Spectral Series of Hydrogen Atom Questions in Gujarati

(C) હાઇડ્રોજન વર્ણપટમાં સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે.
લાયમન શ્રેણીની છેલ્લી રેખા માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = \infty$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$,જે $\lambda_L = \frac{1}{R}$ આપે છે.
બામર શ્રેણીની છેલ્લી રેખા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = \infty$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4}$,જે $\lambda_B = \frac{4}{R}$ આપે છે.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{1/R}{4/R} = \frac{1}{4} = 0.25$ છે.

(D) $n_i$ થી $n_f$ અવસ્થામાં થતા સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિકિરણ લાયમન શ્રેણી $(n_f = 1)$ ને અનુરૂપ છે.
દ્રશ્ય પ્રકાશ વિકિરણ બામર શ્રેણી $(n_f = 2)$ ને અનુરૂપ છે.
ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ પાશ્ચન શ્રેણી $(n_f = 3)$,બ્રેકેટ શ્રેણી $(n_f = 4)$ અથવા ફંડ શ્રેણી $(n_f = 5)$ ને અનુરૂપ છે.
વિકલ્પો જોતા:
વિકલ્પ $A$: $n=3$ થી $n=1$ એ લાયમન શ્રેણી (અલ્ટ્રાવાયોલેટ) છે.
વિકલ્પ $B$: $n=4$ થી $n=2$ એ બામર શ્રેણી (દ્રશ્ય) છે.
વિકલ્પ $C$: $n=6$ થી $n=2$ એ બામર શ્રેણી (દ્રશ્ય) છે.
વિકલ્પ $D$: $n=5$ થી $n=3$ એ પાશ્ચન શ્રેણી (ઇન્ફ્રારેડ) છે.
તેથી,ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ માટેનું સાચું સંક્રમણ $n=5$ થી $n=3$ છે.

(C) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે,જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,$n_1 = 3$. પ્રથમ રેખા માટે $n_2 = 4$ લેતા,$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$. તેથી,$\lambda_1 = \frac{144}{7R}$.
બ્રેકેટ શ્રેણી માટે,$n_1 = 4$. પ્રથમ રેખા માટે $n_2 = 5$ લેતા,$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} \right) = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) = R \left( \frac{25-16}{400} \right) = \frac{9R}{400}$. તેથી,$\lambda_2 = \frac{400}{9R}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{144}{7R} \times \frac{9R}{400} = \frac{144 \times 9}{7 \times 400} = \frac{1296}{2800} = \frac{81}{175}$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાની આવૃત્તિ $v = R c Z^2 (1/n_f^2 - 1/n_i^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બામર શ્રેણીની મર્યાદા માટે,$n_f = 2$ અને $n_i = \infty$,તેથી $v_1 = R c (1/2^2 - 1/\infty^2) = R c / 4$.
પાશ્ચન શ્રેણીની મર્યાદા માટે,$n_f = 3$ અને $n_i = \infty$,તેથી $v_3 = R c (1/3^2 - 1/\infty^2) = R c / 9$.
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_f = 2$ અને $n_i = 3$,તેથી $v_2 = R c (1/2^2 - 1/3^2) = R c (1/4 - 1/9) = R c (5/36)$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $v_1 - v_3 = R c (1/4 - 1/9) = R c (5/36) = v_2$.
આમ,સાચો સંબંધ $v_1 - v_3 = v_2$ છે.

(D) રિડબર્ગના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4}$.
પાશ્ચન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 3$ અને $n_2 = 4$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = \frac{7R}{144}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ શોધતા:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{1}{\lambda_1} \times \lambda_2 = \left( \frac{3R}{4} \right) \times \left( \frac{144}{7R} \right) = \frac{3 \times 36}{7} = \frac{108}{7}$.
આમ,$\lambda_2 : \lambda_1 = 108 : 7$.

(C) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રીડબર્ગનું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$ છે.
સંક્રમણ $1$ ($n_i = 3$ થી $n_f = 1$) માટે: $\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] = \frac{8}{9} R$.
સંક્રમણ $2$ ($n_i = 2$ થી $n_f = 1$) માટે: $\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3}{4} R$.
બંને તરંગલંબાઇઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1/\lambda_2}{1/\lambda_1} = \frac{\frac{3}{4} R}{\frac{8}{9} R} = \frac{3}{4} \times \frac{9}{8} = \frac{27}{32}$.
આપેલ છે કે $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{x}{32}$,તેથી $\frac{x}{32} = \frac{27}{32}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 27$.

(C) તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right)$.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ (સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ) માટે,સંક્રમણ $m = \infty$ થી શ્રેણીના ધરા અવસ્થા $n$ માં થાય છે.
Lyman શ્રેણી માટે,$n = 1$ અને $m = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \implies \lambda_{L} = \frac{1}{R}$.
Balmer શ્રેણી માટે,$n = 2$ અને $m = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{B}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4} \implies \lambda_{B} = \frac{4}{R}$.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{L}}{\lambda_{B}} = \frac{1/R}{4/R} = \frac{1}{4} = 0.25$ થાય છે.

(B) તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ ધરાવતા સ્તર $n_1 = 1$ છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\max})$ માટે,સંક્રમણ નજીકના ઉર્જા સ્તર $n_2 = 2$ થી થાય છે:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R \implies \lambda_{\max} = \frac{4}{3R}$.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\min})$ માટે,સંક્રમણ ઉચ્ચતમ ઉર્જા સ્તર $n_2 = \infty$ થી થાય છે:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R(1 - 0) = R \implies \lambda_{\min} = \frac{1}{R}$.
તેથી,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{4/3R}{1/R} = \frac{4}{3}$.

(C) બામર શ્રેણીમાં સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{R}{4}$.
તેથી,$\lambda_B = \frac{4}{R}$.
પાશ્ચન શ્રેણીમાં સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ આ મુજબ છે: $\frac{1}{\lambda_P} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{R}{9}$.
તેથી,$\lambda_P = \frac{9}{R}$.
બામર શ્રેણીની સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ અને પાશ્ચન શ્રેણીની સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_B}{\lambda_P} = \frac{4/R}{9/R} = \frac{4}{9}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુના વર્ણપટમાં,લાયમેન શ્રેણી પારજાંબલી (ultraviolet) વિભાગમાં આવે છે.
બામર શ્રેણી દ્રશ્યમાન (visible) વિભાગમાં આવે છે.
પાશ્ચન,બ્રેકેટ અને ફંડ શ્રેણી ઇન્ફ્રારેડ વિભાગમાં આવે છે.
તેથી,સાચો જવાબ બામર શ્રેણી છે.

(A) બામર શ્રેણી માટે તરંગલંબાઈ $\lambda$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,જ્યાં બામર શ્રેણી માટે $n_1 = 2$ છે.
શ્રેણી સીમા માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4}$.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{4}{R}$ થાય.
આવૃત્તિ $v$ એ પ્રકાશના વેગ $C$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે $v = \frac{C}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $v = \frac{C}{4/R} = \frac{RC}{4}$.

(B) લાયમન શ્રેણી એ ઇલેક્ટ્રોનના ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરોમાંથી ધરા અવસ્થા $(n_1 = 1)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
લાયમન શ્રેણીમાં સૌથી ઓછી ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = 2)$ થી ધરા અવસ્થા $(n_1 = 1)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
આ સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = 10.2 \text{ eV}$ આપેલ છે.
ઉર્જા અને તરંગલંબાઇ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{1240 \text{ eV-nm}}{10.2 \text{ eV}}$.
$\lambda \approx 121.57 \text{ nm}$.
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં લેતા, $\lambda \approx 122 \text{ nm}$ મળે છે.

(A) પાશ્ચન શ્રેણી માટે,રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે,જ્યાં $n_1 = 3$ અને $n_2 = 4, 5, 6, \dots$
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\max})$ $n_2 = 4$ થી $n_1 = 3$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144} \implies \lambda_{\max} = \frac{144}{7R}$
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\min})$ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 3$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - 0 \right) = \frac{R}{9} \implies \lambda_{\min} = \frac{9}{R}$
સૌથી લાંબી અને સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{144/7R}{9/R} = \frac{144}{7 \times 9} = \frac{144}{63}$

(A) રિડબર્ગના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{\lambda} = R_H Z^2 \left[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right]$,જ્યાં $R_H$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z=1)$ માટે બામર શ્રેણીમાં ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે: $n=2, m=\infty$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_1} = R_H (1)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - 0 \right] = \frac{R_H}{4}$,જે $\lambda_1 = \frac{4}{R_H}$ આપે છે.
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે બ્રેકેટ શ્રેણીમાં ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે: $n=4, m=\infty$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_2} = R_H Z^2 \left[ \frac{1}{4^2} - 0 \right] = \frac{R_H Z^2}{16}$,જે $\lambda_2 = \frac{16}{R_H Z^2}$ આપે છે.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = \lambda_2$,તેથી $\frac{4}{R_H} = \frac{16}{R_H Z^2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$Z^2 = \frac{16}{4} = 4$,તેથી $Z = 2$.

(D) Rydberg ના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right)$.
Lyman શ્રેણીની શ્રેણી મર્યાદા માટે,$n=1, m=\infty$,તેથી $\frac{1}{\lambda_1} = R(1 - 0) = R$.
Lyman શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n=1, m=2$,તેથી $\frac{1}{\lambda_2} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
Balmer શ્રેણીની શ્રેણી મર્યાદા માટે,$n=2, m=\infty$,તેથી $\frac{1}{\lambda_3} = R \left( \frac{1}{2^2} - 0 \right) = \frac{R}{4}$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} = R - \frac{3R}{4} = \frac{R}{4}$.
કારણ કે $\frac{R}{4} = \frac{1}{\lambda_3}$,તેથી આપણને $\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_3}$ સંબંધ મળે છે.

(C) વર્ણપટ શ્રેણી માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. $2^{\text{nd}}$ રેખા $n_2 = 4$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$\frac{1}{\lambda_1} = R Z^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R Z^2 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R Z^2 \left( \frac{3}{16} \right)$.
તેથી,$\lambda_1 = \frac{16}{3 R Z^2}$.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,$n_1 = 3$. $1^{\text{st}}$ રેખા $n_2 = 4$ થી $n_1 = 3$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$\frac{1}{\lambda_2} = R Z^2 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R Z^2 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R Z^2 \left( \frac{7}{144} \right)$.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{144}{7 R Z^2}$.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left( \frac{16}{3 R Z^2} \right) \times \left( \frac{7 R Z^2}{144} \right) = \frac{16 \times 7}{3 \times 144} = \frac{7}{27}$.

(D) બામર શ્રેણીની તરંગલંબાઈ રિડબર્ગના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,જ્યાં બામર શ્રેણી માટે $n_1 = 2$ છે.
શ્રેણી સીમા માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4}$.
આવૃત્તિ $v$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને પ્રકાશના વેગ $c$ સાથે $v = \frac{c}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આવૃત્તિના સૂત્રમાં $\frac{1}{\lambda} = \frac{R}{4}$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $v = c \times \frac{R}{4} = \frac{Rc}{4}$.

(C) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ સૌથી ઓછા ઉર્જા સંક્રમણને અનુરૂપ છે,જે $n_2 = 2$ પર થાય છે.
$\frac{1}{\lambda_{\max(L)}} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{\max(L)} = \frac{4}{3R}$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ સૌથી ઓછા ઉર્જા સંક્રમણને અનુરૂપ છે,જે $n_2 = 3$ પર થાય છે.
$\frac{1}{\lambda_{\max(B)}} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{9-4}{36} \right] = \frac{5R}{36} \implies \lambda_{\max(B)} = \frac{36}{5R}$.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{\max(L)}}{\lambda_{\max(B)}} = \frac{4}{3R} \times \frac{5R}{36} = \frac{4 \times 5}{3 \times 36} = \frac{20}{108} = \frac{5}{27}$ છે.

(B) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિકિરણ લાયમન શ્રેણી $(n_1 = 1)$ ને અનુરૂપ છે.
ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ પાશ્ચન શ્રેણી $(n_1 = 3)$,બ્રેકેટ શ્રેણી $(n_1 = 4)$ અથવા ફંડ શ્રેણી $(n_1 = 5)$ ને અનુરૂપ છે.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$(A)$ $n=6$ થી $n=2$ એ બામર શ્રેણી (દ્રશ્ય પ્રકાશ) છે.
$(B)$ $n=5$ થી $n=3$ એ પાશ્ચન શ્રેણી (ઇન્ફ્રારેડ) છે.
$(C)$ $n=3$ થી $n=5$ એ શોષણ પ્રક્રિયા છે,ઉત્સર્જન નથી.
$(D)$ $n=4$ થી $n=2$ એ બામર શ્રેણી (દ્રશ્ય પ્રકાશ) છે.
તેથી,$n=5$ થી $n=3$ નું સંક્રમણ ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ આપે છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે તરંગ આંક $\bar{\nu}$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
લાયમન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ ધરાવસ્થિતિમાં થાય છે,તેથી $n_1 = 1$.
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થાથી ધરાવસ્થિતિમાં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે,તેથી $n_2 = 2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)$
$\bar{\nu} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right)$
$\bar{\nu} = R \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3 R}{4}$.

(B) બામર શ્રેણીમાં દ્રશ્યમાન વિકિરણની તરંગલંબાઇ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{m^2} \right)$ જ્યાં $m = 3, 4, 5, ...$
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{m^2} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{m^2 - 4}{4 m^2} \right)$
$\lambda$ શોધવા માટે વ્યસ્ત લેતા:
$\lambda = \frac{4 m^2}{R(m^2 - 4)}$
આપેલ સમીકરણ $\lambda = \frac{k m^2}{m^2 - 4}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$k = \frac{4}{R}$

(C) બામર શ્રેણીમાં વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઈ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$ અને $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n=2$ કક્ષામાં થતું સંક્રમણ રેખા નક્કી કરે છે:
- $n=3$ થી $n=2$ માટે,આપણને બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા મળે છે.
- $n=4$ થી $n=2$ માટે,આપણને બામર શ્રેણીની બીજી રેખા મળે છે.
તેથી,ચોથી કક્ષામાંથી બીજી કક્ષામાં થતું સંક્રમણ એ બામર શ્રેણીની બીજી રેખા દર્શાવે છે.

(A) તરંગ આંક $\bar{\nu}$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
બામર શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_1 = 2$ ઉર્જા સ્તર પર થાય છે.
વર્ણપટ શ્રેણીની છેલ્લી રેખા અનંત ઉર્જા સ્તરથી થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે,તેથી $n_2 = \infty$.
કિંમતો મૂકતા: $\bar{\nu} = 10^7 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)$.
કારણ કે $\frac{1}{\infty} = 0$,આપણને મળે છે: $\bar{\nu} = 10^7 \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = 0.25 \times 10^7 \, m^{-1}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\bar{\nu} = 2.5 \times 10^6 \, m^{-1}$.

(D) ઇલેક્ટ્રોન શરૂઆતમાં ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં છે,જે મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n = 4$ ને અનુરૂપ છે (કારણ કે ભૂમિ અવસ્થા $n = 1$ છે,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ છે,બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ છે,અને ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 4$ છે).
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ થી ભૂમિ અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની મહત્તમ સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$N = \frac{n(n - 1)}{2}$
સૂત્રમાં $n = 4$ મૂકતા:
$N = \frac{4(4 - 1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$
તેથી,ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની મહત્તમ સંખ્યા $6$ છે.

(A) લાયમન શ્રેણીની શ્રેણી મર્યાદા $n = \infty$ થી $n = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે. રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{\lambda_1} = R(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2}) = R$
બામર શ્રેણીની શ્રેણી મર્યાદા $n = \infty$ થી $n = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda_3} = R(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2}) = \frac{R}{4}$
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા $n = 2$ થી $n = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda_2} = R(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = R(1 - \frac{1}{4}) = R - \frac{R}{4}$
અગાઉના સમીકરણોમાંથી $R$ અને $\frac{R}{4}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_3}$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_3}$

(D) વર્ણપટ રેખા માટે તરંગ આંક $\bar{\nu}$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$ છે.
બામર શ્રેણીની છેલ્લી રેખા $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 2$ સુધીના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4}$.
આપેલ છે કે $R = 10^7 \ m^{-1}$,તેથી $\bar{\nu} = \frac{10^7}{4} = 0.25 \times 10^7 \ m^{-1} = 25 \times 10^5 \ m^{-1}$.

(C) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3, 4, 5, \dots$ છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{max})$ સંક્રમણ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ માટે મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_{max} = \frac{36}{5R}$.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{min})$ સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 2$ માટે મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4} \implies \lambda_{min} = \frac{4}{R}$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}} = \frac{36/5R}{4/R} = \frac{36}{5R} \times \frac{R}{4} = \frac{9}{5}$.

(C) Lyman શ્રેણીમાં સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $n = \infty$ થી $n = 1$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R$
$\therefore \lambda_{L} = \frac{1}{R} = 912 \ \text{Å}$
Paschen શ્રેણીમાં સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n = 4$ થી $n = 3$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_{P}} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = \frac{7R}{144}$
$\therefore \lambda_{P} = \frac{144}{7R}$
$\frac{1}{R} = 912 \ \text{Å}$ મૂકતા:
$\lambda_{P} = \frac{144}{7} \times 912 \ \text{Å} \approx 18760 \ \text{Å}$

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની લાયમન શ્રેણી એ ધરાસ્થિતિ $(n_f = 1)$ પર થતા સંક્રમણોને અનુરૂપ છે,જે પારજાંબલી વિભાગમાં ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરે છે.
બામર શ્રેણી દ્રશ્ય વિભાગમાં આવેલી છે.
પાશ્ચન,બ્રેકેટ અને ફંડ શ્રેણીઓ ઇન્ફ્રારેડ (પારરક્ત) વિભાગમાં આવેલી છે.

(B) રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_{1} = 2$. શ્રેણીની સીમા $n_{2} = \infty$ પર મળે છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_{1}} = R \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = \frac{R}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_{1} = \frac{4}{R}$.
બ્રેકેટ શ્રેણી માટે,$n_{1} = 4$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n_{2} = 5$ પર મળે છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_{2}} = R \left( \frac{1}{4^{2}} - \frac{1}{5^{2}} \right) = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) = R \left( \frac{25 - 16}{400} \right) = \frac{9R}{400}$.
આનો અર્થ છે કે $\lambda_{2} = \frac{400}{9R}$.
હવે,ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{4}{R} \times \frac{9R}{400} = \frac{36}{400} = 0.09$.
તેથી,$\lambda_{1} = 0.09 \lambda_{2}$.

(B) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ માટે રિડબર્ગનું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n_1 = 4$ મળે છે.
$n_1 = 4$ ને અનુરૂપ વર્ણપટ શ્રેણી એ બ્રેકેટ શ્રેણી છે.
બ્રેકેટ શ્રેણીમાં સંક્રમણ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરો $(n_2 = 5, 6, 7, \ldots)$ અને $n_1 = 4$ સ્તર વચ્ચે થાય છે.
આ શ્રેણી વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તારમાં આવેલી છે.

(B) હાઇડ્રોજન ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં,તરંગલંબાઇ $\lambda$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
કોઈપણ શ્રેણી માટે મહત્તમ તરંગલંબાઇ ત્યારે મળે જ્યારે ઉર્જાનો તફાવત ન્યૂનતમ હોય. આ સ્થિતિ $n_2 = n+1$ થી $n_1 = n$ ના સંક્રમણ માટે થાય છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right]$
$= R \left[ \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right]$
$= R \left[ \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right]$
$= \frac{R(2n+1)}{n^2(n+1)^2}$
તેથી,મહત્તમ તરંગલંબાઇ:
$\lambda_{\max} = \frac{n^2(n+1)^2}{R(2n+1)}$

(A) બામર શ્રેણી માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ છે,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$ છે.
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n = 3$:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36} \implies R = \frac{36}{5\lambda}$.
બામર શ્રેણીની બીજી રેખા માટે,$n = 4$:
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{4-1}{16} \right) = \frac{3R}{16}$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $R$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda'} = \frac{3}{16} \times \left( \frac{36}{5\lambda} \right) = \frac{3 \times 9}{4 \times 5 \lambda} = \frac{27}{20\lambda}$.
તેથી,$\lambda' = \frac{20}{27} \lambda$.

(A) વર્ણપટ રેખાની આવૃત્તિ $f = Rc \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બામર શ્રેણીની શ્રેણી મર્યાદા માટે $(n_1=2, n_2=\infty)$: $f_1 = Rc \left( \frac{1}{2^2} - 0 \right) = \frac{Rc}{4}$.
પાશ્ચન શ્રેણીની શ્રેણી મર્યાદા માટે $(n_1=3, n_2=\infty)$: $f_3 = Rc \left( \frac{1}{3^2} - 0 \right) = \frac{Rc}{9}$.
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે $(n_1=2, n_2=3)$: $f_2 = Rc \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$.
$f_2$ ના સમીકરણમાં $f_1$ અને $f_3$ ના પદો મૂકતા:
$f_2 = \frac{Rc}{4} - \frac{Rc}{9} = f_1 - f_3$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $f_1 - f_2 = f_3$ મળે છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે.
પ્રથમ સંક્રમણ માટે: ઇલેક્ટ્રોન બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 3)$ માંથી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_f = 2)$ માં કૂદકો મારે છે.
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$. તેથી,$\lambda = \frac{36}{5R}$.
બીજા સંક્રમણ માટે: ઇલેક્ટ્રોન ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 4)$ માંથી બીજી કક્ષા $(n_f = 2)$ માં કૂદકો મારે છે.
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right)$. તેથી,$\lambda' = \frac{16}{3R}$.
આપણને $\lambda' = \frac{20 \lambda}{x}$ આપેલ છે. કિંમતો મૂકતા:
$\frac{16}{3R} = \frac{20}{x} \cdot \frac{36}{5R} \implies \frac{16}{3} = \frac{20 \cdot 36}{5x} \implies \frac{16}{3} = \frac{4 \cdot 36}{x} \implies \frac{16}{3} = \frac{144}{x}$.
$x = \frac{144 \cdot 3}{16} = 9 \cdot 3 = 27$.

(B) ખ્યાલ: ઉત્સર્જિત થતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R_{H} \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \quad \dots(1)$
ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ $f$ અને તરંગલંબાઇ વચ્ચેનો સંબંધ:
$f = \frac{c}{\lambda} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$f = c R_{H} \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
આપેલ કિંમતો: $c = 3 \times 10^8 \ m/s$,$R_{H} = 10^7 \ m^{-1}$,$n_1 = 2$,અને $n_2 = 4$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$f = (3 \times 10^8) \times 10^7 \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right)$
$f = 3 \times 10^{15} \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right)$
$f = 3 \times 10^{15} \times \left( \frac{4-1}{16} \right)$
$f = 3 \times 10^{15} \times \frac{3}{16}$
$f = \frac{9}{16} \times 10^{15} \ Hz$

(A) બામર શ્રેણી માટે તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ છે,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$
પ્રથમ રેખા માટે,$n = 3$ લેતા:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right) \Rightarrow \lambda_1 = \frac{36}{5R}$
બ્રેકેટ શ્રેણી માટે તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ છે,જ્યાં $n = 5, 6, 7, \dots$
પ્રથમ રેખા માટે,$n = 5$ લેતા:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) = R \left( \frac{9}{400} \right) \Rightarrow \lambda_2 = \frac{400}{9R}$
હવે,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{36}{5R} \times \frac{9R}{400} = \frac{324}{2000} = 0.162$

(A) બામર શ્રેણીમાં વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઈ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$ અને $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n = 2$ કક્ષામાં થતું સંક્રમણ શ્રેણીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા $n = 3$ થી $n = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
બામર શ્રેણીની બીજી રેખા $n = 4$ થી $n = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
તેથી,ચોથી બોહર કક્ષામાંથી બીજી બોહર કક્ષામાં થતું સંક્રમણ એ બામર શ્રેણીની બીજી રેખા દર્શાવે છે.

(D) રિડબર્ગના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,ઇલેક્ટ્રોન $2^{\text{nd}}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = 3)$ થી $1^{\text{st}}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_1 = 2)$ માં જાય છે:
$\frac{1}{\lambda_0} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
બીજા કિસ્સામાં,ઇલેક્ટ્રોન $3^{\text{rd}}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = 4)$ થી $2^{\text{nd}}$ કક્ષા $(n_1 = 2)$ માં જાય છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right)$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda}{\lambda_0} = \frac{R(5/36)}{R(3/16)} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{20}{27}$.
તેથી,$\lambda = \frac{20}{27} \lambda_0$.
$\frac{20}{x} \lambda_0$ સાથે સરખાવતા,$x = 27$ મળે છે.

(D) પાશ્ચન શ્રેણી માટે,રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{n^2} \right]$ છે,જ્યાં $n = 4, 5, 6, \dots$
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ શોધવા માટે,આપણે $n = \infty$ લઈએ છીએ.
સૂત્રમાં $n = \infty$ મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left[ \frac{1}{9} - 0 \right] = \frac{R}{9}$.
તેથી,$\lambda_{\min} = \frac{9}{R}$.
રિડબર્ગ અચળાંક $R \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ લેતા:
$\lambda_{\min} = \frac{9}{1.097 \times 10^7} \approx 8.204 \times 10^{-7} \ m$.
નેનોમીટરમાં ફેરવતા:
$\lambda_{\min} \approx 820.4 \ nm \approx 820 \ nm$.

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n_2$ થી નીચલી અવસ્થા $n_1$ માં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$N = \frac{(n_2 - n_1 + 1)(n_2 - n_1)}{2}$
અહીં,ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $n_1 = 1$ છે અને ઉત્તેજિત અવસ્થા $n_2 = 4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$N = \frac{(4 - 1 + 1)(4 - 1)}{2}$
$N = \frac{(4)(3)}{2}$
$N = \frac{12}{2} = 6$
આમ,અવલોકન કરવામાં આવતી કુલ વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $6$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં, ઇલેક્ટ્રોન અનંત સંખ્યાના ઉર્જા સ્તરો $(n = 1, 2, 3, \dots, \infty)$ માંથી કોઈપણમાં રહી શકે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરથી નીચલા ઉર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ કરે છે, ત્યારે તે વર્ણપટ રેખાને અનુરૂપ ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરે છે.
કારણ કે શક્ય ઉર્જા સ્તરોની સંખ્યા અનંત છે, તેથી આ સ્તરો વચ્ચે સંભવિત સંક્રમણોની સંખ્યા પણ અનંત છે.
તેથી, હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાઓની કુલ સંખ્યા અનંત $(\infty)$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં બે કક્ષાઓ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત તરંગ સંખ્યા માટેના રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
આવૃત્તિ $f$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ સાથે $f = \frac{C}{\lambda}$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{f}{C} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
આવૃત્તિ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,આપણને મળે છે $f = RC \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
અહીં $n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$ આપેલ છે,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$f = RC \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = RC \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$.
અપૂર્ણાંકની ગણતરી કરતા: $\frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{9-4}{36} = \frac{5}{36}$.
આમ,ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ $f = \frac{5RC}{36}$ છે.

(A) વર્ણપટ રેખાની આવૃત્તિ $v = RC \left[ \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાયમન શ્રેણીની શ્રેણી મર્યાદા માટે $(n_{1}=1, n_{2}=\infty)$: $v_{1} = RC \left[ 1 - \frac{1}{\infty} \right] = RC$.
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે $(n_{1}=1, n_{2}=2)$: $v_{2} = RC \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3}{4} RC$.
બામર શ્રેણીની શ્રેણી મર્યાદા માટે $(n_{1}=2, n_{2}=\infty)$: $v_{3} = RC \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{\infty} \right] = \frac{RC}{4}$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $v_{1} - v_{2} = RC - \frac{3}{4} RC = \frac{1}{4} RC = v_{3}$.
તેથી,$v_{1} - v_{2} = v_{3}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની વર્ણપટ રેખાઓને તે વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના કયા વિભાગમાં આવે છે તેના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે:
$1$. લાયમન શ્રેણી: પારજાંબલી (Ultraviolet) વિભાગ
$2$. બામર શ્રેણી: દ્રશ્યમાન (Visible) વિભાગ
$3$. પાશ્ચન શ્રેણી: ઇન્ફ્રારેડ વિભાગ
$4$. બ્રેકેટ શ્રેણી: ઇન્ફ્રારેડ વિભાગ
$5$. ફંડ શ્રેણી: ઇન્ફ્રારેડ વિભાગ
આ વર્ગીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે બામર શ્રેણી વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના દ્રશ્યમાન વિભાગમાં આવેલી છે.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right)$ છે.
અહીં,અંતિમ અવસ્થા ધરા અવસ્થા છે,તેથી $n_{f} = 1$,અને પ્રારંભિક ઉત્તેજિત અવસ્થા $n_{i} = n$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{n^{2}} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{n^{2}} \right)$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{1}{\lambda R} = 1 - \frac{1}{n^{2}}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{1}{n^{2}} = 1 - \frac{1}{\lambda R} = \frac{\lambda R - 1}{\lambda R}$.
વ્યસ્ત અને વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $n = \sqrt{\frac{\lambda R}{\lambda R - 1}}$ મળે છે.

(C) $n_2$ થી $n_1$ માં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $E = hc / \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। જ્યારે સંક્રમણ સૌથી નજીકના ઊર્જા સ્તરો વચ્ચે હોય ત્યારે ઊર્જા સૌથી ઓછી હોય છે.
લાયમન શ્રેણી માટે, સંક્રમણ $n_1 = 1$ પર થાય છે। સૌથી ઓછી ઊર્જા ધરાવતો ફોટોન $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
ઊર્જાનો તફાવત $\Delta E = 13.6 \text{ eV} \times (1/n_1^2 - 1/n_2^2) = 13.6 \times (1/1^2 - 1/2^2) = 13.6 \times (3/4) = 10.2 \text{ eV}$ છે.
સંબંધ $\lambda = hc / \Delta E$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda = 1240 \text{ eV nm} / 10.2 \text{ eV} \approx 121.57 \text{ nm} \approx 122 \text{ nm}$.

(D) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ પાંચ મુખ્ય વર્ણપટ શ્રેણીઓ ધરાવે છે: લાયમન,બામર,પાશ્ચન,બ્રેકેટ અને ફંડ.
$1$. લાયમન શ્રેણી અલ્ટ્રાવાયોલેટ (પારજાંબલી) વિસ્તારમાં આવેલી છે.
$2$. બામર શ્રેણી દ્રશ્યમાન વિસ્તારમાં આવેલી છે.
$3$. પાશ્ચન,બ્રેકેટ અને ફંડ શ્રેણીઓ ઇન્ફ્રારેડ (પારરક્ત) વિસ્તારમાં આવેલી છે.
તેથી,બામર શ્રેણી સાચો જવાબ છે.