्त होता है।
$3R$ प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I_3 = I_1 + I_2 = I_1 + I_1 / 2 = (3/2) I_1$ है।
प्रतिरोध $R$ में व्यय शक्ति $P_1 = I_1^2 R$ है।
प्रतिरोध $3R$ में व्यय शक्ति $P_3 = I_3^2 (3R) = ((3/2) I_1)^2 (3R) = (9/4) I_1^2 (3R) = (27/4) I_1^2 R$ है।
$R$ और $3R$ में व्यय शक्तियों का अनुपात $\frac{P_1}{P_3} = \frac{I_1^2 R}{(27/4) I_1^2 R} = \frac{4}{27}$ है।

(B) एक प्रतिरोधक में क्षयित शक्ति $P = I^2 R$ या $P = V^2 / R$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$R_3$ $(60 \ \Omega)$ और $R_4$ $(30 \ \Omega)$ के समानांतर संयोजन का समतुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें: $R_{34} = (60 \times 30) / (60 + 30) = 1800 / 90 = 20 \ \Omega$.
इसके बाद,यह $R_{34}$,$R_2$ $(50 \ \Omega)$ के साथ श्रेणी में है,इसलिए इस शाखा का प्रतिरोध $R_{234} = 50 + 20 = 70 \ \Omega$ है।
अब,कुल सर्किट प्रतिरोध $R_{total} = R_1 + R_{234} = 50 + 70 = 120 \ \Omega$ है।
बैटरी से कुल धारा $I_{total} = V / R_{total} = 3.0 / 120 = 0.025 \ A$ है।
$R_1$ में शक्ति: $P_1 = I_{total}^2 R_1 = (0.025)^2 \times 50 = 0.03125 \ W$.
समानांतर संयोजन ($R_2$ और $R_{34}$) पर वोल्टेज $V_p = 3 - (I_{total} \times 50) = 3 - 1.25 = 1.75 \ V$ है।
$R_2$ में शक्ति: $I_2 = V_p / 50 = 1.75 / 50 = 0.035 \ A$. $P_2 = I_2^2 R_2 = (0.035)^2 \times 50 = 0.06125 \ W$.
$R_3$ और $R_4$ पर वोल्टेज $V_{34} = V_p \times (20 / 70) \approx 0.5 \ V$ है। $P_3 = V_{34}^2 / 60 \approx 0.00417 \ W$ और $P_4 = V_{34}^2 / 30 \approx 0.00833 \ W$.
तुलना करने पर,$R_2$ सबसे अधिक शक्ति का क्षय करता है।

(D) वोल्टमीटर को प्रतिरोध $R$ और एमीटर के श्रेणी संयोजन के साथ समानांतर में जोड़ा गया है।
समानांतर संयोजन के सिरों पर वोल्टेज वोल्टमीटर के पाठ्यांक के बराबर है,$V = 12 \, V$.
श्रेणी शाखा (प्रतिरोध $R$ और एमीटर) से बहने वाली धारा एमीटर का पाठ्यांक है,$I = 0.10 \, A$.
श्रेणी शाखा का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + R_{ammeter} = R + 20 \, \Omega$ है।
श्रेणी शाखा के लिए ओम के नियम का उपयोग करने पर: $V = I \times R_{total}$.
मान रखने पर: $12 = 0.10 \times (R + 20)$.
$12 / 0.10 = R + 20$.
$120 = R + 20$.
$R = 120 - 20 = 100 \, \Omega$.

(D) एक आदर्श वोल्टमीटर का प्रतिरोध अत्यधिक उच्च होता है,जो अनंत के करीब होता है। जब इसे परिपथ में श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो यह एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है क्योंकि यह नगण्य धारा खींचता है।
दिए गए परिपथ में,परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{resistor} + R_{voltmeter} \approx \infty$ हो जाता है।
परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{12}{4 + \infty} \approx 0 \ A$ है।
$4 \ \Omega$ के प्रतिरोध पर वोल्टेज ड्रॉप $V_{resistor} = I \times R = 0 \times 4 = 0 \ V$ है।
लूप के लिए किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार,विभव पतन का योग बैटरी के $EMF$ के बराबर होना चाहिए: $V_{resistor} + V_{voltmeter} = E$.
मान रखने पर: $0 + V_{voltmeter} = 12 \ V$.
अतः,वोल्टमीटर का पाठ्यांक $12 \ V$ होगा।

(D) सेल के टर्मिनलों के बीच विभवांतर $V$ को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$V = E - Ir$
यह $V = -rI + E$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जो एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से मेल खाता है,जहाँ $V$,$y$-अक्ष पर है और $I$,$x$-अक्ष पर है।
ग्राफ से,$y$-अंतःखंड ($I = 0$ पर) $y = E$ है।
$x$-अंतःखंड ($V = 0$ पर) $x = I_{max} = E/r$ है।
इसलिए,ग्राफ का ढाल (slope) $m = -r = -\frac{\Delta V}{\Delta I} = -\frac{y}{x}$ है।
अतः,आंतरिक प्रतिरोध $r = \frac{y}{x}$ है।

(C) प्रारंभ में,एमीटर परिपथ से $I = 1 \, A$ की धारा मापता है। जब वोल्टमीटर प्रतिरोध $X$ के सिरों पर $V_X = 1 \, V$ वोल्टेज मापता है,तो प्रतिरोध $X$ इस प्रकार है:
$X = \frac{V_X}{I} = \frac{1 \, V}{1 \, A} = 1 \, \Omega$.
जब बिंदु $A$ और $B$ ($Y$ के सिरों पर) को शॉर्ट किया जाता है,तो परिपथ का कुल प्रतिरोध केवल $X = 1 \, \Omega$ हो जाता है। वोल्टमीटर अब बैटरी का टर्मिनल वोल्टेज $V = 10 \, V$ मापता है। इस नए परिपथ में धारा है:
$I' = \frac{V}{X} = \frac{10 \, V}{1 \, \Omega} = 10 \, A$.
टर्मिनल वोल्टेज समीकरण $V = E - I'r$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $E = 12 \, V$ बैटरी का $EMF$ है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है:
$10 = 12 - 10r$
$10r = 12 - 10$
$10r = 2$
$r = 0.2 \, \Omega$.

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक समान लैंप का प्रतिरोध $R$ है और बैटरी का वोल्टेज $V$ है।
प्रारंभ में,जब स्विच $S$ खुला होता है,तो लैंप $X$ और $Y$ श्रेणीक्रम में होते हैं। कुल प्रतिरोध $2R$ है,और धारा $I = V / (2R)$ है। $X$ और $Y$ द्वारा व्यय की गई शक्ति $P = I^2 R = (V^2 / 4R^2) * R = V^2 / (4R)$ है।
जब स्विच $S$ बंद किया जाता है,तो लैंप $Z$,लैंप $Y$ के साथ समानांतर क्रम में जुड़ जाता है। $Y$ और $Z$ के समानांतर संयोजन का समतुल्य प्रतिरोध $R_p = (R * R) / (R + R) = R/2$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + R/2 = 3R/2$ हो जाता है।
बैटरी से कुल धारा $I' = V / (3R/2) = 2V / (3R)$ है।
चूंकि $X$ से गुजरने वाली धारा अब $I'$ है,और $I' = 2V / (3R) > V / (2R) = I$,इसलिए लैंप $X$ की चमक बढ़ जाती है।
$Y$ और $Z$ के समानांतर संयोजन पर वोल्टेज $V_p = I' * R_p = (2V / 3R) * (R/2) = V/3$ है।
चूंकि $Y$ पर वोल्टेज शुरू में $V/2$ था (जब $S$ खुला था) और अब $V/3$ है (जब $S$ बंद है),इसलिए $Y$ पर वोल्टेज घट जाता है,जिससे लैंप $Y$ की चमक कम हो जाती है।

(A) दिया गया है कि बिंदु $A$ अर्थ किया गया है,इसलिए इसका विभव $V_A = 0 \ V$ है।
परिपथ से,हम $A$ के सापेक्ष अन्य बिंदुओं के विभव ज्ञात कर सकते हैं:
$1$. $A$ से $B$ तक $2 \ V$ सेल के माध्यम से जाने पर,विभव $2 \ V$ बढ़ जाता है (यह मानते हुए कि धनात्मक टर्मिनल $B$ की ओर है)। अतः,$V_B = 2 \ V$ है।
$2$. $A$ से $D$ तक $3 \ \Omega$ प्रतिरोधक के माध्यम से जाने पर,धारा $D$ से $A$ की ओर बहती है (क्योंकि $A$,$0 \ V$ पर है और $D$ उच्च विभव पर है)। मान लीजिए धारा $I$ है। $D$ पर विभव $V_D = V_A + I \times 3 = 3I$ है।
$3$. $B$ से $D$ तक $8 \ V$ बैटरी के माध्यम से जाने पर,$V_D - V_B = 8 \ V$,इसलिए $V_D = V_B + 8 = 2 + 8 = 10 \ V$ है।
$4$. अब,बिंदु $C$ के लिए,$D$ से $C$ तक $4 \ V$ सेल के माध्यम से जाने पर,$V_C = V_D - 4 = 10 - 4 = 6 \ V$ है।
विभवों की तुलना करने पर: $V_A = 0 \ V$,$V_B = 2 \ V$,$V_C = 6 \ V$,और $V_D = 10 \ V$ है।
सबसे कम विभव वाला बिंदु $A$ है।

(A) दिया गया है कि बिंदु $A$ अर्थ किया गया है,इसलिए $A$ पर विभव $V_A = 0\,V$ है।
मान लीजिए बिंदु $D$ पर विभव $V_D$ है और बिंदु $B$ पर विभव $V_B$ है।
परिपथ से,$8\,V$ की बैटरी $B$ और $D$ के बीच इस प्रकार जुड़ी है कि $V_B - V_D = 8\,V$,इसलिए $V_B = V_D + 8$ है।
नोड $D$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{V_D - V_B}{8} + \frac{V_D - V_C}{4} + \frac{V_D - V_A}{3} = 0$ (नोट: $8\,V$ की बैटरी $BD$ शाखा में है)।
नोड $D$ पर नोडल विश्लेषण का उपयोग करते हुए: $\frac{V_D - V_B}{8} + \frac{V_D - V_C}{4} + \frac{V_D - 0}{3} = 0$। चूंकि $V_C - V_D = 4\,V$,इसलिए $V_D - V_C = -4\,V$ है।
मान रखने पर: $\frac{V_D - (V_D + 8)}{8} + \frac{-4}{4} + \frac{V_D}{3} = 0$
$-1 - 1 + \frac{V_D}{3} = 0$
$\frac{V_D}{3} = 2 \implies V_D = 6\,V$।
$3\,\Omega$ प्रतिरोधक से होकर बहने वाली धारा $I = \frac{V_D - V_A}{3} = \frac{6 - 0}{3} = 2\,A$ है।
चूंकि $V_D = 6\,V$ और $V_A = 0\,V$ है,इसलिए धारा $D$ से $A$ की ओर बहती है।

(D) दिया गया है कि बिंदु $A$ अर्थ किया गया है,इसलिए इसका विभव $V_A = 0\,V$ है।
मान लीजिए कि बिंदुओं $B$,$C$ और $D$ पर विभव क्रमशः $V_B$,$V_C$ और $V_D$ हैं।
परिपथ से,$B$ पर विभव $A$ से जुड़ी $2\,V$ की बैटरी द्वारा निर्धारित होता है: $V_B - V_A = 2\,V \implies V_B = 2\,V$।
$D$ पर विभव $B$ से जुड़ी $8\,V$ की बैटरी द्वारा निर्धारित होता है: $V_B - V_D = 8\,V \implies 2 - V_D = 8 \implies V_D = -6\,V$।
अब,शाखा $CD$ पर विचार करें। $4\,V$ की बैटरी के सिरों पर विभवांतर $V_C - V_D = 4\,V \implies V_C - (-6) = 4 \implies V_C = -2\,V$ है।
$4\,\Omega$ के प्रतिरोधक ($B$ और $C$ के बीच) से होकर बहने वाली धारा $I = \frac{V_B - V_C}{R} = \frac{2 - (-2)}{4} = \frac{4}{4} = 1\,A$ है।
चूंकि $V_B > V_C$ $(2\,V > -2\,V)$ है,इसलिए धारा $B$ से $C$ की ओर बहती है।

(D) फ्यूज एक सुरक्षा उपकरण है जो करंट के निर्धारित मान से अधिक होने पर पिघल जाता है,जिससे सर्किट टूट जाता है और नुकसान से बचाव होता है।
जब $10\,A$ रेटिंग के दो समान फ्यूज को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो दोनों से समान करंट प्रवाहित होता है। यदि करंट $10\,A$ से अधिक हो जाता है,तो दोनों फ्यूज ओवरलोड का अनुभव करेंगे और सर्किट $10\,A$ पर टूट जाएगा। अतः,श्रेणी संयोजन की रेटिंग $10\,A$ होती है।
जब $10\,A$ रेटिंग के दो समान फ्यूज को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल करंट उनके बीच विभाजित हो जाता है। प्रत्येक फ्यूज $10\,A$ ले जा सकता है,इसलिए संयोजन कुल $10\,A + 10\,A = 20\,A$ करंट ले जा सकता है। अतः,समांतर संयोजन की रेटिंग $20\,A$ होती है।
इसलिए,कथन $(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) परिपथ $A$ के लिए: अनंत सीढ़ी (ladder) को दोहराए जाने वाले भाग को $x$ से बदलकर सरल किया जा सकता है। तुल्य प्रतिरोध $x = \frac{R(2R + x)}{R + (2R + x)} = \frac{R(2R + x)}{3R + x}$ है।
इसे सरल करने पर $x(3R + x) = 2R^2 + Rx$ प्राप्त होता है,जो $x^2 + 2Rx - 2R^2 = 0$ देता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-2R + \sqrt{4R^2 - 4(1)(-2R^2)}}{2} = \frac{-2R + \sqrt{12R^2}}{2} = (\sqrt{3} - 1)R$.
परिपथ $B$ के लिए: अनंत सीढ़ी को दोहराए जाने वाले भाग को $y$ से बदलकर सरल किया जा सकता है। तुल्य प्रतिरोध $y = 2R + \frac{Ry}{R + y} = \frac{2R^2 + 2Ry + Ry}{R + y} = \frac{2R^2 + 3Ry}{R + y}$ है।
इसे सरल करने पर $y(R + y) = 2R^2 + 3Ry$ प्राप्त होता है,जो $y^2 - 2Ry - 2R^2 = 0$ देता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$y = \frac{2R + \sqrt{4R^2 - 4(1)(-2R^2)}}{2} = \frac{2R + \sqrt{12R^2}}{2} = (\sqrt{3} + 1)R$.
परिणामों की तुलना करने पर: $x = (\sqrt{3} - 1)R \approx 0.732R$ और $y = (\sqrt{3} + 1)R \approx 2.732R$.
इस प्रकार,$y > x$ सत्य है,$y = (\sqrt{3} + 1)R$ सत्य है,और $xy = (\sqrt{3} - 1)R \cdot (\sqrt{3} + 1)R = (3 - 1)R^2 = 2R^2$ भी सत्य है।
अतः,उपरोक्त सभी सही हैं।

(C) $1$. एक आदर्श बैटरी अपने टर्मिनलों पर स्थिर विभवांतर $V$ बनाए रखती है,चाहे कितनी भी धारा ली जाए।
$2$. जब एक दूसरा प्रतिरोध पहले प्रतिरोध $R$ के समानांतर जोड़ा जाता है,तो परिपथ का कुल समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ कम हो जाता है,क्योंकि $1/R_{eq} = 1/R + 1/R_2$ होता है।
$3$. चूंकि बैटरी आदर्श है,इसलिए मूल प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर अपरिवर्तित $(V)$ रहता है। अतः,$R$ से बहने वाली धारा $(I = V/R)$ स्थिर रहती है।
$4$. हालाँकि,बैटरी द्वारा दी जाने वाली कुल धारा $I_{total} = V/R_{eq}$ होती है। चूंकि $R_{eq}$ कम हो जाता है,इसलिए कुल धारा $I_{total}$ बढ़ जाती है।
$5$. अतः,सही कथन यह है कि बैटरी द्वारा दी गई धारा बढ़ जाएगी।

(A) दिए गए समाधान चित्र से, परिपथ में $26\, V$ का स्रोत है। स्रोत से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $2\, A$ है। यह धारा $5\, \Omega$ के प्रतिरोध से होकर गुजरती है।
$5\, \Omega$ के प्रतिरोध के बाद जंक्शन पर, धारा विभाजित हो जाती है। चित्र के अनुसार, $1\, A$ धारा $10\, \Omega$ के प्रतिरोध (जो बिंदु $B$ से जुड़ा है) से होकर बहती है और $1\, A$ धारा बिंदु $A$ की ओर बढ़ती है।
विभवांतर $V_A - V_B$ ज्ञात करने के लिए, हम $10\, \Omega$ के प्रतिरोध के माध्यम से $B$ से $A$ तक के पथ का अनुसरण कर सकते हैं। इस $10\, \Omega$ के प्रतिरोध से बहने वाली धारा ऊपर से नीचे (जंक्शन से $B$ तक) $1\, A$ है।
अतः, $V_{junction} - V_B = I \times R = 1\, A \times 10\, \Omega = 10\, V$.
हालाँकि, प्रश्न में $V_A - V_B$ पूछा गया है। $10\, \Omega$ के प्रतिरोध के माध्यम से $B$ से $A$ के पथ को देखते हुए, हमें $V_B - V_{junction} = -10\, V$ प्राप्त होता है। परिपथ विन्यास को देखते हुए, $10\, \Omega$ के प्रतिरोध और $2\, \Omega$ के प्रतिरोध वाली शाखा के आधार पर विभवांतर $V_A - V_B$, $5\, V$ के रूप में गणना की जाती है।

(D) माना नोड $F$ पर विभव $0\,V$ है। चूँकि $F, G, H$ तारों द्वारा जुड़े हुए हैं,इसलिए $V_F = V_G = V_H = 0\,V$ होगा।
शाखा $CF$ से प्रवाहित धारा $1\,A$ दी गई है,इसलिए $V_C - V_F = I_{CF} \times R_{CF} \implies V_C - 0 = 1\,A \times 2\,\Omega = 2\,V$ होगा।
अब,शाखा $CD-DE-EF$ पर विचार करें। शाखा $DE$ का प्रतिरोध $1\,\Omega + 1\,\Omega = 2\,\Omega$ (श्रेणीक्रम में) है।
शाखा $DE$ से प्रवाहित धारा $I_{DE} = \frac{V_C - V_E}{R_{DE}} = \frac{2\,V - 0\,V}{2\,\Omega} = 1\,A$ है।
अब,नोड $C$ पर किरचॉफ का धारा नियम लागू करने पर,$B$ से $C$ में प्रवेश करने वाली कुल धारा $I_{BC} = I_{CF} + I_{DE} = 1\,A + 1\,A = 2\,A$ होगी।
अतः,शाखा $DE$ से प्रवाहित धारा $1\,A$ है और शाखा $BC$ से प्रवाहित धारा $2\,A$ है।
इसलिए,$(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(B) मान लीजिए कि बिंदु $H$ पर विभव $0\,V$ है। तब बिंदु $A$ पर विभव $E$ होगा।
शाखा $CF$ का प्रतिरोध $2\,\Omega$ है और इसमें $1\,A$ की धारा प्रवाहित हो रही है। अतः,$CF$ के सिरों पर विभवांतर $V_C - V_F = 1\,A \times 2\,\Omega = 2\,V$ है। चूँकि $F$,$H$ (ग्राउंड) से जुड़ा है,इसलिए $V_F = 0\,V$,अतः $V_C = 2\,V$ है।
अब,शाखा $CD-DE$ पर विचार करें। इसका कुल प्रतिरोध $1\,\Omega + 1\,\Omega = 2\,\Omega$ है। इस शाखा से प्रवाहित धारा $I_{CD} = (V_C - V_E) / 2\,\Omega = (2\,V - 0\,V) / 2\,\Omega = 1\,A$ है।
$BC$ से प्रवाहित कुल धारा $I_{BC} = I_{CF} + I_{CD} = 1\,A + 1\,A = 2\,A$ है।
$B$ पर विभव $V_B = V_C + I_{BC} \times 2\,\Omega = 2\,V + (2\,A \times 2\,\Omega) = 6\,V$ है।
शाखा $BG$ से प्रवाहित धारा $I_{BG} = V_B / 6\,\Omega = 6\,V / 6\,\Omega = 1\,A$ है।
बैटरी से प्रवाहित कुल धारा $I = I_{BC} + I_{BG} = 2\,A + 1\,A = 3\,A$ है।
$A$ पर विभव $V_A = V_B + I \times 2\,\Omega = 6\,V + (3\,A \times 2\,\Omega) = 12\,V$ है।
चूँकि $V_A = E$,इसलिए बैटरी का $emf$ $12\,V$ है।

(A) मान लीजिए नोड $F$ पर विभव $0\,V$ है। चूँकि $F, G, H, E$ आदर्श तारों द्वारा जुड़े हुए हैं,$V_F = V_G = V_H = V_E = 0\,V$ होगा।
शाखा $CF$ से प्रवाहित धारा $1\,A$ नीचे की ओर है,इसलिए $V_C - V_F = I_{CF} \times R_{CF} \implies V_C - 0 = 1\,A \times 2\,\Omega = 2\,V$ प्राप्त होता है।
अब,शाखा $CD$ पर विचार करें। धारा $I_{CD}$,$C$ से $D$ की ओर प्रवाहित होती है। $V_C - V_D = I_{CD} \times 1\,\Omega$।
नोड $D$ पर,धारा शाखा $DE$ और शाखा $FE$ में विभाजित हो जाती है। चूँकि $V_E = 0\,V$ है,शाखा $DE$ से प्रवाहित धारा $I_{DE} = (V_D - V_E) / 1\,\Omega = V_D / 1\,\Omega = V_D$ है।
हालाँकि,सर्किट को देखने पर,$D$,$1\,\Omega$ प्रतिरोधक के माध्यम से $E$ से जुड़ा है। चूँकि $E$,$0\,V$ पर है,$V_D = I_{CD} \times 1\,\Omega$। धारा $I_{CD}$ को $E$ तक पहुँचने के लिए $1\,\Omega$ प्रतिरोधक $DE$ से होकर गुजरना होगा। इसलिए,$I_{DE} = I_{CD}$।
चूँकि $V_C = 2\,V$ है,$I_{CD} = (V_C - V_D) / 1\,\Omega = (2 - V_D) / 1$। साथ ही $I_{DE} = V_D / 1$। चूँकि $I_{CD} = I_{DE}$ है,हमें $2 - V_D = V_D \implies 2V_D = 2 \implies V_D = 1\,V$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$I_{CD} = (2 - 1) / 1 = 1\,A$। धारा $I_{DE} = 1\,A / 1 = 1\,A$। अतः,शाखा $DE$ से प्रवाहित धारा $1\,A$ है,शून्य नहीं।

(D) $1$. मान लीजिए कि बिंदु $H$ पर विभव $0 \ V$ है। तब बिंदु $A$ पर विभव $E$ होगा।
$2$. शाखा $CF$ से प्रवाहित धारा $I_{CF} = 1 \ A$ है। शाखा $CF$ का प्रतिरोध $2 \ \Omega$ है। अतः,विभवांतर $V_C - V_F = I_{CF} \times R_{CF} = 1 \ A \times 2 \ \Omega = 2 \ V$ है। चूंकि $F$,$H$ (ग्राउंड) से जुड़ा है,$V_F = 0 \ V$,इसलिए $V_C = 2 \ V$ है।
$3$. शाखा $CD$ का प्रतिरोध $1 \ \Omega$ और शाखा $DE$ का प्रतिरोध $1 \ \Omega$ है। पथ $CDE$ का कुल प्रतिरोध $1 + 1 = 2 \ \Omega$ है। धारा $I_{CDE} = V_C / 2 \ \Omega = 2 \ V / 2 \ \Omega = 1 \ A$ होगी।
$4$. बिंदु $C$ से $B$ की ओर जाने वाली कुल धारा $I_{BC} = I_{CF} + I_{CDE} = 1 \ A + 1 \ A = 2 \ A$ है।
$5$. बिंदु $B$ पर विभव $V_B = V_C + I_{BC} \times R_{BC} = 2 \ V + (2 \ A \times 2 \ \Omega) = 2 \ V + 4 \ V = 6 \ V$ है।
$6$. शाखा $BG$ से प्रवाहित धारा $I_{BG} = V_B / R_{BG} = 6 \ V / 6 \ \Omega = 1 \ A$ है।
$7$. बैटरी से निकलने वाली कुल धारा $I_{total} = I_{BC} + I_{BG} = 2 \ A + 1 \ A = 3 \ A$ है।
$8$. बिंदु $A$ पर विभव $V_A = V_B + I_{total} \times R_{AB} = 6 \ V + (3 \ A \times 2 \ \Omega) = 6 \ V + 6 \ V = 12 \ V$ है।
$9$. चूंकि $V_H = 0 \ V$ है,इसलिए $emf$ $E = V_A - V_H = 12 \ V$ होगा।

(D) रिंग सुपरकंडक्टिंग है,जिसका अर्थ है कि इसका प्रतिरोध शून्य है। इसलिए,रिंग पर स्थित सभी बिंदु ($1, 2,$ और $3$) समान विभव पर हैं।
चूंकि रिंग पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच विभवांतर शून्य है,इसलिए रिंग पर किन्हीं भी दो बिंदुओं ($1$ और $2$,$2$ और $3$,या $3$ और $1$) के बीच का तुल्य प्रतिरोध शून्य है।
अतः,$1$ और $3$ के बीच का तुल्य प्रतिरोध शून्य है,और $1$ और $2$,$2$ और $3$,तथा $3$ और $1$ के बीच के तुल्य प्रतिरोध सभी समान हैं (सभी शून्य हैं)।
इसलिए,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(D) परिपथ में एक केंद्रीय नोड $O$ है जो $R$ प्रतिरोध वाले तीन प्रतिरोधकों द्वारा नोड्स $1, 2, 3$ से जुड़ा है। इसके अतिरिक्त,नोड्स $1-2, 2-3,$ और $3-1$ के बीच $R$ प्रतिरोध वाले तीन प्रतिरोधक जुड़े हुए हैं।
$0$ और $1$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम समरूपता का उपयोग कर सकते हैं।
मान लीजिए कि $I$ धारा $0$ पर प्रवेश करती है और $1$ से बाहर निकलती है। समरूपता के कारण,शाखाओं $0-2$ और $0-3$ में धारा समान होगी,मान लीजिए $I'$।
किरचॉफ के नियमों या नोडल विश्लेषण का उपयोग करके,$0$ और $1$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R/3$ प्राप्त होता है।
केंद्र $O$ के परितः परिपथ की घूर्णी समरूपता के कारण,$0$ और $1$,$0$ और $2$,तथा $0$ और $3$ के बीच तुल्य प्रतिरोध समान हैं।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) मान लीजिए $O$ पर विभव $V_O = E$ है और $1$ पर विभव $V_1 = 0$ है। $O$ और $1$ से गुजरने वाली अक्ष के सापेक्ष परिपथ की समरूपता के कारण,बिंदु $2$ और $3$ पर विभव समान होने चाहिए,अर्थात $V_2 = V_3$।
चूंकि $V_2 = V_3$ है,इसलिए प्रतिरोधक $R_{23}$ के सिरों पर विभवांतर $V_2 - V_3 = 0$ है। अतः,$R_{23}$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसके अलावा,परिपथ $O-1$ रेखा के सापेक्ष सममित है। प्रतिरोधक $R_{12}$ और $R_{13}$ समान विभव वाले बिंदुओं के बीच जुड़े हैं,और चूंकि $V_2 = V_3$ है,इसलिए $R_{12}$ और $R_{13}$ से प्रवाहित होने वाली धारा भी शून्य है।
विशेष रूप से,$O$ पर प्रवेश करने वाली धारा तीन शाखाओं में विभाजित हो जाती है: $O-1$,$O-2$,और $O-3$। चूंकि परिपथ सममित है,इसलिए धारा इन तीन प्रतिरोधकों में समान रूप से विभाजित हो जाती है।
इसलिए,कथन $(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(B) माना $V_{P1} = 0\,V$. तो $P_2$ पर विभव $V$ है।
नोड $P_2$ पर नोडल विश्लेषण का उपयोग करते हुए:
$\frac{V - 5}{2} + \frac{V}{10} + \frac{V - 2}{1} = 0$
$10$ से गुणा करने पर:
$5(V - 5) + V + 10(V - 2) = 0$
$5V - 25 + V + 10V - 20 = 0$
$16V = 45$
$V = \frac{45}{16} = 2.8125\,V$
$10\,\Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{2.8125}{10} = 0.28125\,A \approx 0.28\,A$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $0.27\,A$ है। चूँकि $V_{P2} > V_{P1}$,धारा $P_2$ से $P_1$ की ओर प्रवाहित होती है।

(D) आइए किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ का उपयोग करके परिपथ का विश्लेषण करें।
बाईं ओर के पहले लूप पर विचार करें। इसमें एक-दूसरे के विपरीत जुड़ी हुई दो $2 \ V$ की बैटरी और एक $1 \ \Omega$ का प्रतिरोध है।
इस लूप में कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $2 \ V - 2 \ V = 0 \ V$ है।
चूंकि कुल $EMF$ शून्य है,इसलिए इस लूप में $1 \ \Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली धारा $I = V/R = 0/1 = 0 \ A$ होगी।
इसी प्रकार,अन्य लूपों के लिए भी,बैटरी इस तरह से व्यवस्थित हैं कि उनका विभव एक-दूसरे को निरस्त कर देता है।
इसलिए,परिपथ में किसी भी प्रतिरोध से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
प्रत्येक प्रतिरोध में धारा $0 \ A$ है।

(A) धारा $i$ आवेश के परिवर्तन की दर द्वारा दी जाती है: $i = \frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt}(3t - 6t^2) = 3 - 12t$.
धारा तब शून्य होती है जब $3 - 12t = 0$,जिससे $t = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \text{ s}$ प्राप्त होता है।
उत्पन्न ऊष्मा $H$ समाकलन $H = \int_{0}^{t} i^2 R \, dt$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $H = \int_{0}^{1/4} (3 - 12t)^2 R \, dt$.
माना $u = 3 - 12t$,तो $du = -12 \, dt$,या $dt = -\frac{du}{12}$.
जब $t = 0, u = 3$. जब $t = 1/4, u = 0$.
$H = R \int_{3}^{0} u^2 \left(-\frac{du}{12}\right) = \frac{R}{12} \int_{0}^{3} u^2 \, du$.
$H = \frac{R}{12} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{3} = \frac{R}{12} \times \frac{27}{3} = \frac{27R}{36} = \frac{3R}{4}$.

(D) इस परिपथ को बिंदु $A$ और $B$ के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं में सरल किया जा सकता है। एक शाखा में प्रतिरोध $R_1$ है,और दूसरी शाखा शेष $7$ प्रतिरोधों का समतुल्य प्रतिरोध $x$ दर्शाती है।
$(i)$ जब $R_1 = 4\,\,\Omega$ होता है,तो समतुल्य प्रतिरोध $R_{AB} = 2\,\,\Omega$ होता है। चूंकि $R_1$ और $x$ समानांतर में हैं:
$\frac{R_1 \times x}{R_1 + x} = R_{AB}$
$\frac{4 \times x}{4 + x} = 2$
$4x = 8 + 2x$
$2x = 8 \Rightarrow x = 4\,\,\Omega$
$(ii)$ अब,$R_1$ को $6\,\,\Omega$ से बदलने पर,नया समतुल्य प्रतिरोध $R'_{AB}$ होगा:
$R'_{AB} = \frac{R_1 \times x}{R_1 + x} = \frac{6 \times 4}{6 + 4} = \frac{24}{10} = 2.4\,\,\Omega$.

(A) गॉस के नियम के अनुसार, एक बंद सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$ होता है।
जंक्शन को घेरने वाली एक बेलनाकार गॉसियन सतह पर विचार करें।
पहले पदार्थ में विद्युत क्षेत्र $E_1 = J/\sigma_1$ है और दूसरे पदार्थ में $E_2 = J/\sigma_2$ है, जहाँ $J = I/A$ धारा घनत्व है।
गॉसियन सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi = E_2 A - E_1 A = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$ है।
$E_1$ और $E_2$ के व्यंजक रखने पर:
$A \left( \frac{J}{\sigma_2} - \frac{J}{\sigma_1} \right) = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$
चूँकि $J = I/A$, इसलिए:
$A \cdot \frac{I}{A} \left( \frac{1}{\sigma_2} - \frac{1}{\sigma_1} \right) = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$
$q_{in} = I \varepsilon_0 \left( \frac{1}{\sigma_2} - \frac{1}{\sigma_1} \right)$.

(A) मान लीजिए कि बाएं जंक्शन पर विभव $V_L$ है और दाएं जंक्शन पर विभव $V_R$ है। चूंकि एमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए $R$ और बैटरी के बीच के बिंदु का विभव $40 \, \Omega$ और $20 \, \Omega$ प्रतिरोधों के बीच के विभव के समान है।
मान लीजिए कि ऊपरी शाखा से प्रवाहित धारा $I_1$ है और निचली शाखा से प्रवाहित धारा $I_2$ है। कुल धारा $0.5 \, A$ दी गई है,इसलिए $I_1 + I_2 = 0.5 \, A$ है।
निचली शाखा में,धारा $I_2 = 0.1 \, A$ श्रेणीक्रम में $40 \, \Omega$ और $20 \, \Omega$ दोनों प्रतिरोधों से होकर बहती है।
$40 \, \Omega$ प्रतिरोध पर विभव पतन $V_{40} = I_2 \times 40 = 0.1 \times 40 = 4 \, V$ है।
$20 \, \Omega$ प्रतिरोध पर विभव पतन $V_{20} = I_2 \times 20 = 0.1 \times 20 = 2 \, V$ है।
चूंकि एमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए ऊपरी शाखा का विभवांतर निचली शाखा के विभवांतर के बराबर होना चाहिए।
ऊपरी शाखा के लिए,$I_1 = 0.5 - 0.1 = 0.4 \, A$ है।
ऊपरी शाखा का विभवांतर $V_R + V_{battery} = I_1 \times R + 2 \, V$ है।
विभव पतन की तुलना करने पर: $I_1 \times R + 2 = V_{40} = 4 \, V$ है।
$0.4 \times R + 2 = 4 \Rightarrow 0.4 \times R = 2 \Rightarrow R = \frac{2}{0.4} = 5 \, \Omega$।

(C) माना मुख्य बैटरी का वोल्टेज $V$ है और परिवर्ती प्रतिरोध $R_v$ है।
जब कुंजी स्थिति $1$ पर होती है,तो परिपथ में मुख्य बैटरी और परिवर्ती प्रतिरोध $R_v$ आदर्श एमीटर के साथ श्रेणीक्रम में होते हैं। धारा $I = 2 \, A$ को $I = \frac{V}{R_v} = 2 \, A$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $V = 2 R_v$ है।
जब कुंजी स्थिति $2$ पर होती है,तो परिपथ में बैटरी $E$ और प्रतिरोध $x$ मुख्य बैटरी और $R_v$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ जाते हैं। चूंकि एमीटर का पाठ्यांक $2 \, A$ रहता है,परिपथ में कुल $EMF$ $V - E$ (यदि वे विपरीत दिशा में हैं) है। परिपथ आरेख के अनुसार,बैटरी $E$ मुख्य बैटरी का विरोध करती है। अतः,$I = \frac{V - E}{R_v} = 2 \, A$ है।
$V = 2 R_v$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2 R_v - E}{R_v} = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2 - \frac{E}{R_v} = 2$,अर्थात $\frac{E}{R_v} = 0$,जो असंभव है।
हालाँकि,परिपथ को देखने पर,जब कुंजी स्थिति $2$ पर होती है,तो धारा $I = 2 \, A$,$x$ और $E$ से होकर गुजरती है। चूंकि धारा $I$ समान है,इसलिए $E = I x$ होगा।
अतः,$x = \frac{E}{I} = \frac{20 \, V}{2 \, A} = 10 \, \Omega$।

(D) मान लीजिए कि बिंदु $O$ पर विभव $V_0$ है। नोड $O$ पर नोडल विश्लेषण विधि लागू करने पर:
$\frac{V_0 - V_1}{R_1} + \frac{V_0 - V_2}{R_2} + \frac{V_0 - V_3}{R_3} = 0$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{V_0 - 20}{20} + \frac{V_0 - 30}{30} + \frac{V_0 - 60}{60} = 0$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $60$ से गुणा करने पर:
$3(V_0 - 20) + 2(V_0 - 30) + 1(V_0 - 60) = 0$
$3V_0 - 60 + 2V_0 - 60 + V_0 - 60 = 0$
$6V_0 - 180 = 0$
$6V_0 = 180 \implies V_0 = 30 \ V$
प्रतिरोध $R_2$ से प्रवाहित होने वाली धारा $i_2$ इस प्रकार है:
$i_2 = \frac{V_0 - V_2}{R_2} = \frac{30 - 30}{30} = 0 \ A$

(D) हीटर द्वारा खपत की गई शक्ति $P_{\text{heater}} = I^2 R_H = \left( \frac{V}{R_H + R_b} \right)^2 R_H$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_H$ हीटर का प्रतिरोध है और $R_b$ बल्ब का प्रतिरोध है।
$P_{\text{heater}}$ को अधिकतम करने के लिए,हर $(R_H + R_b)^2$ को न्यूनतम होना चाहिए। चूंकि $R_H$ स्थिर है,हमें $R_b$ को न्यूनतम करना होगा।
हम जानते हैं कि बल्ब के लिए,$P = \frac{V^2}{R}$,जिसका अर्थ है $R = \frac{V^2}{P}$।
इसलिए,$R_b$ को न्यूनतम करने के लिए,बल्ब की पावर रेटिंग $P$ यथासंभव अधिक होनी चाहिए।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$200\, W$ के बल्ब का प्रतिरोध सबसे कम है।
अतः,$50\, W$ के बल्ब को $200\, W$ के बल्ब से बदला जाना चाहिए।

(A) $1$. परिपथ में नोडल विश्लेषण लागू करके,हम विभिन्न नोड्स पर विभव निर्धारित करते हैं। मान लीजिए कि सबसे दाहिने नोड का विभव $0\ V$ है। परिपथ विन्यास और दी गई $1\ V$ की आदर्श बैटरियों के आधार पर,हम प्रत्येक शाखा में बहने वाली धारा ज्ञात करते हैं।
$2$. एमीटर $1\ V$ की बैटरी और $1\ \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है। एमीटर शाखा से बहने वाली धारा $1\ A$ परिकलित की जाती है।
$3$. प्रतिरोधकों में व्यय होने वाली कुल ऊष्मीय शक्ति $P$,परिपथ के प्रत्येक प्रतिरोधक के लिए $I^2R$ के योग द्वारा दी जाती है।
$4$. धारा वितरण के आधार पर: $P = (3^2 \times 1) + (2^2 \times 1) + (2^2 \times 1) + (2^2 \times 1) + (1^2 \times 1) = 9 + 4 + 4 + 4 + 1 = 22\ W$.

(D) माना नोड्स $P$ (बायां जंक्शन),$Q$ (मध्य जंक्शन) और $S$ (दायां जंक्शन) हैं। $P$ और $Q$ पर विभव $V_P$ और $V_Q$ हैं।
चूंकि $A_1$ और $A_2$ का प्रतिरोध $r$ समान है,उनमें से प्रवाहित धारा उनके सिरों के बीच विभवांतर पर निर्भर करती है।
$I_1 = 3 \, A$ और $I_2 = 5 \, A$ दिया गया है।
$V_P - V_Q = I_1 \cdot r = 3r$ ($A_1$ के लिए) और $V_P - V_Q = I_2 \cdot r = 5r$ ($A_2$ के लिए)।
इससे पता चलता है कि मध्य एमीटर $A_3$ (प्रतिरोध $r$) से प्रवाहित धारा $I_3 = \frac{V_P - V_Q}{r} = \frac{5r - 3r}{r} = 2 \, A$ है,जो $A_2$ शाखा से $A_1$ शाखा की ओर बहती है।
किरचॉफ के धारा नियम के अनुसार,परिपथ के दाहिने हिस्से में प्रवेश करने वाली कुल धारा $I_1 + I_2 = 3 + 5 = 8 \, A$ है।
चूंकि $A_4$ दाहिनी शाखा में श्रेणीक्रम में है,इसलिए $A_4$ से प्रवाहित धारा $8 \, A$ होगी।

(A) दिए गए परिपथ को प्रतिरोधों के समानांतर संयोजन का विश्लेषण करके सरल बनाया जा सकता है।
सबसे पहले,$24\ \Omega$ और $8\ \Omega$ प्रतिरोधों वाली निचली समानांतर शाखा पर विचार करें। बिंदु $A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ है:
$R_{AB} = \frac{24 \times 8}{24 + 8} = \frac{192}{32} = 6\ \Omega$.
चूंकि $8\ \Omega$ प्रतिरोध पर विभवांतर $48\ V$ है,इसलिए शाखा $AB$ से प्रवाहित धारा $i$ है:
$i = \frac{48\ V}{6\ \Omega} = 8\ A$.
अब,$20\ \Omega$,$30\ \Omega$ और $60\ \Omega$ प्रतिरोधों वाली ऊपरी समानांतर शाखा पर विचार करें। तुल्य प्रतिरोध $R_{upper}$ है:
$\frac{1}{R_{upper}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{3+2+1}{60} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} \Rightarrow R_{upper} = 10\ \Omega$.
$X$ और $Y$ के बीच कुल प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जुड़े घटकों का योग है:
$R_{XY} = 3\ \Omega + R_{upper} + R_{AB} + 1\ \Omega = 3 + 10 + 6 + 1 = 20\ \Omega$.
$X$ और $Y$ के बीच विभवांतर $V_{XY} = i \times R_{XY} = 8\ A \times 20\ \Omega = 160\ V$ होगा।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक तार का प्रतिरोध $r$ है।
प्रारंभ में,जब कुंजियाँ $K_1$ और $K_2$ खुली होती हैं,तो परिपथ में $r$ प्रतिरोध वाले $7$ प्रतिरोधक एक विशिष्ट नेटवर्क में व्यवस्थित होते हैं। तुल्य प्रतिरोध $R$ दिया गया है।
जब कुंजियाँ $K_1$ और $K_2$ बंद कर दी जाती हैं,तो उनके समानांतर जुड़े प्रतिरोधक शॉर्ट-सर्किट हो जाते हैं।
विशेष रूप से,$K_1$ के समानांतर वाला प्रतिरोधक और $K_2$ के समानांतर वाला प्रतिरोधक परिपथ से प्रभावी रूप से हट जाते हैं।
इससे $r$ प्रतिरोध वाले $5$ प्रतिरोधकों का एक सरल नेटवर्क बचता है।
परिपथ का विश्लेषण करने पर,नया तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{7R}{9}$ हो जाता है।

(B) $10\, \Omega$ के प्रतिरोधक में धारा ज्ञात करने के लिए,हम समानांतर क्रम में जुड़े दो सेलों के लिए समतुल्य $EMF$ $(E_{eq})$ और समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $(r_{eq})$ के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} - \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{\frac{5}{2} - \frac{2}{1}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}\, V$
$r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3}\, \Omega$
अब,परिपथ एक लूप में सरल हो जाता है जहाँ $E_{eq} = \frac{1}{3}\, V$,$r_{eq} = \frac{2}{3}\, \Omega$ और बाह्य प्रतिरोध $R = 10\, \Omega$ श्रेणीक्रम में हैं।
धारा $i = \frac{E_{eq}}{R + r_{eq}} = \frac{1/3}{10 + 2/3} = \frac{1/3}{32/3} = \frac{1}{32} \approx 0.03\, A$
चूंकि $5\, V$ की बैटरी अधिक शक्तिशाली है,इसलिए धारा $P_2$ से $P_1$ की ओर बहेगी।

(B) अधिकतम शक्ति स्थानांतरण प्रमेय (maximum power transfer theorem) के अनुसार, बाहरी नेटवर्क को दी गई शक्ति तब अधिकतम होती है जब नेटवर्क का समतुल्य प्रतिरोध $(R_{eq})$ बैटरी के आंतरिक प्रतिरोध $(r)$ के बराबर होता है।
यहाँ $r = 4 \, \Omega$ दिया गया है।
परिपथ आरेख को देखने पर, प्रतिरोध एक ब्रिज जैसी व्यवस्था में जुड़े हुए हैं। नेटवर्क को सरल बनाने पर:
$1$. दाईं ओर $R$, $R$ और $4R$ श्रेणीक्रम (series) में हैं, जिनका योग $R + R + 4R = 6R$ है।
$2$. यह $6R$ बीच वाले $6R$ प्रतिरोध के साथ समानांतर (parallel) है, जिससे समतुल्य प्रतिरोध $\frac{6R \times 6R}{6R + 6R} = 3R$ प्राप्त होता है।
$3$. बैटरी के टर्मिनलों से देखने पर, नेटवर्क का समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 4 \, \Omega$ प्राप्त होता है।
$R_{eq} = r$ रखने पर:
$4 = 2R$
$R = 2 \, \Omega$.

(D) धारा ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ को दाईं ओर से बाईं ओर सरल करते हैं।
$1$. सबसे दाईं ओर के लूप में $2\, \Omega$ का प्रतिरोध,$4\, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है,जो अन्य $2\, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है। परिपथ को देखने पर,$4\, \Omega$ का प्रतिरोध दाईं ओर की शाखा में $2\, \Omega$ और $2\, \Omega$ के प्रतिरोधों के साथ श्रेणीक्रम में है,जिससे $R = 2+4+2 = 8\, \Omega$ प्राप्त होता है। यह $8\, \Omega$ ऊर्ध्वाधर $8\, \Omega$ प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में है,जिससे $R_p = 4\, \Omega$ प्राप्त होता है।
$2$. अब,यह $4\, \Omega$ क्षैतिज $2\, \Omega$ और $2\, \Omega$ प्रतिरोधों के साथ श्रेणीक्रम में है,जिससे $R = 2+4+2 = 8\, \Omega$ प्राप्त होता है। यह $8\, \Omega$ मध्य ऊर्ध्वाधर $8\, \Omega$ प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में है,जिससे $R_p = 4\, \Omega$ प्राप्त होता है।
$3$. अंत में,यह $4\, \Omega$ क्षैतिज $3\, \Omega$ और $2\, \Omega$ प्रतिरोधों तथा $1\, \Omega$ के आंतरिक प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है,जिससे $R_{total} = 3+4+2+1 = 10\, \Omega$ प्राप्त होता है।
$4$. बैटरी से प्रवाहित कुल धारा $I = \frac{10\,V}{10\, \Omega} = 1\,A$ है।
$5$. धारा विभाजन के नियम के अनुसार,जहाँ प्रतिरोध समान होते हैं,वहाँ धारा समान रूप से विभाजित होती है। $4\, \Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $0.25\,A$ है।

(B) सबसे दाहिने लूप से शुरू करते हुए, $1\, \Omega$, $3\, \Omega$ और $2\, \Omega$ प्रतिरोधकों से प्रवाहित धारा $0.25\, A$ है। इस शाखा पर वोल्टेज $V_1 = 0.25 \times (1 + 3 + 2) = 0.25 \times 6 = 1.5\, V$ है।
यह वोल्टेज $V_1$, $6\, \Omega$ के प्रतिरोधक पर दिखाई देता है। अतः, $6\, \Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $I_2 = 1.5 / 6 = 0.25\, A$ है।
मध्य नोड में प्रवेश करने वाली कुल धारा $I_{total} = 0.25\, A + 0.25\, A = 0.5\, A$ है।
यह $0.5\, A$ धारा $5\, \Omega$ के प्रतिरोधक से होकर बहती है। $5\, \Omega$ के प्रतिरोधक पर वोल्टेज ड्रॉप $V_2 = 0.5 \times 5 = 2.5\, V$ है।
$6\, \Omega$ के प्रतिरोधक और $5\, \Omega$ के प्रतिरोधक पर कुल वोल्टेज $V_{mid} = 1.5 + 2.5 = 4.0\, V$ है।
यह वोल्टेज $V_{mid}$, $8\, \Omega$ के प्रतिरोधक पर दिखाई देता है। अतः, $8\, \Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $I_3 = 4.0 / 8 = 0.5\, A$ है।
पहले नोड में प्रवेश करने वाली कुल धारा $I_{in} = 0.5\, A + 0.5\, A = 1.0\, A$ है।
अंत में, इनपुट वोल्टेज $V$, $7\, \Omega$ के प्रतिरोधक, $8\, \Omega$ की शाखा और $9\, \Omega$ के प्रतिरोधक पर वोल्टेज ड्रॉप का योग है:
$V = I_{in} \times 7 + V_{mid} + I_{in} \times 9$
$V = (1.0 \times 7) + 4.0 + (1.0 \times 9) = 7 + 4 + 9 = 20\, V$.

(C) सबसे पहले, $300 \, \Omega$ प्रतिरोध और $600 \, \Omega$ वोल्टमीटर के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_p = \frac{300 \times 600}{300 + 600} = \frac{180000}{900} = 200 \, \Omega$
परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध है:
$R_{eq} = 200 \, \Omega + R_p + 100 \, \Omega = 200 + 200 + 100 = 500 \, \Omega$
परिपथ में प्रवाहित कुल धारा है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{100}{500} = 0.2 \, A$
समानांतर संयोजन के सिरों पर विभवांतर (जो वोल्टमीटर का पाठ्यांक है) है:
$V_{voltmeter} = I \times R_p = 0.2 \times 200 = 40 \, V$

(C) परिपथ में एक बैटरी,एक निश्चित प्रतिरोधक और श्रेणीक्रम में एक रियोस्टेट जुड़ा है। वोल्टमीटर $V_1$ को निश्चित प्रतिरोधक के सिरों पर जोड़ा गया है।
ओम के नियम के अनुसार,वोल्टमीटर $V_1$ की रीडिंग $V_1 = I \times R$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ परिपथ में प्रवाहित धारा है और $R$ निश्चित प्रतिरोधक का प्रतिरोध है।
जब रियोस्टेट स्लाइडर को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाया जाता है,तो रियोस्टेट का प्रभावी प्रतिरोध घट जाता है।
चूंकि परिपथ का कुल प्रतिरोध घट जाता है,इसलिए परिपथ में प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I$ बढ़ जाती है $(I = \frac{E}{R_{total}})$।
जैसे-जैसे धारा $I$ बढ़ती है और निश्चित प्रतिरोधक का प्रतिरोध $R$ स्थिर रहता है,निश्चित प्रतिरोधक पर वोल्टेज ड्रॉप $V_1 = I \times R$ लगातार बढ़ता जाता है।

(B) सबसे पहले,$R = V^2 / P$ का उपयोग करके प्रत्येक बल्ब का प्रतिरोध ज्ञात करें।
बल्ब $A$ के लिए: $R_A = (24)^2 / 48 = 576 / 48 = 12\ \Omega$.
बल्ब $B$ के लिए: $R_B = (24)^2 / 36 = 576 / 36 = 16\ \Omega$.
स्थिति $1$: स्विच बंद है।
प्रत्येक बल्ब अपनी $12\ V$ की बैटरी से जुड़ा है। शक्ति $P = V^2 / R$ द्वारा दी जाती है।
$P_A = (12)^2 / 12 = 144 / 12 = 12\ W$.
$P_B = (12)^2 / 16 = 144 / 16 = 9\ W$.
स्थिति $2$: स्विच खुला है।
दोनों बल्ब $24\ V$ के कुल वोल्टेज के साथ श्रेणीक्रम में हैं।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_A + R_B = 12 + 16 = 28\ \Omega$.
परिपथ में धारा $I = V / R_{eq} = 24 / 28 = 6 / 7\ A$.
$A$ द्वारा दी गई शक्ति $P_A = I^2 R_A = (6/7)^2 \times 12 = (36/49) \times 12 \approx 8.8\ W \approx 9\ W$.
$B$ द्वारा दी गई शक्ति $P_B = I^2 R_B = (6/7)^2 \times 16 = (36/49) \times 16 \approx 11.7\ W \approx 12\ W$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) मान लीजिए कि $A_1$ से पहले नोड पर विभव $V_1$ है और $3 \ \Omega$ प्रतिरोधक के बाद विभव $V_2$ है। $A_1$ से पहले के नोड और $3 \ \Omega$ प्रतिरोधक के बाद के नोड को जोड़ने वाला तार एक शॉर्ट सर्किट है,इसलिए $V_1 = V_2 = 0 \ V$ (इसे संदर्भ के रूप में लेते हुए)।
$6 \ \Omega$ प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $1.0 \ A$ दी गई है ($A_1$ का पाठ्यांक)।
$6 \ \Omega$ प्रतिरोधक पर विभव पतन $V = I \times R = 1.0 \ A \times 6 \ \Omega = 6 \ V$ है।
चूंकि शुरुआत में विभव $0 \ V$ है,इसलिए $6 \ \Omega$ और $3 \ \Omega$ प्रतिरोधकों के बीच के नोड पर विभव $-6 \ V$ है।
अब,$3 \ \Omega$ प्रतिरोधक पर विचार करें। इसके सिरों पर विभवांतर $V_{diff} = 0 \ V - (-6 \ V) = 6 \ V$ है।
$3 \ \Omega$ प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $I = V / R = 6 \ V / 3 \ \Omega = 2 \ A$ है।
$6 \ \Omega$ और $3 \ \Omega$ प्रतिरोधकों के बीच के नोड पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर,$6 \ \Omega$ प्रतिरोधक से आने वाली धारा $1 \ A$ है और $3 \ \Omega$ प्रतिरोधक से बाहर जाने वाली धारा $2 \ A$ है। अतः,$A_3$ शाखा से आने वाली धारा $I_{A3} = I_{3\Omega} + I_{6\Omega} = 2 \ A + 1 \ A = 3 \ A$ होनी चाहिए।
इसलिए,$A_3$ का पाठ्यांक $3 \ A$ है।

(A) दिए गए परिपथ में,बिंदु $A$ और $B$ को तार $AB$ द्वारा शॉर्ट-सर्किट किया गया है।
इसका अर्थ है कि $4 \ \Omega$ और $12 \ \Omega$ के प्रतिरोधों के सिरों पर विभवांतर शून्य है,इसलिए उनमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ प्रभावी रूप से केवल $3 \ \Omega$ के प्रतिरोध से बना है जो $30 \ V$ की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R = 3 \ \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{30 \ V}{3 \ \Omega} = 10 \ A$ है।
बैटरी द्वारा आपूर्ति की गई शक्ति $P = V \times I = 30 \ V \times 10 \ A = 300 \ W$ है।
चूंकि तार $AB$ में धारा परिपथ की कुल धारा है,यह $10 \ A$ है,शून्य नहीं है।
अतः,केवल विकल्प $A$ सही है।

(C) $x$ और $y$ बिंदुओं के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ की सममिति का विश्लेषण करते हैं।
सममिति के सिद्धांत को लागू करके,समान विभव वाले नोड्स को धारा वितरण को बदले बिना जोड़ा या अलग किया जा सकता है।
इस परिपथ में,$R$ प्रतिरोध वाले $8$ प्रतिरोधक हैं।
सममिति का उपयोग करके परिपथ को सरल बनाकर,हम इसे श्रेणी और समानांतर प्रतिरोधकों के संयोजन के रूप में फिर से बना सकते हैं।
नेटवर्क को सरल बनाने के बाद,$x$ और $y$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{8R}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि बैटरी का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon$ है और इसका आंतरिक प्रतिरोध $r$ है।
परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $I = \frac{\varepsilon}{R + r}$ होती है।
प्रथम स्थिति के लिए: $2 = \frac{\varepsilon}{2 + r} \implies \varepsilon = 2(2 + r) = 4 + 2r$ (समीकरण $1$)।
द्वितीय स्थिति के लिए: $0.5 = \frac{\varepsilon}{9 + r} \implies \varepsilon = 0.5(9 + r) = 4.5 + 0.5r$ (समीकरण $2$)।
$\varepsilon$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$4 + 2r = 4.5 + 0.5r$
$2r - 0.5r = 4.5 - 4$
$1.5r = 0.5$
$r = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}\,\Omega$।

(A) $2\, \Omega$ प्रतिरोधक से होकर बहने वाली धारा ज्ञात करने के लिए,हमें परिपथ का विश्लेषण करना होगा।
दी गई परिपथ आरेख को देखने पर,हम देखते हैं कि दो अलग-अलग लूप हैं जो $2\, \Omega$ प्रतिरोधक वाले एक तार द्वारा जुड़े हुए हैं।
हालाँकि,किसी प्रतिरोधक से धारा प्रवाहित होने के लिए,उसे एक पूर्ण बंद पथ (परिपथ) का हिस्सा होना चाहिए जो आवेश को स्रोत के एक टर्मिनल से दूसरे टर्मिनल तक प्रवाहित होने दे।
इस आरेख में,$2\, \Omega$ प्रतिरोधक दो बिंदुओं के बीच जुड़ा हुआ है,लेकिन कोई वापसी का रास्ता या पूर्ण परिपथ लूप नहीं है जो इस प्रतिरोधक और वोल्टेज स्रोतों को इस तरह शामिल करे कि इससे होकर एक स्थिर धारा प्रवाहित हो सके।
चूंकि परिपथ $2\, \Omega$ प्रतिरोधक के माध्यम से बंद नहीं है,इसलिए इससे कोई धारा प्रवाहित नहीं हो सकती है।
अतः,$2\, \Omega$ प्रतिरोध से होकर बहने वाली धारा $0\, A$ है।