Spectral Series of Hydrogen Atom Questions in Gujarati

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે.
$1$. પ્રથમ લાયમન રેખા માટે,સંક્રમણ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ છે:
$\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_L = \frac{4}{3R}$.
$2$. બીજી બામર રેખા માટે,સંક્રમણ $n_2 = 4$ થી $n_1 = 2$ છે:
$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{4-1}{16} \right) = \frac{3R}{16} \implies \lambda_B = \frac{16}{3R}$.
$3$. તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{4/3R}{16/3R} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 4$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1$ સુધી થાય છે.
તેથી,$\frac{1}{\lambda} = \frac{R}{n_1^2}$,અથવા $\lambda = \frac{n_1^2}{R}$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$,તેથી $\lambda_{Balmer} = \frac{2^2}{R} = \frac{4}{R}$.
બ્રેકેટ શ્રેણી માટે,$n_1 = 4$,તેથી $\lambda_{Bracket} = \frac{4^2}{R} = \frac{16}{R}$.
બ્રેકેટ શ્રેણી અને બામર શ્રેણીની ટૂંકી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{Bracket}}{\lambda_{Balmer}} = \frac{16/R}{4/R} = \frac{16}{4} = 4:1$ થાય છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ માટે $n_2 = \infty$ લેતા,
$\frac{1}{\lambda_{\text{min, Balmer}}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4} \Rightarrow \lambda_{\text{min, Balmer}} = \frac{4}{R}$.
બ્રેકેટ શ્રેણી માટે,$n_1 = 4$. મહત્તમ તરંગલંબાઇ માટે $n_2 = 5$ લેતા,
$\frac{1}{\lambda_{\text{max, Brackett}}} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} \right) = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) = R \left( \frac{25 - 16}{400} \right) = \frac{9R}{400}$.
$\lambda_{\text{max, Brackett}} = \frac{400}{9R}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{\text{min, Balmer}}}{\lambda_{\text{max, Brackett}}} = \frac{4/R}{400/9R} = \frac{4}{R} \times \frac{9R}{400} = \frac{36}{400} = \frac{9}{100}$.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની વર્ણપટ રેખાઓને ઇલેક્ટ્રોન સંક્રમણના અંતિમ ઉર્જા સ્તર $n_f$ ના આધારે શ્રેણીઓમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,ઇલેક્ટ્રોન ધરાસ્થિતિ $n_f = 1$ માં સંક્રમણ કરે છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n_f = 1$ માં થતા સંક્રમણો ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોન ઉત્પન્ન કરે છે જે વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના પારજાંબલી વિભાગમાં આવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$2 \rightarrow 1$ સંક્રમણ લાયમન શ્રેણીનો ભાગ છે અને તેથી તે પારજાંબલી વિભાગમાં ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરે છે.

(B) લાયમન શ્રેણી માટે,ટૂંકામાં ટૂંકી તરંગલંબાઇ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે. રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{\lambda_1} = R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R_H$ ...$(1)$
બામર શ્રેણી માટે,ટૂંકામાં ટૂંકી તરંગલંબાઇ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે. રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{\lambda_2} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R_H}{4}$ ...$(2)$
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} = R_H - \frac{R_H}{4} = \frac{3R_H}{4}$.
તેથી,$R_H = \frac{4}{3} \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right) = \frac{4(\lambda_2 - \lambda_1)}{3 \lambda_1 \lambda_2}$.

(C) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_1 = 3$ ઉર્જા સ્તર પર થાય છે.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ ઉચ્ચતમ ઉર્જા સ્તર $n_2 = \infty$ થી થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_S} = R_H \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{9} - 0 \right) = \frac{R_H}{9}$.
તેથી,$\lambda_S = \frac{9}{R_H}$.
આપેલ $R_H = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ માટે:
$\lambda_S = \frac{9}{1.097 \times 10^7} \ m \approx 8.204 \times 10^{-7} \ m$.
નેનોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા $(1 \ nm = 10^{-9} \ m)$:
$\lambda_S = 820.4 \ nm$.

(B) વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઇ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) Z^2$ છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,ઇલેક્ટ્રોન ધરા-સ્થિતિમાં સંક્રમણ કરે છે,તેથી $n_1 = 1$.
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ વર્ણપટ રેખા પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી ધરા-સ્થિતિમાં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે,તેથી $n_2 = 2$.
હાઇડ્રોજન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) (1)^2 = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$.
તેથી,$\lambda = \frac{4}{3R}$.
આપેલ છે કે $\frac{1}{R} \approx 911.6 \mathring A$ (જેને ઘણીવાર $912 \mathring A$ તરીકે લેવામાં આવે છે),તેથી:
$\lambda = \frac{4}{3} \times 911.6 \mathring A \approx 1215.5 \mathring A$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,તરંગલંબાઇ $1215 \mathring A$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટની ઉર્જા $E_1 = -13.6 eV$ છે.
જ્યારે $\Delta E = 12.1 eV$ ઉર્જા આપવામાં આવે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $n$ માં ઉત્તેજિત થાય છે,જેથી $E_n = E_1 + \Delta E$ થાય.
$E_n = -13.6 eV + 12.1 eV = -1.5 eV$.
સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6}{n^2} eV$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $-\frac{13.6}{n^2} = -1.5$.
$n^2 = \frac{13.6}{1.5} \approx 9.07$,જેનો અર્થ છે કે $n = 3$.
ઇલેક્ટ્રોન બીજા ઉત્તેજિત સ્તર $(n = 3)$ માં ઉત્તેજિત થાય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n$ સ્તરથી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{n(n-1)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 3$ મૂકતા,આપણને $N = \frac{3(3-1)}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$ રેખાઓ મળે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુના બોહર મોડેલ મુજબ,ઉર્જા સ્તરોને મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સૌથી અંદરની કક્ષા ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટને અનુરૂપ છે,જ્યાં $n=1$ હોય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન કોઈપણ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n_2 > 1)$ થી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n_1 = 1)$ માં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે ઉત્સર્જિત વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ સ્પેક્ટ્રમના અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિભાગમાં આવે છે.
વર્ણપટ રેખાઓના આ ચોક્કસ સમૂહને લાયમન શ્રેણી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(B) બામર શ્રેણીમાં વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઈ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$
બામર શ્રેણીની બીજી રેખા માટે,$n = 4$. આપેલ છે $\lambda_2 = 4861 Å$:
$\frac{1}{4861} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right) \implies R = \frac{16}{3 \times 4861} \dots (i)$
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n = 3$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $R$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_1} = \left( \frac{16}{3 \times 4861} \right) \times \left( \frac{5}{36} \right) = \frac{80}{108 \times 4861} = \frac{20}{27 \times 4861}$
$\lambda_1 = \frac{27 \times 4861}{20} = \frac{131247}{20} = 6562.35 Å \approx 6563 Å$.

(B) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(H)$ માટે,$Z = 1$. તેથી,$\frac{1}{\lambda} = R (1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
ડબલ આયનાઇઝ્ડ લિથિયમ $(Li^{2+})$ માટે,$Z = 3$. ધારો કે તરંગલંબાઇ $\lambda'$ છે.
તેથી,$\frac{1}{\lambda'} = R (3)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 9 R \left( \frac{5}{36} \right)$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$\frac{1}{\lambda'} = 9 \left( \frac{1}{\lambda} \right)$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda' = \frac{\lambda}{9}$.

(D) લાયમન શ્રેણી માટે,તરંગલંબાઇ $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 2, 3, 4, \dots$.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $(\lambda_{L, min})$ $n = \infty$ પર મળે છે: $\frac{1}{\lambda_{L, min}} = R \implies \lambda_{L, min} = \frac{1}{R}$.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $(\lambda_{L, max})$ $n = 2$ પર મળે છે: $\frac{1}{\lambda_{L, max}} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{L, max} = \frac{4}{3R}$.
$\Delta \lambda_L = \lambda_{L, max} - \lambda_{L, min} = \frac{4}{3R} - \frac{1}{R} = \frac{1}{3R}$.
બામર શ્રેણી માટે,તરંગલંબાઇ $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $(\lambda_{B, min})$ $n = \infty$ પર મળે છે: $\frac{1}{\lambda_{B, min}} = \frac{R}{4} \implies \lambda_{B, min} = \frac{4}{R}$.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $(\lambda_{B, max})$ $n = 3$ પર મળે છે: $\frac{1}{\lambda_{B, max}} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36} \implies \lambda_{B, max} = \frac{36}{5R}$.
$\Delta \lambda_B = \lambda_{B, max} - \lambda_{B, min} = \frac{36}{5R} - \frac{4}{R} = \frac{36 - 20}{5R} = \frac{16}{5R}$.
તેથી,$\frac{\Delta \lambda_B}{\Delta \lambda_L} = \frac{16/5R}{1/3R} = \frac{16}{5} \times 3 = \frac{48}{5} = 9.6$.

(B) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ માટે,સંક્રમણ નજીકના ઉર્જા સ્તરો વચ્ચે થાય છે,એટલે કે $n_2 = n_1 + 1$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$,તેથી $n_2 = 3$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $\lambda_{BL}$ છે:
$\frac{1}{\lambda_{BL}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_{BL} = \frac{36}{5R} \quad ... (A)$
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,$n_1 = 3$,તેથી $n_2 = 4$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $\lambda_{PL}$ છે:
$\frac{1}{\lambda_{PL}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{7}{144} \right) \implies \lambda_{PL} = \frac{144}{7R} \quad ... (B)$
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_{BL}}{\lambda_{PL}} = \frac{36}{5R} \times \frac{7R}{144} = \frac{36 \times 7}{5 \times 144} = \frac{7}{5 \times 4} = \frac{7}{20}$.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાની આવૃત્તિ $\nu$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\nu = c \cdot \bar{\nu} = Rc \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$ છે.
પ્રથમ લાયમન રેખા $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\nu_1 = Rc \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = Rc \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3Rc}{4}$.
દ્વિતીય લાયમન રેખા $n_2 = 3$ થી $n_1 = 1$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\nu_2 = Rc \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = Rc \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = \frac{8Rc}{9}$.
આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta \nu = \nu_2 - \nu_1 = \frac{8Rc}{9} - \frac{3Rc}{4}$ છે.
લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $36$ લેતા:
$\Delta \nu = \frac{32Rc - 27Rc}{36} = \frac{5Rc}{36}$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાની આવૃત્તિનું સૂત્ર: $\nu = Rc \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,નીચલું ઉર્જા સ્તર $n_1 = 3$ છે.
પ્રથમ પાશ્ચન રેખા $n_2 = 4$ થી $n_1 = 3$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે. તેની આવૃત્તિ $\nu_1 = Rc \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = \frac{7Rc}{144}$ છે.
બીજી પાશ્ચન રેખા $n_2 = 5$ થી $n_1 = 3$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે. તેની આવૃત્તિ $\nu_2 = Rc \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{25} \right) = \frac{16Rc}{225}$ છે.
આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta \nu = \nu_2 - \nu_1 = Rc \left( \frac{16}{225} - \frac{7}{144} \right) = Rc \left( \frac{256 - 175}{3600} \right) = \frac{81Rc}{3600} = \frac{9Rc}{400}$ થાય.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n_i$ થી $n_f$ કક્ષામાં થતા સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે.
$3 \rightarrow 2$ સંક્રમણ માટે: $\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$. તેથી,$\lambda_1 = \frac{36}{5R}$.
$2 \rightarrow 1$ સંક્રમણ માટે: $\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$. તેથી,$\lambda_2 = \frac{4}{3R}$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{36/5R}{4/3R} = \frac{36}{5R} \times \frac{3R}{4} = \frac{9 \times 3}{5} = \frac{27}{5}$ થાય છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાની આવૃત્તિ $f = R c \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
લાયમેન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. પ્રથમ રેખા $n_2 = 2$ અને બીજી રેખા $n_2 = 3$ છે.
$f_1 = R c \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3}{4} R c$
$f_2 = R c \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = \frac{8}{9} R c$
તફાવત $f = f_2 - f_1 = R c \left( \frac{8}{9} - \frac{3}{4} \right) = \frac{5}{36} R c$. તેથી,$R c = \frac{36 f}{5}$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. પ્રથમ રેખા $n_2 = 3$ અને બીજી રેખા $n_2 = 4$ છે.
$f'_1 = R c \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = \frac{5}{36} R c$
$f'_2 = R c \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = \frac{3}{16} R c$
તફાવત $f' = f'_2 - f'_1 = R c \left( \frac{3}{16} - \frac{5}{36} \right) = \frac{7}{144} R c$.
$R c = \frac{36 f}{5}$ મૂકતા,$f' = \frac{7}{144} \times \frac{36 f}{5} = \frac{7 f}{20}$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં સંક્રમણ માટેની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે.
બામર શ્રેણીની બીજી રેખા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 4$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right)$. એટલે કે,$\lambda_B = \frac{16}{3R}$.
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$. એટલે કે,$\lambda_L = \frac{4}{3R}$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_B}{\lambda_L} = \frac{16/3R}{4/3R} = \frac{16}{4} = 4:1$ થાય છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓરડાના તાપમાને, હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માં હોય છે, જ્યાં ઊર્જા $E_1 = -13.6 \ eV$ છે.
જ્યારે પરમાણુ પર $13.6 \ eV$ ઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનનો મારો ચલાવવામાં આવે છે, ત્યારે પરમાણુ આ ઊર્જાનું શોષણ કરીને ઉત્તેજિત થઈ શકે છે.
જ્યારે ઉત્તેજિત ઇલેક્ટ્રોન કોઈપણ ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તર $(n > 1)$ માંથી ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માં પાછો ફરે છે, ત્યારે ઉત્સર્જિત વિકિરણ લાયમન શ્રેણીમાં આવે છે.
આમ, ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓ લાયમન શ્રેણીની છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાંથી ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઈ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે ($n_2 = 4$ થી $n_1 = 2$):
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$.
બીજા કિસ્સા માટે ($n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$):
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = \frac{5R}{36}$.
હવે,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1/\lambda_2}{1/\lambda_1} = \frac{5R/36}{3R/16} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{20}{27}$.
આમ,ગુણોત્તર $20:27$ છે.

(C) બામર શ્રેણી માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ છે,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$ છે.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ માટે,$n = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4} \implies R = \frac{4}{\lambda_1}$.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ માટે,$n = 3$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right) \implies R = \frac{36}{5\lambda_2}$.
વિકલ્પો તપાસતા,જો આપણે $R = \frac{9}{\lambda_1} - \frac{9}{\lambda_2}$ લઈએ,તો:
$R = 9 \left( \frac{R}{4} - \frac{5R}{36} \right) = 9 \left( \frac{9R - 5R}{36} \right) = 9 \left( \frac{4R}{36} \right) = R$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $R = \frac{9}{\lambda_1} - \frac{9}{\lambda_2}$ છે.

(A) સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ નજીકના ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
તેથી,$\lambda_L = \frac{4}{3R}$.
બામર શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36}$.
તેથી,$\lambda_B = \frac{36}{5R}$.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{27}$ છે.

(C) $n_i = 3$ થી $n_f = 2$ ના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right] \text{ eV}$
$n_f = 2$ અને $n_i = 3$ કિંમતો મૂકતા:
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] \text{ eV}$
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] \text{ eV}$
$E = 13.6 \left[ \frac{9 - 4}{36} \right] \text{ eV}$
$E = 13.6 \times \frac{5}{36} \text{ eV} \approx 1.89 \text{ eV}$
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર થવા માટે, આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ।
તેથી, મહત્તમ વર્ક ફંક્શન $\Phi_{\text{max}} = 1.89 \text{ eV}$ છે।

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu = cR \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણી મર્યાદા માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1$ સુધી થાય છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$,તેથી $\nu_{B} = cR \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = \frac{cR}{4}$.
બ્રેકેટ શ્રેણી માટે,$n_1 = 4$,તેથી $\nu' = cR \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = \frac{cR}{16}$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\nu'}{\nu_{B}} = \frac{cR/16}{cR/4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$\nu' = \frac{\nu_{B}}{4}$.

(B) બામર શ્રેણી માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ છે,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$
મહત્તમ તરંગલંબાઇ (ન્યૂનતમ ઊર્જા) માટે,આપણે $n = 3$ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{max}} = 10^7 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 10^7 \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_{max} = \frac{36}{5} \times 10^{-7} \ m = 7.2 \times 10^{-7} \ m = 7200 \ Å$.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ (મહત્તમ ઊર્જા) માટે,આપણે $n = \infty$ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{min}} = 10^7 \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = 10^7 \left( \frac{1}{4} \right) \implies \lambda_{min} = 4 \times 10^{-7} \ m = 4000 \ Å$.
તરંગલંબાઇમાં તફાવત $\Delta \lambda = \lambda_{max} - \lambda_{min} = 7200 \ Å - 4000 \ Å = 3200 \ Å$ છે.

(D) બોહરના મોડેલ મુજબ,જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n_2$ કક્ષામાંથી $n_1$ કક્ષામાં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચે મુજબના રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_1 = \frac{4}{3R}$
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36} \implies \lambda_2 = \frac{36}{5R}$
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 9 \alpha$ આપેલ છે:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left( \frac{4}{3R} \right) \times \left( \frac{5R}{36} \right) = \frac{4 \times 5}{3 \times 36} = \frac{20}{108} = \frac{5}{27}$
આપેલ છે કે $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 9 \alpha$,તેથી:
$9 \alpha = \frac{5}{27} \implies \alpha = \frac{5}{27 \times 9} = \frac{5}{243} \approx 0.02057 \approx 0.021$

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે,જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. ટૂંકામાં ટૂંકી તરંગલંબાઇ ત્યારે મળે છે જ્યારે $n_2 = \infty$ હોય.
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4} \implies \lambda = \frac{4}{R} \quad \dots (i)$
બ્રેકેટ શ્રેણી માટે,$n_1 = 4$. ટૂંકામાં ટૂંકી તરંગલંબાઇ ત્યારે મળે છે જ્યારે $n_2 = \infty$ હોય.
$\frac{1}{\lambda_{\text{Brackett}}} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{16}$
$\lambda_{\text{Brackett}} = \frac{16}{R}$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $\frac{1}{R} = \frac{\lambda}{4}$ મૂકતા:
$\lambda_{\text{Brackett}} = 16 \times \left( \frac{\lambda}{4} \right) = 4 \lambda$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઇ રીડબર્ગના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3, 4, 5, \ldots$ છે.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ (શ્રેણીની સીમા) માટે,$n_2 = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4}$
$\lambda_{\min} = \frac{4}{R}$
મહત્તમ તરંગલંબાઇ માટે,$n_2 = 3$:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9 - 4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$
$\lambda_{\max} = \frac{36}{5R}$
હવે,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{36 / 5R}{4 / R} = \frac{36}{5R} \times \frac{R}{4} = \frac{9}{5}$

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$.
બામર શ્રેણી માટે,અંતિમ અવસ્થા $n_f = 2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n_i^2} \right)$.
આપેલ છે કે $\lambda = \frac{16}{3 R}$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{(16 / 3 R)} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n_i^2} \right) \Rightarrow \frac{3 R}{16} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n_i^2} \right)$.
બંને બાજુ $R$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{3}{16} = \frac{1}{4} - \frac{1}{n_i^2}$.
$n_i^2$ માટે પદોને ગોઠવતા: $\frac{1}{n_i^2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{16} = \frac{4 - 3}{16} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$n_i^2 = 16$,જેનો અર્થ છે કે $n_i = 4$.

(C) $H$-પરમાણુ માટે, Lyman શ્રેણીનું Rydberg સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે, $n_2 = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{\text{min}}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R(1 - 0) = R$
આપેલ છે કે $\lambda_{\text{min}} = 912 \ \text{Å}$, તેથી $R = \frac{1}{912} \ \text{Å}^{-1}$.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ માટે, સંક્રમણ નજીકના ઉર્જા સ્તરથી થાય છે, એટલે કે $n_2 = 2$:
$\frac{1}{\lambda_{\text{max}}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$
$R$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_{\text{max}}} = \frac{1}{912} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{3648} = \frac{1}{1216}$
તેથી, $\lambda_{\text{max}} = 1216 \ \text{Å}$.

(A) લાયમન શ્રેણી માટે તરંગલંબાઈ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,સંક્રમણ $n = 2$ થી $n = 1$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$.
આમ,$R = \frac{4}{3\lambda}$ (સમીકરણ $i$).
બામર શ્રેણી માટે તરંગલંબાઈનું સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda^{\prime}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,સંક્રમણ $n = 3$ થી $n = 2$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda^{\prime}} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9 - 4}{36} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
સમીકરણ $i$ માંથી $R$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{\lambda^{\prime}} = \left( \frac{4}{3\lambda} \right) \left( \frac{5}{36} \right) = \frac{20}{108\lambda} = \frac{5}{27\lambda}$.
તેથી,$\lambda^{\prime} = \frac{27}{5} \lambda$.

(C) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,$n_1 = 3$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n_2 = 4$ થી થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$\frac{1}{\lambda_P} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = \frac{7R}{144}$.
તેથી,$\lambda_P = \frac{144}{7R}$.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n_2 = 2$ થી થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$\frac{1}{\lambda_L} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4}$.
તેથી,$\lambda_L = \frac{4}{3R}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_P}{\lambda_L}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{\lambda_P}{\lambda_L} = \frac{144 / 7R}{4 / 3R} = \frac{144}{7R} \times \frac{3R}{4} = \frac{36 \times 3}{7} = \frac{108}{7} \approx 15.42$.
આમ,$15 < 15.42 < 16$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) જ્યારે પરમાણુઓને ભૂમિ અવસ્થામાંથી મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 20$ ધરાવતી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઉત્તેજિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$N = \frac{n(n - 1)}{2}$
જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
સૂત્રમાં $n = 20$ ની કિંમત મૂકતા:
$N = \frac{20(20 - 1)}{2}$
$N = \frac{20 \times 19}{2}$
$N = 10 \times 19 = 190$
તેથી,વર્ણપટમાં જોવા મળતી વિવિધ તરંગલંબાઇઓની સંખ્યા $190$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ મુજબ, જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n_2$ કક્ષામાંથી $n_1$ કક્ષામાં સંક્રમણ કરે છે, ત્યારે ઉત્સર્જિત તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
લાયમન શ્રેણી માટે, $n_1 = 1$. પ્રથમ રેખા માટે $n_2 = 2$ લેતા, $\frac{1}{\lambda_L} = R Z^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3}{4} R Z^2$.
બામર શ્રેણી માટે, $n_1 = 2$. પ્રથમ રેખા માટે $n_2 = 3$ લેતા, $\frac{1}{\lambda_B} = R Z^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R Z^2 \left( \frac{5}{36} \right)$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_B}{\lambda_L} = \frac{3/4}{5/36} = \frac{3}{4} \times \frac{36}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$.
આપેલ છે કે $\lambda_L = 1215.4 \text{ Å}$, તેથી $\lambda_B = 5.4 \times 1215.4 \text{ Å} = 6563.16 \text{ Å} \approx 6563 \text{ Å}$.

(A) બામર શ્રેણીમાં સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે, સંક્રમણ $n_{i} = \infty$ થી $n_{f} = 2$ થાય છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R_{H} \left( \frac{1}{n_{f}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{1}{4} = 2742500 \ \text{m}^{-1}$.
$\lambda = \frac{1}{2742500} \ \text{m} \approx 3.646 \times 10^{-7} \ \text{m}$.
એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા: $\lambda = 3.646 \times 10^{-7} \times 10^{10} \ \text{Å} = 3646 \ \text{Å}$.

(A) રિડબર્ગના સમીકરણ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$
અહીં,સંક્રમણ $n_i = 5$ થી $n_f = 1$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{5^2} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = R \left( 1 - \frac{1}{25} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{25 - 1}{25} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = \frac{24 R}{25}$
તેથી,તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{25}{24 R}$ થશે.

(A) લાયમન શ્રેણી માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,જ્યાં $n = 2, 3, 4, \dots$
$1$. લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $(\lambda_{\min})$ $n = \infty$ થી $n = 1$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$
આપેલ છે કે $\lambda_{\min} = P$,તેથી $P = \frac{1}{R}$.
$2$. મહત્તમ તરંગલંબાઈ $(\lambda_{\max})$ $n = 2$ થી $n = 1$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$
$3$. $R = \frac{1}{P}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = \frac{1}{P} \cdot \frac{3}{4}$
$\lambda_{\max} = \frac{4 P}{3}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઈ $\lambda$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$.
દરેક વર્ણપટ શ્રેણી માટે,તરંગલંબાઈની રેન્જ $n_i = n_f + 1$ થી $n_i = \infty$ સુધીના સંક્રમણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$1$. લાયમન શ્રેણી $(n_f = 1)$: $\lambda$ ની રેન્જ $\frac{1}{R}$ થી $\frac{4}{3R}$ છે.
$2$. બામર શ્રેણી $(n_f = 2)$: $\lambda$ ની રેન્જ $\frac{4}{R}$ થી $\frac{36}{5R}$ છે.
$3$. પાશ્ચન શ્રેણી $(n_f = 3)$: $\lambda$ ની રેન્જ $\frac{9}{R}$ થી $\frac{144}{7R}$ છે.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,$\frac{7}{5R}$ થી $\frac{19}{5R}$ ની રેન્જ હાઇડ્રોજન પરમાણુની કોઈપણ વર્ણપટ શ્રેણી સાથે સુસંગત નથી.

(D) રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. પ્રથમ રેખા $n_2 = 3$ માટે અને બીજી રેખા $n_2 = 4$ માટે છે.
$\frac{1}{\lambda_B} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = R \left( \frac{3}{16} \right)$.
આપેલ છે કે $\lambda_B = 600 \ nm$,તેથી $\frac{1}{600} = R \left( \frac{3}{16} \right) \implies R = \frac{16}{1800} \ nm^{-1}$.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. ત્રીજી રેખા $n_2 = 4$ માટે છે (કારણ કે $n_2 = 2, 3, 4, \dots$).
$\frac{1}{\lambda_L} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{16} \right] = R \left( \frac{15}{16} \right)$.
$R$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_L} = \left( \frac{16}{1800} \right) \left( \frac{15}{16} \right) = \frac{15}{1800} = \frac{1}{120}$.
તેથી,$\lambda_L = 120 \ nm$.
આમ,આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) Rydberg સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
Lyman શ્રેણી માટે,સૌથી નાની તરંગલંબાઇ $n_1 = 1$ અને $n_2 = \infty$ ને અનુરૂપ છે.
$\frac{1}{\lambda_{L,min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R = \frac{1}{91} \ nm^{-1}$.
Balmer શ્રેણી માટે,સૌથી મોટી તરંગલંબાઇ $n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$ ને અનુરૂપ છે.
$\frac{1}{\lambda_{B,max}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = \frac{1}{91} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{1}{91} \left( \frac{5}{36} \right)$.
$\lambda_{B,max} = \frac{91 \times 36}{5} = 655.2 \ nm$.
Paschen શ્રેણી માટે,સૌથી મોટી તરંગલંબાઇ $n_1 = 3$ અને $n_2 = 4$ ને અનુરૂપ છે.
$\frac{1}{\lambda_{P,max}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = \frac{1}{91} \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = \frac{1}{91} \left( \frac{7}{144} \right)$.
$\lambda_{P,max} = \frac{91 \times 144}{7} = 1872 \ nm$.
તફાવત $\Delta\lambda = \lambda_{P,max} - \lambda_{B,max} = 1872 - 655.2 = 1216.8 \ nm \approx 1217 \ nm$ છે.

(B) કોઈપણ સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે.
લાયમન શ્રેણી $(n_f = 1)$ માટે,મહત્તમ તરંગલંબાઇ $n_i = 2$ પર મળે છે: $\frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{max} = \frac{4}{3R}$. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
બામર શ્રેણી $(n_f = 2)$ દ્રશ્ય વિભાગમાં આવેલી છે. તેથી,વિધાન $B$ સાચું છે.
પાશ્ચન શ્રેણી $(n_f = 3)$ માટે,ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ $n_i = \infty$ પર મળે છે: $\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( \frac{1}{3^2} - 0 \right) = \frac{R}{9} \implies \lambda_{min} = \frac{9}{R}$. તેથી,વિધાન $C$ સાચું છે.
લાયમન શ્રેણી $(n_f = 1)$ માટે,ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ $n_i = \infty$ પર મળે છે: $\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( 1 - 0 \right) = R \implies \lambda_{min} = \frac{1}{R}$. તેથી,વિધાન $D$ ખોટું છે.
આમ,વિધાન $A, B$ અને $C$ સાચા છે.

(D) બામર શ્રેણી $n_f = 2$ ને અનુરૂપ છે.
$1$લી રેખા $n_i = 3$ ને અનુરૂપ છે,અને $2$જી રેખા $n_i = 4$ ને અનુરૂપ છે.
વેગમાન $p = E/c = (h\nu)/c = h/\lambda$.
જેহেতু $1/\lambda = R(1/2^2 - 1/n_i^2)$,તેથી $p \propto (1/4 - 1/n_i^2)$.
$1$લી રેખા માટે,$p_1 \propto (1/4 - 1/9) = 5/36$.
$2$જી રેખા માટે,$p_2 \propto (1/4 - 1/16) = 3/16$.
ગુણોત્તર $p_1/p_2 = (5/36) / (3/16) = (5/36) \times (16/3) = (5 \times 4) / (9 \times 3) = 20/27$.
આમ,$\alpha = 20$ અને $\beta = 27$ છે.