यदि बिंदु (1, 1, p) और (-3, 0, 1) समतल vec{r} | vedclass

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Question

(A) समतल $\vec{r} \cdot \vec{n} + d = 0$ से बिंदु $\vec{a}$ की लंबवत दूरी $D = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n} + d|}{|\vec{n}|}$ द्वारा दी जाती है।दिए गए

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$1, \frac{7}{3}$

Vedclass · Answer

(A) समतल $\vec{r} \cdot \vec{n} + d = 0$ से बिंदु $\vec{a}$ की लंबवत दूरी $D = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n} + d|}{|\vec{n}|}$ द्वारा दी जाती है।दिए गए समतल $\vec{r} \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 12 \hat{k}) + 13 = 0$ के लिए,$\vec{n} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 12 \hat{k}$ और $d = 13$ है।$|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.बिंदु $(1, 1, p)$ से समतल की दूरी $D_1$ है:$D_1 = \frac{|(1)(3) + (1)(4) + (p)(-12) + 13|}{13} = \frac{|3 + 4 - 12p + 13|}{13} = \frac{|20 - 12p|}{13}$.बिंदु $(-3, 0, 1)$ से समतल की दूरी $D_2$ है:$D_2 = \frac{|(-3)(3) + (0)(4) + (1)(-12) + 13|}{13} = \frac{|-9 + 0 - 12 + 13|}{13} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$.चूंकि बिंदु समान दूरी पर हैं,$D_1 = D_2$:$\frac{|20 - 12p|}{13} = \frac{8}{13} \implies |20 - 12p| = 8$.स्थिति $1$: $20 - 12p = 8 \implies 12p = 12 \implies p = 1$.स्थिति $2$: $20 - 12p = -8 \implies 12p = 28 \implies p = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$.अतः,$p$ के मान $1$ और $\frac{7}{3}$ हैं।

यदि बिंदु $(1, 1, p)$ और $(-3, 0, 1)$ समतल $\vec{r} \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 12 \hat{k}) + 13 = 0$ से समान दूरी पर हैं,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

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