Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(B) माना गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $u$ और सार्व अनुपात $z$ है।
अतः,$T_p = u z^{p-1} = a$,$T_q = u z^{q-1} = b$,और $T_r = u z^{r-1} = c$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\log a = \log u + (p-1) \log z$
$\log b = \log u + (q-1) \log z$
$\log c = \log u + (r-1) \log z$
माना $\vec{A} = (\log a^2) i + (\log b^2) j + (\log c^2) k = 2(\log a) i + 2(\log b) j + 2(\log c) k$.
माना $\vec{B} = (q-r) i + (r-p) j + (p-q) k$.
अदिश गुणनफल $\vec{A} \cdot \vec{B} = 2 [(\log a)(q-r) + (\log b)(r-p) + (\log c)(p-q)]$.
$\log a, \log b, \log c$ के मान रखने पर:
$(\log a)(q-r) + (\log b)(r-p) + (\log c)(p-q) = [\log u + (p-1)\log z](q-r) + [\log u + (q-1)\log z](r-p) + [\log u + (r-1)\log z](p-q)$.
$= \log u (q-r+r-p+p-q) + \log z [(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)]$.
$= \log u (0) + \log z [0] = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश परस्पर लंबवत हैं।
अतः,कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।

(D) दिया गया है,$\vec{AB} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{BC} = \hat{i} - 2\hat{k}$.
माना विकर्ण $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ हैं।
एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ और $\vec{BD} = \vec{BC} - \vec{AB}$ होते हैं।
$\vec{AC} = (3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) + (\hat{i} - 2\hat{k}) = 4\hat{i} - 2\hat{j}$.
$\vec{BD} = (\hat{i} - 2\hat{k}) - (3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
विकर्णों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{BD}|}{|\vec{AC}| |\vec{BD}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (4)(-2) + (-2)(2) + (0)(-4) = -8 - 4 = -12$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$|\vec{BD}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{|-12|}{(2\sqrt{5})(2\sqrt{6})} = \frac{12}{4\sqrt{30}} = \frac{3}{\sqrt{30}} = \sqrt{\frac{9}{30}} = \sqrt{\frac{3}{10}}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{10}}\right)$.
चूंकि यह मान विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(A) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) $0$ के बराबर हो।
दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} - 2x\hat{j} - 3y\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 3x\hat{j} + 2y\hat{k}$ हैं।
अदिश गुणनफल लेने पर: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-2x)(3x) + (-3y)(2y) = 0$।
इसे सरल करने पर $1 - 6x^2 - 6y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $6x^2 + 6y^2 = 1$ मिलता है,जिसका अर्थ है $x^2 + y^2 = \frac{1}{6}$।
यह मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्र और $\frac{1}{\sqrt{6}}$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण है।
अतः,बिंदु $(x, y)$ का बिंदुपथ एक वृत्त है।

(A) दो सदिशों $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कोण $\theta > 90^{\circ}$ है,इसलिए $\cos \theta < 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (\lambda)(\lambda) + (-7)(1) + (3)(2\lambda) = \lambda^2 - 7 + 6\lambda$.
अदिश गुणनफल को शून्य से कम रखने पर: $\lambda^2 + 6\lambda - 7 < 0$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(\lambda + 7)(\lambda - 1) < 0$.
इस असमिका को हल करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\lambda$ को $-7$ और $1$ के बीच होना चाहिए।
अतः,$-7 < \lambda < 1$.

(D) दिया गया है कि $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ है।
हम इसे $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{c}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=(-\overrightarrow{c})^2$ प्राप्त होता है।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,$|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})=|\overrightarrow{c}|^2$ मिलता है।
चूंकि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिशों $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण है,इसलिए $|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta=|\overrightarrow{c}|^2$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर $3^2+4^2+2(3)(4) \cos \theta = (\sqrt{37})^2$ प्राप्त होता है।
$9+16+24 \cos \theta = 37$.
$25+24 \cos \theta = 37$.
$24 \cos \theta = 37-25 = 12$.
$\cos \theta = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(B) सदिश $a$ का सदिश $b$ पर लंबवत प्रक्षेप,$b$ की दिशा में $a$ का घटक होता है।
$a$ का $b$ पर प्रक्षेप का सूत्र इस प्रकार है:
$\text{Proj}_{b} a = \left( \frac{a \cdot b}{|b|^2} \right) b$
यह एक ऐसा सदिश है जो $b$ के समानांतर है और जिसका परिमाण $a$ के $b$ पर अदिश प्रक्षेप के बराबर है।

(D) दिया गया है कि,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$.
सदिश गुणनफल और अदिश गुणनफल की परिभाषा का उपयोग करने पर:
$|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
दोनों पक्षों को $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b} \neq 0$ और $\cos \theta \neq 0$):
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1$.
$\tan \theta = 1$.
चूंकि $\theta$ दो सदिशों के बीच का कोण है,इसलिए $0 \leq \theta \leq \pi$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(D) माना $\vec{u} = 2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{v} = a \hat{i}+4 \hat{j}+b \hat{k}$.
दिया है $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{2}{3}$.
अदिश गुणनफल $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(a) + (-1)(4) + (2)(b) = 2a - 4 + 2b = 2(a+b-2)$.
परिमाण हैं $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$ और $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + 4^2 + b^2} = \sqrt{a^2+b^2+16}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{2}{3} = \frac{2(a+b-2)}{3 \sqrt{a^2+b^2+16}}$.
सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{a^2+b^2+16} = a+b-2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $a^2+b^2+16 = (a+b-2)^2 = (a+b)^2 - 4(a+b) + 4$.
$a^2+b^2+16 = a^2+b^2+2ab - 4a - 4b + 4$.
$16 = 2ab - 4a - 4b + 4$.
$12 = 2ab - 4(a+b)$.
$6 = ab - 2(a+b)$.
$ab = 2(a+b) + 6 = 2(a+b+3)$.
अतः,$2(a+b+3) = ab$.

(B) सदिशों $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ आधार निर्धारित करते हैं,इसलिए आधार का क्षेत्रफल $|\bar{a} \times \bar{b}|$ होगा।
समांतर षट्फलक का आयतन = आधार का क्षेत्रफल $\times$ ऊँचाई।
अतः,ऊँचाई = $\frac{\text{आयतन}}{\text{आधार का क्षेत्रफल}} = \frac{|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|}{|\bar{a} \times \bar{b}|}$.

(D) दिया है: $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=2 \hat{j}-3 \hat{k}$।
चूंकि $\vec{a} \parallel \vec{c}$,हम $\vec{c} = k \vec{a}$ लिख सकते हैं।
$\vec{b} = \vec{c} - \vec{d}$ से,$\vec{d} = \vec{c} - \vec{b} = k \vec{a} - \vec{b}$ प्राप्त होता है।
$\vec{a} \perp \vec{d}$ होने के कारण,उनका अदिश गुणनफल शून्य है: $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$।
$\vec{a} \cdot (k \vec{a} - \vec{b}) = 0 \Rightarrow k |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
$|\vec{a}|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 1^2 = 6$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(0) + (-1)(2) + (1)(-3) = -5$।
मान रखने पर: $k(6) - (-5) = 0 \Rightarrow 6k = -5 \Rightarrow k = -\frac{5}{6}$।
अतः,$\vec{c} = -\frac{5}{6} \vec{a}$ और $\vec{d} = -\frac{5}{6} \vec{a} - \vec{b}$।
अंत में,$\vec{c} + \vec{d} = -\frac{5}{6} \vec{a} - \frac{5}{6} \vec{a} - \vec{b} = -\frac{10}{6} \vec{a} - \vec{b} = -\frac{5}{3} \vec{a} - \vec{b} = -\frac{1}{3}(5 \vec{a} + 3 \vec{b})$।

(C) का $b$ पर लंब प्रक्षेप $x = \frac{a \cdot b}{|b|^2} b$ द्वारा दिया जाता है।
$b$ का $a$ पर लंब प्रक्षेप $y = \frac{a \cdot b}{|a|^2} a$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $a = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ और $b = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$।
अदिश गुणनफल की गणना करें: $a \cdot b = (1)(2) + (2)(-1) + (-2)(-2) = 2 - 2 + 4 = 4$।
परिमाण के वर्ग की गणना करें: $|a|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$ और $|b|^2 = 2^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9$।
अतः,$x - y = \frac{a \cdot b}{|b|^2} b - \frac{a \cdot b}{|a|^2} a = \frac{4}{9} b - \frac{4}{9} a = \frac{4}{9} (b - a)$।
$b - a = (2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) = \hat{i} - 3\hat{j}$ की गणना करें।
इसलिए $x - y = \frac{4}{9} (\hat{i} - 3\hat{j})$।
अंत में,$|x - y| = \frac{4}{9} \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \frac{4}{9} \sqrt{1 + 9} = \frac{4}{9} \sqrt{10}$।

(B) दिया गया है कि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं जिनका परिमाण $K$ है,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{b} \cdot \bar{c} = \bar{c} \cdot \bar{a} = 0$ और $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = K$,जिसका अर्थ है $\bar{a} \cdot \bar{a} = \bar{b} \cdot \bar{b} = \bar{c} \cdot \bar{c} = K^2$।
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $\bar{u} \times (\bar{v} \times \bar{w}) = (\bar{u} \cdot \bar{w})\bar{v} - (\bar{u} \cdot \bar{v})\bar{w}$ का उपयोग करते हुए,दिया गया समीकरण इस प्रकार बनता है:
$(\bar{a} \cdot \bar{a})(\bar{r}-\bar{b}) - (\bar{a} \cdot (\bar{r}-\bar{b}))\bar{a} + (\bar{b} \cdot \bar{b})(\bar{r}-\bar{c}) - (\bar{b} \cdot (\bar{r}-\bar{c}))\bar{b} + (\bar{c} \cdot \bar{c})(\bar{r}-\bar{a}) - (\bar{c} \cdot (\bar{r}-\bar{a}))\bar{c} = \bar{0}$।
डॉट गुणनफल के मान रखने पर:
$K^2(\bar{r}-\bar{b}) - (\bar{a} \cdot \bar{r})\bar{a} + K^2(\bar{r}-\bar{c}) - (\bar{b} \cdot \bar{r})\bar{b} + K^2(\bar{r}-\bar{a}) - (\bar{c} \cdot \bar{r})\bar{c} = \bar{0}$।
$3K^2\bar{r} - K^2(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) - ((\bar{a} \cdot \bar{r})\bar{a} + (\bar{b} \cdot \bar{r})\bar{b} + (\bar{c} \cdot \bar{r})\bar{c}) = \bar{0}$।
चूंकि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ लंबवत हैं,किसी भी सदिश $\bar{r}$ को $\bar{r} = \frac{\bar{a} \cdot \bar{r}}{K^2}\bar{a} + \frac{\bar{b} \cdot \bar{r}}{K^2}\bar{b} + \frac{\bar{c} \cdot \bar{r}}{K^2}\bar{c}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$(\bar{a} \cdot \bar{r})\bar{a} + (\bar{b} \cdot \bar{r})\bar{b} + (\bar{c} \cdot \bar{r})\bar{c} = K^2\bar{r}$।
यह मान रखने पर:
$3K^2\bar{r} - K^2(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) - K^2\bar{r} = \bar{0}$।
$2K^2\bar{r} = K^2(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c})$।
$\bar{r} = \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{2}$।

(B) दिया गया है,$\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें:
$\vec{b} \cdot \vec{b} = (2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6$।
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(3) + (-1)(4) + (-1)(-5) = 6 - 4 + 5 = 7$।
सदिश त्रिक गुणनफल के सूत्र $\vec{b} \times(\vec{a} \times \vec{b})=(\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{a}-(\vec{b} \cdot \vec{a}) \vec{b}$ का उपयोग करते हुए:
$\vec{b} \times(\vec{a} \times \vec{b}) = 6 \vec{a} - 7 \vec{b}$।
इसे हम $\frac{\vec{a} - (7/6) \vec{b}}{1/6}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिए गए व्यंजक $\frac{\vec{a}-k \vec{b}}{l}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 7/6$ और $l = 1/6$ प्राप्त होता है।
अब,$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$ ज्ञात करें।
अंत में,$\frac{k}{l|\vec{b}|} = \frac{7/6}{(1/6) \times \sqrt{6}} = \frac{7}{\sqrt{6}}$।
यह मान $\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर अदिश प्रक्षेप दर्शाता है,जो $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{7}{\sqrt{6}}$ है।

(C) सदिश $\bar{a}$ के लंबवत $\bar{b}$ का घटक $\bar{b} - \text{proj}_{\bar{a}} \bar{b} = \bar{b} - \left( \frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|^2} \right) \bar{a}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\bar{b} \cdot \bar{a} = (1)(1) + (\sqrt{11})(\sqrt{11}) + (-10)(-2) = 1 + 11 + 20 = 32$ की गणना करें।
इसके बाद,परिमाण का वर्ग $|\bar{a}|^2 = (1)^2 + (\sqrt{11})^2 + (-2)^2 = 1 + 11 + 4 = 16$ की गणना करें।
अब,प्रक्षेप ज्ञात करें: $\frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|^2} \bar{a} = \frac{32}{16} \bar{a} = 2 \bar{a} = 2(\bar{i} + \sqrt{11} \bar{j} - 2 \bar{k}) = 2 \bar{i} + 2\sqrt{11} \bar{j} - 4 \bar{k}$।
अंत में,लंबवत घटक $\bar{b} - 2 \bar{a} = (\bar{i} + \sqrt{11} \bar{j} - 10 \bar{k}) - (2 \bar{i} + 2\sqrt{11} \bar{j} - 4 \bar{k}) = -\bar{i} - \sqrt{11} \bar{j} - 6 \bar{k} = -(\bar{i} + \sqrt{11} \bar{j} + 6 \bar{k})$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) मान लीजिए $\bar{r} = x\bar{i} + y\bar{j} + z\bar{k}$.
दिए गए अदिश गुणनफल:
$x + 2y + 3z = 0$ $(1)$
$2x - 3y + z = -2$ $(2)$
$3x + y - 2z = 6$ $(3)$
इन रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने पर:
$(1)$ से,$x = -2y - 3z$.
$(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2(-2y - 3z) - 3y + z = -2 \implies -7y - 5z = -2 \implies 7y + 5z = 2$ $(4)$
$(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3(-2y - 3z) + y - 2z = 6 \implies -5y - 11z = 6$ $(5)$
$(4)$ को $5$ से और $(5)$ को $7$ से गुणा करने पर: $35y + 25z = 10$ और $-35y - 77z = 42$.
जोड़ने पर: $-52z = 52 \implies z = -1$.
$z = -1$ को $(4)$ में रखने पर: $7y - 5 = 2 \implies 7y = 7 \implies y = 1$.
$y = 1, z = -1$ को $(1)$ में रखने पर: $x + 2(1) + 3(-1) = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.
अतः,$\bar{r} = \bar{i} + \bar{j} - \bar{k}$.
अंत में,$\bar{r} \cdot (3\bar{i} + \bar{j} + \bar{k}) = (1)(3) + (1)(1) + (-1)(1) = 3 + 1 - 1 = 3$.

(B) दिया गया है कि $|\bar{a}| = |\bar{b}| = \sqrt{6}$ और $\bar{a} \cdot \bar{b} = -1$ है।
हम जानते हैं कि $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos(\theta)$ होता है।
मान रखने पर: $-1 = (\sqrt{6})(\sqrt{6}) \cos(\theta) = 6 \cos(\theta)$।
अतः,$\cos(\theta) = -\frac{1}{6}$।
चूंकि $\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)$,इसलिए $\sin^2(\theta) = 1 - (-\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$।
इस प्रकार,$\sin(\theta) = \frac{\sqrt{35}}{6}$।
अब,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(\theta) = (\sqrt{6})(\sqrt{6}) \sin(\theta) = 6 \sin(\theta)$।
इसलिए,$|\bar{a} \times \bar{b}| \sin(\theta) = 6 \sin(\theta) \cdot \sin(\theta) = 6 \sin^2(\theta) = 6 \times \frac{35}{36} = \frac{35}{6}$।

(A) मान लीजिए कि शीर्ष $A, B, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{0}, \vec{b}, \vec{d}$ हैं। तब $C$ का स्थिति सदिश $\vec{b} + \vec{d}$ है।
चूंकि $P$,$AD$ को $3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = \frac{3\vec{d} + 1\vec{0}}{3+1} = \frac{3}{4}\vec{d}$ है।
मान लीजिए कि $Q$,$BP$ को $k:1$ के अनुपात में और $AC$ को $m:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$BP$ पर $Q$ का स्थिति सदिश $\vec{q} = \frac{k\vec{p} + 1\vec{b}}{k+1} = \frac{k(\frac{3}{4}\vec{d}) + \vec{b}}{k+1} = \frac{1}{k+1}\vec{b} + \frac{3k}{4(k+1)}\vec{d}$ है।
$AC$ पर $Q$ का स्थिति सदिश $\vec{q} = \frac{m\vec{c} + 1\vec{a}}{m+1} = \frac{m(\vec{b} + \vec{d})}{m+1} = \frac{m}{m+1}\vec{b} + \frac{m}{m+1}\vec{d}$ है।
$\vec{b}$ और $\vec{d}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{k+1} = \frac{m}{m+1}$ और $\frac{3k}{4(k+1)} = \frac{m}{m+1}$.
अतः,$\frac{1}{k+1} = \frac{3k}{4(k+1)} \Rightarrow 4 = 3k \Rightarrow k = \frac{4}{3}$.
$k = \frac{4}{3}$ को $\frac{m}{m+1} = \frac{1}{k+1} = \frac{1}{4/3 + 1} = \frac{1}{7/3} = \frac{3}{7}$ में रखने पर.
$7m = 3m + 3 \Rightarrow 4m = 3 \Rightarrow m = \frac{3}{4}$.
इसलिए,$AQ:QC = m:1 = \frac{3}{4}:1 = 3:4$.

(D) मान लीजिए $\vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$.
चूंकि $\vec{a}$ उस समतल में स्थित है जिसमें $\vec{b}$ और $\vec{c}$ हैं,इसलिए $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ समतलीय हैं। अतः,$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$.
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 3\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$.
अतः,$(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (3\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}) = 0 \Rightarrow 3a_1 + a_2 - 5a_3 = 0 \dots (i)$.
चूंकि $\vec{a}$ सदिश $\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ के लंबवत है,इसलिए $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) = 0 \Rightarrow a_1 + a_2 + 3a_3 = 0 \dots (ii)$.
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $3\sqrt{6}$ है,इसलिए $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = 3\sqrt{6}$.
$\frac{a_1 + 2a_2 + a_3}{\sqrt{6}} = 3\sqrt{6} \Rightarrow a_1 + 2a_2 + a_3 = 18 \dots (iii)$.
समीकरणों $(i), (ii),$ और $(iii)$ को हल करने पर:
$a_1 = -8, a_2 = 14, a_3 = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{a} = -8\hat{i} + 14\hat{j} - 2\hat{k}$.
$|\vec{a}|^2 = (-8)^2 + 14^2 + (-2)^2 = 64 + 196 + 4 = 264$.

(B) सदिश $\overrightarrow{AB} = B - A = (4-3, 4-4, 4-0) = (1, 0, 4)$ है।
सदिश $\overrightarrow{CD} = D - C = (1 - (-6), 1 - 2, 2 - 3) = (7, -1, -1)$ है।
उनका अदिश गुणनफल $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (1)(7) + (0)(-1) + (4)(-1) = 7 + 0 - 4 = 3$ है।
$\overrightarrow{AB}$ का परिमाण $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 0 + 16} = \sqrt{17}$ है।
$\overrightarrow{CD}$ का परिमाण $|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{7^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1 + 1} = \sqrt{51}$ है।
चूंकि $\sqrt{51} = \sqrt{17 \times 3} = \sqrt{17} \sqrt{3}$,इसलिए $|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{17} \sqrt{3}$ है।
कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|} = \frac{3}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17} \sqrt{3}} = \frac{3}{17 \sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(A) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को बिंदु $M$ पर समद्विभाजित करते हैं।
$M$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $M = \left(\frac{3+7}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (5, 3, 4)$.
चूंकि $M$,$BD$ का भी मध्य-बिंदु है,मान लीजिए $D = (x, y, z)$ है। तब $\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}, \frac{z+6}{2}\right) = (5, 3, 4)$.
$x, y, z$ के लिए हल करने पर: $x+1=10 \Rightarrow x=9$; $y+4=6 \Rightarrow y=2$; $z+6=8 \Rightarrow z=2$. अतः,$D = (9, 2, 2)$.
सदिश $\vec{DC} = (7-9, 4-2, 5-2) = (-2, 2, 3)$ है। दिक अनुपात $a_1 = -2, b_1 = 2, c_1 = 3$ हैं।
सदिश $\vec{DB} = (1-9, 4-2, 6-2) = (-8, 2, 4)$ है। दिक अनुपात $a_2 = -8, b_2 = 2, c_2 = 4$ हैं।
$\vec{DC}$ और $\vec{DB}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = \frac{|(-2)(-8) + (2)(2) + (3)(4)|}{\sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 3^2} \sqrt{(-8)^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{|16 + 4 + 12|}{\sqrt{4+4+9} \sqrt{64+4+16}} = \frac{32}{\sqrt{17} \sqrt{84}} = \frac{32}{\sqrt{17} \cdot 2\sqrt{21}} = \frac{16}{\sqrt{357}}$.
इसलिए,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{16}{\sqrt{357}}\right)$।

(C) दिए गए स्थिति सदिश हैं:
$A = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$
$B = 2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$
$C = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$
सबसे पहले,सदिश $\overrightarrow{AC}$ और $\overrightarrow{AB}$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) = 0\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
अब,क्रॉस प्रोडक्ट $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+3) - \hat{j}(0-1) + \hat{k}(0+1) = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
क्रॉस प्रोडक्ट का परिमाण $|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ है।
$\overrightarrow{AB}$ का परिमाण $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$ है।
रेखा $AB$ से बिंदु $C$ की लंबवत दूरी का सूत्र $d = \frac{|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|}$ है।
$d = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{11}} = \sqrt{\frac{6}{11}}$.

(A) माना $a = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ है। चूँकि $a$ एक इकाई सदिश है,$|a|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$ है।
अब,$a \times \hat{i} = (a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \times \hat{i} = -a_2 \hat{k} + a_3 \hat{j}$ है।
अतः,$|a \times \hat{i}|^2 = a_2^2 + a_3^2$ है।
इसी प्रकार,$|a \times \hat{j}|^2 = a_1^2 + a_3^2$ और $|a \times \hat{k}|^2 = a_1^2 + a_2^2$ है।
इनका योग करने पर,$|a \times \hat{i}|^2 + |a \times \hat{j}|^2 + |a \times \hat{k}|^2 = (a_2^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_2^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$ है,इसलिए योग $2(1) = 2$ है।

(D) चूंकि सदिश $r$,$a$ और $b$ के समतल में स्थित है,इसे $r = a + tb$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$r = (i + 2j + k) + t(i - j + k) = (1 + t)i + (2 - t)j + (1 + t)k$.
दिया गया है कि $r$ का $c$ पर प्रक्षेप $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए हम सूत्र $\frac{r \cdot c}{|c|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$|c| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ की गणना करें।
अब,अदिश गुणनफल $r \cdot c = ((1 + t)i + (2 - t)j + (1 + t)k) \cdot (i + j - k) = (1 + t) + (2 - t) - (1 + t) = 2 - t$.
इन मानों को प्रक्षेप सूत्र में रखने पर: $\frac{2 - t}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इसका अर्थ है $2 - t = 1$,जिससे $t = 1$ प्राप्त होता है।
$t = 1$ को $r$ के समीकरण में रखने पर: $r = (1 + 1)i + (2 - 1)j + (1 + 1)k = 2i + j + 2k$.

(B) माना रेखा की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \cos \alpha \hat{i} + \cos \alpha \hat{j} + \cos \alpha \hat{k}$ है।
चूंकि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,इसलिए $3 \cos^2 \alpha = 1$,जिसका अर्थ है $\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,रेखा की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।
सदिश $\vec{a} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ का रेखा पर प्रक्षेप,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \hat{u}$ का परिमाण है।
$|\vec{a} \cdot \hat{u}| = |(4\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})|$
$= |\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(4 - 3 + 2)|$
$= |\pm \frac{3}{\sqrt{3}}| = \sqrt{3}$.

(B) सबसे पहले,हम सदिशों $2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$ और $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ की गणना करते हैं।
$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} = 2(-\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) - (-2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}) = (-2\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}) + (2\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}) = \hat{j}+\hat{k}$.
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = (-\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) + (2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}+\hat{k}$.
मान लीजिए कि $\theta$ इन दो सदिशों के बीच का कोण है। कोण का कोसाइन $\cos \theta = \frac{(\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i}+\hat{k})}{|\hat{j}+\hat{k}| |\hat{i}+\hat{k}|}$ द्वारा दिया जाता है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर: $(\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i}+\hat{k}) = (0)(1) + (1)(0) + (1)(1) = 1$.
परिमाण (magnitudes) की गणना करने पर: $|\hat{j}+\hat{k}| = \sqrt{0^2+1^2+1^2} = \sqrt{2}$ और $|\hat{i}+\hat{k}| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(B) अभिकथन $(A)$ के लिए: रेखाएँ $\bar{r}=\bar{a}+t\bar{b}$ और $\bar{r}=\bar{b}+s\bar{a}$ हैं। ये रेखाएँ क्रमशः $\bar{a}$ और $\bar{b}$ स्थिति सदिश वाले बिंदुओं से गुजरती हैं और $\bar{b}$ और $\bar{a}$ सदिशों के समांतर हैं। चूँकि दोनों रेखाएँ $\bar{a}+\bar{b}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु से गुजरती हैं (पहले में $t=1$ और दूसरे में $s=1$ रखने पर),वे प्रतिच्छेद करती हैं। अतः,$(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ के लिए: दो विषम रेखाओं $\bar{r}=\bar{p}+t\bar{q}$ और $\bar{r}=\bar{c}+s\bar{d}$ के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \frac{|(\bar{p}-\bar{c}) \cdot (\bar{q} \times \bar{d})|}{|\bar{q} \times \bar{d}|}$ है। यह वास्तव में सदिश $(\bar{p}-\bar{c})$ का सदिश $(\bar{q} \times \bar{d})$ पर प्रक्षेप की लंबाई है। अतः,$(R)$ सत्य है।
हालाँकि,$(A)$ में रेखाओं का प्रतिच्छेदन इन रेखाओं का एक विशिष्ट गुण है,जबकि $(R)$ विषम रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी का एक सामान्य सूत्र प्रदान करता है। इसलिए,$(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या नहीं है।
सही विकल्प $(B)$ है।

(D) सबसे पहले,हम सदिशों $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$ को ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = B - A = (3-1, 4-(-1), -2-2) = (2, 5, -4)$
$\overrightarrow{CD} = D - C = (3-0, 5-3, 6-2) = (3, 2, 4)$
मान लीजिए कि $\theta$ सदिशों $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$ के बीच का कोण है। कोण का कोज्या (cosine) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|}$
डॉट प्रोडक्ट की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (2)(3) + (5)(2) + (-4)(4) = 6 + 10 - 16 = 0$
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए सदिश लंबवत हैं।
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 90^{\circ}$।

(D) दी गई दो विषम तलीय रेखाएं $r = b + ta$ और $r = d + sc$ हैं।
दो विषम तलीय रेखाओं $r = a_1 + \lambda b_1$ और $r = a_2 + \mu b_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \left| \frac{(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)}{|b_1 \times b_2|} \right|$ है।
यहाँ,$a_1 = b$,$b_1 = a$,$a_2 = d$,और $b_2 = c$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,न्यूनतम दूरी $\left| \frac{(d - b) \cdot (a \times c)}{|a \times c|} \right|$ प्राप्त होती है।
चूंकि $|x| = |-x|$,यह $\left| \frac{(b - d) \cdot (a \times c)}{|a \times c|} \right|$ के बराबर है।
यह व्यंजक सदिश $(b - d)$ का सदिश $(a \times c)$ पर लंबवत प्रक्षेप का परिमाण दर्शाता है।

(A) मूल बिंदु $O(0,0,0)$ के सापेक्ष बिंदुओं $P$ और $Q$ के स्थिति सदिश $\vec{OP} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{OQ} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ हैं।
कोण $\theta = \angle POQ$ ज्ञात करने के लिए,हम अदिश गुणन (dot product) सूत्र का उपयोग करते हैं: $\cos \theta = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|}$.
सबसे पहले,अदिश गुणन की गणना करें:
$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (0)(4) + (1)(-2) + (2)(1) = 0 - 2 + 2 = 0$.
चूंकि अदिश गुणन $0$ है,इसलिए सदिश $\vec{OP}$ और $\vec{OQ}$ एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(A) मान लीजिए बिंदु $A(2, 1, 1)$,$B(1, -1, 1)$,और $C(-1, 1, -1)$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{AB} \times \vec{AC}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{AB} = (1-2)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (1-1)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j}$.
$\vec{AC} = (-1-2)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = -3\hat{i} - 2\hat{k}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-0) - \hat{j}(2-0) + \hat{k}(0-6) = 4\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$.
$2$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n}' = 2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ प्राप्त होता है।
समतल के लंबवत इकाई सदिश $e = \pm \frac{2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-3)^2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{14}}(2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k})$.
दिया गया है $a = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$,$e$ पर $a$ का प्रक्षेप सदिश $(a \cdot e)e$ है।
$a \cdot e = \pm \frac{1}{\sqrt{14}}(2(2) + (-3)(-1) + 6(-3)) = \pm \frac{1}{\sqrt{14}}(4 + 3 - 18) = \mp \frac{11}{\sqrt{14}}$.
प्रक्षेप सदिश $= (a \cdot e)e = \left(\mp \frac{11}{\sqrt{14}}\right) \left(\pm \frac{1}{\sqrt{14}}(2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k})\right) = -\frac{11}{14}(2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) = \frac{11}{14}(-2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k})$.

(A) $a, b, c$ स्थिति सदिश वाले तीन असंरेख बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण $r = (1 - x - y)a + xb + yc$ है।
यदि चार बिंदु $a, b, c, d$ समतलीय हैं,तो $d$ को $a, b, c$ के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए ताकि गुणांकों का योग $1$ हो।
दिए गए समीकरण $2a - 3b + 7c - 6d = 0$ को $6d = 2a - 3b + 7c$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका अर्थ है $d = \frac{2}{6}a - \frac{3}{6}b + \frac{7}{6}c = \frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b + \frac{7}{6}c$।
गुणांकों का योग $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{7}{6} = \frac{2 - 3 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$ है।
चूंकि गुणांकों का योग $1$ है,इसलिए बिंदु $d$,$a, b, c$ द्वारा निर्मित समतल में स्थित है।
अतः,$(A)$ सत्य है,$(R)$ सत्य है,और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) समीकरण $|\vec{r}-\vec{a}| - |\vec{r}-\vec{b}| = c$ अतिपरवलय की परिभाषा को दर्शाता है जहाँ $A$ और $B$ नाभियाँ हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = |\vec{a}-\vec{b}|$ है।
शीर्षों के बीच की दूरी (अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई) $2a = c$ है।
इसलिए,उत्केंद्रता $e = \frac{\text{नाभियों के बीच की दूरी}}{\text{शीर्षों के बीच की दूरी}} = \frac{|\vec{a}-\vec{b}|}{c}$।

(B) दिया गया है कि $\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}$,$\vec{\gamma}$ के साथ संरेख है,अतः एक अदिश $k_{1}$ का अस्तित्व है जिससे $\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}=k_{1} \vec{\gamma}$.
इसका अर्थ है $\vec{\beta}=\frac{k_{1}}{3} \vec{\gamma}-\frac{1}{3} \vec{\alpha}$.
साथ ही,$\vec{\beta}+2 \vec{\gamma}$,$\vec{\alpha}$ के साथ संरेख है,अतः एक अदिश $k_{2}$ का अस्तित्व है जिससे $\vec{\beta}+2 \vec{\gamma}=k_{2} \vec{\alpha}$.
इसका अर्थ है $\vec{\beta}=k_{2} \vec{\alpha}-2 \vec{\gamma}$.
$\vec{\beta}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{k_{1}}{3} \vec{\gamma}-\frac{1}{3} \vec{\alpha}=k_{2} \vec{\alpha}-2 \vec{\gamma}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\vec{\alpha}(k_{2}+\frac{1}{3})=\vec{\gamma}(\frac{k_{1}}{3}+2)$.
चूंकि $\vec{\alpha}$ और $\vec{\gamma}$ असंरेख हैं,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए: $k_{2}+\frac{1}{3}=0 \Rightarrow k_{2}=-\frac{1}{3}$ और $\frac{k_{1}}{3}+2=0 \Rightarrow k_{1}=-6$.
पहले समीकरण में $k_{1}=-6$ रखने पर,हमें मिलता है $\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}=-6 \vec{\gamma}$.
अतः,$\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}+6 \vec{\gamma}=\overrightarrow{0}$.

(C) दिया गया समीकरण $a(\vec{\alpha} \times \vec{\beta}) + b(\vec{\beta} \times \vec{\gamma}) + c(\vec{\gamma} \times \vec{\alpha}) = \overrightarrow{0}$ है।
मान लीजिए $\vec{u} = \vec{\alpha} \times \vec{\beta}$,$\vec{v} = \vec{\beta} \times \vec{\gamma}$,और $\vec{w} = \vec{\gamma} \times \vec{\alpha}$ है।
अतः समीकरण $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} = \overrightarrow{0}$ हो जाता है।
चूंकि $a, b, c$ अशून्य अदिश हैं,सदिश $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ रैखिक रूप से आश्रित हैं,जिसका अर्थ है कि वे समतलीय हैं।
किन्हीं तीन सदिशों $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ के लिए,उनके सदिश गुणनफल $\vec{\alpha} \times \vec{\beta}$,$\vec{\beta} \times \vec{\gamma}$,और $\vec{\gamma} \times \vec{\alpha}$ तभी समतलीय होते हैं यदि $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ स्वयं समतलीय हों।
इसलिए,सदिश $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ समतलीय हैं।

(B) माना $ZOX$ समतल में इकाई सदिश $\vec{r} = x \hat{i} + z \hat{k}$ है।
चूंकि यह एक इकाई सदिश है,$|\vec{r}|^2 = x^2 + z^2 = 1$ होगा।
दिया है $\vec{\alpha} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$,इसलिए $|\vec{\alpha}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ है।
$\vec{r}$ और $\vec{\alpha}$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\vec{r} \cdot \vec{\alpha} = |\vec{r}| |\vec{\alpha}| \cos 45^{\circ}$ होगा।
$(x \hat{i} + z \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) = 1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow 2x - z = \frac{3}{\sqrt{2}}$।
दिया है $\vec{\beta} = \hat{j} - \hat{k}$,इसलिए $|\vec{\beta}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
$\vec{r}$ और $\vec{\beta}$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\vec{r} \cdot \vec{\beta} = |\vec{r}| |\vec{\beta}| \cos 60^{\circ}$ होगा।
$(x \hat{i} + z \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} + 1 \hat{j} - 1 \hat{k}) = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow -z = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow z = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
$z$ का मान $2x - z = \frac{3}{\sqrt{2}}$ में रखने पर,$2x - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3}{\sqrt{2}} \Rightarrow 2x = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\vec{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$|a+b| < |a-b|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|a+b|^2 < |a-b|^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|x|^2 = x \cdot x$ का उपयोग करने पर,$(a+b) \cdot (a+b) < (a-b) \cdot (a-b)$ प्राप्त होता है।
डॉट गुणन का विस्तार करने पर,$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) < |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $|a|^2 + |b|^2$ घटाने पर,$2(a \cdot b) < -2(a \cdot b)$ प्राप्त होता है।
यह $4(a \cdot b) < 0$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $a \cdot b < 0$।
चूंकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta < 0$ और $|a|, |b| > 0$,इसलिए $\cos \theta < 0$ होना चाहिए।
अतः,$a$ और $b$ के बीच का कोण $\theta$ एक अधिक कोण है।

(D) मान लीजिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = k$ है।
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = k^2 \cos \alpha$,$\vec{b} \cdot \vec{c} = k^2 \cos \beta$,और $\vec{c} \cdot \vec{a} = k^2 \cos \gamma$ है।
सदिशों के योग का परिमाण लीजिए: $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 \geq 0$।
इसका विस्तार करने पर: $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \geq 0$।
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$।
मान रखने पर: $3k^2 + 2k^2(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) \geq 0$।
$2k^2$ से भाग देने पर (चूंकि $k > 0$): $\frac{3}{2} + (\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) \geq 0$।
अतः,$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \geq -\frac{3}{2}$।