m in N के कितने मानों के लिए y = e^{mx},अवकल | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $D^3y - 3D^2y - 4Dy + 12y = 0$ है। $y = e^{mx}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Dy = me^{mx}$,$D^2y = m^2e^{mx}$,और $D^3y = m^3e^{

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $D^3y - 3D^2y - 4Dy + 12y = 0$ है। $y = e^{mx}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Dy = me^{mx}$,$D^2y = m^2e^{mx}$,और $D^3y = m^3e^{mx}$ प्राप्त होता है। इन मानों को समीकरण में रखने पर: $m^3e^{mx} - 3m^2e^{mx} - 4me^{mx} + 12e^{mx} = 0$। चूंकि $e^{mx} 
eq 0$,हमें अभिलक्षणिक समीकरण प्राप्त होता है: $m^3 - 3m^2 - 4m + 12 = 0$। समीकरण का गुणनखंड करने पर: $m^2(m - 3) - 4(m - 3) = 0 \Rightarrow (m^2 - 4)(m - 3) = 0$। इससे $(m - 2)(m + 2)(m - 3) = 0$ प्राप्त होता है। मूल $m = 2, m = -2, m = 3$ हैं। चूंकि $m \in N$ (प्राकृत संख्याएँ) है,हम केवल $m = 2$ और $m = 3$ पर विचार करते हैं। अतः,ऐसे $2$ मान हैं।

$m \in N$ के कितने मानों के लिए $y = e^{mx}$,अवकल समीकरण $D^3y - 3D^2y - 4Dy + 12y = 0$ का एक हल है?

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अवकल समीकरण $x dy + y dx = 0$ को संतुष्ट करने वाले और बिंदु $(2, 8)$ से गुजरने वाले शांकव का नाभिलंब (latus rectum) है:

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