Spectral Series of Hydrogen Atom Questions in Gujarati

(N/A) ઉત્સર્જિત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું બામર સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right]$
જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે અને $n = 3, 4, 5, \dots$
આવૃત્તિ $\nu$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c$ સાથે $\nu = \frac{c}{\lambda}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે,તેથી આપણે બામર સૂત્રમાં $\frac{1}{\lambda} = \frac{\nu}{c}$ મૂકી શકીએ:
$\frac{\nu}{c} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right]$
બંને બાજુ $c$ વડે ગુણતા,આપણને આવૃત્તિના સંદર્ભમાં બામર સૂત્ર મળે છે:
$\nu = Rc \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right]$

(N/A) દરેક તત્વ તેના તાપમાનના આધારે અલગ-અલગ તરંગલંબાઇનું વિકિરણ ઉત્સર્જિત કરે છે. તેથી,દરેક તત્વ પાસે તેના દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણનો એક લાક્ષણિક વર્ણપટ હોય છે.
જ્યારે કોઈ પરમાણ્વીય વાયુ કે બાષ્પને ઓછા દબાણે વિદ્યુત પ્રવાહ પસાર કરીને ઉત્તેજિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઉત્સર્જિત વિકિરણના વર્ણપટમાં માત્ર અમુક ચોક્કસ તરંગલંબાઇઓ જ જોવા મળે છે.
આ પ્રકારના વર્ણપટને ઉત્સર્જન રેખા વર્ણપટ કહેવામાં આવે છે.

(N/A) જ્યારે શ્વેત પ્રકાશ,જેમાં દ્રશ્ય વર્ણપટની તમામ તરંગલંબાઇઓ હોય છે,તેને ઠંડા વાયુમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે વાયુના પરમાણુઓ તેમના ઇલેક્ટ્રોનના ઉર્જા સંક્રમણને અનુરૂપ પ્રકાશની ચોક્કસ તરંગલંબાઇઓનું શોષણ કરે છે.
પરિણામે,આ ચોક્કસ તરંગલંબાઇઓ પ્રસારિત પ્રકાશમાંથી ગેરહાજર હોય છે,જે વર્ણપટમાં સતત તેજસ્વી પૃષ્ઠભૂમિ પર કાળી રેખાઓ તરીકે દેખાય છે.
કાળી રેખાઓની આ ભાતને વાયુના દ્રવ્યનો શોષણ વર્ણપટ કહેવામાં આવે છે.

(B) હાઇડ્રોજન વર્ણપટની બામર શ્રેણી સૌપ્રથમ વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના દ્રશ્ય વિભાગમાં જોવા મળી હતી. તેની શોધ જોહાન બામર દ્વારા $1885$ માં હાઇડ્રોજનની દ્રશ્ય રેખાઓના પ્રાયોગિક અવલોકનોના આધારે કરવામાં આવી હતી.

(A) બામર શ્રેણી એવા સંક્રમણોને અનુરૂપ છે જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ સ્તરો $n_i = 3, 4, 5, \dots$ થી $n_f = 2$ ઉર્જા સ્તર પર કૂદકો મારે છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,જ્યાં $R \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ છે.
$H_{\alpha}$ રેખા $n_i = 3$ થી $n_f = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{5}{36} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} \approx 1.5236 \times 10^6 \ m^{-1}$.
$\lambda \approx 6.563 \times 10^{-7} \ m = 656.3 \ nm$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,જ્યાં $n_1$ એ નીચું ઉર્જા સ્તર છે અને $n_2$ એ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર છે.
સીમા તરંગલંબાઇ (જેને શ્રેણી સીમા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) માટે,તરંગલંબાઇ ન્યૂનતમ હોય છે,જે મહત્તમ શક્ય ઉર્જા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન અનંત ઉર્જા સ્તર $(n_2 = \infty)$ થી શ્રેણીના ચોક્કસ નીચલા ઉર્જા સ્તર $(n_1)$ પર સંક્રમણ કરે છે.
તેથી,સીમા તરંગલંબાઇ માટે,ક્વોન્ટમ નંબરો $n_1$ (શ્રેણી માટે નિશ્ચિત) અને $n_2 = \infty$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની વર્ણપટ રેખાઓ ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણમાં સામેલ ઉર્જા સ્તરોના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
$1$. લાયમન શ્રેણી ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરો $(n_2 = 2, 3, 4, ...)$ થી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n_1 = 1)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$2$. આ સંક્રમણો માટે ઉર્જાનો તફાવત ઘણો વધારે હોય છે,જેના કારણે ઉત્સર્જિત ફોટોન વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(UV)$ વિભાગમાં આવે છે.
$3$. બામર શ્રેણી દ્રશ્ય વિભાગમાં આવે છે,જ્યારે પાશ્ચન,બ્રેકેટ અને ફંડ શ્રેણી ઇન્ફ્રારેડ વિભાગમાં આવે છે.
તેથી,લાયમન શ્રેણી સાચો જવાબ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની વર્ણપટ શ્રેણીઓ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,વિભાગો નીચે મુજબ છે:
$1$. લાયમન શ્રેણી $(n_f = 1)$: અલ્ટ્રાવાયોલેટ (પારજાંબલી) વિભાગ.
$2$. બામર શ્રેણી $(n_f = 2)$: દ્રશ્ય વિભાગ.
$3$. પાશ્ચન શ્રેણી $(n_f = 3)$: ઇન્ફ્રારેડ (પારરક્ત) વિભાગ.
$4$. બ્રેકેટ શ્રેણી $(n_f = 4)$: ઇન્ફ્રારેડ (પારરક્ત) વિભાગ.
$5$. ફંડ શ્રેણી $(n_f = 5)$: ઇન્ફ્રારેડ (પારરક્ત) વિભાગ.
તેથી,પાશ્ચન,બ્રેકેટ અને ફંડ શ્રેણીઓ ઇન્ફ્રારેડ વિભાગમાં જોવા મળે છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની વર્ણપટ રેખાઓને ઇલેક્ટ્રોન સંક્રમણમાં સામેલ ઉર્જા સ્તરોના આધારે વિવિધ શ્રેણીઓમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
$1$. લાયમન શ્રેણી એ ધરા સ્થિતિ $(n_f = 1)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે અને તે પારજાંબલી (ultraviolet) વિસ્તારમાં આવેલી છે.
$2$. બામર શ્રેણી એ બીજા ઉર્જા સ્તર $(n_f = 2)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે અને તે દ્રશ્ય પ્રકાશ વિસ્તારમાં આવેલી છે.
$3$. પાશ્ચન,બ્રેકેટ અને ફંડ શ્રેણીઓ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરો ($n_f = 3, 4, 5$ અનુક્રમે) માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે અને તે ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તારમાં આવેલી છે.
તેથી,બામર શ્રેણી એકમાત્ર એવી શ્રેણી છે જે દ્રશ્ય પ્રકાશ વિસ્તારમાં જોવા મળે છે.

(N/A) જુદા જુદા પરમાણ્વીય ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ રીડબર્ગના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda_{if}} = R \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$
જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે,$n_f$ એ અંતિમ ઉર્જા સ્તર છે અને $n_i$ એ પ્રારંભિક ઉર્જા સ્તર $(n_i > n_f)$ છે.
$1$. લાયમન શ્રેણી: જો $n_f = 1$ અને $n_i = 2, 3, 4, \ldots$ હોય,તો વર્ણપટ રેખાઓ પારજાંબલી વિભાગમાં મળે છે.
$2$. બામર શ્રેણી: જો $n_f = 2$ અને $n_i = 3, 4, 5, \ldots$ હોય,તો વર્ણપટ રેખાઓ દ્રશ્ય વિભાગમાં મળે છે.
$3$. પાશ્ચન શ્રેણી: જો $n_f = 3$ અને $n_i = 4, 5, 6, \ldots$ હોય,તો વર્ણપટ રેખાઓ ઇન્ફ્રારેડ વિભાગમાં મળે છે.
$4$. બ્રેકેટ શ્રેણી: જો $n_f = 4$ અને $n_i = 5, 6, 7, \ldots$ હોય,તો વર્ણપટ રેખાઓ ઇન્ફ્રારેડ વિભાગમાં મળે છે.
$5$. ફંડ શ્રેણી: જો $n_f = 5$ અને $n_i = 6, 7, 8, \ldots$ હોય,તો વર્ણપટ રેખાઓ ઇન્ફ્રારેડ વિભાગમાં મળે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં આ સંક્રમણોને કારણે મળતી વર્ણપટ રેખાઓ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6/n^2 \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજી કક્ષા $(n_2 = 2)$ થી પ્રથમ કક્ષા $(n_1 = 1)$ માં સંક્રમણ માટે,ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = -13.6(1/2^2 - 1/1^2) = -13.6(1/4 - 1) = -13.6(-3/4) = 10.2 \ eV$ છે.
આ સંક્રમણ લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખાને અનુરૂપ છે.
હાઇડ્રોજન વર્ણપટની લાયમન શ્રેણી વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિસ્તારમાં આવેલી છે.

(A-B) તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ સાથે $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
કોઈપણ વર્ણપટ શ્રેણી માટે,ઉર્જા તફાવત $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. મહત્તમ તરંગલંબાઇ: મહત્તમ તરંગલંબાઇ મેળવવા માટે,ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ લઘુત્તમ હોવો જોઈએ. આ સૌથી નજીકના ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેના સંક્રમણ માટે થાય છે,એટલે કે $n_2 = n_1 + 1$ થી $n_1$ (શ્રેણીની પ્રથમ રેખા).
$2$. મહત્તમ આવૃત્તિ: આવૃત્તિ $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ હોવાથી,મહત્તમ આવૃત્તિ મહત્તમ ઉર્જા તફાવતને અનુરૂપ છે. આ $n_2 = \infty$ થી $n_1$ ના સંક્રમણ માટે થાય છે (શ્રેણીની મર્યાદા અથવા શ્રેણીની છેલ્લી રેખા).

(A) તરંગલંબાઈ એ રિડબર્ગ અચળાંક $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu = \frac{m_e M}{m_e + M}$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,$\lambda \propto \frac{1}{\mu} = \frac{m_e + M}{m_e M} = \frac{1}{M} + \frac{1}{m_e}$.
હાઇડ્રોજન $(H)$ અને ડ્યુટેરિયમ $(D)$ માટે:
$\frac{\lambda_D}{\lambda_H} = \frac{\frac{1}{M_H} + \frac{1}{m_e}}{\frac{1}{M_D} + \frac{1}{m_e}} = \frac{M_D(m_e + M_H)}{M_H(m_e + M_D)}$.
રિડ્યુસ્ડ માસ સુધારા માટેનું પ્રમાણિત સૂત્ર $\lambda_D = \lambda_H \frac{\mu_H}{\mu_D}$ છે.
$\frac{\mu_H}{\mu_D} = \frac{M_H(m_e + M_D)}{M_D(m_e + M_H)} \approx 1 - \frac{m_e}{M_H} + \frac{m_e}{M_D} \approx 1 - 2.717 \times 10^{-4}$.
$\lambda_D = 1218 \times (1 - 0.0002717) = 1217.669 \, \mathring{A}$.
પ્રતિશત ફેરફાર $= \frac{\lambda_H - \lambda_D}{\lambda_H} \times 100\% = \frac{1218 - 1217.669}{1218} \times 100\% \approx 0.0272\%$.

(A) તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે,જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે. ધારો કે $C = \frac{1}{R}$. તેથી $\lambda = C \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)^{-1}$.
લાયમન શ્રેણી માટે $(n_1 = 1)$:
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $\lambda_{L,s} = C \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)^{-1} = C$.
સૌથી મોટી તરંગલંબાઇ $\lambda_{L,l} = C \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)^{-1} = \frac{4C}{3}$.
તફાવત $\Delta \lambda_L = \frac{4C}{3} - C = \frac{C}{3} = 304\,\mathring{A} \implies C = 912\,\mathring{A}$.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે $(n_1 = 3)$:
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $\lambda_{P,s} = C \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)^{-1} = 9C$.
સૌથી મોટી તરંગલંબાઇ $\lambda_{P,l} = C \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right)^{-1} = C \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right)^{-1} = \frac{144C}{7}$.
તફાવત $\Delta \lambda_P = \frac{144C}{7} - 9C = \frac{81C}{7}$.
$C = 912\,\mathring{A}$ મૂકતા:
$\Delta \lambda_P = \frac{81 \times 912}{7} \approx 10553.14\,\mathring{A}$.

(B) બામર શ્રેણી હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનના ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરો $(n = 3, 4, 5, 6, \dots)$ માંથી $n = 2$ ઉર્જા સ્તર પરના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
આમાંથી,$n = 3, 4, 5,$ અને $6$ થી $n = 2$ સુધીના સંક્રમણો દ્રશ્યમાન વર્ણપટમાં આવે છે.
ચોક્કસ રીતે,આ સંક્રમણો નીચે મુજબ છે:
$1$. $n = 3 \to n = 2$ ($H_{\alpha}$ રેખા,લાલ)
$2$. $n = 4 \to n = 2$ ($H_{\beta}$ રેખા,વાદળી-લીલી)
$3$. $n = 5 \to n = 2$ ($H_{\gamma}$ રેખા,વાદળી-જાંબલી)
$4$. $n = 6 \to n = 2$ ($H_{\delta}$ રેખા,જાંબલી)
$n > 6$ થી $n = 2$ સુધીના સંક્રમણોની તરંગલંબાઇ $364.6 \ nm$ કરતા ઓછી હોય છે,જે પારજાંબલી (ultraviolet) વિભાગમાં આવે છે.
તેથી,બામર શ્રેણીમાં કુલ $4$ દ્રશ્યમાન રેખાઓ હોય છે.

(D) બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે $(n_1 = 2, n_2 = 3)$:
$\frac{1}{\lambda_{1}} = R \left(\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}}\right) = R \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) = R \left(\frac{5}{36}\right) \implies \lambda_{1} = \frac{36}{5R}$.
બામર શ્રેણીની ત્રીજી રેખા માટે $(n_1 = 2, n_2 = 5)$:
$\frac{1}{\lambda_{3}} = R \left(\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{5^{2}}\right) = R \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{25}\right) = R \left(\frac{21}{100}\right) \implies \lambda_{3} = \frac{100}{21R}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{3}}$ ની ગણતરી:
$\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{3}} = \left(\frac{36}{5R}\right) \times \left(\frac{21R}{100}\right) = \frac{36 \times 21}{500} = \frac{756}{500} = 1.512$.
$x \times 10^{-1}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$1.512 = 15.12 \times 10^{-1}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$x \approx 15$.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણ્વીય વર્ણપટમાં વર્ણપટ રેખાઓની ઘણી શ્રેણીઓ હોય છે,જે ઇલેક્ટ્રોન સંક્રમણમાં સામેલ ઉર્જા સ્તરોના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
$1$. $Lyman$ શ્રેણી ભૂમિ અવસ્થા $(n_f = 1)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે અને તે પારજાંબલી વિભાગમાં આવેલી છે.
$2$. $Balmer$ શ્રેણી બીજા ઉર્જા સ્તર $(n_f = 2)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે અને તે દ્રશ્ય વિભાગમાં આવેલી છે.
$3$. $Paschen$ શ્રેણી $(n_f = 3)$,$Brackett$ શ્રેણી $(n_f = 4)$ અને $Pfund$ શ્રેણી $(n_f = 5)$ એ તમામ ઇન્ફ્રારેડ (અવરક્ત) વિભાગમાં આવેલી છે.
તેથી,દ્રશ્ય વિભાગમાં આવતી સાચી શ્રેણી $Balmer$ શ્રેણી છે.

(C) સંક્રમણ $A$ એ $n = \infty$ થી $n = 1$ સુધીનું છે,જે લાયમન શ્રેણીની શ્રેણી મર્યાદા દર્શાવે છે.
સંક્રમણ $B$ એ $n = 5$ થી $n = 2$ સુધીનું છે,જે બામર શ્રેણીનો ત્રીજો સભ્ય છે (પ્રથમ: $3 \rightarrow 2$,બીજો: $4 \rightarrow 2$,ત્રીજો: $5 \rightarrow 2$).
સંક્રમણ $C$ એ $n = 5$ થી $n = 3$ સુધીનું છે,જે પાશ્ચન શ્રેણીનો બીજો સભ્ય છે (પ્રથમ: $4 \rightarrow 3$,બીજો: $5 \rightarrow 3$).

(C) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગનું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right)$ છે.
લાયમન શ્રેણીના ત્રીજા સભ્ય માટે,$n_{f} = 1$ અને $n_{i} = 1 + 3 = 4$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_{1}} = R \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{4^{2}} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{15}{16} \right)$.
પાશ્ચન શ્રેણીના પ્રથમ સભ્ય માટે,$n_{f} = 3$ અને $n_{i} = 3 + 1 = 4$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_{2}} = R \left( \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16 - 9}{144} \right) = R \left( \frac{7}{144} \right)$.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{1/\lambda_{2}}{1/\lambda_{1}} = \frac{R(7/144)}{R(15/16)} = \frac{7}{144} \times \frac{16}{15} = \frac{7}{9 \times 15} = \frac{7}{135}$.
તેથી,$\lambda_{1} : \lambda_{2} = 7 : 135$.

(D) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે, જ્યાં $R \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે。
$n_i = 2$ થી $n_f = 1$ ના સંક્રમણ માટે:
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( 1 - 0.25 \right) = 1.097 \times 10^7 \times 0.75$
$\frac{1}{\lambda} = 0.82275 \times 10^7 \, m^{-1}$
$\lambda = \frac{1}{0.82275 \times 10^7} \approx 1.215 \times 10^{-7} \, m = 121.5 \, nm$.
$R$ ના ચોક્કસ મૂલ્ય અને ઉર્જા સ્તરોનો ઉપયોગ કરતા, પ્રમાણિત મૂલ્ય આશરે $121.8 \, nm$ મળે છે。

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ધરાવતી ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી નીચી ઉર્જા સ્તરોમાં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે ઉત્સર્જિત થતી વિવિધ તરંગલંબાઇઓની સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X = \frac{n(n - 1)}{2}$
અહીં આપેલ છે કે પરમાણુઓ $n = 6$ અવસ્થામાં ઉત્તેજિત થયેલ છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$X = \frac{6(6 - 1)}{2}$
$X = \frac{6 \times 5}{2}$
$X = \frac{30}{2}$
$X = 15$
તેથી,જોવા મળતી વિવિધ તરંગલંબાઇઓની સંખ્યા $15$ છે.

(A) લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે $(n_1=1, n_2=2)$:
$\frac{1}{\lambda} = R \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right) = R \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda = \frac{4}{3R} \quad \dots(1)$
પાશ્ચન શ્રેણીની $3^{\text{rd}}$ રેખા માટે $(n_1=3, n_2=6)$:
$\frac{1}{\lambda_3} = R \left(\frac{1}{3^2} - \frac{1}{6^2}\right) = R \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{36}\right) = R \left(\frac{4-1}{36}\right) = \frac{3R}{36} = \frac{R}{12} \implies \lambda_3 = \frac{12}{R} \quad \dots(2)$
બામર શ્રેણીની $2^{\text{nd}}$ રેખા માટે $(n_1=2, n_2=4)$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}\right) = R \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{16}\right) = R \left(\frac{4-1}{16}\right) = \frac{3R}{16} \implies \lambda_2 = \frac{16}{3R} \quad \dots(3)$
તરંગલંબાઇનો તફાવત $\lambda_3 - \lambda_2 = a\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a\lambda = \frac{12}{R} - \frac{16}{3R} = \frac{36 - 16}{3R} = \frac{20}{3R}$
$\lambda = \frac{4}{3R}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$a \left(\frac{4}{3R}\right) = \frac{20}{3R} \implies a = \frac{20}{4} = 5$

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
લાયમન-આલ્ફા $(Ly-\alpha)$ રેખા માટે,સંક્રમણ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ છે:
$\frac{1}{\lambda_{Ly-\alpha}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
બામર-આલ્ફા $(Ba-\alpha)$ રેખા માટે,સંક્રમણ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ છે:
$\frac{1}{\lambda_{Ba-\alpha}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{Ly-\alpha}}{\lambda_{Ba-\alpha}}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{\lambda_{Ly-\alpha}}{\lambda_{Ba-\alpha}} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{27}$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઈ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,જ્યાં $R \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3, 4, 5, \dots$
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈ (ન્યૂનતમ ઊર્જા) માટે,આપણે $n_2 = 3$ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
$\lambda_{\max} = \frac{36}{5R} \approx 6563 \,\mathring A$.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઈ (શ્રેણી મર્યાદા,મહત્તમ ઊર્જા) માટે,આપણે $n_2 = \infty$ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{R}{4}$.
$\lambda_{\min} = \frac{4}{R} \approx 3647 \,\mathring A$.
આમ,તરંગલંબાઈ $3647 \,\mathring A$ અને $6563 \,\mathring A$ ની વચ્ચે હોય છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાની આવૃત્તિ $F = R c \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
લાયમન શ્રેણીની બીજી રેખા માટે $(n_f = 1, n_i = 3)$:
$F_1 = R c \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R c \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] \quad \dots (i)$
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે $(n_f = 2, n_i = 3)$:
$F_2 = R c \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R c \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$F_1 - F_2 = R c \left[ \left( 1 - \frac{1}{9} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) \right]$
$F_1 - F_2 = R c \left[ 1 - \frac{1}{4} \right]$
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખાની આવૃત્તિ $(n_f = 1, n_i = 2)$ છે:
$F = R c \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R c \left[ 1 - \frac{1}{4} \right]$
આમ,લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખાની આવૃત્તિ $F = F_1 - F_2$ થાય છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની વર્ણપટ શ્રેણીઓ તેઓ જે વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના વિભાગમાં આવે છે તેના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે:
$1$. લાયમન શ્રેણી: અલ્ટ્રાવાયોલેટ (પારજાંબલી) વિભાગ.
$2$. બામર શ્રેણી: દ્રશ્ય વિભાગ.
$3$. પાશ્ચન શ્રેણી: ઇન્ફ્રારેડ (પારરક્ત) વિભાગ.
$4$. બ્રેકેટ શ્રેણી: ઇન્ફ્રારેડ (પારરક્ત) વિભાગ.
$5$. ફંડ શ્રેણી: ઇન્ફ્રારેડ (પારરક્ત) વિભાગ.
તેથી,પાશ્ચન,બ્રેકેટ અને ફંડ શ્રેણીઓ ઇન્ફ્રારેડ વિભાગમાં આવે છે. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n$ ધરાવતી ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$N = \frac{n(n - 1)}{2}$
અહીં આપેલ છે કે ઇલેક્ટ્રોન મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n = 5$ સુધી ઉત્તેજિત થાય છે:
$N = \frac{5(5 - 1)}{2}$
$N = \frac{5 \times 4}{2}$
$N = \frac{20}{2} = 10$
તેથી,અવલોકિત થતી કુલ વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $10$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઇ રિડબર્ગના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$ છે. લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$R \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,તરંગલંબાઇ $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 1.097 \times 10^7 \times 0.75 \approx 8.2275 \times 10^6 \ m^{-1}$ મળે છે.
આમ,$\lambda \approx 1.215 \times 10^{-7} \ m = 121.5 \ nm$ થાય છે.
તરંગલંબાઇ $121.5 \ nm$ એ પારજાંબલી (ultraviolet) વિસ્તારમાં આવતી હોવાથી,તે લાયમન શ્રેણીનો ભાગ છે.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગનું સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = RZ^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$ છે.
સંક્રમણ $1$ એ $n = 3$ થી $n = 1$ સુધીનું છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_1} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] = \frac{8R}{9}$ થાય.
સંક્રમણ $2$ એ $n = 2$ થી $n = 1$ સુધીનું છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_2} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4}$ થાય.
હવે,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ નો ગુણોત્તર શોધીએ:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{\lambda_1}{1} \times \frac{1}{\lambda_2} = \left( \frac{9}{8R} \right) \times \left( \frac{3R}{4} \right) = \frac{27}{32}$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{x}{32}$,તેથી $\frac{x}{32} = \frac{27}{32}$ થાય.
આમ,$x = 27$ મળે.

(A) $H$-પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઈ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$ છે.
$H_\alpha$ રેખા માટે,$n_2 = 3$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_{H_\alpha}} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = \frac{5R}{36}$ થાય.
$H_\beta$ રેખા માટે,$n_2 = 4$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_{H_\beta}} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$ થાય.
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_{H_\alpha}}{\lambda_{H_\beta}} = \frac{\lambda_{H_\beta}^{-1}}{\lambda_{H_\alpha}^{-1}} = \frac{3R/16}{5R/36} = \frac{3}{16} \times \frac{36}{5} = \frac{3 \times 9}{4 \times 5} = \frac{27}{20}$ મળે.
આને $\frac{x}{20}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 27$ મળે છે.

(C) વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ (શ્રેણી સીમા) માટે,$n_2 = \infty$ લેતા.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_L} = R Z^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R Z^2$.
આપેલ છે કે $\lambda_L = 917 \mathring A$,તેથી $R Z^2 = \frac{1}{917}$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_B} = R Z^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = \frac{R Z^2}{4}$.
$R Z^2 = \frac{1}{917}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{\lambda_B} = \frac{1}{4 \times 917}$ મળે છે.
તેથી,$\lambda_B = 4 \times 917 = 3668 \mathring A$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2}\,eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=1$ માટે,$E_1 = -13.6\,eV$.
$n=2$ માટે,$E_2 = -3.4\,eV$.
$n=3$ માટે,$E_3 = -1.51\,eV$.
$n=4$ માટે,$E_4 = -0.85\,eV$.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી $n$ માં સ્ટેટમાં ઇલેક્ટ્રોનને ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_n - E_1$ છે.
$n=2$ માટે,$\Delta E = -3.4 - (-13.6) = 10.2\,eV$.
$n=3$ માટે,$\Delta E = -1.51 - (-13.6) = 12.09\,eV$.
$n=4$ માટે,$\Delta E = -0.85 - (-13.6) = 12.75\,eV$.
આપાત ઇલેક્ટ્રોન બીમની ઉર્જા $12.5\,eV$ હોવાથી,તે હાઇડ્રોજન પરમાણુઓને $n=3$ સ્ટેટ સુધી ઉત્તેજિત કરી શકે છે,પરંતુ $n=4$ સ્ટેટ સુધી નહીં.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n=3$ થી $n=1$ માં પાછા ફરે છે,ત્યારે શક્ય સંક્રમણો $3 \to 2$,$2 \to 1$,અને $3 \to 1$ છે.
વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{n(n-1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n=3$ માટે,$N = \frac{3(3-1)}{2} = 3$.

(C) બામર શ્રેણીમાં ટૂંકી તરંગલંબાઇ ત્યારે મળે છે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n = \infty$ થી $n = 2$ માં સંક્રમણ કરે છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = \frac{R}{4} \implies \lambda = \frac{4}{R}$.
બ્રેકેટ શ્રેણીમાં ટૂંકી તરંગલંબાઇ ત્યારે મળે છે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n = \infty$ થી $n = 4$ માં સંક્રમણ કરે છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda'} = R \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = \frac{R}{16} \implies \lambda' = \frac{16}{R}$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{16/R}{4/R} = \frac{16}{4} = 4$.
તેથી,$\lambda' = 4\lambda$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઈ $\lambda$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_1 = 3$ ઉર્જા સ્તર પર થાય છે.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈ નજીકના ઉર્જા સ્તર $n_2 = 4$ થી થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{16 - 9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$.
તેથી,$\lambda = \frac{144}{7R}$.
આને $\frac{\alpha}{7R}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 144$ મળે છે.

(A) તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે,જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$ છે.
પ્રથમ સભ્ય $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies R = \frac{4}{3\lambda}$.
બીજો સભ્ય $n_2 = 3$ થી $n_1 = 1$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = \frac{8R}{9}$.
$\lambda'$ માટેના સમીકરણમાં $R = \frac{4}{3\lambda}$ મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda'} = \frac{8}{9} \times \left( \frac{4}{3\lambda} \right) = \frac{32}{27\lambda}$.
તેથી,$\lambda' = \frac{27}{32} \lambda$ મળે છે.

(B) લાયમન શ્રેણી માટે, સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $(\lambda_0)$ એ $n = \infty$ થી $n = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
ફોટોનની ઊર્જા $\frac{hc}{\lambda_0} = 13.6 \text{ eV} \times \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = 13.6 \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\lambda_0 = 915 \text{ Å}$.
બામર શ્રેણી માટે, સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $(\lambda_1)$ એ $n = 3$ થી $n = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
ફોટોનની ઊર્જા $\frac{hc}{\lambda_1} = 13.6 \text{ eV} \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \text{ eV} \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \text{ eV} \times \frac{5}{36}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_0} = \frac{13.6}{13.6 \times \frac{5}{36}} = \frac{36}{5}$.
$\lambda_1 = \lambda_0 \times \frac{36}{5} = 915 \times \frac{36}{5} = 183 \times 36 = 6588 \text{ Å}$.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1$ પર થાય છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_L} = R (1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$.
આમ,$\lambda_L = \frac{1}{R}$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_B} = R (1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4}$.
આમ,$\lambda_B = \frac{4}{R}$.
બામર શ્રેણીની ટૂંકી તરંગલંબાઇ અને લાયમન શ્રેણીની ટૂંકી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_B}{\lambda_L} = \frac{4/R}{1/R} = 4: 1$ થાય છે.

(D) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
પાશ્ચેન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_1 = 3$ ઉર્જા સ્તર પર થાય છે.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈ સૌથી ઓછા ઉર્જા તફાવતને અનુરૂપ છે,જે નજીકના ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર એટલે કે $n_2 = 4$ થી સંક્રમણ દરમિયાન જોવા મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R_H \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = R_H \left[ \frac{7}{144} \right]$
$\lambda = \frac{144}{7 R_H} = \frac{144}{7 \times 1.097 \times 10^7}$
$\lambda \approx 1.876 \times 10^{-6} \ m$.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટની ઊર્જા $E_1 = -13.6 \ eV$ છે.
જ્યારે $10.2 \ eV$ ઊર્જા આપવામાં આવે છે,ત્યારે નવું ઊર્જા સ્તર $E_n = E_1 + 10.2 \ eV = -13.6 \ eV + 10.2 \ eV = -3.4 \ eV$ થાય છે.
$E_n = -13.6/n^2 \ eV$ હોવાથી,$-3.4 = -13.6/n^2$,જે આપણને $n^2 = 4$ આપે છે,તેથી $n = 2$.
ઇલેક્ટ્રોન પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n = 2)$ માં જાય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n$ અવસ્થામાંથી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $N = n(n-1)/2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 2$ માટે,$N = 2(2-1)/2 = 1$.
તેથી,માત્ર $1$ વર્ણપટ રેખા ઉત્સર્જિત થશે.

$(A)$ સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, તરંગલંબાઇ એ ઉર્જાના તફાવતના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\lambda \propto \frac{1}{\Delta E}$.
જેમ ઉર્જાનો તફાવત વધે છે, તેમ તરંગલંબાઇ ઘટે છે.
બામર શ્રેણી $(n_1=2)$ માટે, ઉર્જાના તફાવતો નીચે મુજબ છે:
$(\Delta E)_{3-2} < (\Delta E)_{4-2} < (\Delta E)_{5-2} < (\Delta E)_{6-2}$.
પરિણામે, તરંગલંબાઇઓ નીચેના ક્રમમાં હોય છે:
$\lambda_{3-2} > \lambda_{4-2} > \lambda_{5-2} > \lambda_{6-2}$.
મૂલ્યોને જોડતા:
$A$ ($n_2=3$ થી $n_1=2$) એ $656.3 \, nm$ $(III)$ ને અનુરૂપ છે.
$B$ ($n_2=4$ થી $n_1=2$) એ $486.1 \, nm$ $(IV)$ ને અનુરૂપ છે.
$C$ ($n_2=5$ થી $n_1=2$) એ $434.1 \, nm$ $(II)$ ને અનુરૂપ છે.
$D$ ($n_2=6$ થી $n_1=2$) એ $410.2 \, nm$ $(I)$ ને અનુરૂપ છે.
આમ, સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-II, D-I$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z=1)$ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે.
અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિભાગ એ લાયમન શ્રેણી $(n_f = 1)$ ને અનુરૂપ છે. સૌથી મોટી તરંગલંબાઇ એ લઘુત્તમ ઉર્જાના સંક્રમણને અનુરૂપ છે,જે $n_i = 2$ થી $n_f = 1$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda_{max, UV} = 122 \ nm$,તેથી $\frac{1}{122} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
આમ,$\frac{1}{R} = 122 \times \frac{3}{4} = 91.5 \ nm$.
ઇન્ફ્રારેડ વિભાગમાં પાશ્ચન શ્રેણી $(n_f = 3)$,બ્રેકેટ શ્રેણી $(n_f = 4)$ અને ફંડ શ્રેણી $(n_f = 5)$ નો સમાવેશ થાય છે. સમગ્ર ઇન્ફ્રારેડ વિભાગમાં સૌથી નાની તરંગલંબાઇ એ મહત્તમ ઉર્જાના સંક્રમણને અનુરૂપ છે,જે પાશ્ચન શ્રેણીની સીમા ($n_f = 3$ થી $n_i = \infty$) છે.
$\frac{1}{\lambda_{min, IR}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{9}$.
$\lambda_{min, IR} = \frac{9}{R} = 9 \times 91.5 = 823.5 \ nm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $823 \ nm$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(A) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે $(Z=1, n_1=2, n_2=3)$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R (1)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_1 = \frac{36}{5R} = 6561 \mathring A$.
સિંગલી-આયોનાઇઝ્ડ હિલિયમ પરમાણુની બામર શ્રેણીની બીજી રેખા માટે $(Z=2, n_1=2, n_2=4)$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R (2)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = 4R \left( \frac{3}{16} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right) \implies \lambda_2 = \frac{4}{3R}$.
$\lambda_2$ ને $\lambda_1$ વડે ભાગતા:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{27}$.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{5}{27} \times 6561 \mathring A = 1215 \mathring A$.

(B) માટે: બામર શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n=2$ સ્તર પર થાય છે. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n=3 \to n=2$ માટે અને સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $n=\infty \to n=2$ માટે મળે છે.
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = R(\frac{5}{36}) \Rightarrow \lambda_{\max} = \frac{36}{5R}$.
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R(\frac{1}{2^2} - 0) = \frac{R}{4} \Rightarrow \lambda_{\min} = \frac{4}{R}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{36/5R}{4/R} = \frac{9}{5}$. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$(B)$ માટે: બામર શ્રેણીનો ગાળો $[364.6 \ nm, 656.3 \ nm]$ છે. પાશ્ચન શ્રેણીનો ગાળો $[820.4 \ nm, 1875.1 \ nm]$ છે. તેઓ ઓવરલેપ થતા નથી. વિધાન $(B)$ ખોટું છે.
$(C)$ માટે: લાયમન શ્રેણી માટે,$\frac{1}{\lambda} = R(1 - \frac{1}{m^2})$ જ્યાં $m=2, 3, \dots$. કારણ કે $\frac{1}{\lambda_0} = R$,તેથી $\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda_0}(1 - \frac{1}{m^2}) \Rightarrow \lambda = \frac{\lambda_0}{1 - 1/m^2}$. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ માટે: લાયમન શ્રેણીનો ગાળો $[91.2 \ nm, 121.6 \ nm]$ છે. બામર શ્રેણીનો ગાળો $[364.6 \ nm, 656.3 \ nm]$ છે. તેઓ ઓવરલેપ થતા નથી. વિધાન $(D)$ સાચું છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,સૌથી મોટી તરંગલંબાઇ $n_i = 2$ થી $n_f = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_L = \frac{4}{3R}$.
બામર શ્રેણી માટે,સૌથી મોટી તરંગલંબાઇ $n_i = 3$ થી $n_f = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36} \implies \lambda_B = \frac{36}{5R}$.
લાયમન શ્રેણીની સૌથી મોટી તરંગલંબાઇ અને બામર શ્રેણીની સૌથી મોટી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{27}$.
આમ,ગુણોત્તર $5: 27$ છે.

(B) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
બામર શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_1 = 2$ પર પૂર્ણ થાય છે.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે,સંક્રમણ શક્ય તેટલા ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર એટલે કે $n_2 = \infty$ થી થવું જોઈએ.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z = 1)$ માટે આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right]$.
કારણ કે $\frac{1}{\infty} = 0$,તેથી: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{4} - 0 \right] = \frac{R}{4}$.
આમ,સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{4}{R}$ મળે છે.

(B) તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_{\text{Lyman}}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
બામર શ્રેણી માટે,સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_{\text{Balmer}}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_{\text{Lyman}}}{\lambda_{\text{Balmer}}} = \frac{5R/36}{3R/4} = \frac{5}{36} \times \frac{4}{3} = \frac{5}{27}$.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રીડબર્ગનું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = RZ^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
પરમાણુ સમાન હોવાથી,$RZ^2$ અચળ છે,તેથી $\frac{1}{\lambda} \propto \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
પ્રથમ સંક્રમણ ($n=5$ થી $n=2$) માટે: $\frac{1}{434} = k \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right) = k \left( \frac{21}{100} \right)$.
બીજા સંક્રમણ ($n=4$ થી $n=2$) માટે: $\frac{1}{x} = k \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = k \left( \frac{3}{16} \right)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{x}{434} = \frac{21/100}{3/16} = \frac{21}{100} \times \frac{16}{3} = 1.12$.
તેથી,$x = 434 \times 1.12 = 486.08 \ nm \approx 486 \ nm$.

(B) બામર શ્રેણી એ સંક્રમણોને અનુરૂપ છે જ્યાં અંતિમ કક્ષા $n_1 = 2$ છે.
કોઈપણ વર્ણપટ શ્રેણી માટે,$k$-મી રેખા એ $n_2 = n_1 + k$ થી થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$ છે.
ત્રીજી રેખા $(k = 3)$ એ $n_2 = 2 + 3 = 5$ થી થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
તેથી,આ સંક્રમણ $5^{th}$ બોહર કક્ષાથી $2^{nd}$ બોહર કક્ષા વચ્ચે થાય છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઈ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે.
પાશ્ચન શ્રેણીની છેલ્લી રેખા માટે,$n_1 = 3$ અને $n_2 = \infty$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_P} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{9}$,જે $\lambda_P = \frac{9}{R}$ આપે છે.
બામર શ્રેણીની છેલ્લી રેખા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = \infty$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4}$,જે $\lambda_B = \frac{4}{R}$ આપે છે.
પાશ્ચન શ્રેણીની છેલ્લી રેખા અને બામર શ્રેણીની છેલ્લી રેખાની તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_P}{\lambda_B} = \frac{9/R}{4/R} = \frac{9}{4}$ થાય છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે.
આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{c}{\lambda} = Rc \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ દ્વારા મળે છે.
બામર શ્રેણીના પ્રથમ સભ્ય માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$ છે. તેથી,$f_1 = Rc \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = Rc \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5Rc}{36}$.
પાશ્ચન શ્રેણીના પ્રથમ સભ્ય માટે,$n_1 = 3$ અને $n_2 = 4$ છે. તેથી,$f_2 = Rc \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = Rc \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7Rc}{144}$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{5Rc/36}{7Rc/144} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$ થાય.