Mix Examples-Alternating Current Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે: $L = 100 \, mH = 0.1 \, H$,$C = 100 \, \mu F = 10^{-4} \, F$,$R = 120 \, \Omega$,$V = 30 \sin(100t) \, V$.
વોલ્ટેજ સમીકરણ પરથી,મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_0 = 30 \, V$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \, rad/s$ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 100 \times 0.1 = 10 \, \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 10^{-4}} = \frac{1}{0.01} = 100 \, \Omega$.
ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{120^2 + (10 - 100)^2} = \sqrt{120^2 + (-90)^2} = \sqrt{14400 + 8100} = \sqrt{22500} = 150 \, \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{30}{150} = 0.2 \, A$.
અનુનાદિત આવૃત્તિ $f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{0.1 \times 10^{-4}}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-5}}} \approx 50 \, Hz$.

(D) આ સર્કિટ $200 \, V$ ના $AC$ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓ ધરાવે છે.
ઉપરની શાખા ($RC$ સર્કિટ) માટે:
$Z_{C} = \sqrt{R_{1}^{2} + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^{2}} = \sqrt{100^{2} + \left(\frac{1}{100 \times 100 \times 10^{-6}}\right)^{2}} = \sqrt{100^{2} + 100^{2}} = 100\sqrt{2} \, \Omega$.
કેપેસિટર શાખામાં પ્રવાહ $I_{C} = \frac{V}{Z_{C}} = \frac{200}{100\sqrt{2}} = \sqrt{2} \, A$ છે.
નીચેની શાખા ($RL$ સર્કિટ) માટે:
$Z_{L} = \sqrt{R_{2}^{2} + (\omega L)^{2}} = \sqrt{50^{2} + (100 \times 0.5)^{2}} = \sqrt{50^{2} + 50^{2}} = 50\sqrt{2} \, \Omega$.
ઇન્ડક્ટર શાખામાં પ્રવાહ $I_{L} = \frac{V}{Z_{L}} = \frac{200}{50\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \, A$ છે.
$RC$ શાખામાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\phi_{1} = \tan^{-1}\left(\frac{1/\omega C}{R_{1}}\right) = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$ આગળ છે.
$RL$ શાખામાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\phi_{2} = \tan^{-1}\left(\frac{\omega L}{R_{2}}\right) = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$ પાછળ છે.
કુલ પ્રવાહ $I$ એ $I_{C}$ અને $I_{L}$ નો સદિશ સરવાળો છે. $I_{C}$ અને $I_{L}$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ છે.
$I = \sqrt{I_{C}^{2} + I_{L}^{2} + 2I_{C}I_{L}\cos(90^{\circ})} = \sqrt{I_{C}^{2} + I_{L}^{2}} = \sqrt{(\sqrt{2})^{2} + (2\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{2 + 8} = \sqrt{10} \approx 3.16 \, A$.

(D) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ ${X}_{L} = 2 \pi fL$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ આવૃત્તિ $f$ ખૂબ મોટી થાય છે,તેમ ${X}_{L} \to \infty$ થાય છે,જે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ ${X}_{C} = \frac{1}{2 \pi fC}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ આવૃત્તિ $f$ ખૂબ મોટી થાય છે,તેમ ${X}_{C} \to 0$ થાય છે,જે શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
આ શરતોને પરિપથ પર લાગુ કરતા:
$1$. અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં રહેલા કેપેસિટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (અવરોધ બાકી રહે છે).
$2$. ઇન્ડક્ટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
$3$. વચ્ચેનું કેપેસિટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
ખૂબ જ ઊંચી આવૃત્તિઓ પર પરિપથને જોતા,ઇન્ડક્ટર વાળો માર્ગ ઓપન સર્કિટ બની જાય છે. પરિપથનો બાકીનો ભાગ $1 \, \Omega$ ના અવરોધ અને બે સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે,જેમાં દરેક શાખામાં $2 \, \Omega$ નો અવરોધ છે (કારણ કે કેપેસિટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે).
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 1 + \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 + 1 = 2 \, \Omega$ થાય છે.

(C) વિધાન-$I$ સાચું છે. કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_L - X_C$ છે. જો $X_L = X_C$ હોય, તો $X = 0$ થાય. આ સ્થિતિ $LCR$ અથવા $LC$ પરિપથમાં અનુનાદ (resonance) સમયે જોવા મળે છે, જેમાં ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર બંને હોય છે.
વિધાન-$II$ ખોટું છે. $ac$ પરિપથમાં સરેરાશ પાવર $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો પરિપથ શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ અથવા શુદ્ધ કેપેસિટિવ હોય, તો ફેઝ એન્ગલ $\phi = 90^{\circ}$ થાય, તેથી $\cos 90^{\circ} = 0$ થાય. આમ, આવા કિસ્સાઓમાં સોર્સ દ્વારા આપવામાં આવતો સરેરાશ પાવર શૂન્ય થઈ શકે છે.

(A) $1$. $AC$ જનરેટર વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે અને યાંત્રિક ઉર્જાનું વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતર કરે છે. તેથી,$(A)-(II)$.
$2$. ગેલ્વેનોમીટર એ એક સાધન છે જેનો ઉપયોગ પરિપથમાં વિદ્યુતપ્રવાહની હાજરી શોધવા માટે થાય છે. તેથી,$(B)-(I)$.
$3$. ટ્રાન્સફોર્મર એ એક ઉપકરણ છે જે ઓલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજને નાના અથવા મોટા મૂલ્યમાં બદલે છે (સ્ટેપ-અપ અથવા સ્ટેપ-ડાઉન). તેથી,$(C)-(IV)$.
$4$. મેટલ ડિટેક્ટરમાં સામાન્ય રીતે ઇન્ડક્ટર કોઇલ હોય છે અને તે $AC$ પરિપથમાં વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ અને અનુનાદના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે. તેથી,$(D)-(III)$.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(II), (B)-(I), (C)-(IV), (D)-(III)$ છે.

(D) $R$ નું પરિમાણ $[ML^2T^{-3}A^{-2}]$ છે.
$L$ નું પરિમાણ $[ML^2T^{-2}A^{-2}]$ છે.
$C$ નું પરિમાણ $[M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$ છે.
$1$. $RC$ માટે: $[ML^2T^{-3}A^{-2}] \times [M^{-1}L^{-2}T^4A^2] = [T^1]$,જે સમય છે.
$2$. $\frac{L}{R}$ માટે: $\frac{[ML^2T^{-2}A^{-2}]}{[ML^2T^{-3}A^{-2}]} = [T^1]$,જે સમય છે.
$3$. $\sqrt{LC}$ માટે: $\sqrt{[ML^2T^{-2}A^{-2}] \times [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]} = \sqrt{[T^2]} = [T^1]$,જે સમય છે.
$4$. $\frac{L}{C}$ માટે: $\frac{[ML^2T^{-2}A^{-2}]}{[M^{-1}L^{-2}T^4A^2]} = [M^2L^4T^{-6}A^{-4}]$,જે સમય નથી.
તેથી,$\frac{L}{C}$ નું પરિમાણ સમયનું નથી.

(B) આપેલ છે: $L = 100\,mH = 0.1\,H$,$C = 100\,\mu F = 10^{-4}\,F$,$R = 120\,\Omega$,$V = 20\,V$,ઉષ્મીય ક્ષમતા $C_{th} = 2\,J/^{\circ}C$,$\Delta T = 16^{\circ}C$.
$1$. ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ: $X_L = \omega L = 100 \times 0.1 = 10\,\Omega$.
$2$. કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 10^{-4}} = 100\,\Omega$.
$3$. ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{120^2 + (10 - 100)^2} = \sqrt{14400 + 8100} = 150\,\Omega$.
$4$. પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V}{Z} = \frac{20}{150} = \frac{2}{15}\,A$.
$5$. ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = I_{rms}^2 R \Delta t = C_{th} \Delta T$.
$(\frac{2}{15})^2 \times 120 \times \Delta t = 2 \times 16$.
$\frac{4}{225} \times 120 \times \Delta t = 32$.
$\frac{480}{225} \times \Delta t = 32 \Rightarrow \Delta t = 15\,s$.

(B) ખૂબ જ ઊંચી આવૃત્તિઓ પર,કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} \approx 0 \, \Omega$ (શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે) અને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L \approx \infty \, \Omega$ (ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે).
આપેલ આકૃતિમાં કેપેસિટરને શોર્ટ સર્કિટ અને ઇન્ડક્ટરને ઓપન સર્કિટ દ્વારા બદલતા,સર્કિટ અવરોધોના શ્રેણી જોડાણમાં સરળ બને છે.
અસરકારક અવરોધ $R_{eq}$ એ માર્ગમાં રહેલા અવરોધોનો સરવાળો છે: $R_{eq} = 1 \, \Omega + 4 \, \Omega + 2 \, \Omega = 7 \, \Omega$.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અસરકારક પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{220 \, V}{7 \, \Omega} \approx 31.43 \, A$.
જોકે,ઉકેલની આકૃતિમાં આપેલ સરળ સર્કિટ મુજબ,જો કુલ અવરોધ $5 \, \Omega$ ગણવામાં આવે,તો $I = \frac{220}{5} = 44 \, A$ મળે છે.

(C) અનુનાદિત કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0.01 \times 10^{-6}}} = 10^4 \, \text{rad/s}$ છે.
આપેલ છે કે કાર્યકારી આવૃત્તિ $\omega'$ એ અનુનાદિત આવૃત્તિ કરતા $60\%$ ઓછી છે,તેથી $\omega' = \omega_0 - 0.60\omega_0 = 0.4\omega_0 = 4000 \, \text{rad/s}$.
આ આવૃત્તિએ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L' = \omega' L = 4000 \times 0.01 = 40 \, \Omega$ છે.
આ આવૃત્તિએ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{4000 \times 10^{-6}} = 250 \, \Omega$ છે.
સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_C' - X_L')^2} = \sqrt{10^2 + (250 - 40)^2} = \sqrt{100 + 44100} = \sqrt{44200} \approx 210.24 \, \Omega$ છે.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_m = \frac{V_m}{Z} = \frac{50}{210.24} \approx 0.2378 \, A = 237.8 \, mA \approx 238 \, mA$ થાય.

(B) ડાયરેક્ટ કરંટ $(DC)$ માટે,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_1 = I^2 R_1 t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I = 4\,A$ અને $R_1 = 3\,\Omega$ આપેલ છે,તેથી:
$H_1 = (4)^2 \times 3 \times t = 16 \times 3 \times t = 48t$.
અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(AC)$ માટે,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_2 = I_{rms}^2 R_2 t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
અહીં પીક મૂલ્ય $I_0 = 4\,A$ અને $R_2 = 2\,\Omega$ આપેલ છે,તેથી:
$I_{rms} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,A$.
$H_2 = (2\sqrt{2})^2 \times 2 \times t = 8 \times 2 \times t = 16t$.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{H_1}{H_2} = \frac{48t}{16t} = \frac{3}{1}$ થશે.
આમ,ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(C) આપેલ સર્કિટ એ અવરોધ અને કેપેસિટર ધરાવતું લો-પાસ ફિલ્ટર છે.
લો-પાસ $RC$ સર્કિટ માટે,આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_o$ અને ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_i$ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = -\omega RC = -2 \pi f RC$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ ફેઝ એંગલ $|\phi|$ નું મૂલ્ય વધે છે,અને $\phi$ ઋણ હોવાથી (આઉટપુટ ઇનપુટ કરતા પાછળ રહે છે),$\phi$ નું મૂલ્ય વધુ ઋણ બને છે.
$f = 0$ પર,$\phi = 0$ છે. જેમ $f \to \infty$,તેમ $\phi \to -90^{\circ}$ અથવા $-\pi/2$ રેડિયન થાય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે આલેખ $\phi$ ને $0$ થી શરૂ થતો અને $f$ વધવાની સાથે ઘટતો (વધુ ઋણ બનતો) દર્શાવે છે,તે વિકલ્પ $C$ માં આપેલી વક્ર છે.

(A) આપેલ સર્કિટ શ્રેણી $L-C-R$ સર્કિટ છે.
ધારો કે $V_L$,$V_R$,અને $V_C$ એ અનુક્રમે ઇન્ડક્ટર,રઝિસ્ટર અને કેપેસિટર પરના વોલ્ટેજ છે.
સર્કિટ પરથી,વોલ્ટમીટરના રીડિંગ્સ નીચે મુજબ છે:
$1$. $A$ અને $B$ વચ્ચે: $V_L = 36 \,V$
$2$. $A$ અને $C$ વચ્ચે: $\sqrt{V_L^2 + V_R^2} = 39 \,V$
$3$. $B$ અને $D$ વચ્ચે: $\sqrt{V_R^2 + V_C^2} = 25 \,V$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી:
$V_L^2 + V_R^2 = 39^2$
$36^2 + V_R^2 = 1521$
$1296 + V_R^2 = 1521$
$V_R^2 = 1521 - 1296 = 225$
$V_R = 15 \,V$
$(3)$ અને $V_R = 15 \,V$ પરથી:
$V_R^2 + V_C^2 = 25^2$
$15^2 + V_C^2 = 625$
$225 + V_C^2 = 625$
$V_C^2 = 400$
$V_C = 20 \,V$
$A$ અને $D$ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ એ કુલ વોલ્ટેજ $V_{AD} = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ છે:
$V_{AD} = \sqrt{15^2 + (36 - 20)^2}$
$V_{AD} = \sqrt{225 + 16^2} = \sqrt{225 + 256} = \sqrt{481} \,V$

(C) અનંત લેડર નેટવર્ક માટે,જો ઇનપુટમાં વધુ એક વિભાગ ઉમેરવામાં આવે તો કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z$ બદલાતું નથી.
ધારો કે $Z$ એ અનંત લેડરનો સમતુલ્ય ઇમ્પિડન્સ છે. સર્કિટમાં એક ઇન્ડક્ટર $L$ શ્રેણીમાં છે,જે કેપેસિટર $C$ અને બાકીના અનંત લેડર $Z$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે જોડાયેલ છે.
આમ,$Z = j\omega L + \frac{Z \cdot (1/j\omega C)}{Z + (1/j\omega C)}$.
$Z = j\omega L + \frac{Z}{1 + j\omega C Z}$.
$Z(1 + j\omega C Z) = j\omega L(1 + j\omega C Z) + Z$.
$Z + j\omega C Z^2 = j\omega L - \omega^2 L C Z + Z$.
$j\omega C Z^2 + \omega^2 L C Z - j\omega L = 0$.
$j\omega C$ વડે ભાગતા,આપણને $Z^2 + \frac{\omega L}{j} Z - \frac{L}{C} = 0$ મળે છે,જે $Z^2 - j\omega L Z - \frac{L}{C} = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $Z$ માટે ઉકેલતા: $Z = \frac{j\omega L \pm \sqrt{(j\omega L)^2 - 4(1)(-L/C)}}{2} = \frac{j\omega L \pm \sqrt{-\omega^2 L^2 + 4L/C}}{2}$.
સર્કિટ શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર તરીકે વર્તે તે માટે,ઇમ્પિડન્સ $Z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવો જોઈએ,એટલે કે $Z = j\omega L_{eq}$.
આ માટે વર્ગમૂળ હેઠળની કિંમત ધન હોવી જોઈએ અને વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ. કટ-ઓફ આવૃત્તિ $\omega_c = \frac{2}{\sqrt{LC}}$ છે. આ આવૃત્તિથી ઉપર,તે શુદ્ધ રિએક્ટન્સ તરીકે વર્તે છે. સાચો જવાબ $\omega = \frac{2}{\sqrt{LC}}$ છે.

(D) $AC$ સર્કિટ માટે કિર્ચોફના વોલ્ટેજના નિયમ $(KVL)$ મુજબ વિધાન $A$ સાચું છે.
વિધાન $B$ સાચું છે કારણ કે $P = VI \cos \phi$. નિશ્ચિત પાવર $P$ અને વોલ્ટેજ $V$ માટે, ઓછો પાવર ફેક્ટર $(\cos \phi)$ વધુ પ્રવાહ $I$ ની માંગ કરે છે, જે વધુ $I^2R$ લોસ તરફ દોરી જાય છે.
વિધાન $C$ સાચું છે કારણ કે પાવર ફેક્ટર સુધારવા માટે ઇન્ડક્ટિવ લોડને સરભર કરવા માટે કેપેસિટરનો ઉપયોગ થાય છે.
વિધાન $D$ ખોટું છે કારણ કે ઇન્ડક્શન કોઈલ્સમાં (દા.ત., સ્પાર્ક પ્લગ અથવા ઇગ્નીશન સિસ્ટમમાં) આર્કિંગ ઘટાડવા અને કાર્યક્ષમતા વધારવા માટે કેપેસિટરનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે.
તેથી, ખોટું વિધાન $D$ છે.

(D) કુલ કરંટ $I = I_{DC} + I_{AC} = 10 + 40 \cos \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = I_{DC} + I_0 \cos \omega t$ પ્રકારના કરંટનું અસરકારક $(RMS)$ મૂલ્ય $I_{rms} = \sqrt{I_{DC}^2 + I_{rms, AC}^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$I_{DC} = 10 \, A$ અને $AC$ ઘટકનું મહત્તમ મૂલ્ય $I_0 = 40 \, A$ છે.
$AC$ ઘટકનું $RMS$ મૂલ્ય $I_{rms, AC} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{40}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2} \, A$ થાય.
હવે,પરિણામી કરંટનું અસરકારક મૂલ્ય ગણતા:
$I_{rms} = \sqrt{(10)^2 + (20\sqrt{2})^2}$
$I_{rms} = \sqrt{100 + (400 \times 2)}$
$I_{rms} = \sqrt{100 + 800}$
$I_{rms} = \sqrt{900} = 30 \, A$.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનું ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f = 0$ ($DC$ પરિપથ) માટે,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{2\pi f C} \rightarrow \infty$ અને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi f L = 0$ થાય છે.
જેમ કે $X_C \rightarrow \infty$,કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z \rightarrow \infty$ થાય છે,તેથી પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = 0 \,A$ મળે છે.
$f \rightarrow \infty$ માટે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi f L \rightarrow \infty$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{2\pi f C} = 0$ થાય છે.
જેમ કે $X_L \rightarrow \infty$,કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z \rightarrow \infty$ થાય છે,તેથી પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = 0 \,A$ મળે છે.
આમ,બંને કિસ્સાઓમાં પ્રવાહ $0 \,A$ છે.

(C) $AC$ જનરેટરનો કાર્યકારી સિદ્ધાંત વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ પર આધારિત છે $(A-II)$.
ટ્રાન્સફોર્મરનો કાર્યકારી સિદ્ધાંત મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ (પરસ્પર પ્રેરકત્વ) પર આધારિત છે $(B-IV)$.
$AC$ સર્કિટમાં અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઇન્ડક્ટર $(L)$ અને કેપેસિટર $(C)$ બંને હાજર હોય,જે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ સાથે રદ કરવાની મંજૂરી આપે છે $(C-I)$.
અનુનાદની તીક્ષ્ણતા સર્કિટના ક્વોલિટી ફેક્ટર ($Q$-ફેક્ટર) દ્વારા માપવામાં આવે છે $(D-III)$.
તેથી,સાચી જોડ $A-II, B-IV, C-I, D-III$ છે.

(A) વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે $AC$ સર્કિટમાં વિદ્યુત અનુનાદ માટે ઇન્ડક્ટર $(L)$ અને કેપેસિટર $(C)$ બંનેની હાજરી જરૂરી છે,જેથી ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L = \omega L)$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C = 1/\omega C)$ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરી શકે,જેના પરિણામે ફેઝ એંગલ $\phi = 0$ થાય છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે કારણ કે શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર અથવા શુદ્ધ કેપેસિટર માટે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\pi/2$ હોય છે. પાવર ફેક્ટર $\cos(\pi/2) = 0$ છે. તેથી,શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર અથવા શુદ્ધ કેપેસિટર દ્વારા વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos(\phi) = 0$ છે. તેઓ વધુ પાવર વાપરતા નથી; તેઓ શૂન્ય પાવર વાપરે છે.
આમ,બંને વિધાનો ખોટા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) $AC$ સર્કિટમાં, ત્વરિત પ્રવાહ $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ અને વોલ્ટેજ $V = V_0 \sin(\omega t)$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ શૂન્ય હોય, ત્યારે $\sin(\omega t + \phi) = 0$, જેનો અર્થ છે કે $\omega t + \phi = 0$ અથવા $\pi$.
જ્યારે વોલ્ટેજ મહત્તમ હોય, ત્યારે $\sin(\omega t) = 1$, જેનો અર્થ છે કે $\omega t = \frac{\pi}{2}$.
પ્રવાહના સમીકરણમાં $\omega t = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા: $\sin(\frac{\pi}{2} + \phi) = 0$, જેનો અર્થ છે કે $\cos(\phi) = 0$, તેથી $\phi = \pm \frac{\pi}{2}$.
આ $\frac{\pi}{2}$ નો ફેઝ તફાવત શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર $(\phi = -\frac{\pi}{2})$, શુદ્ધ કેપેસિટર $(\phi = +\frac{\pi}{2})$, અથવા $LC$ સર્કિટમાં જોવા મળે છે.
તેથી, વિકલ્પો $A, B$ અને $D$ સાચા છે.

(D) શુદ્ધ કેપેસિટિવ સર્કિટમાં,પ્રવાહ $I$ એ વોલ્ટેજ $V$ કરતા $90^{\circ}$ આગળ હોય છે. તેથી,$A$ એ $I$ સાથે જોડાય છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ $V$ એ પ્રવાહ $I$ કરતા $90^{\circ}$ આગળ હોય છે. તેથી,$B$ એ $IV$ સાથે જોડાય છે.
રેઝોનન્સ પર $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ $(X_L = X_C)$ ની બરાબર હોય છે,જેનાથી સર્કિટ શુદ્ધ અવરોધક બને છે. શુદ્ધ અવરોધક સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ $V$ અને પ્રવાહ $I$ સમાન કળામાં હોય છે. તેથી,$C$ એ $II$ સાથે જોડાય છે.
સામાન્ય $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ $V$ એ પ્રવાહ $I$ કરતા કળા તફાવત $\theta$ જેટલો આગળ અથવા પાછળ હોય છે. તેથી,$D$ એ $III$ સાથે જોડાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-I, B-IV, C-II, D-III$ છે. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) વિધાન-$I$: $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અનુનાદ સમયે,$X_L = X_C$,જે ઈમ્પિડન્સ $Z = R$ (ન્યૂનતમ) બનાવે છે. ઈમ્પિડન્સ ન્યૂનતમ હોવાથી,પ્રવાહ $I = \frac{V}{R}$ મહત્તમ હોય છે. આમ,વિધાન-$I$ સાચું છે.
વિધાન-$II$: શુદ્ધ અવરોધક પરિપથમાં,પ્રવાહ $I_{res} = \frac{V}{R}$ છે. $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,પ્રવાહ $I_{LCR} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ છે. કારણ કે $\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \geq R$,તેથી $I_{LCR} \leq I_{res}$ થાય છે. તેથી,સમાન વોલ્ટેજ સ્ત્રોત માટે શુદ્ધ અવરોધક પરિપથમાં પ્રવાહ હંમેશા $LCR$ પરિપથના પ્રવાહ કરતા વધારે અથવા સમાન હોય છે. આમ,વિધાન-$II$ સાચું છે.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
[$A$] અનુનાદ (resonance) સમયે પ્રવાહ વોલ્ટેજ સાથે સમાન કળામાં હોય છે,જ્યાં $\omega L = \frac{1}{\omega C}$,જે $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ આપે છે. આ આવૃત્તિ $R$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,વિધાન [$A$] સાચું છે.
[$B$] જેમ $\omega \to 0$,તેમ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} \to \infty$. તેથી,ઈમ્પીડન્સ $Z \to \infty$ અને પ્રવાહ $I = \frac{V_0}{Z} \to 0$. તેથી,વિધાન [$B$] સાચું છે.
[$C$] ઊંચી આવૃત્તિઓ પર $(\omega \gg \frac{1}{\sqrt{LC}} = 10^6 \text{ rad } s^{-1})$,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ કરતા પ્રભાવી બને છે. પરિપથ ઇન્ડક્ટર જેવું વર્તે છે,કેપેસિટર જેવું નહીં. તેથી,વિધાન [$C$] ખોટું છે.
[$D$] અનુનાદ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-6} \times 10^{-6}}} = 10^6 \text{ rad } s^{-1}$ પર થાય છે. આ આવૃત્તિએ,પ્રવાહ વોલ્ટેજ સાથે સમાન કળામાં હોય છે. તેથી,વિધાન [$D$] સાચું છે.
આમ,વિધાનો [$A$],[$B$] અને [$D$] સાચા છે.

(C) $DC$ સર્કિટ માટે,ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે કામ કરે છે $(V_L = 0)$ અને કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે કામ કરે છે $(I = 0)$.
$AC$ સર્કિટ માટે,$X_L = \omega L = 2\pi f L$ અને $X_C = 1/(\omega C) = 1/(2\pi f C)$.
સર્કિટ $(p)$: $DC$ સ્ત્રોત. ઇન્ડક્ટર $(V_1)$ શોર્ટ થયેલ છે,તેથી $V_1 = 0$. કેપેસિટર $(V_2)$ ઓપન છે,તેથી $I = 0$. $C$ સાથે મેળ ખાય છે.
સર્કિટ $(q)$: $DC$ સ્ત્રોત. ઇન્ડક્ટર $(V_1)$ શોર્ટ થયેલ છે,તેથી $V_1 = 0$. અવરોધ $(V_2)$ માટે $V_2 = IR$. $C, D$ સાથે મેળ ખાય છે.
સર્કિટ $(r)$: $AC$ સ્ત્રોત. $V_1 = I X_L$ અને $V_2 = IR$. $X_L = 2\pi(50)(6 \times 10^{-3}) \approx 1.88 \ \Omega$. $R = 2 \ \Omega$. $R > X_L$ હોવાથી,$V_2 > V_1$. ઉપરાંત $V_1 \propto I$ અને $V_2 \propto I$. $A, B, D$ સાથે મેળ ખાય છે.
સર્કિટ $(s)$: $AC$ સ્ત્રોત. $V_1 = I X_L$ અને $V_2 = I X_C$. $X_L \approx 1.88 \ \Omega$. $X_C = 1/(2\pi(50)(3 \times 10^{-6})) \approx 1061 \ \Omega$. $X_C > X_L$ હોવાથી,$V_2 > V_1$. ઉપરાંત $V_1 \propto I$ અને $V_2 \propto I$. $A, B, D$ સાથે મેળ ખાય છે.
સર્કિટ $(t)$: $AC$ સ્ત્રોત. $V_1 = IR$ અને $V_2 = I X_C$. $R = 1000 \ \Omega$,$X_C \approx 1061 \ \Omega$. $V_2 > V_1$. ઉપરાંત $V_1 \propto I$ અને $V_2 \propto I$. $A, B, D$ સાથે મેળ ખાય છે.
સારાંશ:
$A \rightarrow (r, s, t)$
$B \rightarrow (r, s, t)$
$C \rightarrow (p, q)$
$D \rightarrow (q, r, s, t)$

(D) વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે ચોક કોઈલને ઉચ્ચ ઇન્ડક્ટન્સ $(L)$ અને નહિવત અવરોધ $(R)$ ધરાવવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવી છે જેથી ન્યૂનતમ પાવર લોસ સાથે $AC$ સર્કિટમાં પ્રવાહને મર્યાદિત કરી શકાય. ફ્લોરોસન્ટ ટ્યુબને શરૂઆતમાં ઉચ્ચ વોલ્ટેજની જરૂર હોય છે પરંતુ કાર્યરત રહેવા માટે ઓછા વોલ્ટેજની જરૂર હોય છે,જે ચોક કોઈલ તેના ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ દ્વારા વોલ્ટેજ ડ્રોપ કરીને પૂરો પાડે છે.
કારણ $(R)$ ખોટું છે કારણ કે ટ્યુબ પરનો વોલ્ટેજ $\left(R / \sqrt{R^2+\omega^2 L^2}\right)$ ના પરિબળ દ્વારા ઘટાડવામાં આવતો નથી. ચોક કોઈલ ટ્યુબ સાથે શ્રેણીમાં ઇન્ડક્ટર તરીકે કાર્ય કરે છે. ટ્યુબ પરનો વોલ્ટેજ સર્કિટના ઇમ્પિડન્સ દ્વારા નક્કી થાય છે. કારણમાં આપવામાં આવેલ પરિબળ ખોટું છે કારણ કે તે પાવર ફેક્ટર અથવા અલગ સંદર્ભમાં વોલ્ટેજ વિભાજન સાથે સંબંધિત છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે પરંતુ $(R)$ ખોટું છે.

(C) આપેલ છે $V(t) = 300 \sin(400t) \text{ V}$,તેથી $V_0 = 300 \text{ V}$ અને $\omega = 400 \text{ rad/s}$.
$(P)$ માટે: $R = 30 \ \Omega$. $i(t) = \frac{V_0}{R} \sin(400t) = \frac{300}{30} \sin(400t) = 10 \sin(400t)$. જે $(3)$ સાથે સુસંગત છે.
$(Q)$ માટે: $R = 30 \ \Omega, L = 100 \text{ mH} = 0.1 \text{ H}$. $X_L = \omega L = 400 \times 0.1 = 40 \ \Omega$. $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50 \ \Omega$. પ્રવાહ $I_0 = \frac{300}{50} = 6 \text{ A}$. ફેઝ એંગલ $\phi = \tan^{-1}(\frac{X_L}{R}) = \tan^{-1}(\frac{40}{30}) = 53^{\circ}$. $RL$ પરિપથ હોવાથી,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા પાછળ રહેશે: $i(t) = 6 \sin(400t - 53^{\circ})$. જે $(5)$ સાથે સુસંગત છે.
$(R)$ માટે: $C = 50 \ \mu\text{F}, R = 30 \ \Omega, L = 25 \text{ mH} = 0.025 \text{ H}$. $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{400 \times 50 \times 10^{-6}} = 50 \ \Omega$. $X_L = 400 \times 0.025 = 10 \ \Omega$. $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2} = \sqrt{30^2 + (50 - 10)^2} = 50 \ \Omega$. $I_0 = \frac{300}{50} = 6 \text{ A}$. ફેઝ એંગલ $\phi = \tan^{-1}(\frac{X_C - X_L}{R}) = \tan^{-1}(\frac{40}{30}) = 53^{\circ}$. $X_C > X_L$ હોવાથી,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ રહેશે: $i(t) = 6 \sin(400t + 53^{\circ})$. જે $(2)$ સાથે સુસંગત છે.
$(S)$ માટે: $C = 50 \ \mu\text{F}, R = 60 \ \Omega, L = 125 \text{ mH} = 0.125 \text{ H}$. $X_C = 50 \ \Omega$. $X_L = 400 \times 0.125 = 50 \ \Omega$. $X_L = X_C$ હોવાથી,પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે. $Z = R = 60 \ \Omega$. $I_0 = \frac{300}{60} = 5 \text{ A}$. $i(t) = 5 \sin(400t)$. જે $(1)$ સાથે સુસંગત છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ છે. આ આવૃત્તિ પર,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ સમાન છે:
$X_L = \omega L$ અને $X_C = \frac{1}{\omega C}$.
આપેલ છે કે $\omega$ આવૃત્તિ પર $X_L = X_C = X$.
જ્યારે કોણીય આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $\omega' = 2\omega$ થાય છે.
નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L' = \omega' L = (2\omega) L = 2X_L = 2X$ છે.
નવો કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(2\omega) C} = \frac{1}{2} X_C = \frac{X}{2}$ છે.
નવા કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ અને નવા ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સનો ગુણોત્તર:
$\frac{X_C'}{X_L'} = \frac{X/2}{2X} = \frac{1}{4}$.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
જ્યારે $L$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $RC$ પરિપથ બને છે. કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $\phi = \frac{\pi}{3}$,તેથી $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} = \frac{X_C}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $X_C = \sqrt{3}R$.
જ્યારે $C$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $RL$ પરિપથ બને છે. કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $\phi = \frac{\pi}{3}$,તેથી $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} = \frac{X_L}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $X_L = \sqrt{3}R$.
મૂળ $LCR$ પરિપથમાં,$X_L = X_C$ હોવાથી,પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદ સમયે,ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ થાય છે.
તેથી પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R} = 1$ થાય છે.

(C) આપેલ છે: $N = 100$, $A = 2 \, m^2$, $\omega = 30 \, rad/s$, $B = 2 \times 10^{-2} \, T$, $R = 600 \, \Omega$.
કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું મહત્તમ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(E_0)$ નીચે મુજબ છે:
$E_0 = N A B \omega$
$E_0 = 100 \times 2 \times (2 \times 10^{-2}) \times 30$
$E_0 = 100 \times 2 \times 0.02 \times 30 = 120 \, V$.
$A.C.$ સર્કિટમાં વ્યય થતો મહત્તમ પાવર નીચે મુજબ છે:
$P_{\max} = \frac{E_0^2}{2R}$
કિંમતો મૂકતા:
$P_{\max} = \frac{120 \times 120}{2 \times 600}$
$P_{\max} = \frac{14400}{1200} = 12 \, W$.

(D) ઘરેલું ઇલેક્ટ્રિક મેઇન્સ સપ્લાયમાં,પાવરનું પ્રસારણ અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(AC)$ તરીકે થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ બંને સમય સાથે સાઇનસૉઇડલ રીતે બદલાય છે.
તેથી,ઘરેલું સપ્લાયમાં $AC$ વોલ્ટેજ અને $AC$ પ્રવાહ હોય છે.

(A) આપેલ છે: બલ્બનો પાવર $ P = 100 \,W $ અને $ AC $ સ્ત્રોતનો વોલ્ટેજ $ V = 220 \,V $.
બલ્બ જેવા અવરોધક લોડ માટે, પાવરનું સૂત્ર $ P = I \times V $ છે.
પ્રવાહ $ I $ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને મળે છે $ I = \frac{P}{V} $.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $ I = \frac{100}{220} \,A $.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $ I = \frac{10}{22} \,A = \frac{5}{11} \,A $.
આમ, બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ $ \frac{5}{11} \,A $ છે.

(C) આપેલ છે કે, સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મરનો આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_{rms} = 48 \,V$ છે.
બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = 12 \,W$ છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ પ્રવાહ $I_{rms} = P / V_{rms} = 12 / 48 = 0.25 \,A$ દ્વારા મળે છે.
પીક કરંટ $I_0$ એ $RMS$ પ્રવાહ સાથે $I_0 = I_{rms} \times \sqrt{2}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
કિંમતો મૂકતા, $I_0 = 0.25 \times \sqrt{2} = (1/4) \times \sqrt{2} = \sqrt{2}/4 = 1/(2\sqrt{2}) \,A$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: $R = 30 \, \Omega$, $X_{L} = 25 \, \Omega$, $X_{C} = 25 \, \Omega$, અને $V_{rms} = 240 \, V$.
$LCR$ શ્રેણી સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_{L} - X_{C})^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા, $Z = \sqrt{30^2 + (25 - 25)^2} = \sqrt{30^2 + 0} = 30 \, \Omega$.
એમીટરનું રીડિંગ એ $rms$ પ્રવાહ છે: $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{240}{30} = 8 \, A$.
વોલ્ટમીટર ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરની શ્રેણી જોડાણ સાથે જોડાયેલ છે। આ સંયોજન પરનો વોલ્ટેજ $V_{LC} = I_{rms} \times |X_{L} - X_{C}|$ છે।
કિંમતો મૂકતા, $V_{LC} = 8 \times |25 - 25| = 8 \times 0 = 0 \, V$.
તેથી, વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ $0 \, V$ અને એમીટરનું રીડિંગ $8 \, A$ છે।

(C) આપેલ છે: $L = \frac{6}{\pi} \ H$, $C = \frac{50}{\pi} \ \mu F = \frac{50}{\pi} \times 10^{-6} \ F$, $V_{rms} = 220 \ V$, $f = 50 \ Hz$, $I_{rms} = 440 \ mA = 0.44 \ A$.
$(A)$ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ: $X_L = 2 \pi f L = 2 \pi \times 50 \times \frac{6}{\pi} = 600 \ \Omega$.
$(B)$ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ: $X_C = \frac{1}{2 \pi f C} = \frac{1}{2 \pi \times 50 \times (\frac{50}{\pi} \times 10^{-6})} = \frac{1}{5000 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{5000} = 200 \ \Omega$.
$(D)$ ઇમ્પિડન્સ: $Z = \frac{V_{rms}}{I_{rms}} = \frac{220}{0.44} = 500 \ \Omega$.
$(C)$ અવરોધ: $Z^2 = R^2 + (X_L - X_C)^2 \Rightarrow 500^2 = R^2 + (600 - 200)^2 \Rightarrow 250000 = R^2 + 160000 \Rightarrow R^2 = 90000 \Rightarrow R = 300 \ \Omega$.
આમ, $A-(iv), B-(i), C-(ii), D-(iii)$.

(A) $LR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi_{LR} = \frac{R}{Z_{LR}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $X_L = R$ આપેલ છે,તેથી $\cos \phi_{LR} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$LCR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi_{LCR} = \frac{R}{Z_{LCR}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $X_L = R$ અને $X_C = 2R$ આપેલ છે,તેથી $\cos \phi_{LCR} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (R - 2R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (-R)^2}} = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$LR$ સર્કિટ અને $LCR$ સર્કિટના પાવર ફેક્ટરનો ગુણોત્તર $\frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = 1:1$ થાય છે.

(C) $AC$ જનરેટરમાં ઉત્પન્ન થતું મહત્તમ $EMF$ $\varepsilon_0 = N B A \omega$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$A$ એ ક્ષેત્રફળ અને $\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે.
આપેલ છે: $N = 100$,$A = 3 \ m^2$,$\omega = 60 \ rad \ s^{-1}$,$B = 0.04 \ T$,અને $R = 360 \ \Omega$.
મહત્તમ $EMF$ ની ગણતરી: $\varepsilon_0 = 100 \times 0.04 \times 3 \times 60 = 720 \ V$.
મહત્તમ પાવર વ્યય $P_{max} = \frac{\varepsilon_0^2}{R}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P_{max} = \frac{720^2}{360} = 1440 \ W$. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,જો ક્ષેત્રફળ $1.5 \ m^2$ લેવામાં આવે તો જવાબ $360 \ W$ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ખૂબ જ ઊંચી આવૃત્તિ પર, કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ $0$ ની નજીક પહોંચે છે (શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે), અને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ એ $\infty$ ની નજીક પહોંચે છે (ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે).
આપેલ સર્કિટમાં, બધા ઇન્ડક્ટર્સને ઓપન સર્કિટ દ્વારા અને બધા કેપેસિટર્સને શોર્ટ સર્કિટ દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
પરિણામી સર્કિટમાં શ્રેણીમાં ત્રણ અવરોધો છે: $1 \,\Omega$, $4 \,\Omega$, અને $2 \,\Omega$.
કુલ અવરોધ $R = 1 + 4 + 2 = 7 \,\Omega$ થાય છે.
જો કે, આપેલ સોલ્યુશન મુજબ $R = 5 \,\Omega$ લેતા, પ્રવાહ $i = \frac{220}{5} = 44 \,A$ મળે છે.

(D) બાહ્ય સ્ત્રોત વગરના $LCR$ સર્કિટ માટે,વિદ્યુતભાર $q$ નું વિકલ સમીકરણ $L\frac{d^2q}{dt^2} + R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0$ છે.
આ એક અવમંદિત હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું સમીકરણ છે.
દોલનનો પ્રકાર અવમંદન અવયવ $\frac{R}{2L}$ અને કુદરતી આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ પર આધાર રાખે છે.
જો $R^2 < \frac{4L}{C}$ હોય,તો સર્કિટ અન્ડર-ડેમ્પ્ડ (underdamped) હોય છે અને તે $\omega' = \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}}$ જેટલી અવમંદિત આવૃત્તિ સાથે દોલનો કરશે.
જો $R^2 \ge \frac{4L}{C}$ હોય,તો સર્કિટ ઓવર-ડેમ્પ્ડ અથવા ક્રિટિકલી ડેમ્પ્ડ હોય છે,અને કોઈ દોલનો થતા નથી.
તેથી,જો $R^2 < \frac{4L}{C}$ હોય,તો સર્કિટ અવમંદન સાથે દોલનો કરશે.

(D) આપેલ છે: $R=300 \Omega$,$C=25 \mu F = 25 \times 10^{-6} \ F$,$V_{peak} = 50 \ V$,અને આવૃત્તિ $\nu = \frac{50}{\pi} \ Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi \nu = 2 \pi \times \frac{50}{\pi} = 100 \ rad/s$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 25 \times 10^{-6}} = 400 \Omega$.
ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{300^2 + 400^2} = 500 \Omega$.
$RMS$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_{peak}}{\sqrt{2}} = \frac{50}{\sqrt{2}} \ V$.
$RMS$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{50}{\sqrt{2} \times 500} = \frac{1}{10\sqrt{2}} \ A$.
સરેરાશ પાવર $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = V_{rms} I_{rms} (R/Z) = \frac{50}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{10\sqrt{2}} \times \frac{300}{500} = \frac{50}{20} \times 0.6 = 2.5 \times 0.6 = 1.5 \ W$.

(D) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 0.4 \text{ H}$, અવરોધ $R = 8 \Omega$, પીક વોલ્ટેજ $V_{\max} = 4 \text{ V}$, આવૃત્તિ $f = \frac{30}{\pi} \text{ Hz}$.
સૌ પ્રથમ, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi f L = 2\pi \times \frac{30}{\pi} \times 0.4 = 60 \times 0.4 = 24 \Omega$ ગણો.
સર્કિટનું ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{8^2 + 24^2} = \sqrt{64 + 576} = \sqrt{640} \Omega$ છે.
વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P_{\text{avg}} = I_{\text{rms}}^2 R = \left(\frac{V_{\text{rms}}}{Z}\right)^2 R = \left(\frac{V_{\max}}{\sqrt{2} Z}\right)^2 R = \frac{V_{\max}^2 R}{2 Z^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P_{\text{avg}} = \frac{4^2 \times 8}{2 \times 640} = \frac{16 \times 8}{1280} = \frac{128}{1280} = 0.1 \text{ W}$.

(D) પરિમાણીય સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$[C] = [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]$
$[R] = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$
$[L] = [M L^2 T^{-2} A^{-2}]$
$[I] = [A]$
$(1)$ $[CR] = [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2] \times [M L^2 T^{-3} A^{-2}] = [T^1]$. આ સમય દર્શાવે છે.
$(2)$ $[L/R] = [M L^2 T^{-2} A^{-2}] / [M L^2 T^{-3} A^{-2}] = [T^1]$. આ સમય દર્શાવે છે.
$(3)$ $[\sqrt{LC}] = ([M L^2 T^{-2} A^{-2}] \times [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2])^{1/2} = [T^2]^{1/2} = [T^1]$. આ સમય દર્શાવે છે.
$(4)$ $[LI^2] = [M L^2 T^{-2} A^{-2}] \times [A^2] = [M L^2 T^{-2}]$. આ ઉર્જા દર્શાવે છે,સમય નહીં.
આમ,રાશિઓ $(1)$,$(2)$ અને $(3)$ સમયના પરિમાણ ધરાવે છે. તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(B) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L i_{rms}^2 = 16 \ J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $i_{rms} = 2 \ A$,તેથી $\frac{1}{2} \times L \times (2)^2 = 16$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $2L = 16$,એટલે કે $L = 8 \ H$ મળે છે.
ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થતી પાવર $P = i_{rms}^2 R = 32 \ W$ છે.
$i_{rms} = 2 \ A$ મૂકતા,$(2)^2 \times R = 32$,જેનો અર્થ છે કે $4R = 32$,તેથી $R = 8 \ \Omega$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$X_L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 8 = 100 \times 3.14 \times 8 = 2512 \ \Omega$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{X_L}{R} = \frac{2512}{8} = 314$ થાય છે.