જો $a = 4i + 6j$ અને $b = 3j + 4k$ હોય,તો $b$ ની દિશામાં $a$ નો ઘટક શોધો.

ધારો કે સદિશ $\overrightarrow{a}=\sqrt{2}\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k}$,$\lambda>0$,એ સદિશ $\overrightarrow{b}=-\lambda^{2}\hat{i}+4\sqrt{2}\hat{j}+4\sqrt{2}\hat{k}$ સાથે ગુરુકોણ બનાવે છે અને ધન $z$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,જ્યાં $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2}$ છે. જો $\lambda$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો ગણ $(\alpha, \beta)-\{\gamma\}$ હોય,તો $\alpha+\beta+\gamma$ ની કિંમત . . . . . . . થાય.

જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો હોય કે જેથી $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ થાય,તો $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ ની કિંમત શોધો.

$6$ ના મૂલ્યનું એક બળ સદિશ $(9, 6, -2)$ ની દિશામાં કાર્ય કરે છે અને બિંદુ $A(4, -1, -7)$ માંથી પસાર થાય છે. બિંદુ $O(1, -3, 2)$ ની સાપેક્ષે આ બળની ચાકમાત્રા (moment) શોધો.

$ABC$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\max \{AB, BC, AC\} = BC$ છે. જો $B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ અને $5\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$ હોય,તો $AB \cdot AC + BA \cdot BC + CA \cdot CB$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $p$ અને $q$ એ $O$ ની સાપેક્ષમાં $P$ અને $Q$ ના સ્થાન સદિશો છે અને $|p| = p, |q| = q.$ બિંદુઓ $R$ અને $S$ એ $PQ$ નું અનુક્રમે $2 : 3$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન અને બહિર્વિભાજન કરે છે. જો $\overrightarrow{OR}$ અને $\overrightarrow{OS}$ પરસ્પર લંબ હોય,તો: