एक बैंक में,मूलधन 5 % प्रति वर्ष की दर से निर | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि किसी समय $t$ पर मूलधन $P$ है। दी गई समस्या के अनुसार,वृद्धि की दर $\frac{dP}{dt} = \frac{5}{100} P = \frac{P}{20}$ है।चरों को अलग करन

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$t = 20 \log_e 2$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए कि किसी समय $t$ पर मूलधन $P$ है। दी गई समस्या के अनुसार,वृद्धि की दर $\frac{dP}{dt} = \frac{5}{100} P = \frac{P}{20}$ है।चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dP}{P} = \frac{dt}{20}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dP}{P} = \int \frac{dt}{20}$,जिससे $\log_e P = \frac{t}{20} + C_1$ प्राप्त होता है।इसका अर्थ है $P = e^{\frac{t}{20} + C_1} = C e^{\frac{t}{20}}$,जहाँ $C = e^{C_1}$ है।$t = 0$ पर,$P = 1000$ है। इन मानों को रखने पर,$1000 = C e^0$,अतः $C = 1000$ है।इस प्रकार,समीकरण $P = 1000 e^{\frac{t}{20}}$ है।वह समय $t$ ज्ञात करने के लिए जब मूलधन दोगुना हो जाता है,हम $P = 2000$ रखते हैं:$2000 = 1000 e^{\frac{t}{20}}$$2 = e^{\frac{t}{20}}$दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log_e 2 = \frac{t}{20}$ प्राप्त होता है।अतः,$t = 20 \log_e 2$ वर्ष।

एक बैंक में,मूलधन $5 \%$ प्रति वर्ष की दर से निरंतर बढ़ता है। कितने वर्षों में $1000$ रुपये दोगुने हो जाएंगे?

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