अवकल समीकरण $x \frac{d^2y}{dx^2} = 1$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $x = 1$ होने पर $y = 1$ और $\frac{dy}{dx} = 0$ है।

यदि आसपास की हवा $25^{\circ} C$ पर रखी जाती है और एक पिंड $30 \text{ मिनट में}$ $80^{\circ} C$ से $50^{\circ} C$ तक ठंडा हो जाता है,तो एक घंटे के बाद पिंड का तापमान क्या होगा?

एक रेडियोधर्मी पदार्थ,जिसका प्रारंभिक द्रव्यमान $m_0$ है,की अर्ध-आयु $h$ दिन है। तो इसकी प्रारंभिक क्षय दर (decay rate) क्या होगी?

यदि जनसंख्या $8 \%$ प्रति वर्ष की दर से बढ़ती है,तो जनसंख्या को दोगुना होने में कितना समय लगेगा ($\text{वर्ष}$ में)? (दिया गया है $\log 2=0.6912$ )

एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन एक स्थिर दर से बदल रहा है। यदि प्रारंभ में इसकी त्रिज्या $3$ इकाई है और $3$ सेकंड के बाद यह $6$ इकाई हो जाती है,तो $t$ सेकंड के बाद गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\Gamma$ एक वक्र $y = y(x)$ को दर्शाता है जो प्रथम चतुर्थांश में है और बिंदु $(1,0)$ उस पर स्थित है। मान लीजिए कि बिंदु $P$ पर $\Gamma$ की स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को $Y_p$ पर काटती है। यदि $\Gamma$ पर प्रत्येक बिंदु $P$ के लिए $PY_p$ की लंबाई $1$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $y=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)-\sqrt{1-x^2}$
$(2)$ $xy^{\prime}+\sqrt{1-x^2}=0$
$(3)$ $y=-\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)+\sqrt{1-x^2}$
$(4)$ $xy^{\prime}-\sqrt{1-x^2}=0$