यदि {({tan ^{ - 1}}x)^2} + {({cot ^{ - 1}}x)^ | vedclass

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Question

(A) हमें समीकरण दिया गया है: ${({	an ^{ - 1}}x)^2} + {({\cot ^{ - 1}}x)^2} = \frac{{5{\pi ^2}}}{8}$.सर्वसमिका ${	an ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}x = \f

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$-1$

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(A) हमें समीकरण दिया गया है: ${({	an ^{ - 1}}x)^2} + {({\cot ^{ - 1}}x)^2} = \frac{{5{\pi ^2}}}{8}$.सर्वसमिका ${	an ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि ${\cot ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2} - {	an ^{ - 1}}x$.इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:${({	an ^{ - 1}}x)^2} + {(\frac{\pi }{2} - {	an ^{ - 1}}x)^2} = \frac{{5{\pi ^2}}}{8}$.माना $u = {	an ^{ - 1}}x$. तब समीकरण इस प्रकार होगा:$u^2 + (\frac{\pi }{2} - u)^2 = \frac{{5{\pi ^2}}}{8}$.वर्ग का विस्तार करने पर:$u^2 + \frac{{{\pi ^2}}}{4} - \pi u + u^2 = \frac{{5{\pi ^2}}}{8}$.$2u^2 - \pi u + \frac{{{\pi ^2}}}{4} - \frac{{5{\pi ^2}}}{8} = 0$.$2u^2 - \pi u - \frac{{3{\pi ^2}}}{8} = 0$.हर को हटाने के लिए $8$ से गुणा करने पर:$16u^2 - 8\pi u - 3{\pi ^2} = 0$.द्विघात सूत्र $u = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$ का उपयोग करके $u$ के लिए हल करने पर:$u = \frac{{8\pi \pm \sqrt {{{( - 8\pi )}^2} - 4(16)( - 3{\pi ^2})} }}{{32}} = \frac{{8\pi \pm \sqrt {64{\pi ^2} + 192{\pi ^2}} }}{{32}} = \frac{{8\pi \pm \sqrt {256{\pi ^2}} }}{{32}} = \frac{{8\pi \pm 16\pi }}{{32}}$.अतः,$u = \frac{{24\pi }}{{32}} = \frac{{3\pi }}{4}$ या $u = \frac{{ - 8\pi }}{{32}} = - \frac{\pi }{4}$.चूंकि ${	an ^{ - 1}}x$ का परिसर $(-\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2})$ है,इसलिए हमें $u = - \frac{\pi }{4}$ लेना होगा।अतः,${	an ^{ - 1}}x = - \frac{\pi }{4} \Rightarrow x = 	an( - \frac{\pi }{4}) = - 1$.

यदि ${({\tan ^{ - 1}}x)^2} + {({\cot ^{ - 1}}x)^2} = \frac{{5{\pi ^2}}}{8}$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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