Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Hindi

(B) माना दो रेखाओं के दिक-अनुपात $\vec{a} = (3, 0, 2)$ और $\vec{b} = (0, 2, k)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,के बीच के कोण $\theta$ के लिए सूत्र $|\cos \theta| = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $|\cos \theta| = \frac{|(3)(0) + (0)(2) + (2)(k)|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 2^2} \sqrt{0^2 + 2^2 + k^2}} = \frac{|2k|}{\sqrt{13} \sqrt{4 + k^2}}$.
दिया गया है कि $|\cos \theta| = \frac{6}{13}$,इसलिए $\frac{6}{13} = \frac{|2k|}{\sqrt{13} \sqrt{4 + k^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{36}{169} = \frac{4k^2}{13(4 + k^2)}$.
सरल करने पर: $\frac{9}{13} = \frac{k^2}{4 + k^2}$.
$9(4 + k^2) = 13k^2 \Rightarrow 36 + 9k^2 = 13k^2 \Rightarrow 4k^2 = 36 \Rightarrow k^2 = 9$.
अतः,$k = \pm 3$.

(A) बिंदु $B$ का स्थिति सदिश $\vec{b} = 3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है।
चूंकि बिंदु $A$,$B$ से गुजरने वाली और $\vec{v} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ के समांतर रेखा पर स्थित है,इसलिए सदिश $\overrightarrow{B A}$ को $\overrightarrow{B A} = t \vec{v} = t(2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $t$ एक अदिश है।
दिया गया है कि $|\overrightarrow{B A}| = 18$,इसलिए $|t| \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = 18$.
$|t| \sqrt{4 + 1 + 4} = 18 \Rightarrow |t| \sqrt{9} = 18 \Rightarrow 3|t| = 18 \Rightarrow |t| = 6$.
अतः,$t = 6$ या $t = -6$.
$A$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = \vec{b} + \overrightarrow{B A} = (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + t(2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$ है।
$t = 6$ के लिए: $\vec{a} = (3 + 12) \hat{i} + (1 - 6) \hat{j} + (-1 + 12) \hat{k} = 15 \hat{i} - 5 \hat{j} + 11 \hat{k}$.
$t = -6$ के लिए: $\vec{a} = (3 - 12) \hat{i} + (1 + 6) \hat{j} + (-1 - 12) \hat{k} = -9 \hat{i} + 7 \hat{j} - 13 \hat{k}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही स्थिति सदिश $-9 \hat{i} + 7 \hat{j} - 13 \hat{k}$ है।

(B) माना सदिश $a = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ है।
चूंकि सदिश $v = 19 \hat{i} + 22 \hat{j} + 5 \hat{k}$,$a$ और $b = 6 \hat{i} + 8 \hat{j}$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए यह उनके इकाई सदिशों के योग के समानुपाती होना चाहिए:
$\lambda \left( \frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} \right) = v$
यहाँ $|b| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$,इसलिए $\frac{b}{|b|} = \frac{6 \hat{i} + 8 \hat{j}}{10} = \frac{3}{5} \hat{i} + \frac{4}{5} \hat{j}$ है।
अतः,$\frac{a}{|a|} = \frac{19 \hat{i} + 22 \hat{j} + 5 \hat{k}}{\lambda} - (\frac{3}{5} \hat{i} + \frac{4}{5} \hat{j}) = (\frac{19}{\lambda} - \frac{3}{5}) \hat{i} + (\frac{22}{\lambda} - \frac{4}{5}) \hat{j} + \frac{5}{\lambda} \hat{k}$ है।
चूंकि $\frac{a}{|a|}$ एक इकाई सदिश है,इसका परिमाण $1$ होगा:
$(\frac{19}{\lambda} - \frac{3}{5})^2 + (\frac{22}{\lambda} - \frac{4}{5})^2 + (\frac{5}{\lambda})^2 = 1$.
इसका विस्तार करने पर: $\frac{361}{\lambda^2} - \frac{114}{5\lambda} + \frac{9}{25} + \frac{484}{\lambda^2} - \frac{176}{5\lambda} + \frac{16}{25} + \frac{25}{\lambda^2} = 1$.
$\frac{870}{\lambda^2} - \frac{290}{5\lambda} + 1 = 1 \Rightarrow \frac{870}{\lambda^2} = \frac{58}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{870}{58} = 15$.
$\lambda = 15$ रखने पर,$\frac{a}{|a|} = (\frac{19}{15} - \frac{9}{15}) \hat{i} + (\frac{22}{15} - \frac{12}{15}) \hat{j} + \frac{5}{15} \hat{k} = \frac{10}{15} \hat{i} + \frac{10}{15} \hat{j} + \frac{5}{15} \hat{k} = \frac{1}{3}(2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})$ है।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(C) दिए गए सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\vec{b}=-2 \hat{i}+5 \hat{j}-3 \hat{k}$ हैं।
सदिशों का योग $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} = (2-2) \hat{i} + (-2+5) \hat{j} + (5-3) \hat{k} = 0 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k} = 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ है।
चूंकि परिणामी सदिश $\vec{s}$ का $\hat{i}$ घटक $0$ है,इसलिए यह सदिश $YZ$-समतल में स्थित है।
जो सदिश किसी समतल में स्थित होता है,वह उस समतल के समांतर होता है।
अतः,यह सदिश $YZ$-समतल के समांतर है।

(D) यदि बिंदु $P = xa + yb + zc$ असंरेख बिंदुओं $a, b$ और $c$ वाले समतल में स्थित है,तो गुणांकों का योग $1$ होना चाहिए।
यहाँ,$x = k, y = 2, z = 3$ है।
अतः,$k + 2 + 3 = 1$.
$k + 5 = 1$.
$k = 1 - 5 = -4$.

(C) मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
दिया गया है कि उनका योग एक इकाई सदिश है,अर्थात $|\vec{a} + \vec{b}| = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ का उपयोग करने पर,$1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$ मिलता है।
इसे सरल करने पर $2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -1$ है।
अब,हमें उनके अंतर का परिमाण $|\vec{a} - \vec{b}|$ ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ होता है।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1 + 1 - (-1) = 1 + 1 + 1 = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ इकाई है।

(A) माना इकाई सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}$ है। चूँकि यह एक इकाई सदिश है,$x^2 + y^2 = 1$।
दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - 4\hat{j}$।
$\vec{r}$ और $\vec{a}$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\vec{r} \cdot \vec{a} = |\vec{r}||\vec{a}| \cos 45^{\circ} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$।
अतः,$x + y = 1 \implies y = 1 - x$।
$\vec{r}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\vec{r} \cdot \vec{b} = |\vec{r}||\vec{b}| \cos 60^{\circ} = 1 \cdot \sqrt{3^2 + (-4)^2} \cdot \frac{1}{2} = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$।
अतः,$3x - 4y = \frac{5}{2} \implies 6x - 8y = 5$।
दूसरे समीकरण में $y = 1 - x$ प्रतिस्थापित करने पर: $6x - 8(1 - x) = 5 \implies 6x - 8 + 8x = 5 \implies 14x = 13 \implies x = \frac{13}{14}$।
तब $y = 1 - \frac{13}{14} = \frac{1}{14}$।
अतः,इकाई सदिश $\frac{13}{14}\hat{i} + \frac{1}{14}\hat{j}$ है।

(B) दिया गया है कि $O$ मूलबिंदु है,$\vec{OP} = \vec{a}$ और $\vec{OQ} = \vec{b}$।
चूंकि $R$,$\vec{OP}$ पर स्थित है और $\vec{OP} = 5\vec{OR}$ है,इसलिए $\vec{OR} = \frac{1}{5}\vec{OP} = \frac{1}{5}\vec{a}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\vec{OQ} = 5\vec{RM}$,इसलिए $\vec{RM} = \frac{1}{5}\vec{OQ} = \frac{1}{5}\vec{b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{RM} = \vec{OM} - \vec{OR}$,हम लिख सकते हैं कि $\vec{OM} = \vec{RM} + \vec{OR} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{a}$।
अब,$\vec{PM} = \vec{OM} - \vec{OP} = (\frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) - \vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{a} - \frac{5}{5}\vec{a} = \frac{1}{5}(\vec{b} - 4\vec{a})$।

(B) दिया गया है कि $O$ मूल बिंदु है,$\vec{OP} = \vec{a}$ और $\vec{OQ} = \vec{b}$ है।
चूंकि $\vec{OP} = 5\vec{OR}$,इसलिए $\vec{OR} = \frac{1}{5}\vec{a}$ होगा।
दिया गया है $\vec{OQ} = 5\vec{RM}$,इसलिए $\vec{RM} = \frac{1}{5}\vec{b}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\vec{RM} = \vec{OM} - \vec{OR}$,इसलिए $\vec{OM} = \vec{OR} + \vec{RM}$ होगा।
मान रखने पर,$\vec{OM} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$ प्राप्त होता है।
अब,$\vec{PM} = \vec{OM} - \vec{OP} = (\frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) - \vec{a}$ होगा।
$\vec{PM} = \frac{1}{5}\vec{b} + (\frac{1}{5} - 1)\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} - \frac{4}{5}\vec{a} = \frac{1}{5}(\vec{b} - 4\vec{a})$।