Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(B) माना $u = -\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ और $v = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ है।
$|u| = 3$ और $|v| = 5$ है।
इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{-\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}}{3}$ और $\hat{v} = \frac{3\hat{i} + 4\hat{j}}{5}$ हैं।
आंतरिक समद्विभाजक $a = \lambda(\hat{u} + \hat{v})$ और बाह्य समद्विभाजक $b = \mu(\hat{u} - \hat{v})$ है।
गणना करने पर,$a = \frac{4\hat{i} + 22\hat{j} - 10\hat{k}}{15}$ और $b = \frac{-14\hat{i} - 2\hat{j} - 10\hat{k}}{15}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a - b$ का एक संभावित मान विकल्प $B$ के अनुसार $\frac{2}{3}(-\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})$ है।

(A) दिया गया है कि $|a|=1$ और $|b|=1$,और $\alpha$ सदिश $a$ और $b$ के बीच का कोण है।
हम जानते हैं कि $a \cdot b = |a||b| \cos \alpha = (1)(1) \cos \alpha = \cos \alpha$.
चूंकि $a+b$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|a+b|=1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|a+b|^2 = 1^2 = 1$.
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,$(a+b) \cdot (a+b) = 1$.
$a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = 1$.
चूंकि $a \cdot a = |a|^2 = 1$ और $b \cdot b = |b|^2 = 1$,और $a \cdot b = b \cdot a = \cos \alpha$,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$1 + \cos \alpha + \cos \alpha + 1 = 1$.
$2 + 2 \cos \alpha = 1$.
$2 \cos \alpha = 1 - 2$.
$2 \cos \alpha = -1$.
$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$.

(A) दिया गया है कि $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.
दोनों पक्षों का स्वयं के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$
$|\overrightarrow{a}|^2 = |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})$
चूंकि $\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए उनका अदिश गुणन $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = |\overrightarrow{b}| |\overrightarrow{c}| \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ होगा।
अतः,$a^2 = b^2 + c^2 + 0$
$a^2 = b^2 + c^2$.

(B) दिए गए सदिश $a = \hat{i} + \hat{j} + t \hat{k}$ और $b = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,$(a+b)$ की गणना करें:
$a+b = (\hat{i} + \hat{j} + t \hat{k}) + (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + (t+3) \hat{k}$.
इसके बाद,$(a-b)$ की गणना करें:
$a-b = (\hat{i} + \hat{j} + t \hat{k}) - (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = 0 \hat{i} - \hat{j} + (t-3) \hat{k}$.
चूंकि $(a+b)$ और $(a-b)$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए:
$(a+b) \cdot (a-b) = 0$.
$(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + (t+3) \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} - \hat{j} + (t-3) \hat{k}) = 0$.
$(2)(0) + (3)(-1) + (t+3)(t-3) = 0$.
$0 - 3 + (t^2 - 9) = 0$.
$t^2 - 12 = 0$.
$t^2 = 12$.
$t = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}$.

(B) दिए गए सदिश $\bar{a} = \bar{i} + 2\bar{j} + 2\bar{k}$ और $\bar{b} = 2\bar{i} - \bar{j} + p\bar{k}$ हैं।
$\bar{a}$ का परिमाण $|\bar{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
$\bar{b}$ का परिमाण $|\bar{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + p^2} = \sqrt{4 + 1 + p^2} = \sqrt{5 + p^2}$ है।
अदिश गुणनफल $\bar{a} \cdot \bar{b} = (1)(2) + (2)(-1) + (2)(p) = 2 - 2 + 2p = 2p$ है।
हम जानते हैं कि $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos(\theta)$,जहाँ $\theta = 60^{\circ}$ है।
अतः,$2p = 3 \times \sqrt{5 + p^2} \times \cos(60^{\circ})$.
चूँकि $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $2p = 3 \times \sqrt{5 + p^2} \times \frac{1}{2}$.
$4p = 3\sqrt{5 + p^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$16p^2 = 9(5 + p^2) = 45 + 9p^2$.
$7p^2 = 45 \implies p^2 = \frac{45}{7} \implies p = \sqrt{\frac{45}{7}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है कि $|\bar{a}| = |\bar{b}|$। मान लीजिए $|\bar{a}| = |\bar{b}| = k$ है।
दिए गए समीकरण $|\bar{a} + 2\bar{b}| = |2\bar{a} - \bar{b}|$ का वर्ग करने पर:
$|\bar{a} + 2\bar{b}|^2 = |2\bar{a} - \bar{b}|^2$
$(\bar{a} + 2\bar{b}) \cdot (\bar{a} + 2\bar{b}) = (2\bar{a} - \bar{b}) \cdot (2\bar{a} - \bar{b})$
$|\bar{a}|^2 + 4|\bar{b}|^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 4|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b})$
चूंकि $|\bar{a}| = |\bar{b}| = k$,मान रखने पर:
$k^2 + 4k^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 4k^2 + k^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b})$
$5k^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 5k^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b})$
$8(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 0$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$
इसका अर्थ है कि $\bar{a}$,$\bar{b}$ के लंबवत है।
चूंकि $\bar{c}$,$\bar{a}$ के समानांतर है,इसलिए $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण वही होगा जो $\bar{b}$ और $\bar{a}$ के बीच का है,जो $90^{\circ}$ है।

(D) माना भुजाएँ $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\sqrt{3}\hat{i} - 2\sqrt{3}\hat{j} + \sqrt{3}\hat{k}$ हैं।
परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$.
परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12+12+3} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
तीसरी भुजा $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a} = (2\sqrt{3}-2)\hat{i} + (-2\sqrt{3}-1)\hat{j} + (\sqrt{3}+2)\hat{k}$ है।
परिमाण $|\vec{c}|^2 = (2\sqrt{3}-2)^2 + (-2\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+2)^2 = 16+13+7 = 36$,अतः $|\vec{c}| = 6$.
भुजाएँ $3, 3\sqrt{3}, 6$ हैं।
परिमाप $= 3 + 3\sqrt{3} + 6 = 9 + 3\sqrt{3}$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर,कोण $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{27+36-9}{2(3\sqrt{3})(6)} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies A = \frac{\pi}{6}$.
सबसे छोटी भुजा $3$ के सामने का कोण न्यूनतम होता है,जो $\frac{\pi}{6}$ है।

(D) हम जानते हैं कि $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{c} \cdot \vec{a}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{c})$.
चूंकि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल के लंबवत है,इसलिए $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ और $\vec{c} \cdot \vec{b} = 0$ है।
साथ ही,$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(\frac{\pi}{4}) = 3 \times 2\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 6$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 + 5^2 + 2(6) + 0 + 0$
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 9 + 8 + 25 + 12 = 54$ है।
अतः,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$ है।

(C) माना $\vec{a} = 4 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$ है।
अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (4)(1) + (-1)(3) + (2)(-2) = 4 - 3 - 4 = -3$ है।
परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{21}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{14}$ है।
$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-3}{\sqrt{21} \sqrt{14}} = \frac{-3}{7 \sqrt{6}}$ है।
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{294} = \frac{285}{294}$ होने के कारण,$\sin \theta = \frac{\sqrt{285}}{7 \sqrt{6}}$ प्राप्त होता है।
$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \left( \frac{\sqrt{285}}{7 \sqrt{6}} \right) \left( \frac{-3}{7 \sqrt{6}} \right) = -\frac{\sqrt{285}}{49}$ होता है।

(C) दिया गया है कि $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4$ और $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{37}$ है।
सर्वसमिका $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$ का उपयोग करने पर:
$37 = 3^2 + 4^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$
$37 = 9 + 16 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$
$37 = 25 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} \Rightarrow 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 12 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 6$.
चूँकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$,इसलिए $6 = 3 \cdot 4 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$\theta = 60^{\circ}$ और $\sin \theta = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
अब,$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$ का उपयोग करने पर:
$k^2 = 9 + 16 - 12 = 13$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\frac{4}{13}(k \sin \theta)^2 = \frac{4}{13} \cdot k^2 \sin^2 \theta = \frac{4}{13} \cdot 13 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$ है।

(A) दिए गए सदिश $\vec{a} = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$ और $\vec{b} = 6 \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ हैं।
$\vec{a}$ के समांतर $\vec{b}$ के घटक का परिमाण ज्ञात करने का सूत्र $\frac{|\vec{b} \cdot \vec{a}|}{|\vec{a}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{b} \cdot \vec{a} = (6)(4) + (-2)(5) + (-2)(-3) = 24 - 10 + 6 = 20$ की गणना करें।
इसके बाद,$\vec{a}$ का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ ज्ञात करें।
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
परिमाण $= \frac{|20|}{5 \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}$.

(D) दिया है: $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=2$ और $|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{a}+2\vec{b}|^2=20$।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर:
$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) + (\vec{a}+2\vec{b}) \cdot (\vec{a}+2\vec{b}) = 20$
$|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 = 20$
$2|\vec{a}|^2 + 5|\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 20$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2(1)^2 + 5(2)^2 + 2(1)(2)\cos\theta = 20$
$2 + 20 + 4\cos\theta = 20$
$22 + 4\cos\theta = 20$
$4\cos\theta = -2$
$\cos\theta = -\frac{1}{2}$
अतः,$\theta = \frac{2\pi}{3}$।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
चूंकि $\vec{a} \perp \vec{b}$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
दिया गया है $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=1$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 1$ प्राप्त होता है।
डॉट गुणन का विस्तार करने पर: $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = 1$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 1$.
ज्ञात मान रखने पर: $1 + 1 + 1 + 2(0 + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 1$.
$3 + 2(\vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b}) = 1$.
चूंकि $\vec{c} \cdot \vec{a} = |\vec{c}||\vec{a}| \cos \alpha = \cos \alpha$ और $\vec{c} \cdot \vec{b} = |\vec{c}||\vec{b}| \cos \beta = \cos \beta$,इसलिए:
$3 + 2(\cos \alpha + \cos \beta) = 1$.
$2(\cos \alpha + \cos \beta) = 1 - 3 = -2$.
अतः,$\cos \alpha + \cos \beta = -1$.

(D) दिया गया है $(\vec{c} \cdot \vec{c}) \vec{a} = \vec{c}$। दोनों पक्षों का $\vec{c}$ के साथ अदिश गुणन करने पर:
$(\vec{c} \cdot \vec{c}) (\vec{a} \cdot \vec{c}) = \vec{c} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2$।
चूंकि $\vec{c}$ शून्य सदिश नहीं है,$|\vec{c}|^2 (\vec{a} \cdot \vec{c}) = |\vec{c}|^2$,अतः $\vec{a} \cdot \vec{c} = 1$ $(i)$।
दिया गया समीकरण: $(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} + (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} = (4 - 2 \beta - \sin \alpha) \vec{b} + (\beta^2 - 1) \vec{c}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = (4 - 2 \beta - \sin \alpha) \vec{b} + (\beta^2 - 1) \vec{c}$।
चूंकि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ असरेख हैं,गुणांकों की तुलना करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$ $(ii)$
$-\vec{a} \cdot \vec{b} = \beta^2 - 1 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 - \beta^2$ $(iii)$।
$(i)$ और $(iii)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $1 + (1 - \beta^2) = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$।
$2 - \beta^2 = 4 - 2 \beta - \sin \alpha \Rightarrow \beta^2 - 2 \beta + 2 - \sin \alpha = 0$।
इस समीकरण के लिए $\sin \alpha = 1$ (अर्थात $\alpha = \frac{\pi}{2}$) लेने पर,$\beta^2 - 2 \beta + 1 = 0 \Rightarrow (\beta - 1)^2 = 0 \Rightarrow \beta = 1$।
अतः,$\sin (\alpha + \beta) = \sin (\frac{\pi}{2} + 1) = \cos 1$।

(A) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(-1) + (-2)(-2) = 2 - 2 + 4 = 4$.
परिमाण का वर्ग ज्ञात करें: $|\vec{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 9$ और $|\vec{b}|^2 = 2^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 9$.
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर लंब प्रक्षेप सदिश $\vec{x} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} = \frac{4}{9} \vec{b}$ है।
$\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर लंब प्रक्षेप सदिश $\vec{y} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2} \vec{a} = \frac{4}{9} \vec{a}$ है।
अब,$|\vec{x} - \vec{y}| = |\frac{4}{9} \vec{b} - \frac{4}{9} \vec{a}| = \frac{4}{9} |\vec{b} - \vec{a}|$.
$\vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (-2 - (-2))\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j}$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\vec{b} - \vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$.
इस प्रकार,$|\vec{x} - \vec{y}| = \frac{4}{9} \sqrt{10}$।

(C) दिया गया है $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$.
इसका अर्थ है $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $3^2 + 5^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 7^2$.
$9 + 25 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49$.
$34 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49$.
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49 - 34 = 15$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{15}{2}$.
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
$\frac{15}{2} = (3)(5) \cos \theta$.
$\frac{15}{2} = 15 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) दिया गया है: $|\vec{a}|=4, |\vec{b}|=5, |\vec{a}-\vec{b}|=3$.
परिमाण समीकरण का वर्ग करने पर: $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = 3^2 = 9$.
गुणधर्म $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 9$ का उपयोग करने पर।
मान रखने पर: $16 + 25 - 2(4)(5) \cos \theta = 9$.
$41 - 40 \cos \theta = 9$.
$40 \cos \theta = 32$.
$\cos \theta = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{4}{5}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.
इस प्रकार,$\cot^2 \theta = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$.

(D) मान लीजिए कि मूल बिंदु परिकेंद्र $S$ पर है। तब $\vec{SA} = \vec{a}, \vec{SB} = \vec{b}, \vec{SC} = \vec{c}$,जहाँ $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$ है।
$(i)$ लंबकेंद्र $O$,$\vec{SO} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} = \vec{SO}$। इसलिए,$(i) \rightarrow D$।
(ii) मान लीजिए $G$ केंद्रक है। तब $\vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}$ है। $S$ को मूल बिंदु लेने पर,$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = (\vec{a} - \vec{g}) + (\vec{b} - \vec{g}) + (\vec{c} - \vec{g}) = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{g} = 3\vec{g} - 3\vec{g} = \vec{0}$। इसलिए,$(ii) \rightarrow C$।
(iii) चूँकि $\vec{OA} = \vec{a} - \vec{o}$,$\vec{OB} = \vec{b} - \vec{o}$,और $\vec{OC} = \vec{c} - \vec{o}$ है,इसलिए $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{o} = \vec{o} - 3\vec{o} = -2\vec{o} = 2\vec{SO} = 2\vec{OS}$ (चूँकि $\vec{SO} = \vec{o}$)। इसलिए,$(iii) \rightarrow A$।
(iv) केंद्रक $G$,लंबकेंद्र $O$ और परिकेंद्र $S$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। अतः,$\vec{OG} = \frac{2}{3}\vec{OS}$। इसलिए,$(iv) \rightarrow B$।
अतः,सही मिलान $(i) \rightarrow D, (ii) \rightarrow C, (iii) \rightarrow A, (iv) \rightarrow B$ है।

(A) बिंदु $A$ (स्थिति सदिश $\vec{a}$) से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b}$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ है।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $\vec{r} = (2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) = (2+\lambda) \hat{i} + (2\lambda-1) \hat{j} + (1-\lambda) \hat{k}$.
$\vec{r}$ का $\vec{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{r} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{9}{\sqrt{6}}$ है।
सबसे पहले,$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$ ज्ञात करें।
अब,अदिश गुणनफल $\vec{r} \cdot \vec{c} = (2+\lambda)(1) + (2\lambda-1)(1) + (1-\lambda)(-2) = 2 + \lambda + 2\lambda - 1 - 2 + 2\lambda = 5\lambda - 1$.
प्रक्षेप की तुलना करने पर: $\frac{5\lambda - 1}{\sqrt{6}} = \frac{9}{\sqrt{6}} \Rightarrow 5\lambda - 1 = 9 \Rightarrow 5\lambda = 10 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ को $\vec{r}$ के समीकरण में रखने पर: $\vec{r} = (2+2) \hat{i} + (2(2)-1) \hat{j} + (1-2) \hat{k} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$.
अंत में,परिमाण $|\vec{r}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26}$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
चूंकि $\vec{a} \perp \vec{b}$ और $\vec{a} \perp \vec{c}$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{2 \pi}{3}$ है,इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \frac{2 \pi}{3} = (1)(1) \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}$.
अब,व्यंजक $|\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}|^2 = (\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}) \cdot (\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c})$ पर विचार करें।
इस अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$|\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 + 16|\vec{c}|^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(\vec{a} \cdot \vec{c}) - 24(\vec{b} \cdot \vec{c})$.
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}|^2 = 1 + 9(1) + 16(1) + 6(0) - 8(0) - 24\left(-\frac{1}{2}\right)$.
$|\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}|^2 = 1 + 9 + 16 + 12 = 38$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} + p \hat{k}$ और $|\vec{b}| = 7$ है।
सबसे पहले,$\vec{a}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + p^2} = \sqrt{8 + p^2}$।
हम जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ (लैग्रेंज की सर्वसमिका)।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(5 \sqrt{17})^2 + (4)^2 = (\sqrt{8 + p^2})^2 \times (7)^2$।
$(25 \times 17) + 16 = (8 + p^2) \times 49$।
$425 + 16 = 392 + 49p^2$।
$441 = 392 + 49p^2$।
$49 = 49p^2$।
$p^2 = 1$।
अतः,$p = \pm 1$।

(A) दिया गया है $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$.
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (1)(-1) + (-1)(3) = 2 - 1 - 3 = -2$ ज्ञात करें।
परिमाण का वर्ग ज्ञात करें: $|\vec{a}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 6$ और $|\vec{b}|^2 = 1^2 + (-1)^2 + 3^2 = 11$.
अतः,$\vec{x} = \left(\frac{-2}{11}\right) \vec{b} \implies |\vec{x}|^2 = \frac{4}{121} \times 11 = \frac{4}{11}$.
इसी प्रकार,$\vec{y} = \left(\frac{-2}{6}\right) \vec{a} \implies |\vec{y}|^2 = \frac{4}{36} \times 6 = \frac{2}{3}$.
अब,$|\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 = \frac{4}{11} + \frac{2}{3} = \frac{34}{33}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{-2}{\sqrt{66}}$,इसलिए $\cos^2 \theta = \frac{4}{66} = \frac{2}{33}$.
अतः,$x^2+y^2 = \frac{34}{33} = 17 \times \frac{2}{33} = 17 \cos^2 \theta$.

(B) दिया गया है,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 0$.
सर्वसमिका $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ का उपयोग करने पर.
दिए गए परिमाण $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=2$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2+4^2+2^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$9+16+4+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$29+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{29}{2}$.
अब,हमें $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}+2(|\vec{a}|+|\vec{b}|+|\vec{c}|)$ का मान ज्ञात करना है।
$= -\frac{29}{2} + 2(3+4+2) = -\frac{29}{2} + 2(9) = -\frac{29}{2} + 18 = \frac{-29+36}{2} = \frac{7}{2}$.

(B) माना $\vec{a} = -3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - 2 \hat{k}$ है।
अदिश गुणनफल का सूत्र $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल की गणना करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (-3)(0) + (2)(-2) = -4$.
इसके बाद,परिमाण (magnitudes) की गणना करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
अतः,$|\vec{a}| |\vec{b}| = \sqrt{13} \times \sqrt{5} = \sqrt{65}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-4}{\sqrt{65}}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-4}{\sqrt{65}}\right)$।

(B) दिए गए चार सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
चूंकि $\vec{a} \perp \vec{c}$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ है।
यह दिया गया है कि $\vec{b}$,$(\vec{c} - \vec{d})$ के समानांतर है,इसलिए एक अदिश $\lambda$ मौजूद है ताकि $\lambda \vec{b} = \vec{c} - \vec{d}$ हो।
दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर,हमें $\lambda (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\vec{c} - \vec{d})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,यह समीकरण $\lambda (\vec{a} \cdot \vec{b}) = -(\vec{a} \cdot \vec{d})$ में सरल हो जाता है।
अतः,$\lambda = -\frac{\vec{a} \cdot \vec{d}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}$ प्राप्त होता है।
अब $\lambda$ का मान $\vec{c} = \vec{d} + \lambda \vec{b}$ में रखने पर,हमें $\vec{c} = \vec{d} - \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{d}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right) \vec{b}$ प्राप्त होता है।

(D) लैग्रेंज की सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,हमारे पास $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + |\vec{a} \cdot \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ है।
दिया गया है कि $\vec{a} = x \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 6 \hat{i} - y \hat{j} + 2 \hat{k}$।
$|\vec{a}|^2 = x^2 + 2^2 + (-1)^2 = x^2 + 5$।
$|\vec{b}|^2 = 6^2 + (-y)^2 + 2^2 = 36 + y^2 + 4 = y^2 + 40$।
अतः,$|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 = (x^2 + 5)(y^2 + 40) = f(x) g(y)$।
इसलिए,$f(x) = x^2 + 5$ और $g(y) = y^2 + 40$।
दिया गया समीकरण $f(x) + g(y) - 46 = 0$ है।
मान रखने पर: $(x^2 + 5) + (y^2 + 40) - 46 = 0$।
$x^2 + y^2 + 45 - 46 = 0$।
$x^2 + y^2 = 1$।
यह $(0, 0)$ केंद्र और $1$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण है।

(B) सदिश $\vec{u}$ का सदिश $\vec{v}$ पर प्रक्षेप की लंबाई $\frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ द्वारा दी जाती है।
$l = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} = \frac{|(3)(2) + (5)(-3) + (2)(-5)|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-5)^2}} = \frac{|6 - 15 - 10|}{\sqrt{4 + 9 + 25}} = \frac{|-19|}{\sqrt{38}} = \frac{19}{\sqrt{38}}$.
$m = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{c}|}{|\vec{c}|} = \frac{|(2)(-5) + (-3)(-2) + (-5)(3)|}{\sqrt{(-5)^2 + (-2)^2 + 3^2}} = \frac{|-10 + 6 - 15|}{\sqrt{25 + 4 + 9}} = \frac{|-19|}{\sqrt{38}} = \frac{19}{\sqrt{38}}$.
$n = \frac{|\vec{c} \cdot \vec{a}|}{|\vec{a}|} = \frac{|(-5)(3) + (-2)(5) + (3)(2)|}{\sqrt{3^2 + 5^2 + 2^2}} = \frac{|-15 - 10 + 6|}{\sqrt{9 + 25 + 4}} = \frac{|-19|}{\sqrt{38}} = \frac{19}{\sqrt{38}}$.
चूंकि $l = \frac{19}{\sqrt{38}}$,$m = \frac{19}{\sqrt{38}}$,और $n = \frac{19}{\sqrt{38}}$,इसलिए $l = m = n$ है।

(A) दिया गया है $2 \vec{a}+3 \vec{b}+4 \vec{c}=\vec{0}$.
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=1, |\vec{c}|=1$ है।
हमारे पास $3 \vec{b}+4 \vec{c}=-2 \vec{a}$ है।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर: $|3 \vec{b}+4 \vec{c}|^2=|-2 \vec{a}|^2$.
$(3 \vec{b}+4 \vec{c}) \cdot (3 \vec{b}+4 \vec{c}) = 4|\vec{a}|^2$.
$9|\vec{b}|^2 + 16|\vec{c}|^2 + 24(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 4$.
$9(1) + 16(1) + 24(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 4$.
$25 + 24(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 4$.
$24(\vec{b} \cdot \vec{c}) = -21 \Rightarrow \vec{b} \cdot \vec{c} = -\frac{21}{24} = -\frac{7}{8}$.
सर्वसमिका $|\vec{b} \times \vec{c}|^2 + (\vec{b} \cdot \vec{c})^2 = |\vec{b}|^2 |\vec{c}|^2$ का उपयोग करने पर.
$|\vec{b} \times \vec{c}|^2 + (-\frac{7}{8})^2 = (1)^2(1)^2$.
$|\vec{b} \times \vec{c}|^2 + \frac{49}{64} = 1$.
$|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = 1 - \frac{49}{64} = \frac{15}{64}$.
$|\vec{b} \times \vec{c}| = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

(D) दिए गए सदिश $a = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $b = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$ हैं।
$a$ के लंबवत सदिश पर $b$ का प्रक्षेप सदिश,$b$ का $a$ के लंबवत घटक है,जो $b_{\perp a} = b - \text{proj}_a b$ द्वारा दिया जाता है।
$a$ पर $b$ का प्रक्षेप $\text{proj}_a b = \left(\frac{a \cdot b}{|a|^2}\right)a$ है।
पहले $a \cdot b = (2)(3) + (-1)(-2) + (2)(-5) = 6 + 2 - 10 = -2$ ज्ञात करें।
फिर $|a|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9$ ज्ञात करें।
अतः,$\text{proj}_a b = \left(\frac{-2}{9}\right)(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = -\frac{4}{9}\hat{i} + \frac{2}{9}\hat{j} - \frac{4}{9}\hat{k}$।
अब,$b_{\perp a} = (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}) - (-\frac{4}{9}\hat{i} + \frac{2}{9}\hat{j} - \frac{4}{9}\hat{k})$।
$b_{\perp a} = (3 + \frac{4}{9})\hat{i} + (-2 - \frac{2}{9})\hat{j} + (-5 + \frac{4}{9})\hat{k}$।
$b_{\perp a} = \frac{31}{9}\hat{i} - \frac{20}{9}\hat{j} - \frac{41}{9}\hat{k}$।

(B) दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ क्योंकि वे लंबकोणीय हैं।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-\tan \theta) + (\tan \theta)(\tan \theta) + \left(\frac{3}{\sqrt{\sin \frac{\theta}{2}}}\right)(-2 \sqrt{\sin \frac{\theta}{2}}) = 0$
$-\tan \theta + \tan^2 \theta - 6 = 0$
माना $x = \tan \theta$,तब $x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0$
अतः,$\tan \theta = 3$ या $\tan \theta = -2$ है।
सदिश $\vec{c} = (\sin 2 \theta) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$X$-अक्ष के साथ अधिक कोण बनाता है,जिसका अर्थ है कि $X$-अक्ष पर $\vec{c}$ का प्रक्षेप ऋणात्मक होना चाहिए।
$\vec{c} \cdot \hat{i} < 0 \Rightarrow \sin 2 \theta < 0$।
यदि $\tan \theta = 3$,तो $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{6}{10} > 0$ (अस्वीकृत)।
यदि $\tan \theta = -2$,तो $\sin 2 \theta = \frac{2(-2)}{1 + (-2)^2} = \frac{-4}{5} < 0$ (स्वीकृत)।
इस प्रकार,$\tan \theta = -2 \Rightarrow \theta = n \pi - \tan^{-1} 2, n \in Z$।

(C) दिया गया है $p=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ और $q=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$.
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $p \cdot q = (2)(1) + (-3)(1) + (1)(-1) = 2 - 3 - 1 = -2$ ज्ञात करें।
परिमाण का वर्ग ज्ञात करें: $|p|^2 = 2^2 + (-3)^2 + 1^2 = 14$ और $|q|^2 = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 3$.
सदिश $a$ ($q$ पर $p$ का प्रक्षेप) $a = \frac{p \cdot q}{|q|^2} q = \frac{-2}{3}(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$ है।
सदिश $b$ ($p$ पर $q$ का प्रक्षेप) $b = \frac{q \cdot p}{|p|^2} p = \frac{-2}{14}(2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}) = \frac{-1}{7}(2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})$ है।
अब,$a \times b = \left(\frac{-2}{3}\right) \left(\frac{-1}{7}\right) [(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \times (2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})] = \frac{2}{21} (-2 \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k})$.
साथ ही,$a \cdot b = \left(\frac{-2}{3}\right) \left(\frac{-1}{7}\right) [(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \cdot (2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})] = \frac{2}{21} (-2) = \frac{-4}{21}$.
अंत में,$\frac{a \times b}{a \cdot b} = \frac{\frac{2}{21} (-2 \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k})}{\frac{-4}{21}} = \frac{2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}}{2}$.

(B) हमें दिया गया है,$\vec{AB} = p \hat{i} + q \hat{j} + r \hat{k}$,$\vec{AC} = s \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$,और $\vec{CB} = 3 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$.
चूँकि $\vec{CA} = -\vec{AC} = -s \hat{i} - 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$,$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{CA} \times \vec{CB}| = 5 \sqrt{6}$ है।
सदिश गुणनफल करने पर: $\vec{CA} \times \vec{CB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -s & -3 & -4 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 10 \hat{i} - (2s+12) \hat{j} + (9-s) \hat{k}$.
अतः,$\frac{1}{2} \sqrt{100 + (2s+12)^2 + (9-s)^2} = 5 \sqrt{6} \implies \sqrt{100 + 4s^2 + 144 + 48s + 81 - 18s + s^2} = 10 \sqrt{6}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $5s^2 + 30s + 325 = 600 \implies 5s^2 + 30s - 275 = 0 \implies s^2 + 6s - 55 = 0$.
गुणनखंड करने पर $(s+11)(s-5) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $s=5$.
त्रिभुज नियम $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}$ के अनुसार,$\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$.
$p \hat{i} + q \hat{j} + r \hat{k} = (s+3) \hat{i} + 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
$s=5$ रखने पर,$p = 8, q = 4, r = 2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$x = \hat{i} + \hat{j}$ और $y = 3\hat{i} - 2\hat{k}$।
शर्तें $r \times x = y \times x$ और $r \times y = x \times y$ हैं।
$r \times x = y \times x$ से,$(r - y) \times x = 0$,जिसका अर्थ है कि $(r - y)$,$x$ के समानांतर है।
अतः,$r - y = \lambda x$,या $r = y + \lambda x$।
सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $r = (3\hat{i} - 2\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j}) = (3 + \lambda)\hat{i} + \lambda\hat{j} - 2\hat{k}$।
परिमाण $|r| = \sqrt{21}$ दिया गया है,इसलिए $|r|^2 = 21$।
$(3 + \lambda)^2 + \lambda^2 + (-2)^2 = 21$।
$9 + 6\lambda + \lambda^2 + \lambda^2 + 4 = 21$।
$2\lambda^2 + 6\lambda + 13 = 21 \Rightarrow 2\lambda^2 + 6\lambda - 8 = 0$।
$2$ से विभाजित करने पर: $\lambda^2 + 3\lambda - 4 = 0$।
$(\lambda + 4)(\lambda - 1) = 0$,इसलिए $\lambda = 1$ या $\lambda = -4$।
$\lambda = 1$ के लिए,$r = (3 + 1)\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k} = 4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$।
दूसरी शर्त $r \times y = x \times y$ की जाँच करने पर: $(r - x) \times y = 0$,इसलिए $r - x$ को $y$ के समानांतर होना चाहिए।
$r = 4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ के लिए,$r - x = (4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j}) = 3\hat{i} - 2\hat{k} = y$। चूँकि $y$,$y$ के समानांतर है,यह सही है।

(A) दिया गया है $a = 4 \hat{i} + 3 \hat{j}$। चूँकि $a \cdot b = 0$ और $b$,$XOY$ समतल में है,$b$ का रूप $k(3 \hat{i} - 4 \hat{j})$ होगा। मान लीजिए $b = 3 \hat{i} - 4 \hat{j}$।
मान लीजिए $c = x \hat{i} + y \hat{j}$।
$a$ पर $c$ का प्रक्षेप $\frac{a \cdot c}{|a|} = 1 \implies \frac{4x + 3y}{5} = 1 \implies 4x + 3y = 5$ $(i)$।
$b$ पर $c$ का प्रक्षेप $\frac{b \cdot c}{|b|} = 2 \implies \frac{3x - 4y}{5} = 2 \implies 3x - 4y = 10$ (ii)।
समीकरण $(i)$ को $4$ से और (ii) को $3$ से गुणा करने पर: $16x + 12y = 20$ और $9x - 12y = 30$।
दोनों को जोड़ने पर,$25x = 50 \implies x = 2$।
$x = 2$ को $(i)$ में रखने पर: $4(2) + 3y = 5 \implies 8 + 3y = 5 \implies 3y = -3 \implies y = -1$।
अतः,$c = 2 \hat{i} - \hat{j}$।

(B) माना दो सदिश $\vec{a} = 2 \alpha^2 \hat{i} + 4 \alpha \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 7 \hat{i} - 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}$ हैं।
चूंकि सदिशों के बीच का कोण $\theta$ अधिक कोण है,इसलिए $\cos \theta < 0$ होगा।
हम जानते हैं कि $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$। चूंकि सदिशों के परिमाण $|\vec{a}|$ और $|\vec{b}|$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होते हैं,इसलिए $\cos \theta < 0$ की शर्त का अर्थ है कि अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ होगा।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2 \alpha^2)(7) + (4 \alpha)(-2) + (1)(\alpha) < 0$
$14 \alpha^2 - 8 \alpha + \alpha < 0$
$14 \alpha^2 - 7 \alpha < 0$
$7 \alpha (2 \alpha - 1) < 0$
इस असमिका को हल करने के लिए,हम क्रांतिक बिंदु $\alpha = 0$ और $\alpha = \frac{1}{2}$ प्राप्त करते हैं।
व्यंजक $7 \alpha (2 \alpha - 1)$ मूलों के बीच ऋणात्मक होता है।
अतः,$0 < \alpha < \frac{1}{2}$।

(D) माना सदिश $b=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$ है।
दिया है $a \cdot b = b_1+b_2+b_3 = 1$ $(i)$
साथ ही,$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (b_3-b_2) \hat{i} + (b_1-b_3) \hat{j} + (b_2-b_1) \hat{k}$.
दिया है $a \times b = \hat{j}-\hat{k}$,घटकों की तुलना करने पर:
$b_3-b_2 = 0 \Rightarrow b_2 = b_3$
$b_1-b_3 = 1 \Rightarrow b_1 = b_3+1$
$b_2-b_1 = -1 \Rightarrow b_2 = b_1-1$
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(b_3+1) + b_3 + b_3 = 1$
$3b_3 + 1 = 1 \Rightarrow 3b_3 = 0 \Rightarrow b_3 = 0$.
अतः,$b_2 = 0$ और $b_1 = 0+1 = 1$.
इसलिए,$b = 1 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k} = \hat{i}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) दिए गए समीकरण $p=a-2b$ और $q=2a+b$ हैं।
$a$ के लिए हल करने हेतु,दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करें: $2q=4a+2b$.
इसे पहले समीकरण में जोड़ने पर: $p+2q = (a-2b) + (4a+2b) = 5a$.
$5a = (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) + 2(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = 5\hat{i}+\hat{k}$.
अतः,$a = \hat{i} + \frac{1}{5}\hat{k}$.
$b$ के लिए हल करने हेतु,$q=2a+b$ में $a$ का मान रखें: $b = q-2a$.
$b = (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) - 2(\hat{i} + \frac{1}{5}\hat{k}) = -\hat{j} + \frac{3}{5}\hat{k}$.
अदिश गुणनफल $a \cdot b = (1)(0) + (0)(-1) + (\frac{1}{5})(\frac{3}{5}) = \frac{3}{25}$.
परिमाण $|a| = \sqrt{1^2 + (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{\frac{26}{25}} = \frac{\sqrt{26}}{5}$ और $|b| = \sqrt{(-1)^2 + (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{\frac{34}{25}} = \frac{\sqrt{34}}{5}$.
कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a||b|} = \frac{3/25}{(\sqrt{26}/5)(\sqrt{34}/5)} = \frac{3}{\sqrt{26 \times 34}} = \frac{3}{\sqrt{884}} = \frac{3}{2\sqrt{221}}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{2\sqrt{221}}\right)$.

(B) दिया गया है $a = \sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}$.
आसन्न भुजाओं $u$ और $v$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|u \times v|$ होता है।
$1$. प्रथम समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल: $|a \times \hat{i}| = |(\sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}) \times \hat{i}| = |-\cos^2 x \hat{k} + \hat{j}| = \sqrt{\cos^4 x + 1}$.
अतः,$|a \times \hat{i}|^2 = \cos^4 x + 1$.
$2$. द्वितीय समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल: $|a \times \hat{j}| = |(\sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}) \times \hat{j}| = |\sin^2 x \hat{k} - \hat{i}| = \sqrt{\sin^4 x + 1}$.
अतः,$|a \times \hat{j}|^2 = \sin^4 x + 1$.
$3$. तृतीय समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल: $|a \times \hat{k}| = |(\sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}) \times \hat{k}| = |-\sin^2 x \hat{j} + \cos^2 x \hat{i}| = \sqrt{\sin^4 x + \cos^4 x}$.
अतः,$|a \times \hat{k}|^2 = \sin^4 x + \cos^4 x$.
क्षेत्रफलों के वर्गों का योग $A = |a \times \hat{i}|^2 + |a \times \hat{j}|^2 + |a \times \hat{k}|^2 = (\cos^4 x + 1) + (\sin^4 x + 1) + (\sin^4 x + \cos^4 x) = 2 + 2(\sin^4 x + \cos^4 x)$.
$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = 2 + 2(1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)) = 4 - \sin^2(2x)$.
चूँकि $0 \leq \sin^2(2x) \leq 1$,इसलिए $3 \leq 4 - \sin^2(2x) \leq 4$.
अतः,$A \in [3, 4]$.

(C) बिंदुओं $P, Q, R$ के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{p} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$
$\vec{q} = b \hat{i} + c \hat{j} + a \hat{k}$
$\vec{r} = c \hat{i} + a \hat{j} + b \hat{k}$
हमें $\angle QPR$ ज्ञात करना है,जो सदिशों $\vec{PQ}$ और $\vec{PR}$ के बीच का कोण है।
$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (b-a) \hat{i} + (c-b) \hat{j} + (a-c) \hat{k}$
$\vec{PR} = \vec{r} - \vec{p} = (c-a) \hat{i} + (a-b) \hat{j} + (b-c) \hat{k}$
अदिश गुणनफल (dot product) $\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = (b-a)(c-a) + (c-b)(a-b) + (a-c)(b-c)$
$= (bc - ab - ac + a^2) + (ac - bc - ab + b^2) + (ab - ac - bc + c^2)$
$= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$
इनके परिमाण (magnitudes) इस प्रकार हैं:
$|\vec{PQ}|^2 = (b-a)^2 + (c-b)^2 + (a-c)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
$|\vec{PR}|^2 = (c-a)^2 + (a-b)^2 + (b-c)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
अतः,$\cos \theta = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{PR}}{|\vec{PQ}| |\vec{PR}|} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca}{2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)} = \frac{1}{2}$
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(D) दिया गया है: $|a|=6, |b|=8, |c|=10$.
साथ ही, $a \cdot (b+c) = 0$, $b \cdot (c+a) = 0$, और $c \cdot (a+b) = 0$.
इनका विस्तार करने पर:
$a \cdot b + a \cdot c = 0$ $(i)$
$b \cdot c + b \cdot a = 0$ (ii)
$c \cdot a + c \cdot b = 0$ (iii)
$(i)$, (ii), और (iii) को जोड़ने पर:
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0 \implies a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = 0$.
अब, $|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
मान रखने पर:
$|a+b+c|^2 = 6^2 + 8^2 + 10^2 + 2(0) = 36 + 64 + 100 = 200$.
अतः, $|a+b+c| = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2}$.

(C) दिया गया है,$a+b+\sqrt{3} c=0$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $a+b = -\sqrt{3} c$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर:
$(a+b) \cdot (a+b) = (-\sqrt{3} c) \cdot (-\sqrt{3} c)$।
बाएं पक्ष का विस्तार करने और दाएं पक्ष को सरल करने पर:
$|a|^2 + 2(a \cdot b) + |b|^2 = 3|c|^2$।
चूंकि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = |b| = |c| = 1$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$1^2 + 2(1)(1) \cos \theta + 1^2 = 3(1)^2$,जहां $\theta$ सदिश $a$ और $b$ के बीच का कोण है।
$1 + 2 \cos \theta + 1 = 3$।
$2 + 2 \cos \theta = 3$।
$2 \cos \theta = 1$।
$\cos \theta = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(C) दिया गया है कि,$|a|=1, |b|=2, |c|=3$.
चूंकि $b$ और $c$ लंबवत हैं,इसलिए $b \cdot c = 0$ है।
$a$ पर $b$ का प्रक्षेप $\frac{a \cdot b}{|a|}$ है और $a$ पर $c$ का प्रक्षेप $\frac{a \cdot c}{|a|}$ है।
चूंकि दोनों प्रक्षेप समान हैं,इसलिए $\frac{a \cdot b}{|a|} = \frac{a \cdot c}{|a|}$,जिसका अर्थ है कि $a \cdot b = a \cdot c$ है।
अब,$|a-b+c|^2$ की गणना करते हैं:
$|a-b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 - 2(a \cdot b) + 2(a \cdot c) - 2(b \cdot c)$.
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|a-b+c|^2 = (1)^2 + (2)^2 + (3)^2 - 2(a \cdot b) + 2(a \cdot b) - 2(0)$.
$|a-b+c|^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.
अतः,$|a-b+c| = \sqrt{14}$.

(C) दिया गया है,$|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3$ और $|\vec{c}|=4$.
हम जानते हैं कि $|\vec{x}-\vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$.
इसलिए,$|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2 = (|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2\vec{b} \cdot \vec{c}) + (|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2-2\vec{c} \cdot \vec{a})$.
$= 2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
हम जानते हैं कि $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2 \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$.
अतः,$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq -(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2)$.
इस मान को हमारे समीकरण में रखने पर:
$|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2 \leq 2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2) - (-(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2)) = 3(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2)$.
परिमाण रखने पर:
$|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2 \leq 3(2^2+3^2+4^2) = 3(4+9+16) = 3(29) = 87$.
अतः,सर्वोत्तम ऊपरी सीमा $87$ है।