જેનો સ્થાન સદિશ $(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$ હોય તેવા બિંદુનું સમતલ $\vec{r} \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k})=9$ થી અંતર શોધો.

ધારો કે $A$ એ $\bar{i}-3 \bar{j}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતું બિંદુ છે અને $\bar{r}=(\bar{i}-3 \bar{j})+t(\bar{j}-2 \bar{k})$ એ એક રેખા છે. જો $P$ એ આ રેખા પરનું બિંદુ હોય અને તે સમતલ $\bar{r} \cdot(2 \bar{i}+3 \bar{j}+5 \bar{k})=0$ થી ન્યૂનતમ અંતરે હોય,તો $P$ માંથી પસાર થતા અને $AP$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ શોધો:

$R^3$ માં,સમતલો $P_1: y=0$ અને $P_2: x+z=1$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $P_3$ એ એક સમતલ છે,જે $P_1$ અને $P_2$ થી અલગ છે અને તેમના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. જો બિંદુ $(0,1,0)$ નું $P_3$ થી અંતર $1$ હોય અને બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ નું $P_3$ થી અંતર $2$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયા સંબંધો સાચા છે?
$(A)$ $2\alpha+\beta+2\gamma+2=0$
$(B)$ $2\alpha-\beta+2\gamma+4=0$
$(C)$ $2\alpha+\beta-2\gamma-10=0$
$(D)$ $2\alpha-\beta+2\gamma-8=0$

સમતલો $x - y + z - 5 = 0$ અને $x - 3y - 6 = 0$ ના છેદથી બનતી રેખાના દિકગુણોત્તરો શોધો:

ધારો કે $P(x_1, y_1, z_1)$ એ બિંદુ $Q(2, -2, 1)$ માંથી સમતલ $x - 2y + z = 1$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. જો $d$ એ બિંદુ $Q$ થી સમતલનું લંબ અંતર હોય અને $l = x_1 + y_1 + z_1$ હોય,તો $l + 3d^2$ ની કિંમત શોધો.

જો રેખા $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{2}$ અને સમતલ $2x - y + \sqrt{\lambda} z + 4 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય અને $\sin \theta = \frac{1}{3}$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.