$\sin \left\{ {{\sin }^{ - 1}}\frac{1}{2} + {{\cos }^{ - 1}}\frac{1}{2} \right\} = $

सिद्ध कीजिए कि $\tan ^{-1} \sqrt{x} = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$,जहाँ $x \in [0, 1]$ है।

मान लीजिए $0 < \alpha < 1$,$\beta = \frac{1}{3\alpha}$,और $\tan^{-1}(1 - \alpha) + \tan^{-1}(1 - \beta) = \frac{\pi}{4}$ है। तो $6(\alpha + \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए:

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के केवल मुख्य मानों को ध्यान में रखते हुए,$\tan \left(\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)-2 \cos ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\right)$ का मान है

सिद्ध कीजिए कि $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x$,जहाँ $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$.

यदि $\tan ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{z}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$ है,तो $x y+y z+z x=$