$(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a}+7 \vec{b})$ નો ગુણાકાર શોધો.

જો સદિશો $\hat{i}-2x\hat{j}-3y\hat{k}$ અને $\hat{i}+3x\hat{j}+2y\hat{k}$ એકબીજાને લંબ હોય,તો બિંદુ $(x, y)$ નો બિંદુપથ શું છે?

ધારો કે $u, v$ અને $w$ ત્રણ સદિશો છે જેથી $u+v+w=0$,$|u|=3$,$|v|=5$ અને $|w|=7$ થાય. તો $u$ અને $v$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો. ($^{\circ}$ માં)

જો $a \cdot \hat{i} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ હોય,તો $a$ બરાબર શું થાય?

ત્રણ સદિશો $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $|\overrightarrow{a}|=2, |\overrightarrow{b}|=3$ અને $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$ છે. જો $\alpha \in [0, \frac{\pi}{3}]$ એ સદિશો $\overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $27|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}, \bar{d}$ એવા સદિશો છે કે જેથી $\bar{a} \times \bar{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\bar{c} \times \bar{d} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ થાય. જો $\begin{vmatrix} \bar{a} \cdot \bar{c} & \bar{b} \cdot \bar{c} \\ \bar{a} \cdot \bar{d} & \bar{b} \cdot \bar{d} \end{vmatrix} = 0$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.