Vector triple product Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} = -\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,અને $\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} - \hat{j}$.
$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} - \hat{j}$ નો $\vec{a}$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (\hat{i} - \hat{j})$
સદિશ ત્રિગુણન સૂત્ર મુજબ:
$(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$
અહીં $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ અને $\vec{a} \cdot \vec{a} = 3$ છે:
$1(\vec{a}) - 3\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{a} - 3\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$
હવે,$3\vec{b} = \vec{a} - (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = (-\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = -2\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
તેથી,$6\vec{b} = -4\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}$.
અંતે,$\vec{a} - 6\vec{b} = (-\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (-4\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}) = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} = 3(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.

(C) આપેલ છે કે $\hat{n} \perp \vec{c}$,તેથી $\hat{n} \cdot \vec{c} = 0$.
આપેલ છે કે $\vec{a} = \alpha \vec{b} - \hat{n}$.
બંને બાજુ $\vec{c}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (\alpha \vec{b} - \hat{n}) \cdot \vec{c} = \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\hat{n} \cdot \vec{c}) = \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c}) - 0 = \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c})$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ $\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b}$.
$\vec{a} = \alpha \vec{b} - \hat{n}$ અને $\vec{c} \cdot \vec{a} = \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c})$ મૂકતા:
$\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{c} \cdot \vec{b}) (\alpha \vec{b} - \hat{n}) - (\alpha(\vec{b} \cdot \vec{c})) \vec{b}$.
$= \alpha(\vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{b} - (\vec{c} \cdot \vec{b}) \hat{n} - \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{b}$.
$= -(\vec{c} \cdot \vec{b}) \hat{n}$.
માન મેળવતા:
$|\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| = |-(\vec{c} \cdot \vec{b}) \hat{n}| = |\vec{c} \cdot \vec{b}| |\hat{n}|$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 12$ અને $|\hat{n}| = 1$ હોવાથી:
$|\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| = |12| \times 1 = 12$.

(D) કારણ કે $\vec{d}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $\vec{d}$ એ $\vec{b} \times \vec{c}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\vec{d} = \lambda(\vec{b} \times \vec{c})$.
પ્રથમ,$\vec{b} \times \vec{c}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & -2 \\ -1 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-8)) - \hat{j}(6 - 2) + \hat{k}(8 - 2) = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}$.
તેથી,$\vec{d} = \lambda(2\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k})$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{d} = 18$:
$(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot \lambda(2\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}) = 18$
$\lambda(4 - 12 + 24) = 18 \implies 16\lambda = 18 \implies \lambda = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.
આમ,$\vec{d} = \frac{9}{8}(2\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}) = \frac{9}{4}\hat{i} - \frac{9}{2}\hat{j} + \frac{27}{4}\hat{k}$.
હવે,$\vec{a} \times \vec{d} = \vec{a} \times (\lambda(\vec{b} \times \vec{c})) = \lambda(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}))$ ની ગણતરી કરો.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (2)(-1) + (3)(4) + (4)(3) = -2 + 12 + 12 = 22$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(2) + (3)(-2) + (4)(-2) = 4 - 6 - 8 = -10$.
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 22(2\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}) - (-10)(-\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}) = (44\hat{i} - 44\hat{j} - 44\hat{k}) - (10\hat{i} - 40\hat{j} - 30\hat{k}) = 34\hat{i} - 4\hat{j} - 14\hat{k}$.
$\vec{a} \times \vec{d} = \frac{9}{8}(34\hat{i} - 4\hat{j} - 14\hat{k}) = \frac{9}{4}(17\hat{i} - 2\hat{j} - 7\hat{k})$.
$|\vec{a} \times \vec{d}|^2 = (\frac{9}{4})^2 (17^2 + (-2)^2 + (-7)^2) = \frac{81}{16} (289 + 4 + 49) = \frac{81}{16} (342) = \frac{81 \times 171}{8} = 1732.875$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}=-5 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્ર $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w}) \vec{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \hat{i} = (\vec{a} \cdot \hat{i}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \hat{i}) \vec{a} = -5 \vec{b} - \vec{a}$.
કિંમતો મૂકતા:
$-5(\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}) - (-5 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}) = -11 \hat{j} + 23 \hat{k}$.
હવે,$\vec{c} = ((-11 \hat{j} + 23 \hat{k}) \times \hat{i}) \times \hat{i} \times \hat{i}$.
ગણતરી કરતા $\vec{c} = 11 \hat{j} - 23 \hat{k}$ મળે છે.
તેથી,$\vec{c} \cdot(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = (11 \hat{j} - 23 \hat{k}) \cdot (-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 11 - 23 = -12$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) + \vec{b} \times \vec{c} = \hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k}$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} = \hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k}$ મળે છે.
બંને બાજુ $\vec{a}$ સાથે ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા:
$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) + \vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) + \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{a} \times (\hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k})$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિયમ $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{b} + (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{c} + (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} \times (\hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k})$.
અહીં $\vec{a} = (2, -3, 4)$,$\vec{b} = (3, 4, -5)$,$|\vec{a}|^2 = 29$,$|\vec{b}|^2 = 50$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = -26$,અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 13$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$-26 \vec{a} - 29 \vec{b} + 13 \vec{a} - 29 \vec{c} + 13 \vec{b} - (-26) \vec{c} = \vec{a} \times (\hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k})$.
$-13 \vec{a} - 16 \vec{b} - 3 \vec{c} = \vec{a} \times (\hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k})$.
બંને બાજુ $\vec{b}$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$-13 (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 16 |\vec{b}|^2 - 3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = [\vec{a}, \hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k}, \vec{b}]$.
$-13 (-26) - 16 (50) - 3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 1 & 8 & 13 \\ 3 & 4 & -5 \end{vmatrix}$.
$338 - 800 - 3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = -396$.
$-462 - 3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = -396 \Rightarrow -3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = 66 \Rightarrow \vec{b} \cdot \vec{c} = -22$.
તેથી,$24 - (\vec{b} \cdot \vec{c}) = 24 - (-22) = 46$.

(C) પ્રથમ,નોંધો કે $|\vec{a}| = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{5}})^2 + (-\frac{2}{\sqrt{5}})^2} = \sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} = 1$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{(\frac{2}{\sqrt{14}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{14}})^2 + (\frac{3}{\sqrt{14}})^2} = \sqrt{\frac{4+1+9}{14}} = 1$.
વળી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1(2) + (-2)(1) + 0(3)}{\sqrt{70}} = 0$.
ધારો કે $E = (2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot [(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} - 2 \vec{b})]$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w}) \vec{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} - 2 \vec{b}) = [(\vec{a} \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b})) \vec{b} - (\vec{b} \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b})) \vec{a}]$
$= [(|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})) \vec{b} - ((\vec{b} \cdot \vec{a}) - 2|\vec{b}|^2) \vec{a}]$
$= [(1 - 0) \vec{b} - (0 - 2(1)) \vec{a}] = \vec{b} + 2 \vec{a}$.
હવે,$E = (2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = |2 \vec{a} + \vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
કિંમતો મૂકતા: $E = 4(1)^2 + (1)^2 + 4(0) = 4 + 1 = 5$.

(A, B, C) આપેલ છે કે $|\vec{x}| = |\vec{y}| = |\vec{z}| = \sqrt{2}$ અને દરેક જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.
તેથી,$\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{z} = \vec{z} \cdot \vec{x} = |\vec{x}||\vec{y}| \cos(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 1$.
કારણ કે $\vec{a}$ એ $\vec{x}$ અને $\vec{y} \times \vec{z}$ ને લંબ છે,$\vec{a}$ એ $\vec{x} \times (\vec{y} \times \vec{z})$ ને સમાંતર છે.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{x} \times (\vec{y} \times \vec{z}) = (\vec{x} \cdot \vec{z})\vec{y} - (\vec{x} \cdot \vec{y})\vec{z} = 1\vec{y} - 1\vec{z} = \vec{y} - \vec{z}$.
તેથી,$\vec{a} = \lambda(\vec{y} - \vec{z})$.
પછી $\vec{a} \cdot \vec{y} = \lambda(\vec{y} \cdot \vec{y} - \vec{z} \cdot \vec{y}) = \lambda(2 - 1) = \lambda$. આમ,$\vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{y})(\vec{y} - \vec{z})$,જે $(B)$ છે.
તે જ રીતે,$\vec{b}$ એ $\vec{y}$ અને $\vec{z} \times \vec{x}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{b}$ એ $\vec{y} \times (\vec{z} \times \vec{x}) = (\vec{y} \cdot \vec{x})\vec{z} - (\vec{y} \cdot \vec{z})\vec{x} = 1\vec{z} - 1\vec{x} = \vec{z} - \vec{x}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$\vec{b} = \mu(\vec{z} - \vec{x})$.
પછી $\vec{b} \cdot \vec{z} = \mu(\vec{z} \cdot \vec{z} - \vec{x} \cdot \vec{z}) = \mu(2 - 1) = \mu$. આમ,$\vec{b} = (\vec{b} \cdot \vec{z})(\vec{z} - \vec{x})$,જે $(A)$ છે.
હવે,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \lambda \mu (\vec{y} - \vec{z}) \cdot (\vec{z} - \vec{x}) = \lambda \mu (\vec{y} \cdot \vec{z} - \vec{y} \cdot \vec{x} - \vec{z} \cdot \vec{z} + \vec{z} \cdot \vec{x}) = \lambda \mu (1 - 1 - 2 + 1) = -\lambda \mu = -(\vec{a} \cdot \vec{y})(\vec{b} \cdot \vec{z})$,જે $(C)$ છે.

(D) કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સાથે સમતલીય છે અને $\vec{c} \perp \vec{b}$,આપણે લખી શકીએ કે $\vec{c} = \lambda (\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b}))$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\vec{b} \cdot \vec{b} = 3^2 + 1^2 + (-1)^2 = 11$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(1) + (3)(-1) = 3 + 2 - 3 = 2$ ગણો.
આમ,$\vec{c} = \lambda (11 \vec{a} - 2 \vec{b}) = \lambda (11(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - 2(3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})) = \lambda (5\hat{i} + 20\hat{j} + 35\hat{k}) = 5\lambda (\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k})$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 5$,તેથી $5\lambda (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}) = 5$.
$5\lambda (1 + 8 + 21) = 5 \implies 30\lambda = 1 \implies \lambda = \frac{1}{30}$.
તેથી,$\vec{c} = \frac{1}{6} (\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k})$.
$|\vec{c}| = \frac{1}{6} \sqrt{1^2 + 4^2 + 7^2} = \frac{1}{6} \sqrt{1 + 16 + 49} = \frac{\sqrt{66}}{6} = \sqrt{\frac{66}{36}} = \sqrt{\frac{11}{6}}$.

(C) ધારો કે $\vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$,$\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$.
જરૂરી સદિશ $\vec{a}$ ને લંબ છે અને $\vec{b}$ તથા $\vec{c}$ સાથે સમતલીય છે,તેથી તે $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ ને સમાંતર હશે.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (5)(1) + (2)(-1) + (6)(1) = 5 - 2 + 6 = 9$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (5)(2) + (2)(1) + (6)(1) = 10 + 2 + 6 = 18$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 9(2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 18(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (18-18)\hat{i} + (9+18)\hat{j} + (9-18)\hat{k} = 27 \hat{j} - 9 \hat{k}$.
તેનું માન $|27 \hat{j} - 9 \hat{k}| = \sqrt{27^2 + (-9)^2} = \sqrt{729 + 81} = \sqrt{810} = 9 \sqrt{10}$ છે.
એકમ સદિશ $\pm \frac{27 \hat{j} - 9 \hat{k}}{9 \sqrt{10}} = \pm \frac{3 \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{10}}$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\frac{3 \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{10}}$ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ છે કે $\overline{a} \times \overline{b} + \overline{c} = \overline{0}$,જેનો અર્થ છે કે $\overline{a} \times \overline{b} = -\overline{c}$.
બંને બાજુ $\overline{a}$ સાથે ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા: $\overline{a} \times (\overline{a} \times \overline{b}) = -\overline{a} \times \overline{c}$.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ સૂત્ર $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c})\overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b})\overline{c}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $(\overline{a} \cdot \overline{b})\overline{a} - (\overline{a} \cdot \overline{a})\overline{b} = -\overline{a} \times \overline{c}$.
આપેલ છે $\overline{a} = \hat{j} - \hat{k}$,તેથી $\overline{a} \cdot \overline{a} = 0^2 + 1^2 + (-1)^2 = 2$.
આપેલ છે $\overline{a} \cdot \overline{b} = 3$,તેથી $3\overline{a} - 2\overline{b} = -\overline{a} \times \overline{c}$.
$\overline{a} \times \overline{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(0 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = -2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
આમ,$2\overline{b} = 3\overline{a} + (\overline{a} \times \overline{c}) = 3(\hat{j} - \hat{k}) + (-2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
તેથી,$\overline{b} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.

(B) આપેલ છે કે $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ લંબ નથી,તેથી $\overline{a} \cdot \overline{b} \neq 0$.
આપણને $\overline{a} \cdot \overline{d} = 0$ અને $\overline{b} \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{d}$ આપેલ છે.
સમીકરણ $\overline{b} \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{d}$ ની બંને બાજુએ $\overline{a}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા,આપણને મળે છે:
$\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = \overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{d})$
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્ર $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c} = (\overline{a} \cdot \overline{d}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{d}$
કારણ કે $\overline{a} \cdot \overline{d} = 0$,સમીકરણ આ રીતે સરળ બને છે:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c} = 0 - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{d}$
$\overline{d}$ માટે ઉકેલતા:
$(\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{d} = (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c} - (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b}$
$(\overline{a} \cdot \overline{b})$ વડે ભાગતા:
$\overline{d} = \overline{c} - \left(\frac{\overline{a} \cdot \overline{c}}{\overline{a} \cdot \overline{b}}\right) \overline{b}$

(A) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c} = 2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.
જરૂરી સદિશ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,તે $\vec{v} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ સ્વરૂપમાં હોવો જોઈએ.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
પ્રથમ,ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1)(2) + (1)(1) + (-1)(1) = 2 + 1 - 1 = 2$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(1) + (-1)(1) = 1 + 1 - 1 = 1$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{v} = 2(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - 1(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = (2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}) - (2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = \hat{j}+\hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ છે.
એકમ સદિશ $\pm \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \pm \frac{\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{2}}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $A$ છે (ઋણ ચિહ્નને ધ્યાનમાં લેતા).

(D) આપેલ છે: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}| \overline{a}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a}$.
કોઈ પણ બે સદિશો સમરેખ ન હોવાથી,$\overline{a}$ અને $\overline{b}$ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે. તેથી,$\overline{b}$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 0$.
$\overline{a}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે: $-(\overline{b} \cdot \overline{c}) = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
ડોટ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા મૂકતા,$-|\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
સદિશો શૂન્યતર હોવાથી,$|\overline{b}||\overline{c}|$ વડે ભાગતા: $\cos \theta = -\frac{1}{3}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
આમ,$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
તેથી,$\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\bar{c} = \hat{j} - \hat{k}$.
આપણને $\bar{a} \times \bar{b} = \bar{c}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ $\bar{a}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = \bar{a} \times \bar{c}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{a})\bar{b}$.
અહીં $\bar{a} \cdot \bar{a} = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3$ હોવાથી,$(\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - 3\bar{b} = \bar{a} \times \bar{c}$ મળે.
ધારો કે $\bar{v} = \bar{a} \times \bar{c} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{j} - \hat{k}) = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\bar{b}$ નો $\bar{v}$ પરનો પ્રક્ષેપ $l = \frac{|\bar{b} \cdot \bar{v}|}{|\bar{v}|}$ છે.
$(\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - 3\bar{b} = \bar{v}$ માં $\bar{v}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$(\bar{a} \cdot \bar{b})(\bar{a} \cdot \bar{v}) - 3(\bar{b} \cdot \bar{v}) = \bar{v} \cdot \bar{v} = |\bar{v}|^2$.
$\bar{a} \cdot \bar{v} = \bar{a} \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = 0$ હોવાથી,$-3(\bar{b} \cdot \bar{v}) = |\bar{v}|^2$ મળે.
આમ,$|\bar{b} \cdot \bar{v}| = \frac{|\bar{v}|^2}{3}$.
તેથી $l = \frac{|\bar{b} \cdot \bar{v}|}{|\bar{v}|} = \frac{|\bar{v}|^2}{3|\bar{v}|} = \frac{|\bar{v}|}{3}$.
$|\bar{v}|^2 = (-2)^2 + 1^2 + 1^2 = 4 + 1 + 1 = 6$.
તેથી $l = \frac{\sqrt{6}}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $l^2 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$3l^2 = 3 \times \frac{2}{3} = 2$.

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = (\overline{a}-2 \overline{b}) \cdot \{(\overline{a} \times \overline{b}) \times (2 \overline{a}+\overline{b})\}$ છે.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ નિત્યસમ $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\overline{a} \times \overline{b}) \times (2 \overline{a}+\overline{b}) = -((2 \overline{a}+\overline{b}) \times (\overline{a} \times \overline{b}))$
$= -\{(2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{b}) \overline{a} - ((2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{a}) \overline{b}\}$
અહીં $\overline{a} \cdot \overline{a} = 1$ અને $\overline{b} \cdot \overline{b} = 1$ (એકમ સદિશો) અને $\overline{a} \cdot \overline{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}}(3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times (-6)) = 0$ હોવાથી,સદિશો લંબ છે.
તેથી,$(2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{b} = 2(\overline{a} \cdot \overline{b}) + \overline{b} \cdot \overline{b} = 0 + 1 = 1$.
અને $(2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{a} = 2(\overline{a} \cdot \overline{a}) + \overline{b} \cdot \overline{a} = 2(1) + 0 = 2$.
આમ,પદાવલિ $- \{1 \cdot \overline{a} - 2 \cdot \overline{b}\} = 2 \overline{b} - \overline{a}$ બને છે.
હવે,$E = (\overline{a}-2 \overline{b}) \cdot (2 \overline{b} - \overline{a}) = -(\overline{a}-2 \overline{b}) \cdot (\overline{a}-2 \overline{b}) = -|\overline{a}-2 \overline{b}|^2$.
$|\overline{a}-2 \overline{b}|^2 = |\overline{a}|^2 + 4|\overline{b}|^2 - 4(\overline{a} \cdot \overline{b}) = 1 + 4(1) - 0 = 5$.
તેથી,$E = -5$.

(B) આપેલ છે કે,$|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=1$ અને $|\bar{c}|=2$.
સદિશ ત્રિગુણન સૂત્ર $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{a})\bar{c}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ સમીકરણ: $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{a} - |\bar{a}|^2\bar{c} + \bar{b} = \bar{0}$.
કારણ કે $|\bar{a}|=1$,તેથી $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{a} - \bar{c} = -\bar{b}$.
બંને બાજુ માનનો વર્ગ લેતા: $|(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{a} - \bar{c}|^2 = |-\bar{b}|^2$.
$(\bar{a} \cdot \bar{c})^2 |\bar{a}|^2 + |\bar{c}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c})(\bar{a} \cdot \bar{c}) = |\bar{b}|^2$.
$(\bar{a} \cdot \bar{c})^2(1) + 4 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c})^2 = 1$.
$-(\bar{a} \cdot \bar{c})^2 = -3 \Rightarrow (\bar{a} \cdot \bar{c})^2 = 3$.
આમ,$\bar{a} \cdot \bar{c} = \sqrt{3}$ (લઘુકોણ માટે).
$|\bar{a}||\bar{c}| \cos \theta = \sqrt{3} \Rightarrow (1)(2) \cos \theta = \sqrt{3}$.
$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$.

(A) આપણને સદિશ ત્રિગુણનનો ગુણધર્મ ખબર છે: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a}$.
આપેલ સમીકરણ $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}| \overline{a}$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\overline{b}$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ કારણ કે જમણી બાજુએ $\overline{b}$ વાળું પદ નથી. તેથી,$(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 0$.
$\overline{a}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા,આપણને મળે છે: $-(\overline{b} \cdot \overline{c}) = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta$,તેથી:
$-|\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
$\overline{b}$ અને $\overline{c}$ શૂન્યેતર સદિશો હોવાથી,આપણે $|\overline{b}||\overline{c}|$ વડે ભાગી શકીએ:
$-\cos \theta = \frac{1}{3} \implies \cos \theta = -\frac{1}{3}$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
$\theta$ એ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો હોવાથી,$0 \le \theta \le \pi$,તેથી $\sin \theta \ge 0$.
આમ,$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$.

(C) આપણે સદિશ ત્રિગુણનનું સૂત્ર જાણીએ છીએ: $(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c} = (\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{b} \cdot \bar{c}) \bar{a}$.
આપેલ છે કે $(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c} = -5 \bar{a} + 4 \bar{b}$.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$-(\bar{b} \cdot \bar{c}) = -5 \implies \bar{b} \cdot \bar{c} = 5$
$(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 4$
હવે,આપણે $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})$ શોધવાનું છે.
સદિશ ત્રિગુણનનું સૂત્ર વાપરતા: $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c}$.
જ્ઞાત મૂલ્યો $\bar{a} \cdot \bar{c} = 4$ અને $\bar{a} \cdot \bar{b} = 3$ મૂકતા:
$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = 4 \bar{b} - 3 \bar{c}$.

(C) આપેલ છે કે $|\overline{a}| = \sqrt{3}, |\overline{b}| = 1, |\overline{c}| = 2$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\overline{a} \times (\overline{a} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{a} - (\overline{a} \cdot \overline{a}) \overline{c}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{a} - |\overline{a}|^2 \overline{c} + 3 \overline{b} = \overline{0}$.
કારણ કે $|\overline{a}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$,તેથી $(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{a} - 3 \overline{c} = -3 \overline{b}$.
બંને બાજુ માનનો વર્ગ લેતા: $|(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{a} - 3 \overline{c}|^2 = |-3 \overline{b}|^2$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $(\overline{a} \cdot \overline{c})^2 |\overline{a}|^2 + 9 |\overline{c}|^2 - 6 (\overline{a} \cdot \overline{c})(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9 |\overline{b}|^2$.
$(\overline{a} \cdot \overline{c})^2 (3) + 9 (2)^2 - 6 (\overline{a} \cdot \overline{c})^2 = 9 (1)^2$.
$-3 (\overline{a} \cdot \overline{c})^2 + 36 = 9$.
$-3 (\overline{a} \cdot \overline{c})^2 = -27 \implies (\overline{a} \cdot \overline{c})^2 = 9$.
આમ,$\overline{a} \cdot \overline{c} = \pm 3$.
કારણ કે $\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{a}| |\overline{c}| \cos \theta$,તેથી $(\sqrt{3})(2) \cos \theta = \pm 3$.
$\cos \theta = \pm \frac{3}{2\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

(D) સદિશ ત્રિગુણન નિત્યસમ $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $\vec{u} = \vec{a}$,$\vec{v} = \vec{b}$,અને $\vec{w} = (\vec{a} \times \vec{c})$.
તેથી $(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{a}$ થાય.
હવે,$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot [(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c})] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] (\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{a})$.
અદિશ ત્રિગુણન $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1(4-2) - 1(-2+4) + 1(1-4) = 2 - 2 - 3 = -3$.
અને $(\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{a}) = (3) - (-1+2-2) = 3 - (-1) = 4$.
તેથી,પરિણામ $(-3) \times 4 = -12$ મળે છે.

(C) આપેલ સદિશો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો છે કારણ કે $|\bar{a}| = \sqrt{\frac{9+1}{10}} = 1$ અને $|\bar{b}| = \sqrt{\frac{4+9+36}{49}} = 1$.
પ્રથમ,ડોટ ગુણાકાર $\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}}(3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times (-6)) = \frac{6-6}{7\sqrt{10}} = 0$ ગણો.
હવે,પદાવલિ $(2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot[(\bar{a} \times \bar{b}) \times(\bar{a}+2 \bar{b})]$ ને સરળ બનાવો.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિયમ $\bar{u} \times (\bar{v} \times \bar{w}) = (\bar{u} \cdot \bar{w}) \bar{v} - (\bar{u} \cdot \bar{v}) \bar{w}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \times(\bar{a}+2 \bar{b}) = -[(\bar{a}+2 \bar{b}) \times (\bar{a} \times \bar{b})] = -[(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot \bar{b}] \bar{a} + [(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot \bar{a}] \bar{b}$.
કારણ કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$,$|\bar{a}|=1$,અને $|\bar{b}|=1$:
$(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot \bar{b} = \bar{a} \cdot \bar{b} + 2|\bar{b}|^2 = 0 + 2(1) = 2$.
$(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot \bar{a} = |\bar{a}|^2 + 2(\bar{b} \cdot \bar{a}) = 1 + 0 = 1$.
તેથી,પદાવલિ $-(2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot [-2 \bar{a} + \bar{b}] = (2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot (2 \bar{a}-\bar{b}) = |2 \bar{a}-\bar{b}|^2$ બને છે.
$|2 \bar{a}-\bar{b}|^2 = 4|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 4(1) + 1 - 4(0) = 5$.

(D) સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$.
આપેલ છે કે $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}}\bar{c}$.
$\bar{b}$ અને $\bar{c}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા (કારણ કે $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ અસમતલીય છે,તેથી તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે),આપણને મળે છે:
$\bar{a} \cdot \bar{c} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $-(\bar{a} \cdot \bar{b}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta = \cos \theta$.
આમ,$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \frac{3\pi}{4}$.

(C) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\bar{u} \times (\bar{v} \times \bar{w}) = (\bar{u} \cdot \bar{w})\bar{v} - (\bar{u} \cdot \bar{v})\bar{w}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે આપેલ પદનું વિસ્તરણ કરીએ:
$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$
$\bar{b} \times (\bar{c} \times \bar{a}) = (\bar{b} \cdot \bar{a})\bar{c} - (\bar{b} \cdot \bar{c})\bar{a}$
આ બંનેનો સરવાળો કરતા: $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c} + (\bar{b} \cdot \bar{a})\bar{c} - (\bar{b} \cdot \bar{c})\bar{a} = \frac{1}{2}\bar{a}$
અહીં $(\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$ અને $(\bar{b} \cdot \bar{a})\bar{c}$ ઉડી જાય છે,તેથી: $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{b} \cdot \bar{c})\bar{a} = \frac{1}{2}\bar{a}$
પદ ગોઠવતા: $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} = (\frac{1}{2} + \bar{b} \cdot \bar{c})\bar{a}$
કારણ કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ સમરેખ નથી,તેથી સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ: $\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ અને $\frac{1}{2} + \bar{b} \cdot \bar{c} = 0$
$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0 \implies \theta_{ac} = 90^{\circ}$
$\bar{b} \cdot \bar{c} = -\frac{1}{2} \implies |\bar{b}||\bar{c}| \cos(\theta_{bc}) = -\frac{1}{2} \implies (1)(1) \cos(\theta_{bc}) = -\frac{1}{2} \implies \theta_{bc} = 120^{\circ}$
આમ,ખૂણાઓ $90^{\circ}$ અને $120^{\circ}$ છે.

(A) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમ મુજબ: $\hat{a} \times (\hat{b} \times \hat{c}) = (\hat{a} \cdot \hat{c}) \hat{b} - (\hat{a} \cdot \hat{b}) \hat{c}$.
આને આપેલા સમીકરણ સાથે સરખાવતા: $(\hat{a} \cdot \hat{c}) \hat{b} - (\hat{a} \cdot \hat{b}) \hat{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{b} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{c}$.
કારણ કે $\hat{b}$ અને $\hat{c}$ સમાંતર નથી,આપણે $\hat{b}$ અને $\hat{c}$ ના સહગુણકોને સરખાવી શકીએ:
$\hat{a} \cdot \hat{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $-(\hat{a} \cdot \hat{b}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \hat{a} \cdot \hat{b} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
ધારો કે $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$\hat{a} \cdot \hat{b} = |\hat{a}| |\hat{b}| \cos \theta = \cos \theta$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ હોવાથી,$\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$ મળે.

(D) સદિશ ત્રિગુણન નિત્યસમ $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ નો ઉપયોગ કરીને,દરેક પદની ગણતરી કરીએ:
$\hat{i} \times (\vec{a} \times \hat{i}) = (\hat{i} \cdot \hat{i})\vec{a} - (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i} = 1(\vec{a}) - (1)\hat{i} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - \hat{i} = 2\hat{j} + 3\hat{k}$
$\hat{j} \times (\vec{a} \times \hat{j}) = (\hat{j} \cdot \hat{j})\vec{a} - (\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j} = 1(\vec{a}) - (2)\hat{j} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - 2\hat{j} = \hat{i} + 3\hat{k}$
$\hat{k} \times (\vec{a} \times \hat{k}) = (\hat{k} \cdot \hat{k})\vec{a} - (\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k} = 1(\vec{a}) - (3)\hat{k} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - 3\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j}$
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$\vec{b} = (2\hat{j} + 3\hat{k}) + (\hat{i} + 3\hat{k}) + (\hat{i} + 2\hat{j}) = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$
અંતે,માન (magnitude) નીચે મુજબ છે:
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \times 14} = 2\sqrt{14}$

(C) પ્રથમ,આપણે $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ ના માન અને ડોટ ગુણાકાર તપાસીએ.
$|\overline{a}|^2 = \frac{1}{10}(16+9+1) = 2.6$.
$\overline{a} \cdot \overline{b} = \frac{1}{3\sqrt{10}}(4-6+2) = 0$.
તેથી,સદિશો લંબ છે.
ધારો કે $E = (2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot \{(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a}+2 \bar{b})\}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિયમ $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a}+2 \bar{b}) = |\bar{a}|^2 \bar{b} - 2|\bar{b}|^2 \bar{a}$.
હવે,$E = (2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot (|\bar{a}|^2 \bar{b} - 2|\bar{b}|^2 \bar{a}) = -5|\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2$.
અહીં $|\bar{a}|^2 = 2.6$ અને $|\bar{b}|^2 = 1$ હોવાથી,$E = -5(2.6)(1) = -13$.

(C) આપેલ છે,$(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}| \overline{a}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશ ત્રિગુણનનું સૂત્ર: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a}$ છે.
બંને પદોની સરખામણી કરતા:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a} = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}| \overline{a}$.
અહીં $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ સ્વતંત્ર સદિશો હોવાથી,$\overline{b}$ નો સહગુણક શૂન્ય થાય:
$\overline{a} \cdot \overline{c} = 0$.
$\overline{a}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$-\overline{b} \cdot \overline{c} = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ $\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta$:
$-|\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
સદિશો શૂન્યતર હોવાથી,$|\overline{b}||\overline{c}|$ વડે ભાગતા:
$\cos \theta = -\frac{1}{3}$.
હવે,નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
ખૂણો $\theta$ એ $0 \le \theta \le \pi$ હોવાથી,$\sin \theta \ge 0$ મળે:
$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

(A) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}$ છે.
આપેલ છે કે $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \overline{b} + \frac{\sqrt{3}}{2} \overline{c}$,તેથી $\overline{b}$ અને $\overline{c}$ સમાંતર ન હોવાથી આપણે $\overline{b}$ અને $\overline{c}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરીએ.
આમ,$\overline{a} \cdot \overline{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $-\overline{a} \cdot \overline{b} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\overline{a} \cdot \overline{b} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
કારણ કે $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ એકમ સદિશો છે,$\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}| |\overline{b}| \cos \theta = (1)(1) \cos \theta = \cos \theta$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\theta \in [0, \pi]$ હોવાથી,આપણને $\theta = \frac{5\pi}{6}$ મળે છે.

(D) આપણે સદિશ ત્રિગુણનફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: $\overrightarrow{u} \times (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}) = (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w})\overrightarrow{v} - (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})\overrightarrow{w}$.
પ્રથમ,અંદરના ભાગની ગણતરી કરીએ: $\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) = (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{a} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{b}$.
હવે,આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\overrightarrow{a} \times [\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})] = \overrightarrow{a} \times [(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{a} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{b}]$
$= (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a}) - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$
કારણ કે $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$,તેથી પ્રથમ પદ શૂન્ય થઈ જશે:
$= 0 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$
$= (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})$.

(C) આપણે સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
આ સૂત્ર $(\vec{y} \times \vec{x}) \times \vec{x}$ માટે લાગુ પાડતા:
$(\vec{y} \times \vec{x}) \times \vec{x} = (\vec{y} \cdot \vec{x})\vec{x} - (\vec{x} \cdot \vec{x})\vec{y}$.
આપેલ છે કે $\vec{x} \cdot \vec{y} = 0$,તેથી $\vec{y} \cdot \vec{x} = 0$.
વળી,$|\vec{x}| = 1$,તેથી $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2 = 1^2 = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$(\vec{y} \times \vec{x}) \times \vec{x} = (0)\vec{x} - (1)\vec{y} = -\vec{y}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપણે સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$.
$\bar{x} \times (\bar{x} \times \bar{y})$ માટે આ લાગુ પાડતા:
$\bar{x} \times (\bar{x} \times \bar{y}) = (\bar{x} \cdot \bar{y})\bar{x} - (\bar{x} \cdot \bar{x})\bar{y}$.
આપેલ છે કે $\bar{x} \cdot \bar{y} = 0$ અને $|\bar{x}| = 1$,તેથી $\bar{x} \cdot \bar{x} = |\bar{x}|^2 = 1^2 = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\bar{x} \times (\bar{x} \times \bar{y}) = (0)\bar{x} - (1)\bar{y} = -\bar{y}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$a$ એ $b$ અને $c$ બંનેને લંબ છે.
તેથી,$a \cdot b = 0$ અને $a \cdot c = 0$ ... $(i)$
હવે,સદિશ ત્રિગુણનફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$
સમીકરણ $(i)$ માંથી કિંમતો મૂકતા:
$a \times (b \times c) = (0) b - (0) c$
$a \times (b \times c) = 0 - 0 = 0$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ સદિશો $a = (1, 2, 3)$,$b = (2, -1, 1)$,અને $c = (3, 2, 1)$ છે.
સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
પ્રથમ,ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$a \cdot c = (1)(3) + (2)(2) + (3)(1) = 3 + 4 + 3 = 10$.
$a \cdot b = (1)(2) + (2)(-1) + (3)(1) = 2 - 2 + 3 = 3$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$a \times (b \times c) = 10b - 3c$.
આપણને $a \times (b \times c) = \alpha a + \beta b + \gamma c$ આપેલ છે.
તેથી,$0a + 10b - 3c = \alpha a + \beta b + \gamma c$.
$a, b,$ અને $c$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$\alpha = 0, \beta = 10, \gamma = -3$.

(D) $\vec{a}$ અને $(\vec{b} \times \vec{c})$ બંનેને લંબ સદિશ સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ દ્વારા મળે છે.
સદિશ ત્રિગુણક સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (5 \hat{i} + 4 \hat{k}) = (2)(5) + (3)(0) + (0)(4) = 10$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (3 \hat{j} + 4 \hat{k}) = (2)(0) + (3)(3) + (0)(4) = 9$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 10(3 \hat{j} + 4 \hat{k}) - 9(5 \hat{i} + 4 \hat{k})$
$= 30 \hat{j} + 40 \hat{k} - 45 \hat{i} - 36 \hat{k}$
$= -45 \hat{i} + 30 \hat{j} + 4 \hat{k}$.

(B) આપેલ છે કે $a \times b = c$ અને $b \times c = a$.
$a \times b = c$ હોવાથી,સદિશ $c$ એ $a$ અને $b$ બંનેને લંબ છે.
$b \times c = a$ હોવાથી,સદિશ $a$ એ $b$ અને $c$ બંનેને લંબ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a, b, c$ એ પરસ્પર લંબ સદિશોનો સમૂહ બનાવે છે.
સદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$a \times c = a \times (a \times b)$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમ મુજબ,$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
અહીં,$a \times c = -(c \times a)$.
$b \times c = a$ હોવાથી,$a \times c = a \times (a \times b) = (a \cdot b)a - (a \cdot a)b$.
$a, b, c$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$a \cdot b = 0$.
તેથી,$a \times c = -|a|^2 b$.
આ દર્શાવે છે કે $a \times c$ એ $b$ નો અદિશ ગુણાંક છે,જેનો અર્થ છે કે $a \times c$ એ $b$ ને સમાંતર છે.

(B) સદિશ ત્રિગુણનનું સૂત્ર આ મુજબ છે:
$a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$
આ સૂત્રને વિધાન (ii) સાથે સરખાવતા,પ્રશ્નમાં આપેલ વિધાન (ii) $a \times (b \times c) = (a \cdot b) c - (a \cdot c) b$ છે,જે સાચા સૂત્રનું વિરોધી છે. તેથી,વિધાન (ii) ખોટું છે.
હવે,વિધાન $(i)$ ધ્યાનમાં લો: $(a \times b) \times c$. $u \times v = -(v \times u)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(a \times b) \times c = -c \times (a \times b)$
સદિશ ત્રિગુણનનું સૂત્ર લાગુ પાડતા: $-[ (c \cdot b) a - (c \cdot a) b ] = (a \cdot c) b - (b \cdot c) a$.
આમ,વિધાન $(i)$ સાચું છે. તેથી,$(i)$ સાચું છે અને (ii) ખોટું છે.

(B) આપેલ છે કે $a \times (b \times c) = \frac{\sqrt{3}}{2} b + \frac{1}{2} c$.
સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$.
આને આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા:
$(a \cdot c) b - (a \cdot b) c = \frac{\sqrt{3}}{2} b + \frac{1}{2} c$.
$a, b, c$ એકમ સદિશો હોવાથી,ધારો કે $a$ અને $c$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે અને $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\beta$ છે.
તેથી $a \cdot c = \cos \alpha$ અને $a \cdot b = \cos \beta$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\cos \alpha) b - (\cos \beta) c = \frac{\sqrt{3}}{2} b + \frac{1}{2} c$.
$b$ અને $c$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \alpha = 30^{\circ}$.
$-\cos \beta = \frac{1}{2} \implies \cos \beta = -\frac{1}{2} \implies \beta = 120^{\circ}$.
આમ,$a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે અને $a$ અને $c$ વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે $|a| = 1, |b| = 1, |c| = 2$.
સમીકરણ $a \times (a \times c) = -b$ છે.
સદિશ ત્રિગુણન સૂત્ર $a \times (a \times c) = (a \cdot c)a - (a \cdot a)c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a \cdot c)a - |a|^2 c = -b$.
$|a| = 1$ હોવાથી,$(a \cdot c)a - c = -b$ મળે.
બંને બાજુ $a$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા:
$(a \cdot c)(a \cdot a) - (a \cdot c) = - (b \cdot a) \Rightarrow (a \cdot c) - (a \cdot c) = - (b \cdot a) \Rightarrow b \cdot a = 0$.
હવે,$(a \cdot c)a - c = -b$ નું વર્ગ કરતા:
$|(a \cdot c)a - c|^2 = |-b|^2$.
$(a \cdot c)^2 |a|^2 + |c|^2 - 2(a \cdot c)(a \cdot c) = |b|^2$.
$(a \cdot c)^2 - 2(a \cdot c)^2 + |c|^2 = |b|^2$.
$- (a \cdot c)^2 + 4 = 1 \Rightarrow (a \cdot c)^2 = 3$.
$a \cdot c = |a||c| \cos \theta = 2 \cos \theta$ હોવાથી,$(2 \cos \theta)^2 = 3$.
$4 \cos^2 \theta = 3 \Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{6}$.

(C) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{A} \cdot \vec{C})\vec{B} - (\vec{A} \cdot \vec{B})\vec{C}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{x} = \hat{i} \times (\vec{a} \times \hat{i}) = (\hat{i} \cdot \hat{i})\vec{a} - (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i} = \vec{a} - (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i}$
$\vec{y} = \hat{j} \times (\vec{a} \times \hat{j}) - \vec{a} = ((\hat{j} \cdot \hat{j})\vec{a} - (\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j}) - \vec{a} = \vec{a} - (\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j} - \vec{a} = -(\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j}$
$\vec{z} = \hat{k} \times (\vec{a} \times \hat{k}) - \vec{a} = ((\hat{k} \cdot \hat{k})\vec{a} - (\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k}) - \vec{a} = \vec{a} - (\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k} - \vec{a} = -(\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k}$
ધારો કે $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$. તો:
$\vec{x} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) - a_1\hat{i} = a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$
$\vec{y} = -a_2\hat{j}$
$\vec{z} = -a_3\hat{k}$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $\left[\begin{array}{lll}\vec{x} & \vec{y} & \vec{z}\end{array}\right] = \vec{x} \cdot (\vec{y} \times \vec{z})$ છે.
$\vec{y} \times \vec{z} = (-a_2\hat{j}) \times (-a_3\hat{k}) = a_2 a_3 (\hat{j} \times \hat{k}) = a_2 a_3 \hat{i}$.
$\left[\begin{array}{lll}\vec{x} & \vec{y} & \vec{z}\end{array}\right] = (a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \cdot (a_2 a_3 \hat{i}) = 0$ (કારણ કે $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$ અને $\hat{k} \cdot \hat{i} = 0$).

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = |b| = |c| = 1$.
સદિશ ત્રિગુણન ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
આપેલ છે કે $a \times (b \times c) = \frac{1}{2}b$,તેથી:
$(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = \frac{1}{2}b$.
સામાન્ય રીતે $b$ અને $c$ અસમરેખ હોવાથી,સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$a \cdot c = \frac{1}{2}$ અને $a \cdot b = 0$.
$a \cdot c = \frac{1}{2}$ માટે,$|a||c| \cos \theta_2 = \frac{1}{2} \Rightarrow (1)(1) \cos \theta_2 = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta_2 = 60^{\circ}$.
$a \cdot b = 0$ માટે,$|a||b| \cos \theta_1 = 0 \Rightarrow (1)(1) \cos \theta_1 = 0 \Rightarrow \theta_1 = 90^{\circ}$.
તેથી,$\theta_1 + \theta_2 = 90^{\circ} + 60^{\circ} = 150^{\circ}$.

(B) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a}) = (\vec{a} \cdot \vec{a}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a}$
$|\vec{a}|^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})}{|\vec{a}|^2} = \frac{|\vec{a}|^2 \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a}}{|\vec{a}|^2} = \vec{b} - \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|} \right) \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$
અહીં,$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ એ $\vec{a}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે,અને $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$ એ $\vec{b}$ નો $\vec{a}$ પરનો અદિશ પ્રક્ષેપ છે. આમ,$\vec{b} - \text{proj}_{\vec{a}} \vec{b}$ એ $\vec{a}$ ને લંબ $\vec{b}$ નો ઘટક દર્શાવે છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b$ અને $c$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = |b| = |c| = 1$.
સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
આપેલ છે કે $a \times (b \times c) = \frac{1}{\sqrt{2}}(b + c)$,તેથી $(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = \frac{1}{\sqrt{2}}b + \frac{1}{\sqrt{2}}c$.
કારણ કે $b$ અને $c$ સમાંતર નથી,આપણે $b$ અને $c$ ના સહગુણકોને સરખાવી શકીએ:
$a \cdot c = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $-(a \cdot b) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow a \cdot b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
ડોટ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા મુજબ,$a \cdot c = |a||c| \cos \beta = \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \beta = \frac{\pi}{4}$.
તે જ રીતે,$a \cdot b = |a||b| \cos \alpha = \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \alpha = \frac{3 \pi}{4}$.
તેથી,$\alpha - \beta = \frac{3 \pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{2 \pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

(C) આપેલ સદિશો $a=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$,$b=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,અને $c=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $(a \times b) \times c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \cdot c = (2)(2) + (-3)(1) + (1)(1) = 4 - 3 + 1 = 2$
$b \cdot c = (1)(2) + (-1)(1) + (2)(1) = 2 - 1 + 2 = 3$
$(a \times b) \times c = 2(i - j + 2k) - 3(2i - 3j + k) = (2i - 2j + 4k) - (6i - 9j + 3k) = -4i + 7j + k$
$|(a \times b) \times c| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 49 + 1} = \sqrt{66}$.
હવે,$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ માટે:
$a \cdot c = 2$
$a \cdot b = (2)(1) + (-3)(-1) + (1)(2) = 2 + 3 + 2 = 7$
$a \times (b \times c) = 2(i - j + 2k) - 7(2i + j + k) = (2i - 2j + 4k) - (14i + 7j + 7k) = -12i - 9j - 3k$
$|a \times (b \times c)| = \sqrt{(-12)^2 + (-9)^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 81 + 9} = \sqrt{234}$.
આમ,$\frac{|(a \times b) \times c|}{|a \times (b \times c)|} = \sqrt{\frac{66}{234}} = \sqrt{\frac{11}{39}}$.
તેથી,$|(a \times b) \times c| = \sqrt{\frac{11}{39}}|a \times (b \times c)|$.

(B) આપેલ છે કે,$a = i + j - 2k$.
આપણે $\sum \{(a \times i) \times j\}^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્ર $(A \times B) \times C = (A \cdot C)B - (B \cdot C)A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a \times i) \times j = (a \cdot j)i - (i \cdot j)a$.
અહીં $i \cdot j = 0$ હોવાથી,આ પદ $(a \cdot j)i$ માં પરિણમે છે.
તેથી,$\sum \{(a \times i) \times j\}^2 = \sum \{(a \cdot j)i\}^2 = \sum (a \cdot j)^2 |i|^2$.
$|i|^2 = 1$ હોવાથી,આ $\sum (a \cdot j)^2$ થાય છે.
ધારો કે $a = a_x i + a_y j + a_z k$. તો $a \cdot i = a_x$,$a \cdot j = a_y$,અને $a \cdot k = a_z$.
સરવાળો $\sum (a \cdot j)^2$ એ ઘટકોના વર્ગોનો સરવાળો દર્શાવે છે,જે $|a|^2$ છે.
$|a|^2 = |i + j - 2k|^2 = 1^2 + 1^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.

(B) આપણે સદિશ ત્રિગુણ ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
પ્રથમ પદ માટે આ સૂત્ર લાગુ પાડતા: $i \times (r \times i) = (i \cdot i)r - (i \cdot r)i = r - r_x i$,જ્યાં $r = r_x i + r_y j + r_z k$ છે.
તે જ રીતે,અન્ય પદો માટે:
$j \times (r \times j) = (j \cdot j)r - (j \cdot r)j = r - r_y j$
$k \times (r \times k) = (k \cdot k)r - (k \cdot r)k = r - r_z k$.
આ ત્રણેય પદોનો સરવાળો કરતા:
$(i \times (r \times i)) + (j \times (r \times j)) + (k \times (r \times k)) = (r - r_x i) + (r - r_y j) + (r - r_z k)$
$= 3r - (r_x i + r_y j + r_z k)$
$= 3r - r = 2r$.

(A) આપેલ છે કે બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = 2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ છે.
સમતલ $\pi$ સદિશો $\vec{a} = -\hat{i}-2 \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ છે.
રેખા સમતલ પર આવેલી છે અને $\vec{b}$ ને લંબ છે,તેથી તેનો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{n}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{v} = \vec{n} \times \vec{b} = (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{a}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(1) + (0)(1) + (-2)(2) = -1 - 4 = -5$.
$\vec{b} \cdot \vec{b} = (1)^2 + (1)^2 + (2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.
તેથી,$\vec{v} = -5(\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) - 6(-\hat{i}-2 \hat{k}) = -5\hat{i}-5\hat{j}-10\hat{k} + 6\hat{i} + 12\hat{k} = \hat{i}-5\hat{j}+2\hat{k}$.
નોંધ: દિશા સદિશને $-1$ વડે ગુણતા $-\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}$ મળે છે.
રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{p} + \lambda \vec{v} = 2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k} + \lambda(-\hat{i}+5 \hat{j}-2 \hat{k})$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}=-\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટ અને માન શોધો:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(1) + (1)(-1) + (2)(-3) = -1 - 1 - 6 = -8$.
$|\vec{a}|^2 = (-1)^2 + (1)^2 + (2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.
$|\vec{b}|^2 = (1)^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 1 + 9 = 11$.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{d} = (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{a}$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{d} = 6\vec{b} - (-8)\vec{a} = 6\vec{b} + 8\vec{a}$.
હવે,$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot \vec{d} = (\vec{a}-\vec{b}) \cdot (8\vec{a} + 6\vec{b})$ ની ગણતરી કરો.
$= 8(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 6(\vec{b} \cdot \vec{b})$.
$= 8(6) + 6(-8) - 8(-8) - 6(11)$.
$= 48 - 48 + 64 - 66 = -2$.