એક ઉત્પાદક બાઇકના બે મોડેલ બનાવે છે: મોડેલ $X$ અને મોડેલ $Y$. મોડેલ $X$ ને બનાવવા માટે પ્રતિ એકમ $6$ માનવ-કલાક લાગે છે,જ્યારે મોડેલ $Y$ ને પ્રતિ એકમ $10$ માનવ-કલાક લાગે છે. અઠવાડિયામાં કુલ $450$ માનવ-કલાક ઉપલબ્ધ છે. મોડેલ $X$ અને $Y$ માટે હેન્ડલિંગ અને માર્કેટિંગ ખર્ચ અનુક્રમે $Rs. 2000$ અને $Rs. 1000$ પ્રતિ એકમ છે. આ હેતુઓ માટે ઉપલબ્ધ કુલ ભંડોળ અઠવાડિયાના $Rs. 80,000$ છે. મોડેલ $X$ અને $Y$ માટે પ્રતિ એકમ નફો અનુક્રમે $Rs. 1000$ અને $Rs. 500$ છે. મહત્તમ નફો મેળવવા માટે ઉત્પાદકે દરેક મોડેલની કેટલી બાઇક બનાવવી જોઈએ? મહત્તમ નફો શોધો.

(A) ધારો કે ઉત્પાદક $x$ નંગ મોડેલ $X$ અને $y$ નંગ મોડેલ $Y$ બાઇક બનાવે છે.
મોડેલ $X$ માટે $6$ માનવ-કલાક અને મોડેલ $Y$ માટે $10$ માનવ-કલાક પ્રતિ એકમ લાગે છે. અઠવાડિયામાં કુલ $450$ માનવ-કલાક ઉપલબ્ધ છે.
$\therefore 6x + 10y \leq 450 \Rightarrow 3x + 5y \leq 225$
હેન્ડલિંગ અને માર્કેટિંગ ખર્ચ અનુક્રમે $Rs. 2000$ અને $Rs. 1000$ પ્રતિ એકમ છે,અને કુલ ભંડોળ $Rs. 80,000$ પ્રતિ અઠવાડિયું છે.
$\therefore 2000x + 1000y \leq 80000 \Rightarrow 2x + y \leq 80$
વધુમાં,$x \geq 0, y \geq 0$.
આપણે નફાનું વિધેય $Z = 1000x + 500y$ ને નીચેની શરતોને આધીન મહત્તમ બનાવવાનું છે:
$3x + 5y \leq 225$
$2x + y \leq 80$
$x \geq 0, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $(0,0), (40,0), (25,30),$ અને $(0,45)$ દ્વારા નક્કી થાય છે.

શિરોબિંદુઓ	$Z = 1000x + 500y$ ની કિંમત
$(0,0)$	$0$
$(40,0)$	$1000(40) + 500(0) = 40000$
$(25,30)$	$1000(25) + 500(30) = 25000 + 15000 = 40000$
$(0,45)$	$1000(0) + 500(45) = 22500$

મહત્તમ નફો $Rs. 40,000$ છે. આ કિંમત $(40,0)$ અને $(25,30)$ ને જોડતા રેખાખંડ પરના કોઈપણ બિંદુએ મળે છે. આમ,ઉત્પાદક મહત્તમ નફો મેળવવા માટે $40$ નંગ મોડેલ $X$ અને $0$ નંગ મોડેલ $Y$,અથવા $25$ નંગ મોડેલ $X$ અને $30$ નંગ મોડેલ $Y$ બનાવી શકે છે.