समतलों vec{r} cdot(hat{i}+hat{j}+hat{k})=1 और | vedclass

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Question

(A) दिए गए समतल $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-1=0$ और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})+4=0$ हैं।इन समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरन

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$y-3z+6=0$

Vedclass · Answer

(A) दिए गए समतल $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-1=0$ और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})+4=0$ हैं।इन समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण:$[\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-1] + \lambda[\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})+4] = 0$पदों को व्यवस्थित करने पर:$\vec{r} \cdot[(1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1-\lambda)\hat{k}] + (4\lambda-1) = 0$  ..........$(1)$इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1-\lambda)\hat{k}$ है।चूंकि समतल $x$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसका अभिलंब $x$-अक्ष के लंबवत होगा। $x$-अक्ष की दिशा $\hat{i} = (1, 0, 0)$ है।अतः,$\vec{n} \cdot \hat{i} = 0$:$(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(0) + (1-\lambda)(0) = 0$$1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.$\lambda = -\frac{1}{2}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:$\vec{r} \cdot[0\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{3}{2}\hat{k}] - 3 = 0$$-2$ से गुणा करने पर:$\vec{r} \cdot[\hat{j} - 3\hat{k}] + 6 = 0$.कार्तीय रूप में,जहाँ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$,यह समीकरण $y - 3z + 6 = 0$ हो जाता है।

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