Spectral Series of Hydrogen Atom Questions in Gujarati

(C) બ્રેકેટ શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_2$ થી $n_1 = 4$ માં થાય છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઈ (ન્યૂનતમ ઊર્જા) માટે,સંક્રમણ નજીકના ઊર્જા સ્તર એટલે કે $n_2 = 5$ થી થવું જોઈએ.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} \right) = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) = R \left( \frac{25 - 16}{400} \right) = R \left( \frac{9}{400} \right)$.
તેથી,$\lambda_{\max} = \frac{400}{9R}$.
અહીં $R \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ લેતા,$\lambda_{\max} = \frac{400}{9 \times 1.097 \times 10^7} \approx 4.05 \times 10^{-6} \ m = 40500 \ \mathring A$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $40400 \ \mathring A$ છે.

(C) બ્રેકેટ શ્રેણીમાં ટૂંકી તરંગલંબાઈ માટે,ઈલેક્ટ્રોન $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 4$ કક્ષામાં સંક્રમણ કરે છે.
રીડબર્ગના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
$n_1 = 4$ અને $n_2 = \infty$ મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R \left[ \frac{1}{16} - 0 \right] = \frac{R}{16}$.
તેથી,$\lambda = \frac{16}{R}$.
રીડબર્ગ અચળાંક $R \approx 1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1}$ લેતા,
$\lambda = \frac{16}{1.097 \times 10^7} \approx 14.58 \times 10^{-7} \, \text{m} = 1.458 \times 10^{-6} \, \text{m} \approx 1.46 \, \mu\text{m}$.

(D) લાઇમન શ્રેણી માટે,મહત્તમ તરંગલંબાઈ $n = 2$ થી $n = 1$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
તેથી,$(\lambda_L)_{\max} = \frac{4}{3R}$.
બામર શ્રેણી માટે,મહત્તમ તરંગલંબાઈ $n = 3$ થી $n = 2$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.
તેથી,$(\lambda_B)_{\max} = \frac{36}{5R}$.
ગુણોત્તર $\frac{(\lambda_L)_{\max}}{(\lambda_B)_{\max}} = \frac{4}{3R} \times \frac{5R}{36} = \frac{4 \times 5}{3 \times 36} = \frac{20}{108} = \frac{5}{27}$ છે.

(C) તરંગલંબાઈ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
અહીં $\lambda = 975 \, \mathring{A} = 975 \times 10^{-10} \, m$ અને $R \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ છે.
ભૂમિ અવસ્થા માટે $n_1 = 1$ લેતા:
$\frac{1}{975 \times 10^{-10}} = 1.097 \times 10^7 \left[ 1 - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
$0.911 \times 10^7 = 1.097 \times 10^7 \left[ 1 - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
$0.83 = 1 - \frac{1}{n_2^2} \implies \frac{1}{n_2^2} = 0.17 \implies n_2^2 \approx 5.88 \approx 16 \implies n_2 = 4$.
જ્યારે ઈલેક્ટ્રોન $n$ અવસ્થામાંથી ભૂમિ અવસ્થામાં આવે ત્યારે ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{n(n-1)}{2}$ દ્વારા મળે છે.
$n = 4$ માટે,$N = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
શક્ય સંક્રમણો: $4 \to 3, 4 \to 2, 4 \to 1, 3 \to 2, 3 \to 1, 2 \to 1$ છે.

(B) ઉત્સર્જિત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ માટે રીડબર્ગનું સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R\left[ {\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}} \right]$ છે.
$n = 3$ થી $n = 2$ ની સંક્રાંતિ માટે:
$\frac{1}{{\lambda _0}} = R\left[ {\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}} \right] = R\left[ {\frac{1}{4} - \frac{1}{9}} \right] = \frac{5}{36}R$ ---$(i)$
$n = 4$ થી $n = 2$ ની સંક્રાંતિ માટે:
$\frac{1}{{\lambda '}} = R\left[ {\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}} \right] = R\left[ {\frac{1}{4} - \frac{1}{16}} \right] = \frac{3}{16}R$ ---(ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{\lambda '}{{\lambda _0}} = \frac{5R}{36} \times \frac{16}{3R} = \frac{5 \times 16}{36 \times 3} = \frac{80}{108} = \frac{20}{27}$.
તેથી,$\lambda ' = \frac{20}{27}{\lambda _0}$.

(C) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ધરા-સ્થિતિ $(n_1 = 1)$ માંથી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = 3)$ માં જાય છે,ત્યારે તે ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરીને પાછો ધરા-સ્થિતિમાં આવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n_2$ માંથી નીચલી અવસ્થા $n_1$ માં સંક્રમણ કરે ત્યારે મળતી સ્પેક્ટ્રલ રેખાઓની સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$N = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$
અહીં,$n_2 = 3$ અને $n_1 = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$N = \frac{(3 - 1)(3 - 1 + 1)}{2}$
$N = \frac{2 \times 3}{2} = 3$
શક્ય સંક્રમણો નીચે મુજબ છે:
$1$. $n = 3 \rightarrow n = 2$
$2$. $n = 3 \rightarrow n = 1$
$3$. $n = 2 \rightarrow n = 1$
આમ,કુલ સ્પેક્ટ્રલ રેખાઓની સંખ્યા $3$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન વર્ણપટમાં વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઇ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
પાશ્વન શ્રેણી માટે,$n_1 = 3$ અને $n_2 = 4, 5, 6, \dots$ છે.
પ્રથમ તરંગલંબાઇ (મહત્તમ તરંગલંબાઇ) $n_2 = 4$ થી $n_1 = 3$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$.
તેથી,$\lambda_{\max} = \frac{144}{7R} = 18,800 \, \mathring A$.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ (શ્રેણી સીમા) $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 3$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{9}$.
તેથી,$\lambda_{\min} = \frac{9}{R}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_{\min}}{\lambda_{\max}} = \frac{9/R}{144/7R} = \frac{9}{R} \times \frac{7R}{144} = \frac{63}{144} = \frac{7}{16}$.
આમ,$\lambda_{\min} = \frac{7}{16} \times \lambda_{\max} = \frac{7}{16} \times 18,800 = 8,225 \, \mathring A$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
લાઇમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$:
$\frac{1}{\lambda_{L_1}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{L_1} = \frac{4}{3R}$.
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$:
$\frac{1}{\lambda_{B_1}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36} \implies \lambda_{B_1} = \frac{36}{5R}$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{L_1}}{\lambda_{B_1}} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{27}$ છે.

(C) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ માંથી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{n(n-1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $N = 6$ આપેલ છે,તેથી $\frac{n(n-1)}{2} = 6$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 - n - 12 = 0$. આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $(n-4)(n+3) = 0$ મળે છે,તેથી $n = 4$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_i - E_f = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેથી $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$,તરંગલંબાઇ $\lambda$ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E$ ન્યૂનતમ હોય.
$n=4$ માંથી શક્ય સંક્રમણો છે: $(4 \to 3), (4 \to 2), (4 \to 1), (3 \to 2), (3 \to 1), (2 \to 1)$.
ઉર્જાના તફાવતોની સરખામણી કરતા,સંક્રમણ $n=4 \to n=3$ માં ઉર્જાનો તફાવત સૌથી ઓછો છે,અને તેથી તે ઉત્સર્જિત વિકિરણની મહત્તમ તરંગલંબાઇને અનુરૂપ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z=1)$ માટે લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4}$
પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ ધરાવતા હાઇડ્રોજન જેવા આયન માટે બામર શ્રેણીની બીજી રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda'$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{\lambda'} = R Z^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R Z^2 \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = R Z^2 \left[ \frac{4-1}{16} \right] = \frac{3 R Z^2}{16}$
પ્રશ્ન મુજબ,$\lambda = \lambda'$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda'}$:
$\frac{3R}{4} = \frac{3 R Z^2}{16}$
બંને બાજુ $\frac{3R}{4}$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{Z^2}{4}$
$Z^2 = 4$
$Z = 2$
આમ,હાઇડ્રોજન જેવા આયનનો પરમાણુ ક્રમાંક $2$ છે.

(D) સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(UV)$ વિકિરણ ઉચ્ચ ઉર્જાના સંક્રમણો (લાયમન શ્રેણી) ને અનુરૂપ છે,જ્યારે ઇન્ફ્રારેડ $(IR)$ વિકિરણ ઓછી ઉર્જાના સંક્રમણો (પાશ્ચન,બ્રેકેટ અથવા ફંડ શ્રેણી) ને અનુરૂપ છે.
ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ મેળવવા માટે,ઉર્જાનો તફાવત $n=3$ થી $n=1$ ના સંક્રમણ કરતા ઘણો ઓછો હોવો જોઈએ.
ચાલો સંક્રમણોનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
$1. 2 \to 1$: આ લાયમન શ્રેણીનો ભાગ છે,જે $UV$ વિસ્તારમાં છે.
$2. 3 \to 1$: આ પણ લાયમન શ્રેણીનો ભાગ છે,જે $UV$ વિસ્તારમાં છે.
$3. 4 \to 2$: આ બામર શ્રેણીનો ભાગ છે,જે દ્રશ્યમાન વિસ્તારમાં છે.
$4. 4 \to 3$: આ પાશ્ચન શ્રેણીનો ભાગ છે,જે ઇન્ફ્રારેડ $(IR)$ વિસ્તારને અનુરૂપ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં $4 \to 3$ માટે ઉર્જાનો તફાવત સૌથી ઓછો હોવાથી,તે સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ ધરાવે છે,જે ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તારમાં આવે છે.

(A) હાઇડ્રોજન વર્ણપટમાં વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઇ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ સૌથી ઓછા ઉર્જા સંક્રમણને અનુરૂપ છે,જે $n_2 = 2$ છે.
$\frac{1}{\lambda_L} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4} \implies \lambda_L = \frac{4}{3R}$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ સૌથી ઓછા ઉર્જા સંક્રમણને અનુરૂપ છે,જે $n_2 = 3$ છે.
$\frac{1}{\lambda_B} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{9-4}{36} \right] = \frac{5R}{36} \implies \lambda_B = \frac{36}{5R}$.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3R} \times \frac{5R}{36} = \frac{4 \times 5}{3 \times 36} = \frac{20}{108} = \frac{5}{27}$.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc \approx 12400 \; \text{eV} \cdot \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $E = \frac{12400}{975} \approx 12.75 \; \text{eV}$ મળે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુના ઉર્જા સ્તરો $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \; \text{eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માટે,$E_1 = -13.6 \; \text{eV}$ છે.
ફોટોનનું શોષણ કર્યા પછી,નવું ઉર્જા સ્તર $E_n = E_1 + E = -13.6 + 12.75 = -0.85 \; \text{eV}$ છે.
કારણ કે $E_n = -\frac{13.6}{n^2} = -0.85 \; \text{eV}$,તેથી $n^2 = \frac{13.6}{0.85} = 16$,એટલે કે $n = 4$.
ઇલેક્ટ્રોન $n = 4$ સ્તરમાં ઉત્તેજિત થાય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n$ સ્તરમાંથી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $\frac{n(n-1)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 4$ માટે,વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $\frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ છે.

(A) લાયમન શ્રેણીમાં વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\frac{1}{\lambda_{L}} = R\left(\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{n^{2}}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 2, 3, 4, \dots$ છે.
લાયમન શ્રેણીમાં સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ માટે,આપણે $n = 2$ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R\left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{L} = \frac{4}{3R}$.
બામર શ્રેણીમાં વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\frac{1}{\lambda_{B}} = R\left(\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{n^{2}}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$ છે.
બામર શ્રેણીમાં સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ માટે,આપણે $n = 3$ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{B}} = R\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) = R\left(\frac{9-4}{36}\right) = \frac{5R}{36} \implies \lambda_{B} = \frac{36}{5R}$.
લાયમન શ્રેણીની સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ અને બામર શ્રેણીની સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{L}}{\lambda_{B}} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3R} \times \frac{5R}{36} = \frac{5}{27}$.

(B) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ માટે તરંગ સંખ્યા $\bar{\nu}$ રિડબર્ગના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
બામર શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_1 = 2$ પર સમાપ્ત થાય છે.
બામર શ્રેણીની છેલ્લી રેખા $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 2$ સુધીના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
આપેલ છે કે $R = 10^7 \, m^{-1}$,કિંમતો મૂકતા:
$\bar{\nu} = 10^7 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = 10^7 \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{10^7}{4} = 0.25 \times 10^7 \, m^{-1}$.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right)$ છે.
$n_i = 3$ થી $n_f = 2$ ના સંક્રમણ માટે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.
$n_i = 4$ થી $n_f = 3$ ના સંક્રમણ માટે:
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{5R/36}{7R/144} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$.
તેથી,$\lambda' = \frac{20}{7}\lambda$.

(C) પારજાંબલી વિભાગ (લાયમન શ્રેણી) માં સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે.
રાઇડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda_{0}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R$.
તેથી,$R = \frac{4}{3 \lambda_{0}}$.
ઇન્ફ્રારેડ વિભાગ (પાશ્ચન શ્રેણી) માં સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 3$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે.
રાઇડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} \right) = \frac{R}{9}$.
$R = \frac{4}{3 \lambda_{0}}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda'} = \frac{1}{9} \times \frac{4}{3 \lambda_{0}} = \frac{4}{27 \lambda_{0}}$.
તેથી,$\lambda' = \frac{27}{4} \lambda_{0}$.

(B) બામર શ્રેણીની છેલ્લી રેખાની તરંગલંબાઈ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda_{B}} = R \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = \frac{R}{4}$
$\lambda_{B} = \frac{4}{R}$
લાયમન શ્રેણીની છેલ્લી રેખાની તરંગલંબાઈ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = R$
$\lambda_{L} = \frac{1}{R}$
બંને તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_{B}}{\lambda_{L}} = \frac{4/R}{1/R} = 4$
આમ,ગુણોત્તર $4$ છે.

(B) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z=1)$ માટે લાયમન શ્રેણીની શ્રેણી સીમા માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = \infty$ લેતા:
$\frac{1}{\lambda_L} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty} \right] = R$.
તેથી,$\lambda_L = \frac{1}{R}$.
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ (પરમાણુ ક્રમાંક $Z$) માટે બામર શ્રેણીની શ્રેણી સીમા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = \infty$ લેતા:
$\frac{1}{\lambda_B} = R Z^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty} \right] = \frac{R Z^2}{4}$.
તેથી,$\lambda_B = \frac{4}{R Z^2}$.
આપેલ છે કે શ્રેણી સીમાઓ સમાન છે,તેથી $\lambda_L = \lambda_B$:
$\frac{1}{R} = \frac{4}{R Z^2} \Rightarrow Z^2 = 4 \Rightarrow Z = 2$.

$(A)$ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = e V_{0} = E - \phi_{0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે, $V_{0}$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે અને $\phi_{0}$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે: $V_{0} = 10.4 \ V$ અને $\phi_{0} = 1.7 \ eV$.
તેથી, $E = e V_{0} + \phi_{0} = 10.4 \ eV + 1.7 \ eV = 12.1 \ eV$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n_{i}$ થી $n_{f}$ ઊર્જા સ્તરમાં થતા સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right) \ eV$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 3$ થી $n = 1$ ના સંક્રમણ માટે:
$\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{3^{2}} \right) = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \times \frac{8}{9} \approx 12.09 \ eV \approx 12.1 \ eV$.
તેથી, $n = 3$ થી $n = 1$ નું સંક્રમણ આપાત ફોટોનની ઊર્જાને અનુરૂપ છે.

(B) $n^{th}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $N = n + 1$ ને અનુરૂપ છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $N$ માંથી નીચી ઉર્જા સ્તરોમાં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે ઉત્સર્જિત કુલ વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $\frac{N(N - 1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂત્રમાં $N = n + 1$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
રેખાઓની સંખ્યા $= \frac{(n + 1)((n + 1) - 1)}{2} = \frac{(n + 1)n}{2}$.
આ પદ પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાને સમાન છે: $1 + 2 + 3 + \dots + n$.

(A) ઓરડાના તાપમાને,હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ તેમની ભૂમિ અવસ્થા (ground state) માં હોય છે,જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન $n = 1$ ઉર્જા સ્તરમાં હોય છે.
જ્યારે વિકિરણ વાયુમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પરમાણુઓ ફક્ત તેવા જ ફોટોનનું શોષણ કરી શકે છે જે ઇલેક્ટ્રોનને $n = 1$ માંથી ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરો $(n = 2, 3, 4, \dots)$ માં ઉત્તેજિત કરવા માટે પૂરતી ઉર્જા આપે.
$n = 1$ થી કોઈપણ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n > 1)$ સુધીના સંક્રમણો શોષણ વર્ણપટમાં લાયમન શ્રેણીને અનુરૂપ છે.
ઓરડાના તાપમાને $n = 2$ કે તેથી ઉપરના સ્તરમાં કોઈ ઇલેક્ટ્રોન હોતા નથી,તેથી બામર શ્રેણીને અનુરૂપ કોઈ શોષણ રેખાઓ (જેના માટે $n = 2$ થી સંક્રમણ જરૂરી છે) જોવા મળશે નહીં.
તેથી,માત્ર લાયમન શ્રેણી જ જોવા મળે છે.

(D) ઉર્જા સ્તરો $n_i$ અને $n_f$ વચ્ચેના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 Z^2 (\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિકિરણ ઉચ્ચ ઉર્જાના સંક્રમણો (લાયમન શ્રેણી) ને અનુરૂપ છે,જ્યારે ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ ઓછી ઉર્જાના સંક્રમણો (પાશ્ચન,બ્રેકેટ અથવા ફંડ શ્રેણી) ને અનુરૂપ છે.
આપેલ છે કે આ પરમાણુ માટે $n=4 \rightarrow n=3$ સંક્રમણ અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિકિરણ આપે છે,જેનો અર્થ છે કે ઉર્જા તફાવત $\Delta E_{4 \rightarrow 3}$ ઘણો મોટો છે.
ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ મેળવવા માટે,આપણે $\Delta E_{4 \rightarrow 3}$ કરતા ઘણો ઓછો ઉર્જા તફાવત ધરાવતું સંક્રમણ જોઈએ.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$(A)$ $2 \rightarrow 1$: આ નીચા ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેનું સંક્રમણ છે,જે $4 \rightarrow 3$ કરતા મોટો ઉર્જા તફાવત આપે છે.
$(B)$ $3 \rightarrow 2$: આ પણ નીચા ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેનું સંક્રમણ છે,જે $4 \rightarrow 3$ કરતા મોટો ઉર્જા તફાવત આપે છે.
$(C)$ $4 \rightarrow 2$: આમાં ક્વોન્ટમ નંબર્સમાં મોટો તફાવત છે,જે મોટો ઉર્જા તફાવત આપે છે.
$(D)$ $5 \rightarrow 4$: આ સંક્રમણ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરો વચ્ચે થાય છે જ્યાં ક્રમિક સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત ઘણો ઓછો હોય છે. તેથી,$5 \rightarrow 4$ સૌથી ઓછો ઉર્જા તફાવત ધરાવશે અને ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ આપશે.

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n$ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક ધરાવતી ઉત્તેજિત સ્થિતિમાંથી નીચી ઉર્જા સ્તરોમાં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે શક્ય વર્ણપટ રેખાઓની કુલ સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$N = \frac{n(n - 1)}{2}$
અહીં આપેલ છે કે ઇલેક્ટ્રોન $n = 4$ સ્થિતિમાં ઉત્તેજિત થાય છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$N = \frac{4(4 - 1)}{2}$
$N = \frac{4 \times 3}{2}$
$N = \frac{12}{2} = 6$
તેથી,ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની કુલ સંખ્યા $6$ છે.

(C) સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $h\nu = E_n - E_m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણી સીમા માટે,ઇલેક્ટ્રોન $n = \infty$ થી શ્રેણીની ધરા અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,ધરા અવસ્થા $n_1 = 1$ છે. તેથી,$h\nu_L = E_{\infty} - E_1 = 0 - E_1 = -E_1$.
ફંડ શ્રેણી માટે,ધરા અવસ્થા $n_5 = 5$ છે. તેથી,$h\nu_f = E_{\infty} - E_5 = 0 - E_5 = -E_5$.
કારણ કે $E_n = \frac{E_1}{n^2}$,તેથી $E_5 = \frac{E_1}{5^2} = \frac{E_1}{25}$.
આ કિંમત $\nu_f$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h\nu_f = -\left(\frac{E_1}{25}\right) = \frac{-E_1}{25}$.
કારણ કે $h\nu_L = -E_1$,તેથી આપણને $h\nu_f = \frac{h\nu_L}{25}$ મળે છે.
તેથી,$\nu_f = \frac{\nu_L}{25}$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર રિડબર્ગના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
હાઇડ્રોજન $(Z=1)$ માટે લાયમન શ્રેણીની ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = \infty$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_L} = R (1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$.
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ $(Z)$ માટે બામર શ્રેણીની ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = \infty$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_B} = R Z^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \frac{Z^2}{4}$.
આપેલ છે કે $\lambda_L = \lambda_B$,તેથી $\frac{1}{\lambda_L} = \frac{1}{\lambda_B}$.
તેથી,$R = R \frac{Z^2}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $Z^2 = 4$.
$Z$ માટે ઉકેલતા,આપણને $Z = 2$ મળે છે.

(B) બામર શ્રેણીની વર્ણપટ રેખાઓ દ્રશ્યમાન વિભાગમાં હોય છે.
આ રેખાઓ ઇલેક્ટ્રોનના કોઈપણ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n > 2)$ થી $n = 2$ સ્તરમાં સંક્રમણને કારણે મળે છે.
આપેલ આકૃતિ મુજબ,સામેલ ઉર્જા સ્તરો $n = 1$ થી $n = 7$ સુધીના છે.
તેથી,$n = 2$ સ્તરમાં સંભવિત સંક્રમણો $n = 3, 4, 5, 6, \text{ અને } 7$ થી થાય છે.
આમ,દ્રશ્યમાન વિભાગમાં કુલ $5$ સંભવિત ઉત્સર્જન રેખાઓ મળે છે $(3$ $\rightarrow 2, 4$ $\rightarrow 2, 5$ $\rightarrow 2, 6$ $\rightarrow 2, 7$ $\rightarrow 2)$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની વર્ણપટ શ્રેણી ઇલેક્ટ્રોન સંક્રમણના અંતિમ ઉર્જા સ્તર $(n_f)$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$1$. $n_f = 1$ પરના સંક્રમણ લાયમન શ્રેણીમાં પરિણમે છે.
$2$. $n_f = 2$ પરના સંક્રમણ બામર શ્રેણીમાં પરિણમે છે.
$3$. $n_f = 3$ પરના સંક્રમણ પાશ્ચન શ્રેણીમાં પરિણમે છે.
આ કિસ્સામાં,ઇલેક્ટ્રોન $n_i = 4$ થી $n_f = 2$ માં સંક્રમણ કરે છે. અંતિમ અવસ્થા $n_f = 2$ હોવાથી,આ ઉત્સર્જન બામર શ્રેણીનો ભાગ છે.
બામર શ્રેણીની રેખાઓ $n_i = 3, 4, 5, ...$ થી $n_f = 2$ ના સંક્રમણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
- પ્રથમ રેખા $n_i = 3$ થી $n_f = 2$ ના સંક્રમણ માટે છે.
- બીજી રેખા $n_i = 4$ થી $n_f = 2$ ના સંક્રમણ માટે છે.
તેથી,$n=4$ થી $n=2$ નું સંક્રમણ એ બામર શ્રેણીની બીજી રેખા દર્શાવે છે.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = RZ^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે.
આપેલ પરમાણુ માટે $R$ અને $Z$ અચળ હોવાથી,$\frac{1}{\lambda} \propto \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ મળે.
પ્રથમ સંક્રમણ ($n=5$ થી $n=2$) માટે: $\frac{1}{434} = k \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right) = k \left( \frac{21}{100} \right)$.
બીજા સંક્રમણ ($n=4$ થી $n=2$) માટે: $\frac{1}{x} = k \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = k \left( \frac{3}{16} \right)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{x}{434} = \frac{21/100}{3/16} = \frac{21}{100} \times \frac{16}{3} = 1.12$.
આમ,$x = 434 \times 1.12 = 486.08 \, nm \approx 486 \, nm$.

(C) ઉર્જા સ્તરો $n_2$ અને $n_1$ વચ્ચેના સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)$.
$Li^{2+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે,તેથી $Z^2 = 9$.
$\frac{1}{\lambda_{32}} = R(9) \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) = 9R \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) = 9R \left(\frac{5}{36}\right) = \frac{5R}{4} \implies \lambda_{32} = \frac{4}{5R}$.
$\frac{1}{\lambda_{31}} = R(9) \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}\right) = 9R \left(1 - \frac{1}{9}\right) = 9R \left(\frac{8}{9}\right) = 8R \implies \lambda_{31} = \frac{1}{8R}$.
$\frac{1}{\lambda_{21}} = R(9) \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right) = 9R \left(1 - \frac{1}{4}\right) = 9R \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{27R}{4} \implies \lambda_{21} = \frac{4}{27R}$.
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{\lambda_{32}}{\lambda_{31}} = \frac{4/5R}{1/8R} = \frac{4}{5} \times 8 = \frac{32}{5} = 6.4$.
$\frac{\lambda_{21}}{\lambda_{31}} = \frac{4/27R}{1/8R} = \frac{4}{27} \times 8 = \frac{32}{27} \approx 1.185 \approx 1.2$.
આમ,ગુણોત્તર $6.4$ અને $1.2$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે.
પ્રથમ બામર રેખા માટે $(n_i = 3, n_f = 2)$: $\frac{1}{660} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36}$ .... $(1)$
બીજી બામર રેખા માટે $(n_i = 4, n_f = 2)$: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = \frac{3R}{16}$ .... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\lambda}{660} = \frac{5R/36}{3R/16} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{80}{108} = \frac{20}{27}$
$\lambda = 660 \times \frac{20}{27} = \frac{13200}{27} \approx 488.88\,nm \approx 488.9\,nm$.

(B) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
બામર શ્રેણી માટે,પ્રથમ રેખા $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
બંને પરમાણુઓ માટે સંક્રમણ સમાન હોવાથી,પદ $\left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ અચળ રહેશે.
તેથી,$\frac{1}{\lambda} \propto Z^2$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
હાઇડ્રોજન $(Z_H = 1)$ માટે,$\lambda_H = \lambda$.
ડબલ આયનાઇઝ્ડ લિથિયમ $(Z_{Li} = 3)$ માટે,$\lambda_{Li} = \lambda_H \times \left( \frac{Z_H}{Z_{Li}} \right)^2$.
$\lambda_{Li} = \lambda \times \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{\lambda}{9}$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda_{Lyman}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{Lyman} = \frac{4}{3R}$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda_{Balmer}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36} \implies \lambda_{Balmer} = \frac{36}{5R}$.
લાયમન શ્રેણીની સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ અને બામર શ્રેણીની સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{Lyman}}{\lambda_{Balmer}} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{27}$.

(A) બામર શ્રેણી માટે,રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ છે,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$
પ્રથમ રેખા (મહત્તમ તરંગલંબાઈ) માટે,$n = 3$: $\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
બીજી રેખા માટે,$n = 4$: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{4-1}{16} \right) = \frac{3R}{16}$.
તેથી,$\lambda = \frac{16}{3R}$.

(A) Lyman શ્રેણીની સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 1$ થાય છે.
Rydberg સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R = \frac{1}{91.2 \, nm}$.
Lyman શ્રેણીની સૌથી મોટી તરંગલંબાઇ માટે,સંક્રમણ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ થાય છે.
Rydberg સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R$.
$R = \frac{1}{91.2 \, nm}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_{max}} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{91.2 \, nm}$.
$\lambda_{max} = \frac{4}{3} \times 91.2 \, nm = 121.6 \, nm$.

(B) લાયમન શ્રેણી ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તરોમાંથી ધરા સ્થિતિ $(n_f = 1)$ માં થતા સંક્રમણોને અનુરૂપ છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌથી ઓછી ઊર્જા ધરાવતો ફોટોન સૌથી ઓછા ઊર્જા તફાવતને અનુરૂપ છે,જે પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 2)$ થી ધરા સ્થિતિ $(n_f = 1)$ માં થતા સંક્રમણ માટે જોવા મળે છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
આમ,$\lambda = \frac{4}{3R}$.
$R \approx 1.097 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$ લેતા,$\lambda = \frac{4}{3 \times 1.097 \times 10^7} \approx 1.216 \times 10^{-7} \text{ m} = 121.6 \text{ nm}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $122 \text{ nm}$ મળે છે.

(A) લાયમન શ્રેણી એ સંક્રમણોને અનુરૂપ છે જ્યાં અંતિમ અવસ્થા $n_f = 1$ છે. તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,જ્યાં $R \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ છે.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ (ન્યૂનતમ ઉર્જા સંક્રમણ) માટે,આપણે $n_i = 2$ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
$\lambda_{\max} = \frac{4}{3R} \approx 1213 \, \mathring{A}$.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ (મહત્તમ ઉર્જા સંક્રમણ) માટે,આપણે $n_i = \infty$ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$.
$\lambda_{\min} = \frac{1}{R} \approx 910 \, \mathring{A}$.
આમ,સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $910 \, \mathring{A}$ અને સૌથી લાંબી $1213 \, \mathring{A}$ છે.

(A) બામર શ્રેણી માટે તરંગલંબાઈ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right]$,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$
મહત્તમ તરંગલંબાઈ માટે $(n=3)$:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{5}{36} \right]$
$\lambda_{\max} = \frac{36}{5R} \approx 6563 \, \mathring{A}$
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈ માટે $(n \to \infty)$:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left[ \frac{1}{4} - 0 \right] = \frac{R}{4}$
$\lambda_{\min} = \frac{4}{R} \approx 3646 \, \mathring{A}$
$3646 \, \mathring{A}$ થી $6563 \, \mathring{A}$ ની રેન્જ વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના દ્રશ્ય વિભાગમાં આવે છે. તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,ધરા સ્થિતિ $n_{1} = 1$ છે.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ (સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ) માટે,$n_{2} = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = R \implies \lambda_{min} = \frac{1}{R}$.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ (સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ) માટે,$n_{2} = 2$:
$\frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{max} = \frac{4}{3R}$.
ન્યૂનતમ અને મહત્તમ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{min}}{\lambda_{max}} = \frac{1/R}{4/3R} = \frac{3}{4}$ છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ લાયમન શ્રેણીના સંક્રમણોની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(A) રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,ધરા સ્થિતિ $n_1 = 1$ છે.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ (સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ) માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 1$ સુધી થાય છે:
$\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \implies \lambda_{min} = \frac{1}{R}$.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ (સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ) માટે,સંક્રમણ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ સુધી થાય છે:
$\frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{max} = \frac{4}{3R}$.
લઘુત્તમ અને મહત્તમ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{min}}{\lambda_{max}} = \frac{1/R}{4/3R} = \frac{3}{4}$ થાય છે.
વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ લાયમન શ્રેણીના ઉદભવની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(C) બામર શ્રેણી માટે,રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_{H} \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{n^{2}} \right)$ છે,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$ છે.
પ્રથમ સભ્ય માટે $n = 3$ લેતા: $\frac{1}{\lambda_{1}} = R_{H} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R_{H} \left( \frac{5}{36} \right)$.
બીજા સભ્ય માટે $n = 4$ લેતા: $\frac{1}{\lambda_{2}} = R_{H} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R_{H} \left( \frac{3}{16} \right)$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} = \frac{5/36}{3/16} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{20}{27}$.
અહીં $\lambda_{1} = 6561 \; \mathring{A}$ આપેલ છે,તેથી $\lambda_{2} = \frac{20}{27} \times 6561 = 4860 \; \mathring{A}$.
નેનોમીટરમાં ફેરવતા: $4860 \; \mathring{A} = 486 \; nm$.

રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_H \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,અંતિમ ઉર્જા સ્તર $n_f = 1$ છે. પ્રથમ ચાર વર્ણપટ રેખાઓ $n_i = 2, 3, 4, 5$ થી $n_f = 1$ સુધીના સંક્રમણોને અનુરૂપ છે.
$\lambda = \frac{1}{R_H \left( 1 - \frac{1}{n_i^2} \right)} = \frac{n_i^2}{R_H (n_i^2 - 1)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $n_i = 2$ માટે: $\lambda_{21} = \frac{4}{1.097 \times 10^7 (3)} \approx 1.216 \times 10^{-7} \, m = 1216 \, \mathring{A}$.
$2$. $n_i = 3$ માટે: $\lambda_{31} = \frac{9}{1.097 \times 10^7 (8)} \approx 1.026 \times 10^{-7} \, m = 1026 \, \mathring{A}$.
$3$. $n_i = 4$ માટે: $\lambda_{41} = \frac{16}{1.097 \times 10^7 (15)} \approx 0.972 \times 10^{-7} \, m = 972 \, \mathring{A}$.
$4$. $n_i = 5$ માટે: $\lambda_{51} = \frac{25}{1.097 \times 10^7 (24)} \approx 0.950 \times 10^{-7} \, m = 950 \, \mathring{A}$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રિડબર્ગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
પાશ્ચેન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_1 = 3$ ઉર્જા સ્તર પર થાય છે.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ સૌથી ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરથી થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે,એટલે કે $n_2 = \infty$.
રિડબર્ગ અચળાંક $R \approx 1.097 \times 10^7 \;m^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{1}{9}$
$\lambda = \frac{9}{1.097 \times 10^7} \approx 8.204 \times 10^{-7} \;m = 820.4 \;nm$.
આપેલ સંદર્ભ મુજબ ઉર્જા રૂપાંતરણ પરિબળ $13.6 \;eV = 21.76 \times 10^{-19} \;J$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{hc}{\lambda} = 21.76 \times 10^{-19} \left( \frac{1}{3^2} - 0 \right)$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8 \times 9}{21.76 \times 10^{-19}} \approx 8.22 \times 10^{-7} \;m = 822 \;nm$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$818.9 \;nm$ એ સૌથી નજીકનું મૂલ્ય છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોન બીમની ઉર્જા $12.5\; eV$ છે. હાઇડ્રોજનની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા $E_1 = -13.6\; eV$ છે.
જ્યારે મારો ચલાવવામાં આવે છે,ત્યારે હાઇડ્રોજન પરમાણુ ઉત્તેજિત અવસ્થા $E_n = E_1 + 12.5\; eV = -13.6 + 12.5 = -1.1\; eV$ સુધી પહોંચવા માટે ઉર્જા શોષી શકે છે.
સૂત્ર $E_n = -13.6 / n^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $n^2 = -13.6 / -1.1 \approx 12.36$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n \approx 3.5$. આમ,ઇલેક્ટ્રોન $n = 3$ સ્તર સુધી ઉત્તેજિત થઈ શકે છે.
$n = 3$ માંથી ડી-એક્સાઇટેશન દરમિયાન,સંભવિત સંક્રમણો $n = 3 \to 2$,$n = 2 \to 1$,અને $n = 3 \to 1$ છે.
$1$. $n = 3 \to 1$ (લાયમેન શ્રેણી) માટે: $\frac{1}{\lambda} = R_y (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) = 1.097 \times 10^7 \times \frac{8}{9} \implies \lambda \approx 102.6\; nm$.
$2$. $n = 2 \to 1$ (લાયમેન શ્રેણી) માટે: $\frac{1}{\lambda} = R_y (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = 1.097 \times 10^7 \times \frac{3}{4} \implies \lambda \approx 121.6\; nm$.
$3$. $n = 3 \to 2$ (બામર શ્રેણી) માટે: $\frac{1}{\lambda} = R_y (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = 1.097 \times 10^7 \times \frac{5}{36} \implies \lambda \approx 656.3\; nm$.
આમ,લાયમેન અને બામર બંને શ્રેણીની તરંગલંબાઇ ઉત્સર્જિત થાય છે.

(N/A) દરેક તત્વ તેના તાપમાનના આધારે અલગ-અલગ તરંગલંબાઈ ધરાવતું વિકિરણ ઉત્સર્જિત કરે છે. તેથી,દરેક તત્વ પાસે તેના દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણનો લાક્ષણિક વર્ણપટ હોય છે.
જ્યારે કોઈ પરમાણ્વીય વાયુ કે બાષ્પને નીચા દબાણે વિદ્યુત પ્રવાહ પસાર કરીને ઉત્તેજિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઉત્સર્જિત વિકિરણના વર્ણપટમાં માત્ર અમુક ચોક્કસ તરંગલંબાઈઓ જ જોવા મળે છે. આ પ્રકારના વર્ણપટને ઉત્સર્જન રેખા વર્ણપટ કહેવામાં આવે છે.
પરમાણ્વીય હાઇડ્રોજનનો ઉત્સર્જન રેખા વર્ણપટ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
કોઈપણ વાયુના ઉત્સર્જન રેખા વર્ણપટનો અભ્યાસ તે વાયુને ઓળખવા માટે કરવામાં આવે છે.
જ્યારે શ્વેત પ્રકાશ કોઈ વાયુમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે આપણે જોઈએ છીએ કે પારગમિત પ્રકાશમાં અમુક ચોક્કસ તરંગલંબાઈઓ ગેરહાજર હોય છે,જે તે પરમાણુની લાક્ષણિકતા છે. આમ,પારગમિત પ્રકાશના વર્ણપટમાં કેટલીક કાળી રેખાઓ દેખાય છે. આ કાળી રેખાઓ દ્વારા બનતા વર્ણપટને વાયુના દ્રવ્યનો શોષણ વર્ણપટ કહેવામાં આવે છે.

(N/A) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ શ્રેણી એ હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ દ્વારા ઉત્સર્જિત થતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણોની અલગ-અલગ તરંગલંબાઈઓનો સમૂહ છે,જે ત્યારે જોવા મળે છે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન જુદા જુદા ઉર્જા સ્તરો વચ્ચે સંક્રમણ કરે છે. જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n_i)$ થી નીચા ઉર્જા સ્તર $(n_f)$ માં કૂદકો મારે છે,ત્યારે $E = E_{n_i} - E_{n_f} = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ જેટલી ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન ઉત્સર્જિત થાય છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક $(1.097 \times 10^7 \ m^{-1})$ છે.
મુખ્ય શ્રેણીઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. લાયમન શ્રેણી: $n_f = 1$,$n_i = 2, 3, 4, \dots$ (અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિભાગ).
$2$. બામર શ્રેણી: $n_f = 2$,$n_i = 3, 4, 5, \dots$ (દ્રશ્ય વિભાગ).
$3$. પાશ્ચન શ્રેણી: $n_f = 3$,$n_i = 4, 5, 6, \dots$ (ઇન્ફ્રારેડ વિભાગ).
$4$. બ્રેકેટ શ્રેણી: $n_f = 4$,$n_i = 5, 6, 7, \dots$ (ઇન્ફ્રારેડ વિભાગ).
$5$. ફંડ શ્રેણી: $n_f = 5$,$n_i = 6, 7, 8, \dots$ (ઇન્ફ્રારેડ વિભાગ).

(N/A) હાઇડ્રોજન વર્ણપટમાં જોવા મળતી વિવિધ શ્રેણીઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. લાયમન શ્રેણી: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,જ્યાં $n = 2, 3, 4, \dots$
$2$. બામર શ્રેણી: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$
$3$. પાશ્ચન શ્રેણી: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,જ્યાં $n = 4, 5, 6, \dots$
$4$. બ્રેકેટ શ્રેણી: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,જ્યાં $n = 5, 6, 7, \dots$
$5$. ફંડ શ્રેણી: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{5^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,જ્યાં $n = 6, 7, 8, \dots$
તરંગ સંખ્યા $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda}$ માટેનું સામાન્ય રિડબર્ગ સૂત્ર છે:
$\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક $(1.097 \times 10^7 \ m^{-1})$ છે,$n_1$ એ નીચલી ઉર્જા સપાટી છે અને $n_2$ એ ઉપલી ઉર્જા સપાટી છે $(n_2 > n_1)$.