Multiplication Theorem on Probability Questions in Hindi

(A) माना घटना $E_1$ लॉकडाउन होने की घटना है और $E_2$ लॉकडाउन न होने की घटना है। माना $A$ वह घटना है जिसमें महामारी एक महीने में नियंत्रित हो जाती है।
दी गई प्रायिकताएं हैं:
$P(E_1) = 0.7$
$P(E_2) = 1 - 0.7 = 0.3$
$P(A \mid E_1) = 0.8$
$P(A \mid E_2) = 0.3$
संपूर्ण प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(A) = P(E_1) \times P(A \mid E_1) + P(E_2) \times P(A \mid E_2)$
$P(A) = (0.7 \times 0.8) + (0.3 \times 0.3)$
$P(A) = 0.56 + 0.09 = 0.65$
अतः,महामारी के एक महीने में नियंत्रित होने की प्रायिकता $0.65$ है।

(D) मान लीजिए $P(B_1)$ और $P(B_2)$ क्रमशः थैली $B_1$ और थैली $B_2$ चुनने की प्रायिकताएं हैं। चूंकि थैली यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है,इसलिए $P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $W$ सफेद गेंद निकालने की घटना है।
थैली $B_1$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W|B_1) = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
थैली $B_2$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W|B_2) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(W) = P(B_1) \times P(W|B_1) + P(B_2) \times P(W|B_2)$
$P(W) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{7}$
$P(W) = \frac{1}{3} + \frac{3}{14} = \frac{14+9}{42} = \frac{23}{42}$.

(B) कुल गेंदों की संख्या $= 10$ है।
लाल गेंदों की संख्या $= 6$ है।
बिना प्रतिस्थापन के एक के बाद एक $3$ गेंदें निकाली जाती हैं।
पहली लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R_1) = \frac{6}{10}$ है।
दूसरी लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R_2|R_1) = \frac{5}{9}$ है।
तीसरी लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R_3|R_1 \cap R_2) = \frac{4}{8}$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(R_1 \cap R_2 \cap R_3) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}$ है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.44 = 0.3 + x - (0.3 \cdot x)$.
$0.44 - 0.3 = x - 0.3x$.
$0.14 = 0.7x$.
$x = \frac{0.14}{0.7} = 0.2$.

(B) माना $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः थैले $A, B, C$ चुनने की घटनाएँ हैं। चूँकि थैला यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
माना $B$ काली गेंद निकालने की घटना है।
थैले $A$ से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|E_1) = \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$ है।
थैले $B$ से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|E_2) = \frac{2}{4+2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
थैले $C$ से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|E_3) = \frac{2}{3+2} = \frac{2}{5}$ है।
संपूर्ण प्रायिकता के नियम के अनुसार,$P(B) = P(E_1)P(B|E_1) + P(E_2)P(B|E_2) + P(E_3)P(B|E_3)$ है।
$P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5}$ है।
$P(B) = \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{2}{15} = \frac{9 + 5 + 6}{45} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$।

(C) मान लीजिए $B_1$ पहली टोकरी है और $B_2$ दूसरी टोकरी है।
$B_1$ में,कुल फल = $5 + 7 = 12$ हैं।
$B_1$ से सेब चुनने की प्रायिकता,$P(A_1) = \frac{5}{12}$ है।
$B_1$ से संतरा चुनने की प्रायिकता,$P(O_1) = \frac{7}{12}$ है।
$B_2$ में,कुल फल = $4 + 8 = 12$ हैं।
$B_2$ से सेब चुनने की प्रायिकता,$P(A_2) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ है।
$B_2$ से संतरा चुनने की प्रायिकता,$P(O_2) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ है।
हमें एक सेब और एक संतरा चाहिए। यह दो परस्पर अनन्य तरीकों से हो सकता है:
$1$. $B_1$ से सेब और $B_2$ से संतरा: $P(A_1) \times P(O_2) = \frac{5}{12} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{36}$।
$2$. $B_1$ से संतरा और $B_2$ से सेब: $P(O_1) \times P(A_2) = \frac{7}{12} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{36}$।
कुल प्रायिकता = $\frac{10}{36} + \frac{7}{36} = \frac{17}{36}$।

(D) घटना $A_i$ के घटित न होने की प्रायिकता $P(\bar{A}_i) = 1 - P(A_i)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $P(A_i) = \frac{1}{1+i}$,इसलिए $P(\bar{A}_i) = 1 - \frac{1}{1+i} = \frac{1+i-1}{1+i} = \frac{i}{1+i}$।
चूंकि $A_i$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए प्रायिकता कि कोई भी $A_i$ घटित न हो,उनके पूरक की प्रायिकताओं का गुणनफल है:
$P(\text{कोई भी } A_i \text{ घटित न हो}) = P(\bar{A}_1 \cap \bar{A}_2 \cap \ldots \cap \bar{A}_n) = P(\bar{A}_1) \cdot P(\bar{A}_2) \cdot \ldots \cdot P(\bar{A}_n)$।
मान रखने पर:
$= \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{3}{4}\right) \cdot \ldots \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग गुणनफल है जहाँ प्रत्येक पद का अंश पिछले पद के हर के साथ कट जाता है:
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1}$।

(D) एक लाल गेंद दो परस्पर अपवर्जी तरीकों से निकाली जा सकती है।
$(i)$ थैला $I$ चुनना और फिर उसमें से लाल गेंद निकालना।
(ii) थैला $II$ चुनना और फिर उसमें से लाल गेंद निकालना।
मान लीजिए $E_1$,$E_2$ और $A$ निम्नलिखित घटनाएँ हैं:
$E_1 = \text{थैला } I \text{ चुनना}$
$E_2 = \text{थैला } II \text{ चुनना}$
चूँकि दो थैलों में से एक को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए:
$P(E_1) = \frac{1}{2}$ और $P(E_2) = \frac{1}{2}$
अब,$P(A|E_1) = \text{पहला थैला चुने जाने पर लाल गेंद निकालने की प्रायिकता} = \frac{4}{7}$
$P(A|E_2) = \text{दूसरा थैला चुने जाने पर लाल गेंद निकालने की प्रायिकता} = \frac{2}{5}$
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(A) = P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)$
$P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{5}$
$P(A) = \frac{2}{7} + \frac{1}{5} = \frac{10 + 7}{35} = \frac{17}{35}$

(A) मान लीजिए $U_1$ पहले कलश को चुनने की घटना है और $U_2$ दूसरे कलश को चुनने की घटना है। चूँकि कलशों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(U_1) = P(U_2) = \frac{1}{2}$ है।
कलश $1$ में $3$ हरे और $2$ काली गेंदें हैं,इसलिए गेंदों की कुल संख्या $5$ है। कलश $1$ से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|U_1) = \frac{2}{5}$ है।
कलश $2$ में $2$ हरे और $5$ काली गेंदें हैं,इसलिए गेंदों की कुल संख्या $7$ है। कलश $2$ से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|U_2) = \frac{5}{7}$ है।
संपूर्ण प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B)$ इस प्रकार है:
$P(B) = P(U_1) \times P(B|U_1) + P(U_2) \times P(B|U_2)$
$P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{7}$
$P(B) = \frac{1}{5} + \frac{5}{14}$
$P(B) = \frac{14 + 25}{70} = \frac{39}{70}$

(C) मान लीजिए $E_1$ थैली $X$ चुनने की घटना है और $E_2$ थैली $Y$ चुनने की घटना है। चूंकि एक थैली यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $W$ एक सफेद गेंद निकालने की घटना है।
थैली $X$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W|E_1) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ है।
थैली $Y$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W|E_2) = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W) = P(E_1) \cdot P(W|E_1) + P(E_2) \cdot P(W|E_2)$ है।
$P(W) = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}$.

(A) थैले $B$ में $4$ सफेद गेंदें और $2$ काली गेंदें हैं। थैले $B$ में कुल गेंदें $= 4 + 2 = 6$ हैं।
थैले $B$ से $1$ सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
दूसरे थैले $C$ में $3$ सफेद गेंदें और $5$ काली गेंदें हैं। थैले $C$ में कुल गेंदें $= 3 + 5 = 8$ हैं।
थैले $C$ से $1$ सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P_2 = \frac{3}{8}$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता $P = P_1 \times P_2 = \frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ है।

(D) माना $B$ छात्र के लड़का होने की घटना है और $G$ छात्र के लड़की होने की घटना है। माना $T$ छात्र के $1.6 \ m$ से अधिक लंबा होने की घटना है।
दिया गया है: $P(G) = 0.60$,इसलिए $P(B) = 1 - 0.60 = 0.40$.
लड़के के $1.6 \ m$ से अधिक लंबा होने की प्रायिकता: $P(T|B) = 5 \% = 0.05 = \frac{5}{100}$.
लड़की के $1.6 \ m$ से अधिक लंबी होने की प्रायिकता: $P(T|G) = 2 \% = 0.02 = \frac{2}{100}$.
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(T) = P(B) \cdot P(T|B) + P(G) \cdot P(T|G)$
$P(T) = 0.40 \cdot 0.05 + 0.60 \cdot 0.02$
$P(T) = 0.020 + 0.012 = 0.032$
$P(T) = \frac{32}{1000} = \frac{4}{125}$.

(C) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः थैली $A$,थैली $B$ और थैली $C$ चुनने की घटनाएँ हैं। चूंकि थैली यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
मान लीजिए $B$ काली गेंद निकालने की घटना है।
थैली $A$ से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|E_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
थैली $B$ से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|E_2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
थैली $C$ से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|E_3) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(B) = P(E_1)P(B|E_1) + P(E_2)P(B|E_2) + P(E_3)P(B|E_3)$
$P(B) = \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}\right)$
$P(B) = \frac{1}{9} + \frac{1}{6} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(B) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है और इक्कों की संख्या $4$ है।
जब पहला पत्ता निकाला जाता है,तो इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता $P(A_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
चूंकि पत्ता बिना प्रतिस्थापन के निकाला गया है,इसलिए अब गड्डी में $51$ पत्ते बचे हैं,जिनमें से $3$ इक्के हैं।
पहला पत्ता इक्का होने की स्थिति में दूसरे पत्ते के इक्का होने की प्रायिकता $P(A_2|A_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ है।
दोनों पत्तों के इक्के होने की प्रायिकता $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2|A_1)$ है।
$P(A_1 \cap A_2) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$.

(B) मान लीजिए $U_A, U_B,$ और $U_C$ क्रमशः पात्र $A, B,$ और $C$ चुनने की घटनाएं हैं। चूंकि पात्र को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(U_A) = P(U_B) = P(U_C) = \frac{1}{3}$.
मान लीजिए $W$ सफेद गेंद निकालने की घटना है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकताएं इस प्रकार हैं:
$P(W|U_A) = \frac{6}{6+2} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
$P(W|U_B) = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$
$P(W|U_C) = \frac{4}{4+4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(W) = P(U_A)P(W|U_A) + P(U_B)P(W|U_B) + P(U_C)P(W|U_C)$
$P(W) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{8} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$
$P(W) = \frac{1}{3} \times (\frac{6}{8} + \frac{5}{8} + \frac{4}{8}) = \frac{1}{3} \times \frac{15}{8} = \frac{5}{8}$.

(C) कुल पत्तों की संख्या $52$ है। एक गड्डी में $4$ राजा और $4$ इक्के होते हैं।
चरण $1$: पहला पत्ता राजा होने की प्रायिकता = $4/52 = 1/13$.
चरण $2$: दूसरा पत्ता राजा होने की प्रायिकता (बिना प्रतिस्थापन के) = $3/51 = 1/17$.
चरण $3$: तीसरा पत्ता इक्का होने की प्रायिकता (बिना प्रतिस्थापन के) = $4/50 = 2/25$.
कुल प्रायिकता = $(4/52) \times (3/51) \times (4/50) = (1/13) \times (1/17) \times (2/25) = 2 / 5525$.