एक समकोण समलंब ABCD में,विकर्ण लंबवत हैं,और आ | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए कि शीर्ष सदिशों द्वारा दर्शाए गए हैं। चूंकि $ABCD$ एक समकोण समलंब है जहाँ $AB$ लंबवत है $BC$ के और $AD$ समानांतर है $BC$ के,हम $B$ को मू

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$\sqrt{3}:\sqrt{2}$

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(D) मान लीजिए कि शीर्ष सदिशों द्वारा दर्शाए गए हैं। चूंकि $ABCD$ एक समकोण समलंब है जहाँ $AB$ लंबवत है $BC$ के और $AD$ समानांतर है $BC$ के,हम $B$ को मूल बिंदु $(0)$ पर रख सकते हैं। मान लीजिए $\vec{BA} = \vec{a}$ और $\vec{BC} = \vec{c}$। चूंकि $AD \parallel BC$ और $AD:BC = 2:3$,हमारे पास $\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{c}$ है। अतः,$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = \vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}$।विकर्ण $AC$ और $BD$ लंबवत हैं,इसलिए $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$।$(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}) = 0$।चूंकि $\vec{a} \perp \vec{c}$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$। डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर:$\frac{2}{3}|\vec{c}|^2 - |\vec{a}|^2 = 0 \Rightarrow |\vec{a}|^2 = \frac{2}{3}|\vec{c}|^2$।अब,विकर्णों की लंबाई का अनुपात है:$\frac{|\vec{AC}|}{|\vec{BD}|} = \frac{|\vec{c} - \vec{a}|}{|\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}|} = \frac{\sqrt{|\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2}}{\sqrt{|\vec{a}|^2 + \frac{4}{9}|\vec{c}|^2}}$।$|\vec{a}|^2 = \frac{2}{3}|\vec{c}|^2$ प्रतिस्थापित करने पर:$= \frac{\sqrt{|\vec{c}|^2 + \frac{2}{3}|\vec{c}|^2}}{\sqrt{\frac{2}{3}|\vec{c}|^2 + \frac{4}{9}|\vec{c}|^2}} = \frac{\sqrt{\frac{5}{3}}}{\sqrt{\frac{10}{9}}} = \sqrt{\frac{5}{3} 	imes \frac{9}{10}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।अतः,अनुपात $\sqrt{3}:\sqrt{2}$ है।

एक समकोण समलंब $ABCD$ में,विकर्ण लंबवत हैं,और आधारों की लंबाई का अनुपात $AD : BC = 2 : 3$ है। तो विकर्णों की लंबाई का अनुपात है

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